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Theorem lshpsmreu 34977
Description: Lemma for lshpkrex 34986. Show uniqueness of ring multiplier  k when a vector  X is broken down into components, one in a hyperplane and the other outside of it . TODO: do we need the cbvrexv 3085 for 
a to  c? (Contributed by NM, 4-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lshpsmreu.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lshpsmreu.a  |-  .+  =  ( +g  `  W )
lshpsmreu.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lshpsmreu.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
lshpsmreu.h  |-  H  =  (LSHyp `  W )
lshpsmreu.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lshpsmreu.u  |-  ( ph  ->  U  e.  H )
lshpsmreu.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
lshpsmreu.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
lshpsmreu.e  |-  ( ph  ->  ( U  .(+)  ( N `
 { Z }
) )  =  V )
lshpsmreu.d  |-  D  =  (Scalar `  W )
lshpsmreu.k  |-  K  =  ( Base `  D
)
lshpsmreu.t  |-  .x.  =  ( .s `  W )
Assertion
Ref Expression
lshpsmreu  |-  ( ph  ->  E! k  e.  K  E. y  e.  U  X  =  ( y  .+  ( k  .x.  Z
) ) )
Distinct variable groups:    y, k,  .+    k, K    .x. , k, y    U, k, y    k, X, y    k, Z, y
Allowed substitution hints:    ph( y, k)    D( y, k)    .(+) ( y, k)    H( y, k)    K( y)    N( y, k)    V( y, k)    W( y, k)

Proof of Theorem lshpsmreu
Dummy variables  a 
b  c  l  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lshpsmreu.x . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
2 lshpsmreu.e . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( U  .(+)  ( N `
 { Z }
) )  =  V )
31, 2eleqtrrd 2548 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  ( U 
.(+)  ( N `  { Z } ) ) )
4 lshpsmreu.w . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
5 lveclmod 17879 . . . . . . . . . 10  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
64, 5syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
7 eqid 2457 . . . . . . . . . 10  |-  ( LSubSp `  W )  =  (
LSubSp `  W )
87lsssssubg 17731 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( LSubSp `  W )  C_  (SubGrp `  W ) )
96, 8syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( LSubSp `  W )  C_  (SubGrp `  W )
)
10 lshpsmreu.h . . . . . . . . 9  |-  H  =  (LSHyp `  W )
11 lshpsmreu.u . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U  e.  H )
127, 10, 6, 11lshplss 34849 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  ( LSubSp `  W ) )
139, 12sseldd 3500 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  e.  (SubGrp `  W ) )
14 lshpsmreu.z . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
15 lshpsmreu.v . . . . . . . . . 10  |-  V  =  ( Base `  W
)
16 lshpsmreu.n . . . . . . . . . 10  |-  N  =  ( LSpan `  W )
1715, 7, 16lspsncl 17750 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Z  e.  V )  ->  ( N `  { Z } )  e.  (
LSubSp `  W ) )
186, 14, 17syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N `  { Z } )  e.  (
LSubSp `  W ) )
