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Theorem lshpsmreu 32687
Description: Lemma for lshpkrex 32696. Show uniqueness of ring multiplier  k when a vector  X is broken down into components, one in a hyperplane and the other outside of it . TODO: do we need the cbvrexv 3022 for 
a to  c? (Contributed by NM, 4-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lshpsmreu.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lshpsmreu.a  |-  .+  =  ( +g  `  W )
lshpsmreu.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lshpsmreu.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
lshpsmreu.h  |-  H  =  (LSHyp `  W )
lshpsmreu.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lshpsmreu.u  |-  ( ph  ->  U  e.  H )
lshpsmreu.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
lshpsmreu.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
lshpsmreu.e  |-  ( ph  ->  ( U  .(+)  ( N `
 { Z }
) )  =  V )
lshpsmreu.d  |-  D  =  (Scalar `  W )
lshpsmreu.k  |-  K  =  ( Base `  D
)
lshpsmreu.t  |-  .x.  =  ( .s `  W )
Assertion
Ref Expression
lshpsmreu  |-  ( ph  ->  E! k  e.  K  E. y  e.  U  X  =  ( y  .+  ( k  .x.  Z
) ) )
Distinct variable groups:    y, k,  .+    k, K    .x. , k, y    U, k, y    k, X, y    k, Z, y
Allowed substitution hints:    ph( y, k)    D( y, k)    .(+) ( y, k)    H( y, k)    K( y)    N( y, k)    V( y, k)    W( y, k)

Proof of Theorem lshpsmreu
Dummy variables  a 
b  c  l  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lshpsmreu.x . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
2 lshpsmreu.e . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( U  .(+)  ( N `
 { Z }
) )  =  V )
31, 2eleqtrrd 2534 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  ( U 
.(+)  ( N `  { Z } ) ) )
4 lshpsmreu.w . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
5 lveclmod 18341 . . . . . . . . . 10  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
64, 5syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
7 eqid 2453 . . . . . . . . . 10  |-  ( LSubSp `  W )  =  (
LSubSp `  W )
87lsssssubg 18193 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( LSubSp `  W )  C_  (SubGrp `  W ) )
96, 8syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( LSubSp `  W )  C_  (SubGrp `  W )
)
10 lshpsmreu.h . . . . . . . . 9  |-  H  =  (LSHyp `  W )
11 lshpsmreu.u . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U  e.  H )
127, 10, 6, 11lshplss 32559 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  ( LSubSp `  W ) )
139, 12sseldd 3435 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  e.  (SubGrp `  W ) )
14 lshpsmreu.z . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
15 lshpsmreu.v . . . . . . . . . 10  |-  V  =  ( Base `  W
)
16 lshpsmreu.n . . . . . . . . . 10  |-  N  =  ( LSpan `  W )
1715, 7, 16lspsncl 18212 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Z  e.  V )  ->  ( N `  { Z } )  e.  (
LSubSp `  W ) )
186, 14, 17syl2anc 667 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N `  { Z } )  e.  (
LSubSp `  W ) )
