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Theorem lshpsmreu 32850
Description: Lemma for lshpkrex 32859. Show uniqueness of ring multiplier  k when a vector  X is broken down into components, one in a hyperplane and the other outside of it . TODO: do we need the cbvrexv 2969 for 
a to  c? (Contributed by NM, 4-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lshpsmreu.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lshpsmreu.a  |-  .+  =  ( +g  `  W )
lshpsmreu.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lshpsmreu.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
lshpsmreu.h  |-  H  =  (LSHyp `  W )
lshpsmreu.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lshpsmreu.u  |-  ( ph  ->  U  e.  H )
lshpsmreu.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
lshpsmreu.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
lshpsmreu.e  |-  ( ph  ->  ( U  .(+)  ( N `
 { Z }
) )  =  V )
lshpsmreu.d  |-  D  =  (Scalar `  W )
lshpsmreu.k  |-  K  =  ( Base `  D
)
lshpsmreu.t  |-  .x.  =  ( .s `  W )
Assertion
Ref Expression
lshpsmreu  |-  ( ph  ->  E! k  e.  K  E. y  e.  U  X  =  ( y  .+  ( k  .x.  Z
) ) )
Distinct variable groups:    y, k,  .+    k, K    .x. , k, y    U, k, y    k, X, y    k, Z, y
Allowed substitution hints:    ph( y, k)    D( y, k)    .(+) ( y, k)    H( y, k)    K( y)    N( y, k)    V( y, k)    W( y, k)

Proof of Theorem lshpsmreu
Dummy variables  a 
b  c  l  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lshpsmreu.x . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
2 lshpsmreu.e . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( U  .(+)  ( N `
 { Z }
) )  =  V )
31, 2eleqtrrd 2520 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  ( U 
.(+)  ( N `  { Z } ) ) )
4 lshpsmreu.w . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
5 lveclmod 17209 . . . . . . . . . 10  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
64, 5syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
7 eqid 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( LSubSp `  W )  =  (
LSubSp `  W )
87lsssssubg 17061 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( LSubSp `  W )  C_  (SubGrp `  W ) )
96, 8syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( LSubSp `  W )  C_  (SubGrp `  W )
)
10 lshpsmreu.h . . . . . . . . 9  |-  H  =  (LSHyp `  W )
11 lshpsmreu.u . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U  e.  H )
127, 10, 6, 11lshplss 32722 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  ( LSubSp `  W ) )
139, 12sseldd 3378 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  e.  (SubGrp `  W ) )
14 lshpsmreu.z . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
15 lshpsmreu.v . . . . . . . . . 10  |-  V  =  ( Base `  W
)
16 lshpsmreu.n . . . . . . . . . 10  |-  N  =  ( LSpan `  W )
1715, 7, 16lspsncl 17080 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Z  e.  V )  ->  ( N `  { Z } )  e.  (
LSubSp `  W ) )
186, 14, 17syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N `  { Z } )  e.  (
LSubSp `  W ) )