199, 18sseldd 3500 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  { Z } )  e.  (SubGrp `  W ) )
20 lshpsmreu.a . . . . . . . 8  |-  .+  =  ( +g  `  W )
21 lshpsmreu.p . . . . . . . 8  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
2220, 21lsmelval 16796 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  (SubGrp `  W )  /\  ( N `  { Z } )  e.  (SubGrp `  W ) )  -> 
( X  e.  ( U  .(+)  ( N `  { Z } ) )  <->  E. c  e.  U  E. z  e.  ( N `  { Z } ) X  =  ( c  .+  z
) ) )
2313, 19, 22syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ( U  .(+)  ( N `  { Z } ) )  <->  E. c  e.  U  E. z  e.  ( N `  { Z } ) X  =  ( c  .+  z
) ) )
243, 23mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E. c  e.  U  E. z  e.  ( N `  { Z } ) X  =  ( c  .+  z
) )
25 df-rex 2813 . . . . . . 7  |-  ( E. z  e.  ( N `
 { Z }
) X  =  ( c  .+  z )  <->  E. z ( z  e.  ( N `  { Z } )  /\  X  =  ( c  .+  z ) ) )
26 lshpsmreu.d . . . . . . . . . . . . 13  |-  D  =  (Scalar `  W )
27 lshpsmreu.k . . . . . . . . . . . . 13  |-  K  =  ( Base `  D
)
28 lshpsmreu.t . . . . . . . . . . . . 13  |-  .x.  =  ( .s `  W )
2926, 27, 15, 28, 16lspsnel 17776 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Z  e.  V )  ->  (
z  e.  ( N `
 { Z }
)  <->  E. b  e.  K  z  =  ( b  .x.  Z ) ) )
306, 14, 29syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( N `  { Z } )  <->  E. b  e.  K  z  =  ( b  .x.  Z
) ) )
3130anbi1d 704 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  ( N `  { Z } )  /\  X  =  ( c  .+  z ) )  <->  ( E. b  e.  K  z  =  ( b  .x.  Z )  /\  X  =  ( c  .+  z ) ) ) )
32 r19.41v 3009 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. b  e.  K  ( z  =  ( b 
.x.  Z )  /\  X  =  ( c  .+  z ) )  <->  ( E. b  e.  K  z  =  ( b  .x.  Z )  /\  X  =  ( c  .+  z ) ) )
3331, 32syl6bbr 263 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  ( N `  { Z } )  /\  X  =  ( c  .+  z ) )  <->  E. b  e.  K  ( z  =  ( b  .x.  Z )  /\  X  =  ( c  .+  z ) ) ) )
3433exbidv 1715 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( E. z ( z  e.  ( N `
 { Z }
)  /\  X  =  ( c  .+  z
) )  <->  E. z E. b  e.  K  ( z  =  ( b  .x.  Z )  /\  X  =  ( c  .+  z ) ) ) )
35 rexcom4 3129 . . . . . . . . 9  |-  ( E. b  e.  K  E. z ( z  =  ( b  .x.  Z
)  /\  X  =  ( c  .+  z
) )  <->  E. z E. b  e.  K  ( z  =  ( b  .x.  Z )  /\  X  =  ( c  .+  z ) ) )
36 ovex 6324 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b 
.x.  Z )  e. 
_V
37 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( b  .x.  Z )  ->  (
c  .+  z )  =  ( c  .+  ( b  .x.  Z
) ) )
3837eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( b  .x.  Z )  ->  ( X  =  ( c  .+  z )  <->  X  =  ( c  .+  (
b  .x.  Z )
) ) )
3936, 38ceqsexv 3146 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. z ( z  =  ( b  .x.  Z
)  /\  X  =  ( c  .+  z
) )  <->  X  =  ( c  .+  (
b  .x.  Z )
) )
4039rexbii 2959 . . . . . . . . 9  |-  ( E. b  e.  K  E. z ( z  =  ( b  .x.  Z
)  /\  X  =  ( c  .+  z
) )  <->  E. b  e.  K  X  =  ( c  .+  (
b  .x.  Z )
) )