199, 18sseldd 3435 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  { Z } )  e.  (SubGrp `  W ) )
20 lshpsmreu.a . . . . . . . 8  |-  .+  =  ( +g  `  W )
21 lshpsmreu.p . . . . . . . 8  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
2220, 21lsmelval 17313 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  (SubGrp `  W )  /\  ( N `  { Z } )  e.  (SubGrp `  W ) )  -> 
( X  e.  ( U  .(+)  ( N `  { Z } ) )  <->  E. c  e.  U  E. z  e.  ( N `  { Z } ) X  =  ( c  .+  z
) ) )
2313, 19, 22syl2anc 667 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ( U  .(+)  ( N `  { Z } ) )  <->  E. c  e.  U  E. z  e.  ( N `  { Z } ) X  =  ( c  .+  z
) ) )
243, 23mpbid 214 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E. c  e.  U  E. z  e.  ( N `  { Z } ) X  =  ( c  .+  z
) )
25 df-rex 2745 . . . . . . 7  |-  ( E. z  e.  ( N `
 { Z }
) X  =  ( c  .+  z )  <->  E. z ( z  e.  ( N `  { Z } )  /\  X  =  ( c  .+  z ) ) )
26 lshpsmreu.d . . . . . . . . . . . . 13  |-  D  =  (Scalar `  W )
27 lshpsmreu.k . . . . . . . . . . . . 13  |-  K  =  ( Base `  D
)
28 lshpsmreu.t . . . . . . . . . . . . 13  |-  .x.  =  ( .s `  W )
2926, 27, 15, 28, 16lspsnel 18238 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Z  e.  V )  ->  (
z  e.  ( N `
 { Z }
)  <->  E. b  e.  K  z  =  ( b  .x.  Z ) ) )
306, 14, 29syl2anc 667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( N `  { Z } )  <->  E. b  e.  K  z  =  ( b  .x.  Z
) ) )
3130anbi1d 712 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  ( N `  { Z } )  /\  X  =  ( c  .+  z ) )  <->  ( E. b  e.  K  z  =  ( b  .x.  Z )  /\  X  =  ( c  .+  z ) ) ) )
32 r19.41v 2944 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. b  e.  K  ( z  =  ( b 
.x.  Z )  /\  X  =  ( c  .+  z ) )  <->  ( E. b  e.  K  z  =  ( b  .x.  Z )  /\  X  =  ( c  .+  z ) ) )
3331, 32syl6bbr 267 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  ( N `  { Z } )  /\  X  =  ( c  .+  z ) )  <->  E. b  e.  K  ( z  =  ( b  .x.  Z )  /\  X  =  ( c  .+  z ) ) ) )
3433exbidv 1770 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( E. z ( z  e.  ( N `
 { Z }
)  /\  X  =  ( c  .+  z
) )  <->  E. z E. b  e.  K  ( z  =  ( b  .x.  Z )  /\  X  =  ( c  .+  z ) ) ) )
35 rexcom4 3069 . . . . . . . . 9  |-  ( E. b  e.  K  E. z ( z  =  ( b  .x.  Z
)  /\  X  =  ( c  .+  z
) )  <->  E. z E. b  e.  K  ( z  =  ( b  .x.  Z )  /\  X  =  ( c  .+  z ) ) )
36 ovex 6323 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b 
.x.  Z )  e. 
_V
37 oveq2 6303 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( b  .x.  Z )  ->  (
c  .+  z )  =  ( c  .+  ( b  .x.  Z
) ) )
3837eqeq2d 2463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( b  .x.  Z )  ->  ( X  =  ( c  .+  z )  <->  X  =  ( c  .+  (
b  .x.  Z )
) ) )
3936, 38ceqsexv 3086 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. z ( z  =  ( b  .x.  Z
)  /\  X  =  ( c  .+  z
) )  <->  X  =  ( c  .+  (
b  .x.  Z )
) )
4039rexbii 2891 . . . . . . . . 9  |-  ( E. b  e.  K  E. z ( z  =  ( b  .x.  Z
)  /\  X  =  ( c  .+  z
) )  <->  E. b  e.  K  X  =  ( c  .+  (
b  .x.  Z )
) )