199, 18sseldd 3378 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  { Z } )  e.  (SubGrp `  W ) )
20 lshpsmreu.a . . . . . . . 8  |-  .+  =  ( +g  `  W )
21 lshpsmreu.p . . . . . . . 8  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
2220, 21lsmelval 16169 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  (SubGrp `  W )  /\  ( N `  { Z } )  e.  (SubGrp `  W ) )  -> 
( X  e.  ( U  .(+)  ( N `  { Z } ) )  <->  E. c  e.  U  E. z  e.  ( N `  { Z } ) X  =  ( c  .+  z
) ) )
2313, 19, 22syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ( U  .(+)  ( N `  { Z } ) )  <->  E. c  e.  U  E. z  e.  ( N `  { Z } ) X  =  ( c  .+  z
) ) )
243, 23mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E. c  e.  U  E. z  e.  ( N `  { Z } ) X  =  ( c  .+  z
) )
25 df-rex 2742 . . . . . . 7  |-  ( E. z  e.  ( N `
 { Z }
) X  =  ( c  .+  z )  <->  E. z ( z  e.  ( N `  { Z } )  /\  X  =  ( c  .+  z ) ) )
26 lshpsmreu.d . . . . . . . . . . . . 13  |-  D  =  (Scalar `  W )
27 lshpsmreu.k . . . . . . . . . . . . 13  |-  K  =  ( Base `  D
)
28 lshpsmreu.t . . . . . . . . . . . . 13  |-  .x.  =  ( .s `  W )
2926, 27, 15, 28, 16lspsnel 17106 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Z  e.  V )  ->  (
z  e.  ( N `
 { Z }
)  <->  E. b  e.  K  z  =  ( b  .x.  Z ) ) )
306, 14, 29syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( N `  { Z } )  <->  E. b  e.  K  z  =  ( b  .x.  Z
) ) )
3130anbi1d 704 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  ( N `  { Z } )  /\  X  =  ( c  .+  z ) )  <->  ( E. b  e.  K  z  =  ( b  .x.  Z )  /\  X  =  ( c  .+  z ) ) ) )
32 r19.41v 2894 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. b  e.  K  ( z  =  ( b 
.x.  Z )  /\  X  =  ( c  .+  z ) )  <->  ( E. b  e.  K  z  =  ( b  .x.  Z )  /\  X  =  ( c  .+  z ) ) )
3331, 32syl6bbr 263 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  ( N `  { Z } )  /\  X  =  ( c  .+  z ) )  <->  E. b  e.  K  ( z  =  ( b  .x.  Z )  /\  X  =  ( c  .+  z ) ) ) )
3433exbidv 1680 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( E. z ( z  e.  ( N `
 { Z }
)  /\  X  =  ( c  .+  z
) )  <->  E. z E. b  e.  K  ( z  =  ( b  .x.  Z )  /\  X  =  ( c  .+  z ) ) ) )
35 rexcom4 3013 . . . . . . . . 9  |-  ( E. b  e.  K  E. z ( z  =  ( b  .x.  Z
)  /\  X  =  ( c  .+  z
) )  <->  E. z E. b  e.  K  ( z  =  ( b  .x.  Z )  /\  X  =  ( c  .+  z ) ) )
36 ovex 6137 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b 
.x.  Z )  e. 
_V
37 oveq2 6120 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( b  .x.  Z )  ->  (
c  .+  z )  =  ( c  .+  ( b  .x.  Z
) ) )
3837eqeq2d 2454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( b  .x.  Z )  ->  ( X  =  ( c  .+  z )  <->  X  =  ( c  .+  (
b  .x.  Z )
) ) )
3936, 38ceqsexv 3030 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. z ( z  =  ( b  .x.  Z
)  /\  X  =  ( c  .+  z
) )  <->  X  =  ( c  .+  (
b  .x.  Z )
) )
4039rexbii 2761 . . . . . . . . 9  |-  ( E. b  e.  K  E. z ( z  =  ( b  .x.  Z
)  /\  X  =  ( c  .+  z
) )  <->  E. b  e.  K  X  =  ( c  .+  (
b  .x.  Z )
) )