4135, 40bitr3i 251 . . . . . . . 8  |-  ( E. z E. b  e.  K  ( z  =  ( b  .x.  Z
)  /\  X  =  ( c  .+  z
) )  <->  E. b  e.  K  X  =  ( c  .+  (
b  .x.  Z )
) )
4234, 41syl6bb 261 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E. z ( z  e.  ( N `
 { Z }
)  /\  X  =  ( c  .+  z
) )  <->  E. b  e.  K  X  =  ( c  .+  (
b  .x.  Z )
) ) )
4325, 42syl5bb 257 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. z  e.  ( N `  { Z } ) X  =  ( c  .+  z
)  <->  E. b  e.  K  X  =  ( c  .+  ( b  .x.  Z
) ) ) )
4443rexbidv 2968 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. c  e.  U  E. z  e.  ( N `  { Z } ) X  =  ( c  .+  z
)  <->  E. c  e.  U  E. b  e.  K  X  =  ( c  .+  ( b  .x.  Z
) ) ) )
4524, 44mpbid 210 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. c  e.  U  E. b  e.  K  X  =  ( c  .+  ( b  .x.  Z
) ) )
46 rexcom 3019 . . . 4  |-  ( E. c  e.  U  E. b  e.  K  X  =  ( c  .+  ( b  .x.  Z
) )  <->  E. b  e.  K  E. c  e.  U  X  =  ( c  .+  (
b  .x.  Z )
) )
4745, 46sylib 196 . . 3  |-  ( ph  ->  E. b  e.  K  E. c  e.  U  X  =  ( c  .+  ( b  .x.  Z
) ) )
48 oveq1 6303 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  a  ->  (
c  .+  ( b  .x.  Z ) )  =  ( a  .+  (
b  .x.  Z )
) )
4948eqeq2d 2471 . . . . . . 7  |-  ( c  =  a  ->  ( X  =  ( c  .+  ( b  .x.  Z
) )  <->  X  =  ( a  .+  (
b  .x.  Z )
) ) )
5049cbvrexv 3085 . . . . . 6  |-  ( E. c  e.  U  X  =  ( c  .+  ( b  .x.  Z
) )  <->  E. a  e.  U  X  =  ( a  .+  (
b  .x.  Z )
) )
51 eqid 2457 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0g
`  W )  =  ( 0g `  W
)
52 eqid 2457 . . . . . . . . . 10  |-  (Cntz `  W )  =  (Cntz `  W )
53 simp11l 1107 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  K  /\  l  e.  K
) )  /\  a  e.  U  /\  X  =  ( a  .+  (
b  .x.  Z )
) )  /\  c  e.  U  /\  X  =  ( c  .+  (
l  .x.  Z )
) )  ->  ph )
5453, 13syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  K  /\  l  e.  K
) )  /\  a  e.  U  /\  X  =  ( a  .+  (
b  .x.  Z )
) )  /\  c  e.  U  /\  X  =  ( c  .+  (
l  .x.  Z )
) )  ->  U  e.  (SubGrp `  W )
)
5553, 19syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  K  /\  l  e.  K
) )  /\  a  e.  U  /\  X  =  ( a  .+  (
b  .x.  Z )
) )  /\  c  e.  U  /\  X  =  ( c  .+  (
l  .x.  Z )
) )  ->  ( N `  { Z } )  e.  (SubGrp `  W ) )
5615, 51, 16, 21, 10, 4, 11, 14, 2lshpdisj 34855 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( U  i^i  ( N `  { Z } ) )  =  { ( 0g `  W ) } )
5753, 56syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  K  /\  l  e.  K
) )  /\  a  e.  U  /\  X  =  ( a  .+  (
b  .x.  Z )
) )  /\  c  e.  U  /\  X  =  ( c  .+  (
l  .x.  Z )
) )  ->  ( U  i^i  ( N `  { Z } ) )  =  { ( 0g
`  W ) } )
5853, 4syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  K  /\  l  e.  K
) )  /\  a  e.  U  /\  X  =  ( a  .+  (
b  .x.  Z )
) )  /\  c  e.  U  /\  X  =  ( c  .+  (
l  .x.  Z )
) )  ->  W  e.  LVec )
5958, 5syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  K  /\  l  e.  K
) )  /\  a  e.  U  /\  X  =  ( a  .+  (
b  .x.  Z )