4135, 40bitr3i 255 . . . . . . . 8  |-  ( E. z E. b  e.  K  ( z  =  ( b  .x.  Z
)  /\  X  =  ( c  .+  z
) )  <->  E. b  e.  K  X  =  ( c  .+  (
b  .x.  Z )
) )
4234, 41syl6bb 265 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E. z ( z  e.  ( N `
 { Z }
)  /\  X  =  ( c  .+  z
) )  <->  E. b  e.  K  X  =  ( c  .+  (
b  .x.  Z )
) ) )
4325, 42syl5bb 261 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. z  e.  ( N `  { Z } ) X  =  ( c  .+  z
)  <->  E. b  e.  K  X  =  ( c  .+  ( b  .x.  Z
) ) ) )
4443rexbidv 2903 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. c  e.  U  E. z  e.  ( N `  { Z } ) X  =  ( c  .+  z
)  <->  E. c  e.  U  E. b  e.  K  X  =  ( c  .+  ( b  .x.  Z
) ) ) )
4524, 44mpbid 214 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. c  e.  U  E. b  e.  K  X  =  ( c  .+  ( b  .x.  Z
) ) )
46 rexcom 2954 . . . 4  |-  ( E. c  e.  U  E. b  e.  K  X  =  ( c  .+  ( b  .x.  Z
) )  <->  E. b  e.  K  E. c  e.  U  X  =  ( c  .+  (
b  .x.  Z )
) )
4745, 46sylib 200 . . 3  |-  ( ph  ->  E. b  e.  K  E. c  e.  U  X  =  ( c  .+  ( b  .x.  Z
) ) )
48 oveq1 6302 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  a  ->  (
c  .+  ( b  .x.  Z ) )  =  ( a  .+  (
b  .x.  Z )
) )
4948eqeq2d 2463 . . . . . . 7  |-  ( c  =  a  ->  ( X  =  ( c  .+  ( b  .x.  Z
) )  <->  X  =  ( a  .+  (
b  .x.  Z )
) ) )
5049cbvrexv 3022 . . . . . 6  |-  ( E. c  e.  U  X  =  ( c  .+  ( b  .x.  Z
) )  <->  E. a  e.  U  X  =  ( a  .+  (
b  .x.  Z )
) )
51 eqid 2453 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0g
`  W )  =  ( 0g `  W
)
52 eqid 2453 . . . . . . . . . 10  |-  (Cntz `  W )  =  (Cntz `  W )
53 simp11l 1120 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  K  /\  l  e.  K
) )  /\  a  e.  U  /\  X  =  ( a  .+  (
b  .x.  Z )
) )  /\  c  e.  U  /\  X  =  ( c  .+  (
l  .x.  Z )
) )  ->  ph )
5453, 13syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  K  /\  l  e.  K
) )  /\  a  e.  U  /\  X  =  ( a  .+  (
b  .x.  Z )
) )  /\  c  e.  U  /\  X  =  ( c  .+  (
l  .x.  Z )
) )  ->  U  e.  (SubGrp `  W )
)
5553, 19syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  K  /\  l  e.  K
) )  /\  a  e.  U  /\  X  =  ( a  .+  (
b  .x.  Z )
) )  /\  c  e.  U  /\  X  =  ( c  .+  (
l  .x.  Z )
) )  ->  ( N `  { Z } )  e.  (SubGrp `  W ) )
5615, 51, 16, 21, 10, 4, 11, 14, 2lshpdisj 32565 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( U  i^i  ( N `  { Z } ) )  =  { ( 0g `  W ) } )
5753, 56syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  K  /\  l  e.  K
) )  /\  a  e.  U  /\  X  =  ( a  .+  (
b  .x.  Z )
) )  /\  c  e.  U  /\  X  =  ( c  .+  (
l  .x.  Z )
) )  ->  ( U  i^i  ( N `  { Z } ) )  =  { ( 0g
`  W ) } )
5853, 4syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  K  /\  l  e.  K
) )  /\  a  e.  U  /\  X  =  ( a  .+  (
b  .x.  Z )
) )  /\  c  e.  U  /\  X  =  ( c  .+  (
l  .x.  Z )
) )  ->  W  e.  LVec )
5958, 5syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  K  /\  l  e.  K
) )  /\  a  e.  U  /\  X  =  ( a  .+  (
b  .x.  Z )
) )  /\  c  e.  U  /\  X  =  ( c  .+  (
l  .x.  Z )