4135, 40bitr3i 251 . . . . . . . 8  |-  ( E. z E. b  e.  K  ( z  =  ( b  .x.  Z
)  /\  X  =  ( c  .+  z
) )  <->  E. b  e.  K  X  =  ( c  .+  (
b  .x.  Z )
) )
4234, 41syl6bb 261 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E. z ( z  e.  ( N `
 { Z }
)  /\  X  =  ( c  .+  z
) )  <->  E. b  e.  K  X  =  ( c  .+  (
b  .x.  Z )
) ) )
4325, 42syl5bb 257 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. z  e.  ( N `  { Z } ) X  =  ( c  .+  z
)  <->  E. b  e.  K  X  =  ( c  .+  ( b  .x.  Z
) ) ) )
4443rexbidv 2757 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. c  e.  U  E. z  e.  ( N `  { Z } ) X  =  ( c  .+  z
)  <->  E. c  e.  U  E. b  e.  K  X  =  ( c  .+  ( b  .x.  Z
) ) ) )
4524, 44mpbid 210 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. c  e.  U  E. b  e.  K  X  =  ( c  .+  ( b  .x.  Z
) ) )
46 rexcom 2903 . . . 4  |-  ( E. c  e.  U  E. b  e.  K  X  =  ( c  .+  ( b  .x.  Z
) )  <->  E. b  e.  K  E. c  e.  U  X  =  ( c  .+  (
b  .x.  Z )
) )
4745, 46sylib 196 . . 3  |-  ( ph  ->  E. b  e.  K  E. c  e.  U  X  =  ( c  .+  ( b  .x.  Z
) ) )
48 oveq1 6119 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  a  ->  (
c  .+  ( b  .x.  Z ) )  =  ( a  .+  (
b  .x.  Z )
) )
4948eqeq2d 2454 . . . . . . 7  |-  ( c  =  a  ->  ( X  =  ( c  .+  ( b  .x.  Z
) )  <->  X  =  ( a  .+  (
b  .x.  Z )
) ) )
5049cbvrexv 2969 . . . . . 6  |-  ( E. c  e.  U  X  =  ( c  .+  ( b  .x.  Z
) )  <->  E. a  e.  U  X  =  ( a  .+  (
b  .x.  Z )
) )
51 eqid 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0g
`  W )  =  ( 0g `  W
)
52 eqid 2443 . . . . . . . . . 10  |-  (Cntz `  W )  =  (Cntz `  W )
53 simp11l 1099 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  K  /\  l  e.  K
) )  /\  a  e.  U  /\  X  =  ( a  .+  (
b  .x.  Z )
) )  /\  c  e.  U  /\  X  =  ( c  .+  (
l  .x.  Z )
) )  ->  ph )
5453, 13syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  K  /\  l  e.  K
) )  /\  a  e.  U  /\  X  =  ( a  .+  (
b  .x.  Z )
) )  /\  c  e.  U  /\  X  =  ( c  .+  (
l  .x.  Z )
) )  ->  U  e.  (SubGrp `  W )
)
5553, 19syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  K  /\  l  e.  K
) )  /\  a  e.  U  /\  X  =  ( a  .+  (
b  .x.  Z )
) )  /\  c  e.  U  /\  X  =  ( c  .+  (
l  .x.  Z )
) )  ->  ( N `  { Z } )  e.  (SubGrp `  W ) )
5615, 51, 16, 21, 10, 4, 11, 14, 2lshpdisj 32728 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( U  i^i  ( N `  { Z } ) )  =  { ( 0g `  W ) } )
5753, 56syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  K  /\  l  e.  K
) )  /\  a  e.  U  /\  X  =  ( a  .+  (
b  .x.  Z )
) )  /\  c  e.  U  /\  X  =  ( c  .+  (
l  .x.  Z )
) )  ->  ( U  i^i  ( N `  { Z } ) )  =  { ( 0g
`  W ) } )
5853, 4syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  K  /\  l  e.  K
) )  /\  a  e.  U  /\  X  =  ( a  .+  (
b  .x.  Z )
) )  /\  c  e.  U  /\  X  =  ( c  .+  (
l  .x.  Z )
) )  ->  W  e.  LVec )
5958, 5syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  K  /\  l  e.  K
) )  /\  a  e.  U  /\  X  =  ( a  .+  (
b  .x.  Z )
) )  /\  c  e.  U  /\  X  =  ( c  .+  (
l  .x.  Z )