) )  /\  c  e.  U  /\  X  =  ( c  .+  (
l  .x.  Z )
) )  ->  W  e.  LMod )
60 lmodabl 17684 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Abel )
6159, 60syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  K  /\  l  e.  K
) )  /\  a  e.  U  /\  X  =  ( a  .+  (
b  .x.  Z )
) )  /\  c  e.  U  /\  X  =  ( c  .+  (
l  .x.  Z )
) )  ->  W  e.  Abel )
6252, 61, 54, 55ablcntzd 16990 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  K  /\  l  e.  K
) )  /\  a  e.  U  /\  X  =  ( a  .+  (
b  .x.  Z )
) )  /\  c  e.  U  /\  X  =  ( c  .+  (
l  .x.  Z )
) )  ->  U  C_  ( (Cntz `  W
) `  ( N `  { Z } ) ) )
63 simp12 1027 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  K  /\  l  e.  K
) )  /\  a  e.  U  /\  X  =  ( a  .+  (
b  .x.  Z )
) )  /\  c  e.  U  /\  X  =  ( c  .+  (
l  .x.  Z )
) )  ->  a  e.  U )
64 simp2 997 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  K  /\  l  e.  K
) )  /\  a  e.  U  /\  X  =  ( a  .+  (
b  .x.  Z )
) )  /\  c  e.  U  /\  X  =  ( c  .+  (
l  .x.  Z )
) )  ->  c  e.  U )
65 simp1rl 1061 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  e.  K  /\  l  e.  K )
)  /\  a  e.  U  /\  X  =  ( a  .+  ( b 
.x.  Z ) ) )  ->  b  e.  K )
66653ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  K  /\  l  e.  K
) )  /\  a  e.  U  /\  X  =  ( a  .+  (
b  .x.  Z )
) )  /\  c  e.  U  /\  X  =  ( c  .+  (
l  .x.  Z )
) )  ->  b  e.  K )
6753, 14syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  K  /\  l  e.  K
) )  /\  a  e.  U  /\  X  =  ( a  .+  (
b  .x.  Z )
) )  /\  c  e.  U  /\  X  =  ( c  .+  (
l  .x.  Z )
) )  ->  Z  e.  V )
6815, 28, 26, 27, 16, 59, 66, 67lspsneli 17774 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  K  /\  l  e.  K
) )  /\  a  e.  U  /\  X  =  ( a  .+  (
b  .x.  Z )
) )  /\  c  e.  U  /\  X  =  ( c  .+  (
l  .x.  Z )
) )  ->  (
b  .x.  Z )  e.  ( N `  { Z } ) )
69 simp1rr 1062 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  e.  K  /\  l  e.  K )
)  /\  a  e.  U  /\  X  =  ( a  .+  ( b 
.x.  Z ) ) )  ->  l  e.  K )
70693ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  K  /\  l  e.  K
) )  /\  a  e.  U  /\  X  =  ( a  .+  (
b  .x.  Z )
) )  /\  c  e.  U  /\  X  =  ( c  .+  (
l  .x.  Z )
) )  ->  l  e.  K )
7115, 28, 26, 27, 16, 59, 70, 67lspsneli 17774 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  K  /\  l  e.  K
) )  /\  a  e.  U  /\  X  =  ( a  .+  (
b  .x.  Z )
) )  /\  c  e.  U  /\  X  =  ( c  .+  (
l  .x.  Z )
) )  ->  (
l  .x.  Z )  e.  ( N `  { Z } ) )
72 simp13 1028 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  K  /\  l  e.  K
) )  /\  a  e.  U  /\  X  =  ( a  .+  (
b  .x.  Z )
) )  /\  c  e.  U  /\  X  =  ( c  .+  (
l  .x.  Z )
) )  ->  X  =  ( a  .+  ( b  .x.  Z
) ) )
73 simp3 998 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  K  /\  l  e.  K
) )  /\  a  e.  U  /\  X  =  ( a  .+  (
b  .x.  Z )
) )  /\  c  e.  U  /\  X  =  ( c  .+  (
l  .x.  Z )
) )  ->  X  =  ( c  .+  ( l  .x.  Z
) ) )
7472, 73eqtr3d 2500 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  K  /\  l  e.  K
