Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lshpkrlem5 Structured version   Unicode version

Theorem lshpkrlem5 34312
 Description: Lemma for lshpkrex 34316. Part of showing linearity of . (Contributed by NM, 16-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lshpkrlem.v
lshpkrlem.a
lshpkrlem.n
lshpkrlem.p
lshpkrlem.h LSHyp
lshpkrlem.w
lshpkrlem.u
lshpkrlem.z
lshpkrlem.x
lshpkrlem.e
lshpkrlem.d Scalar
lshpkrlem.k
lshpkrlem.t
lshpkrlem.o
lshpkrlem.g
Assertion
Ref Expression
lshpkrlem5
Distinct variable groups:   ,,,   ,,   ,   ,,,   ,,,   ,   ,,,   ,,,   ,,   ,,   ,   ,,   ,,   ,,,,,   ,,   ,,,,
Allowed substitution hints:   (,,,,,,,,)   (,,,,,,,,)   (,,,)   (,,,,,,,,)   (,,,)   (,,,)   (,,,,,,)   (,,,,,,,,)   (,,,,,)   (,,,,,,,,)   (,,,,,,,)   (,,,,,,,,)   (,,,)   (,,,,,,,)   (,,,)

Proof of Theorem lshpkrlem5
StepHypRef Expression
1 lshpkrlem.a . . 3
2 eqid 2467 . . 3
3 eqid 2467 . . 3 Cntz Cntz
4 simp11 1026 . . . . . . 7
5 lshpkrlem.w . . . . . . 7
64, 5syl 16 . . . . . 6
7 lveclmod 17623 . . . . . 6
86, 7syl 16 . . . . 5
9 eqid 2467 . . . . . 6
109lsssssubg 17475 . . . . 5 SubGrp
118, 10syl 16 . . . 4 SubGrp
12 lshpkrlem.h . . . . . 6 LSHyp
135, 7syl 16 . . . . . 6
14 lshpkrlem.u . . . . . 6
159, 12, 13, 14lshplss 34179 . . . . 5
164, 15syl 16 . . . 4
1711, 16sseldd 3510 . . 3 SubGrp
18 lshpkrlem.z . . . . . 6
194, 18syl 16 . . . . 5
20 lshpkrlem.v . . . . . 6
21 lshpkrlem.n . . . . . 6
2220, 9, 21lspsncl 17494 . . . . 5
238, 19, 22syl2anc 661 . . . 4
2411, 23sseldd 3510 . . 3 SubGrp
25 lshpkrlem.p . . . . 5
26 lshpkrlem.e . . . . 5
2720, 2, 21, 25, 12, 5, 14, 18, 26lshpdisj 34185 . . . 4
284, 27syl 16 . . 3
29 lmodabl 17428 . . . . 5
308, 29syl 16 . . . 4
313, 30, 17, 24ablcntzd 16736 . . 3 Cntz
32 simp23r 1118 . . 3
33 simp12 1027 . . . . 5
34 simp22 1030 . . . . 5
35 lshpkrlem.d . . . . . 6 Scalar
36 lshpkrlem.t . . . . . 6
37 lshpkrlem.k . . . . . 6
3835, 36, 37, 9lssvscl 17472 . . . . 5
398, 16, 33, 34, 38syl22anc 1229 . . . 4
40 simp23l 1117 . . . 4
411, 9lssvacl 17471 . . . 4
428, 16, 39, 40, 41syl22anc 1229 . . 3
43 simp13 1028 . . . . . . 7
4420, 35, 36, 37lmodvscl 17400 . . . . . . 7
458, 33, 43, 44syl3anc 1228 . . . . . 6
46 simp21 1029 . . . . . 6
4720, 1lmodvacl 17397 . . . . . 6
488, 45, 46, 47syl3anc 1228 . . . . 5
495adantr 465 . . . . . 6
5014adantr 465 . . . . . 6
5118adantr 465 . . . . . 6
52 simpr 461 . . . . . 6
5326adantr 465 . . . . . 6
54 lshpkrlem.o . . . . . 6
55 lshpkrlem.g . . . . . 6
5620, 1, 21, 25, 12, 49, 50, 51, 52, 53, 35, 37, 36, 54, 55lshpkrlem2 34309 . . . . 5