) )  ->  W  e.  LMod )
60 lmodabl 17014 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Abel )
6159, 60syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  K  /\  l  e.  K
) )  /\  a  e.  U  /\  X  =  ( a  .+  (
b  .x.  Z )
) )  /\  c  e.  U  /\  X  =  ( c  .+  (
l  .x.  Z )
) )  ->  W  e.  Abel )
6252, 61, 54, 55ablcntzd 16360 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  K  /\  l  e.  K
) )  /\  a  e.  U  /\  X  =  ( a  .+  (
b  .x.  Z )
) )  /\  c  e.  U  /\  X  =  ( c  .+  (
l  .x.  Z )
) )  ->  U  C_  ( (Cntz `  W
) `  ( N `  { Z } ) ) )
63 simp12 1019 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  K  /\  l  e.  K
) )  /\  a  e.  U  /\  X  =  ( a  .+  (
b  .x.  Z )
) )  /\  c  e.  U  /\  X  =  ( c  .+  (
l  .x.  Z )
) )  ->  a  e.  U )
64 simp2 989 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  K  /\  l  e.  K
) )  /\  a  e.  U  /\  X  =  ( a  .+  (
b  .x.  Z )
) )  /\  c  e.  U  /\  X  =  ( c  .+  (
l  .x.  Z )
) )  ->  c  e.  U )
65 simp1rl 1053 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  e.  K  /\  l  e.  K )
)  /\  a  e.  U  /\  X  =  ( a  .+  ( b 
.x.  Z ) ) )  ->  b  e.  K )
66653ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  K  /\  l  e.  K
) )  /\  a  e.  U  /\  X  =  ( a  .+  (
b  .x.  Z )
) )  /\  c  e.  U  /\  X  =  ( c  .+  (
l  .x.  Z )
) )  ->  b  e.  K )
6753, 14syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  K  /\  l  e.  K
) )  /\  a  e.  U  /\  X  =  ( a  .+  (
b  .x.  Z )
) )  /\  c  e.  U  /\  X  =  ( c  .+  (
l  .x.  Z )
) )  ->  Z  e.  V )
6815, 28, 26, 27, 16, 59, 66, 67lspsneli 17104 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  K  /\  l  e.  K
) )  /\  a  e.  U  /\  X  =  ( a  .+  (
b  .x.  Z )
) )  /\  c  e.  U  /\  X  =  ( c  .+  (
l  .x.  Z )
) )  ->  (
b  .x.  Z )  e.  ( N `  { Z } ) )
69 simp1rr 1054 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  e.  K  /\  l  e.  K )
)  /\  a  e.  U  /\  X  =  ( a  .+  ( b 
.x.  Z ) ) )  ->  l  e.  K )
70693ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  K  /\  l  e.  K
) )  /\  a  e.  U  /\  X  =  ( a  .+  (
b  .x.  Z )
) )  /\  c  e.  U  /\  X  =  ( c  .+  (
l  .x.  Z )
) )  ->  l  e.  K )
7115, 28, 26, 27, 16, 59, 70, 67lspsneli 17104 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  K  /\  l  e.  K
) )  /\  a  e.  U  /\  X  =  ( a  .+  (
b  .x.  Z )
) )  /\  c  e.  U  /\  X  =  ( c  .+  (
l  .x.  Z )
) )  ->  (
l  .x.  Z )  e.  ( N `  { Z } ) )
72 simp13 1020 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  K  /\  l  e.  K
) )  /\  a  e.  U  /\  X  =  ( a  .+  (
b  .x.  Z )
) )  /\  c  e.  U  /\  X  =  ( c  .+  (
l  .x.  Z )
) )  ->  X  =  ( a  .+  ( b  .x.  Z
) ) )
73 simp3 990 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  K  /\  l  e.  K
) )  /\  a  e.  U  /\  X  =  ( a  .+  (
b  .x.  Z )
) )  /\  c  e.  U  /\  X  =  ( c  .+  (
l  .x.  Z )
) )  ->  X  =  ( c  .+  ( l  .x.  Z
) ) )
7472, 73eqtr3d 2477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  K  /\  l  e.  K
) )  /\  a  e.  U  /\  X  =  ( a  .+  (
b  .x.  Z )