) )  /\  a  e.  U  /\  X  =  ( a  .+  (
b  .x.  Z )
) )  /\  c  e.  U  /\  X  =  ( c  .+  (
l  .x.  Z )
) )  ->  (
a  .+  ( b  .x.  Z ) )  =  ( c  .+  (
l  .x.  Z )
) )
7520, 51, 52, 54, 55, 57, 62, 63, 64, 68, 71, 74subgdisj2 16837 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  K  /\  l  e.  K
) )  /\  a  e.  U  /\  X  =  ( a  .+  (
b  .x.  Z )
) )  /\  c  e.  U  /\  X  =  ( c  .+  (
l  .x.  Z )
) )  ->  (
b  .x.  Z )  =  ( l  .x.  Z ) )
7653, 11syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  K  /\  l  e.  K
) )  /\  a  e.  U  /\  X  =  ( a  .+  (
b  .x.  Z )
) )  /\  c  e.  U  /\  X  =  ( c  .+  (
l  .x.  Z )
) )  ->  U  e.  H )
7753, 2syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  K  /\  l  e.  K
) )  /\  a  e.  U  /\  X  =  ( a  .+  (
b  .x.  Z )
) )  /\  c  e.  U  /\  X  =  ( c  .+  (
l  .x.  Z )
) )  ->  ( U  .(+)  ( N `  { Z } ) )  =  V )
7815, 16, 21, 10, 51, 59, 76, 67, 77lshpne0 34854 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  K  /\  l  e.  K
) )  /\  a  e.  U  /\  X  =  ( a  .+  (
b  .x.  Z )
) )  /\  c  e.  U  /\  X  =  ( c  .+  (
l  .x.  Z )
) )  ->  Z  =/=  ( 0g `  W
) )
7915, 28, 26, 27, 51, 58, 66, 70, 67, 78lvecvscan2 17885 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  K  /\  l  e.  K
) )  /\  a  e.  U  /\  X  =  ( a  .+  (
b  .x.  Z )
) )  /\  c  e.  U  /\  X  =  ( c  .+  (
l  .x.  Z )
) )  ->  (
( b  .x.  Z
)  =  ( l 
.x.  Z )  <->  b  =  l ) )
8075, 79mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  K  /\  l  e.  K
) )  /\  a  e.  U  /\  X  =  ( a  .+  (
b  .x.  Z )
) )  /\  c  e.  U  /\  X  =  ( c  .+  (
l  .x.  Z )
) )  ->  b  =  l )
8180rexlimdv3a 2951 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  e.  K  /\  l  e.  K )
)  /\  a  e.  U  /\  X  =  ( a  .+  ( b 
.x.  Z ) ) )  ->  ( E. c  e.  U  X  =  ( c  .+  ( l  .x.  Z
) )  ->  b  =  l ) )
8281rexlimdv3a 2951 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  K  /\  l  e.  K ) )  -> 
( E. a  e.  U  X  =  ( a  .+  ( b 
.x.  Z ) )  ->  ( E. c  e.  U  X  =  ( c  .+  (
l  .x.  Z )
)  ->  b  =  l ) ) )
8350, 82syl5bi 217 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  K  /\  l  e.  K ) )  -> 
( E. c  e.  U  X  =  ( c  .+  ( b 
.x.  Z ) )  ->  ( E. c  e.  U  X  =  ( c  .+  (
l  .x.  Z )
)  ->  b  =  l ) ) )
8483impd 431 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  K  /\  l  e.  K ) )  -> 
( ( E. c  e.  U  X  =  ( c  .+  (
b  .x.  Z )
)  /\  E. c  e.  U  X  =  ( c  .+  (
l  .x.  Z )
) )  ->  b  =  l ) )
8584ralrimivva 2878 . . 3  |-  ( ph  ->  A. b  e.  K  A. l  e.  K  ( ( E. c  e.  U  X  =  ( c  .+  (
b  .x.  Z )
)  /\  E. c  e.  U  X  =  ( c  .+  (
l  .x.  Z )
) )  ->  b  =  l ) )
86 oveq1 6303 . . . . . . 7  |-  ( b  =  l  ->  (
b  .x.  Z )  =  ( l  .x.  Z ) )
8786oveq2d 6312 . . . . . 6  |-  ( b  =  l  ->  (
c  .+  ( b  .x.  Z ) )  =  ( c  .+  (
l  .x.  Z )
) )
8887eqeq2d 2471 . . . . 5  |-  ( b  =  l  ->  ( X  =  ( c  .+  ( b  .x.  Z
) )  <->  X  =  ( c  .+  (
l  .x.  Z )
) ) )