574, 48, 56syl2anc 661 . . . 4
5820, 36, 35, 37, 21, 8, 57, 19lspsneli 17518 . . 3
595adantr 465 . . . . . . . 8
6014adantr 465 . . . . . . . 8
6118adantr 465 . . . . . . . 8
62 simpr 461 . . . . . . . 8
6326adantr 465 . . . . . . . 8
6420, 1, 21, 25, 12, 59, 60, 61, 62, 63, 35, 37, 36, 54, 55lshpkrlem2 34309 . . . . . . 7
654, 43, 64syl2anc 661 . . . . . 6
66 eqid 2467 . . . . . . 7
6735, 37, 66lmodmcl 17395 . . . . . 6
688, 33, 65, 67syl3anc 1228 . . . . 5
695adantr 465 . . . . . . 7
7014adantr 465 . . . . . . 7
7118adantr 465 . . . . . . 7
72 simpr 461 . . . . . . 7
7326adantr 465 . . . . . . 7
7420, 1, 21, 25, 12, 69, 70, 71, 72, 73, 35, 37, 36, 54, 55lshpkrlem2 34309 . . . . . 6
754, 46, 74syl2anc 661 . . . . 5
76 eqid 2467 . . . . . 6
7735, 37, 76lmodacl 17394 . . . . 5
788, 68, 75, 77syl3anc 1228 . . . 4
7920, 36, 35, 37, 21, 8, 78, 19lspsneli 17518 . . 3
80 simp33 1034 . . . 4
81 simp1 996 . . . . 5
8220, 9lssel 17455 . . . . . 6
8316, 34, 82syl2anc 661 . . . . 5
8420, 9lssel 17455 . . . . . 6
8516, 40, 84syl2anc 661 . . . . 5
86 simp31 1032 . . . . 5
87 simp32 1033 . . . . 5
88 lshpkrlem.x . . . . . 6
8920, 1, 21, 25, 12, 5, 14, 18, 88, 26, 35, 37, 36, 54, 55lshpkrlem4 34311 . . . . 5
9081, 46, 83, 85, 86, 87, 89syl132anc 1246 . . . 4
9180, 90eqtr3d 2510 . . 3
921, 2, 3, 17, 24, 28, 31, 32, 42, 58, 79, 91subgdisj2 16583 . 2
9320, 21, 25, 12, 2, 13, 14, 18, 26lshpne0 34184 . . . 4
944, 93syl 16 . . 3
9520, 36, 35, 37, 2, 6, 57, 78, 19, 94lvecvscan2 17629 . 2
9692, 95mpbid 210 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   w3a 973   wceq 1379   wcel 1767   wne 2662  wrex 2818   cin 3480   wss 3481  csn 4033   cmpt 4511  cfv 5594  crio 6255  (class class class)co 6295  cbs 14507   cplusg 14572  cmulr 14573  Scalarcsca 14575  cvsca 14576  c0g 14712  SubGrpcsubg 16067  Cntzccntz 16225  clsm 16527  cabl 16672  clmod 17383  clss 17449  clspn 17488  clvec 17619  LSHypclsh 34173 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-tpos 6967  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-0g 14714  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-submnd 15840  df-grp 15929  df-minusg 15930  df-sbg 15931  df-subg 16070  df-cntz 16227  df-lsm 16529  df-cmn 16673  df-abl 16674  df-mgp 17014  df-ur 17026  df-ring 17072  df-oppr 17144  df-dvdsr 17162  df-unit 17163  df-invr 17193  df-drng 17269  df-lmod 17385  df-lss 17450  df-lsp 17489  df-lvec 17620  df-lshyp 34175 This theorem is referenced by:  lshpkrlem6  34313
 Copyright terms: Public domain W3C validator