) )  /\  c  e.  U  /\  X  =  ( c  .+  (
l  .x.  Z )
) )  ->  (
a  .+  ( b  .x.  Z ) )  =  ( c  .+  (
l  .x.  Z )
) )
7520, 51, 52, 54, 55, 57, 62, 63, 64, 68, 71, 74subgdisj2 16210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  K  /\  l  e.  K
) )  /\  a  e.  U  /\  X  =  ( a  .+  (
b  .x.  Z )
) )  /\  c  e.  U  /\  X  =  ( c  .+  (
l  .x.  Z )
) )  ->  (
b  .x.  Z )  =  ( l  .x.  Z ) )
7653, 11syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  K  /\  l  e.  K
) )  /\  a  e.  U  /\  X  =  ( a  .+  (
b  .x.  Z )
) )  /\  c  e.  U  /\  X  =  ( c  .+  (
l  .x.  Z )
) )  ->  U  e.  H )
7753, 2syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  K  /\  l  e.  K
) )  /\  a  e.  U  /\  X  =  ( a  .+  (
b  .x.  Z )
) )  /\  c  e.  U  /\  X  =  ( c  .+  (
l  .x.  Z )
) )  ->  ( U  .(+)  ( N `  { Z } ) )  =  V )
7815, 16, 21, 10, 51, 59, 76, 67, 77lshpne0 32727 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  K  /\  l  e.  K
) )  /\  a  e.  U  /\  X  =  ( a  .+  (
b  .x.  Z )
) )  /\  c  e.  U  /\  X  =  ( c  .+  (
l  .x.  Z )
) )  ->  Z  =/=  ( 0g `  W
) )
7915, 28, 26, 27, 51, 58, 66, 70, 67, 78lvecvscan2 17215 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  K  /\  l  e.  K
) )  /\  a  e.  U  /\  X  =  ( a  .+  (
b  .x.  Z )
) )  /\  c  e.  U  /\  X  =  ( c  .+  (
l  .x.  Z )
) )  ->  (
( b  .x.  Z
)  =  ( l 
.x.  Z )  <->  b  =  l ) )
8075, 79mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  K  /\  l  e.  K
) )  /\  a  e.  U  /\  X  =  ( a  .+  (
b  .x.  Z )
) )  /\  c  e.  U  /\  X  =  ( c  .+  (
l  .x.  Z )
) )  ->  b  =  l )
8180rexlimdv3a 2864 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  e.  K  /\  l  e.  K )
)  /\  a  e.  U  /\  X  =  ( a  .+  ( b 
.x.  Z ) ) )  ->  ( E. c  e.  U  X  =  ( c  .+  ( l  .x.  Z
) )  ->  b  =  l ) )
8281rexlimdv3a 2864 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  K  /\  l  e.  K ) )  -> 
( E. a  e.  U  X  =  ( a  .+  ( b 
.x.  Z ) )  ->  ( E. c  e.  U  X  =  ( c  .+  (
l  .x.  Z )
)  ->  b  =  l ) ) )
8350, 82syl5bi 217 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  K  /\  l  e.  K ) )  -> 
( E. c  e.  U  X  =  ( c  .+  ( b 
.x.  Z ) )  ->  ( E. c  e.  U  X  =  ( c  .+  (
l  .x.  Z )
)  ->  b  =  l ) ) )
8483impd 431 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  K  /\  l  e.  K ) )  -> 
( ( E. c  e.  U  X  =  ( c  .+  (
b  .x.  Z )
)  /\  E. c  e.  U  X  =  ( c  .+  (
l  .x.  Z )
) )  ->  b  =  l ) )
8584ralrimivva 2829 . . 3  |-  ( ph  ->  A. b  e.  K  A. l  e.  K  ( ( E. c  e.  U  X  =  ( c  .+  (
b  .x.  Z )
)  /\  E. c  e.  U  X  =  ( c  .+  (
l  .x.  Z )
) )  ->  b  =  l ) )
86 oveq1 6119 . . . . . . 7  |-  ( b  =  l  ->  (
b  .x.  Z )  =  ( l  .x.  Z ) )
8786oveq2d 6128 . . . . . 6  |-  ( b  =  l  ->  (
c  .+  ( b  .x.  Z ) )  =  ( c  .+  (
l  .x.  Z )
) )
8887eqeq2d 2454 . . . . 5  |-  ( b  =  l  ->  ( X  =  ( c  .+  ( b  .x.  Z
) )  <->  X  =  ( c  .+  (
l  .x.  Z )
) ) )
8988rexbidv 2757 . . . 4  |-  ( b  =  l  ->  ( E. c  e.  U  X  =  ( c  .+  ( b  .x.  Z
) )  <->  E. c  e.  U  X  =  ( c  .+  (