8988rexbidv 2968 . . . 4  |-  ( b  =  l  ->  ( E. c  e.  U  X  =  ( c  .+  ( b  .x.  Z
) )  <->  E. c  e.  U  X  =  ( c  .+  (
l  .x.  Z )
) ) )
9089reu4 3293 . . 3  |-  ( E! b  e.  K  E. c  e.  U  X  =  ( c  .+  ( b  .x.  Z
) )  <->  ( E. b  e.  K  E. c  e.  U  X  =  ( c  .+  ( b  .x.  Z
) )  /\  A. b  e.  K  A. l  e.  K  (
( E. c  e.  U  X  =  ( c  .+  ( b 
.x.  Z ) )  /\  E. c  e.  U  X  =  ( c  .+  ( l 
.x.  Z ) ) )  ->  b  =  l ) ) )
9147, 85, 90sylanbrc 664 . 2  |-  ( ph  ->  E! b  e.  K  E. c  e.  U  X  =  ( c  .+  ( b  .x.  Z
) ) )
92 oveq1 6303 . . . . . . 7  |-  ( b  =  k  ->  (
b  .x.  Z )  =  ( k  .x.  Z ) )
9392oveq2d 6312 . . . . . 6  |-  ( b  =  k  ->  (
c  .+  ( b  .x.  Z ) )  =  ( c  .+  (
k  .x.  Z )
) )
9493eqeq2d 2471 . . . . 5  |-  ( b  =  k  ->  ( X  =  ( c  .+  ( b  .x.  Z
) )  <->  X  =  ( c  .+  (
k  .x.  Z )
) ) )
9594rexbidv 2968 . . . 4  |-  ( b  =  k  ->  ( E. c  e.  U  X  =  ( c  .+  ( b  .x.  Z
) )  <->  E. c  e.  U  X  =  ( c  .+  (
k  .x.  Z )
) ) )
9695cbvreuv 3086 . . 3  |-  ( E! b  e.  K  E. c  e.  U  X  =  ( c  .+  ( b  .x.  Z
) )  <->  E! k  e.  K  E. c  e.  U  X  =  ( c  .+  (
k  .x.  Z )
) )
97 oveq1 6303 . . . . . 6  |-  ( c  =  y  ->  (
c  .+  ( k  .x.  Z ) )  =  ( y  .+  (
k  .x.  Z )
) )
9897eqeq2d 2471 . . . . 5  |-  ( c  =  y  ->  ( X  =  ( c  .+  ( k  .x.  Z
) )  <->  X  =  ( y  .+  (
k  .x.  Z )
) ) )
9998cbvrexv 3085 . . . 4  |-  ( E. c  e.  U  X  =  ( c  .+  ( k  .x.  Z
) )  <->  E. y  e.  U  X  =  ( y  .+  (
k  .x.  Z )
) )
10099reubii 3044 . . 3  |-  ( E! k  e.  K  E. c  e.  U  X  =  ( c  .+  ( k  .x.  Z
) )  <->  E! k  e.  K  E. y  e.  U  X  =  ( y  .+  (
k  .x.  Z )
) )
10196, 100bitri 249 . 2  |-  ( E! b  e.  K  E. c  e.  U  X  =  ( c  .+  ( b  .x.  Z
) )  <->  E! k  e.  K  E. y  e.  U  X  =  ( y  .+  (
k  .x.  Z )
) )
10291, 101sylib 196 1  |-  ( ph  ->  E! k  e.  K  E. y  e.  U  X  =  ( y  .+  ( k  .x.  Z
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395   E.wex 1613    e. wcel 1819   A.wral 2807   E.wrex 2808   E!wreu 2809    i^i cin 3470    C_ wss 3471   {csn 4032   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   Basecbs 14644   +g cplusg 14712  Scalarcsca 14715   .scvsca 14716   0gc0g 14857  SubGrpcsubg 16322  Cntzccntz 16480   LSSumclsm 16781   Abelcabl 16926   LModclmod 17639   LSubSpclss 17705   LSpanclspn 17744   LVecclvec 17875  LSHypclsh 34843
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-tpos 6973  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-0g 14859  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-submnd 16094  df-grp 16184  df-minusg 16185  df-sbg 16186  df-subg 16325  df-cntz 16482  df-lsm 16783  df-cmn 16927  df-abl 16928  df-mgp 17269  df-ur 17281  df-ring 17327  df-oppr 17399  df-dvdsr 17417  df-unit 17418  df-invr 17448  df-drng 17525  df-lmod 17641  df-lss 17706  df-lsp 17745  df-lvec 17876  df-lshyp 34845
This theorem is referenced by:  lshpkrlem1  34978  lshpkrlem2  34979  lshpkrlem3  34980  lshpkrcl  34984  dochfl1  37346
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