) )  ->  W  e.  LMod )
60 lmodabl 18147 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Abel )
6159, 60syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  K  /\  l  e.  K
) )  /\  a  e.  U  /\  X  =  ( a  .+  (
b  .x.  Z )
) )  /\  c  e.  U  /\  X  =  ( c  .+  (
l  .x.  Z )
) )  ->  W  e.  Abel )
6252, 61, 54, 55ablcntzd 17507 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  K  /\  l  e.  K
) )  /\  a  e.  U  /\  X  =  ( a  .+  (
b  .x.  Z )
) )  /\  c  e.  U  /\  X  =  ( c  .+  (
l  .x.  Z )
) )  ->  U  C_  ( (Cntz `  W
) `  ( N `  { Z } ) ) )
63 simp12 1040 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  K  /\  l  e.  K
) )  /\  a  e.  U  /\  X  =  ( a  .+  (
b  .x.  Z )
) )  /\  c  e.  U  /\  X  =  ( c  .+  (
l  .x.  Z )
) )  ->  a  e.  U )
64 simp2 1010 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  K  /\  l  e.  K
) )  /\  a  e.  U  /\  X  =  ( a  .+  (
b  .x.  Z )
) )  /\  c  e.  U  /\  X  =  ( c  .+  (
l  .x.  Z )
) )  ->  c  e.  U )
65 simp1rl 1074 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  e.  K  /\  l  e.  K )
)  /\  a  e.  U  /\  X  =  ( a  .+  ( b 
.x.  Z ) ) )  ->  b  e.  K )
66653ad2ant1 1030 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  K  /\  l  e.  K
) )  /\  a  e.  U  /\  X  =  ( a  .+  (
b  .x.  Z )
) )  /\  c  e.  U  /\  X  =  ( c  .+  (
l  .x.  Z )
) )  ->  b  e.  K )
6753, 14syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  K  /\  l  e.  K
) )  /\  a  e.  U  /\  X  =  ( a  .+  (
b  .x.  Z )
) )  /\  c  e.  U  /\  X  =  ( c  .+  (
l  .x.  Z )
) )  ->  Z  e.  V )
6815, 28, 26, 27, 16, 59, 66, 67lspsneli 18236 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  K  /\  l  e.  K
) )  /\  a  e.  U  /\  X  =  ( a  .+  (
b  .x.  Z )
) )  /\  c  e.  U  /\  X  =  ( c  .+  (
l  .x.  Z )
) )  ->  (
b  .x.  Z )  e.  ( N `  { Z } ) )
69 simp1rr 1075 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  e.  K  /\  l  e.  K )
)  /\  a  e.  U  /\  X  =  ( a  .+  ( b 
.x.  Z ) ) )  ->  l  e.  K )
70693ad2ant1 1030 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  K  /\  l  e.  K
) )  /\  a  e.  U  /\  X  =  ( a  .+  (
b  .x.  Z )
) )  /\  c  e.  U  /\  X  =  ( c  .+  (
l  .x.  Z )
) )  ->  l  e.  K )
7115, 28, 26, 27, 16, 59, 70, 67lspsneli 18236 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  K  /\  l  e.  K
) )  /\  a  e.  U  /\  X  =  ( a  .+  (
b  .x.  Z )
) )  /\  c  e.  U  /\  X  =  ( c  .+  (
l  .x.  Z )
) )  ->  (
l  .x.  Z )  e.  ( N `  { Z } ) )
72 simp13 1041 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  K  /\  l  e.  K
) )  /\  a  e.  U  /\  X  =  ( a  .+  (
b  .x.  Z )
) )  /\  c  e.  U  /\  X  =  ( c  .+  (
l  .x.  Z )
) )  ->  X  =  ( a  .+  ( b  .x.  Z
) ) )
73 simp3 1011 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  K  /\  l  e.  K
) )  /\  a  e.  U  /\  X  =  ( a  .+  (
b  .x.  Z )
) )  /\  c  e.  U  /\  X  =  ( c  .+  (
l  .x.  Z )
) )  ->  X  =  ( c  .+  ( l  .x.  Z
) ) )
7472, 73eqtr3d 2489 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  K  /\  l  e.  K
) )  /\  a  e.  U  /\  X  =  ( a  .+  (