l  .x.  Z )
) ) )
9089reu4 3174 . . 3  |-  ( E! b  e.  K  E. c  e.  U  X  =  ( c  .+  ( b  .x.  Z
) )  <->  ( E. b  e.  K  E. c  e.  U  X  =  ( c  .+  ( b  .x.  Z
) )  /\  A. b  e.  K  A. l  e.  K  (
( E. c  e.  U  X  =  ( c  .+  ( b 
.x.  Z ) )  /\  E. c  e.  U  X  =  ( c  .+  ( l 
.x.  Z ) ) )  ->  b  =  l ) ) )
9147, 85, 90sylanbrc 664 . 2  |-  ( ph  ->  E! b  e.  K  E. c  e.  U  X  =  ( c  .+  ( b  .x.  Z
) ) )
92 oveq1 6119 . . . . . . 7  |-  ( b  =  k  ->  (
b  .x.  Z )  =  ( k  .x.  Z ) )
9392oveq2d 6128 . . . . . 6  |-  ( b  =  k  ->  (
c  .+  ( b  .x.  Z ) )  =  ( c  .+  (
k  .x.  Z )
) )
9493eqeq2d 2454 . . . . 5  |-  ( b  =  k  ->  ( X  =  ( c  .+  ( b  .x.  Z
) )  <->  X  =  ( c  .+  (
k  .x.  Z )
) ) )
9594rexbidv 2757 . . . 4  |-  ( b  =  k  ->  ( E. c  e.  U  X  =  ( c  .+  ( b  .x.  Z
) )  <->  E. c  e.  U  X  =  ( c  .+  (
k  .x.  Z )
) ) )
9695cbvreuv 2970 . . 3  |-  ( E! b  e.  K  E. c  e.  U  X  =  ( c  .+  ( b  .x.  Z
) )  <->  E! k  e.  K  E. c  e.  U  X  =  ( c  .+  (
k  .x.  Z )
) )
97 oveq1 6119 . . . . . 6  |-  ( c  =  y  ->  (
c  .+  ( k  .x.  Z ) )  =  ( y  .+  (
k  .x.  Z )
) )
9897eqeq2d 2454 . . . . 5  |-  ( c  =  y  ->  ( X  =  ( c  .+  ( k  .x.  Z
) )  <->  X  =  ( y  .+  (
k  .x.  Z )
) ) )
9998cbvrexv 2969 . . . 4  |-  ( E. c  e.  U  X  =  ( c  .+  ( k  .x.  Z
) )  <->  E. y  e.  U  X  =  ( y  .+  (
k  .x.  Z )
) )
10099reubii 2928 . . 3  |-  ( E! k  e.  K  E. c  e.  U  X  =  ( c  .+  ( k  .x.  Z
) )  <->  E! k  e.  K  E. y  e.  U  X  =  ( y  .+  (
k  .x.  Z )
) )
10196, 100bitri 249 . 2  |-  ( E! b  e.  K  E. c  e.  U  X  =  ( c  .+  ( b  .x.  Z
) )  <->  E! k  e.  K  E. y  e.  U  X  =  ( y  .+  (
k  .x.  Z )
) )
10291, 101sylib 196 1  |-  ( ph  ->  E! k  e.  K  E. y  e.  U  X  =  ( y  .+  ( k  .x.  Z
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756   A.wral 2736   E.wrex 2737   E!wreu 2738    i^i cin 3348    C_ wss 3349   {csn 3898   ` cfv 5439  (class class class)co 6112   Basecbs 14195   +g cplusg 14259  Scalarcsca 14262   .scvsca 14263   0gc0g 14399  SubGrpcsubg 15696  Cntzccntz 15854   LSSumclsm 16154   Abelcabel 16299   LModclmod 16970   LSubSpclss 17035   LSpanclspn 17074   LVecclvec 17205  LSHypclsh 32716
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-tpos 6766  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-er 7122  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-nn 10344  df-2 10401  df-3 10402  df-ndx 14198  df-slot 14199  df-base 14200  df-sets 14201  df-ress 14202  df-plusg 14272  df-mulr 14273  df-0g 14401  df-mnd 15436  df-submnd 15486  df-grp 15566  df-minusg 15567  df-sbg 15568  df-subg 15699  df-cntz 15856  df-lsm 16156  df-cmn 16300  df-abl 16301  df-mgp 16614  df-ur 16626  df-rng 16669  df-oppr 16737  df-dvdsr 16755  df-unit 16756  df-invr 16786  df-drng 16856  df-lmod 16972  df-lss 17036  df-lsp 17075  df-lvec 17206  df-lshyp 32718
This theorem is referenced by:  lshpkrlem1  32851  lshpkrlem2  32852  lshpkrlem3  32853  lshpkrcl  32857  dochfl1  35217
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