b  .x.  Z )
) )  /\  c  e.  U  /\  X  =  ( c  .+  (
l  .x.  Z )
) )  ->  (
a  .+  ( b  .x.  Z ) )  =  ( c  .+  (
l  .x.  Z )
) )
7520, 51, 52, 54, 55, 57, 62, 63, 64, 68, 71, 74subgdisj2 17354 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  K  /\  l  e.  K
) )  /\  a  e.  U  /\  X  =  ( a  .+  (
b  .x.  Z )
) )  /\  c  e.  U  /\  X  =  ( c  .+  (
l  .x.  Z )
) )  ->  (
b  .x.  Z )  =  ( l  .x.  Z ) )
7653, 11syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  K  /\  l  e.  K
) )  /\  a  e.  U  /\  X  =  ( a  .+  (
b  .x.  Z )
) )  /\  c  e.  U  /\  X  =  ( c  .+  (
l  .x.  Z )
) )  ->  U  e.  H )
7753, 2syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  K  /\  l  e.  K
) )  /\  a  e.  U  /\  X  =  ( a  .+  (
b  .x.  Z )
) )  /\  c  e.  U  /\  X  =  ( c  .+  (
l  .x.  Z )
) )  ->  ( U  .(+)  ( N `  { Z } ) )  =  V )
7815, 16, 21, 10, 51, 59, 76, 67, 77lshpne0 32564 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  K  /\  l  e.  K
) )  /\  a  e.  U  /\  X  =  ( a  .+  (
b  .x.  Z )
) )  /\  c  e.  U  /\  X  =  ( c  .+  (
l  .x.  Z )
) )  ->  Z  =/=  ( 0g `  W
) )
7915, 28, 26, 27, 51, 58, 66, 70, 67, 78lvecvscan2 18347 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  K  /\  l  e.  K
) )  /\  a  e.  U  /\  X  =  ( a  .+  (
b  .x.  Z )
) )  /\  c  e.  U  /\  X  =  ( c  .+  (
l  .x.  Z )
) )  ->  (
( b  .x.  Z
)  =  ( l 
.x.  Z )  <->  b  =  l ) )
8075, 79mpbid 214 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  K  /\  l  e.  K
) )  /\  a  e.  U  /\  X  =  ( a  .+  (
b  .x.  Z )
) )  /\  c  e.  U  /\  X  =  ( c  .+  (
l  .x.  Z )
) )  ->  b  =  l )
8180rexlimdv3a 2883 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  e.  K  /\  l  e.  K )
)  /\  a  e.  U  /\  X  =  ( a  .+  ( b 
.x.  Z ) ) )  ->  ( E. c  e.  U  X  =  ( c  .+  ( l  .x.  Z
) )  ->  b  =  l ) )
8281rexlimdv3a 2883 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  K  /\  l  e.  K ) )  -> 
( E. a  e.  U  X  =  ( a  .+  ( b 
.x.  Z ) )  ->  ( E. c  e.  U  X  =  ( c  .+  (
l  .x.  Z )
)  ->  b  =  l ) ) )
8350, 82syl5bi 221 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  K  /\  l  e.  K ) )  -> 
( E. c  e.  U  X  =  ( c  .+  ( b 
.x.  Z ) )  ->  ( E. c  e.  U  X  =  ( c  .+  (
l  .x.  Z )
)  ->  b  =  l ) ) )
8483impd 433 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  K  /\  l  e.  K ) )  -> 
( ( E. c  e.  U  X  =  ( c  .+  (
b  .x.  Z )
)  /\  E. c  e.  U  X  =  ( c  .+  (
l  .x.  Z )
) )  ->  b  =  l ) )
8584ralrimivva 2811 . . 3  |-  ( ph  ->  A. b  e.  K  A. l  e.  K  ( ( E. c  e.  U  X  =  ( c  .+  (
b  .x.  Z )
)  /\  E. c  e.  U  X  =  ( c  .+  (
l  .x.  Z )
) )  ->  b  =  l ) )
86 oveq1 6302 . . . . . . 7  |-  ( b  =  l  ->  (
b  .x.  Z )  =  ( l  .x.  Z ) )
8786oveq2d 6311 . . . . . 6  |-  ( b  =  l  ->  (
c  .+  ( b  .x.  Z ) )  =  ( c  .+  (
l  .x.  Z )
) )
8887eqeq2d 2463 . . . . 5  |-  ( b  =  l  ->  ( X  =  ( c  .+  ( b  .x.  Z
) )  <->  X  =  ( c  .+  (
l  .x.  Z )
) ) )
8988rexbidv 2903 . . . 4  |-  ( b  =  l  ->  ( E. c  e.  U  X  =  ( c  .+  ( b  .x.  Z
) )  <->  E. c  e.  U  X  =  ( c  .+  (
l  .x.  Z )
) ) )
9089reu4 3234 . . 3  |-  ( E! b  e.  K  E. c  e.  U  X  =  ( c  .+  ( b  .x.  Z
) )  <->  ( E. b  e.  K  E. c  e.  U  X  =  ( c  .+  ( b  .x.  Z
) )  /\  A. b  e.  K  A. l  e.  K  (
( E. c  e.  U  X  =  ( c  .+  ( b 
.x.  Z ) )  /\  E. c  e.  U  X  =  ( c  .+  ( l 
.x.  Z ) ) )  ->  b  =  l ) ) )
9147, 85, 90sylanbrc 671 . 2  |-  ( ph  ->  E! b  e.  K  E. c  e.  U  X  =  ( c  .+  ( b  .x.  Z
) ) )
92 oveq1 6302 . . . . . . 7  |-  ( b  =  k  ->  (
b  .x.  Z )  =  ( k  .x.  Z ) )
9392oveq2d 6311 . . . . . 6  |-  ( b  =  k  ->  (
c  .+  ( b  .x.  Z ) )  =  ( c  .+  (
k  .x.  Z )
) )
9493eqeq2d 2463 . . . . 5  |-  ( b  =  k  ->  ( X  =  ( c  .+  ( b  .x.  Z
) )  <->  X  =  ( c  .+  (
k  .x.  Z )
) ) )
9594rexbidv 2903 . . . 4  |-  ( b  =  k  ->  ( E. c  e.  U  X  =  ( c  .+  ( b  .x.  Z
) )  <->  E. c  e.  U  X  =  ( c  .+  (
k  .x.  Z )
) ) )
9695cbvreuv 3023 . . 3  |-  ( E! b  e.  K  E. c  e.  U  X  =  ( c  .+  ( b  .x.  Z
) )  <->  E! k  e.  K  E. c  e.  U  X  =  ( c  .+  (
k  .x.  Z )
) )
97 oveq1 6302 . . . . . 6  |-  ( c  =  y  ->  (
c  .+  ( k  .x.  Z ) )  =  ( y  .+  (
k  .x.  Z )
) )
9897eqeq2d 2463 . . . . 5  |-  ( c  =  y  ->  ( X  =  ( c  .+  ( k  .x.  Z
) )  <->  X  =  ( y  .+  (
k  .x.  Z )
) ) )
9998cbvrexv 3022 . . . 4  |-  ( E. c  e.  U  X  =  ( c  .+  ( k  .x.  Z
) )  <->  E. y  e.  U  X  =  ( y  .+  (
k  .x.  Z )
) )
10099reubii 2979 . . 3  |-  ( E! k  e.  K  E. c  e.  U  X  =  ( c  .+  ( k  .x.  Z
) )  <->  E! k  e.  K  E. y  e.  U  X  =  ( y  .+  (
k  .x.  Z )
) )
10196, 100bitri 253 . 2  |-  ( E! b  e.  K  E. c  e.  U  X  =  ( c  .+  ( b  .x.  Z
) )  <->  E! k  e.  K  E. y  e.  U  X  =  ( y  .+  (
k  .x.  Z )
) )
10291, 101sylib 200 1  |-  ( ph  ->  E! k  e.  K  E. y  e.  U  X  =  ( y  .+  ( k  .x.  Z
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 986    = wceq 1446   E.wex 1665    e. wcel 1889   A.wral 2739   E.wrex 2740   E!wreu 2741    i^i cin 3405    C_ wss 3406   {csn 3970   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   Basecbs 15133   +g cplusg 15202  Scalarcsca 15205   .scvsca 15206   0gc0g 15350  SubGrpcsubg 16823  Cntzccntz 16981   LSSumclsm 17298   Abelcabl 17443   LModclmod 18103   LSubSpclss 18167   LSpanclspn 18206   LVecclvec 18337  LSHypclsh 32553
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-tpos 6978  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-ndx 15136  df-slot 15137  df-base 15138  df-sets 15139  df-ress 15140  df-plusg 15215  df-mulr 15216  df-0g 15352  df-mgm 16500  df-sgrp 16539  df-mnd 16549  df-submnd 16595  df-grp 16685  df-minusg 16686  df-sbg 16687  df-subg 16826  df-cntz 16983  df-lsm 17300  df-cmn 17444  df-abl 17445  df-mgp 17736  df-ur 17748  df-ring 17794  df-oppr 17863  df-dvdsr 17881  df-unit 17882  df-invr 17912  df-drng 17989  df-lmod 18105  df-lss 18168  df-lsp 18207  df-lvec 18338  df-lshyp 32555
This theorem is referenced by:  lshpkrlem1  32688  lshpkrlem2  32689  lshpkrlem3  32690  lshpkrcl  32694  dochfl1  35056
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