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Theorem lshpkrlem5 32782
Description: Lemma for lshpkrex 32786. Part of showing linearity of  G. (Contributed by NM, 16-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lshpkrlem.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lshpkrlem.a  |-  .+  =  ( +g  `  W )
lshpkrlem.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lshpkrlem.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
lshpkrlem.h  |-  H  =  (LSHyp `  W )
lshpkrlem.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lshpkrlem.u  |-  ( ph  ->  U  e.  H )
lshpkrlem.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
lshpkrlem.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
lshpkrlem.e  |-  ( ph  ->  ( U  .(+)  ( N `
 { Z }
) )  =  V )
lshpkrlem.d  |-  D  =  (Scalar `  W )
lshpkrlem.k  |-  K  =  ( Base `  D
)
lshpkrlem.t  |-  .x.  =  ( .s `  W )
lshpkrlem.o  |-  .0.  =  ( 0g `  D )
lshpkrlem.g  |-  G  =  ( x  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  K  E. y  e.  U  x  =  ( y  .+  ( k  .x.  Z
) ) ) )
Assertion
Ref Expression
lshpkrlem5  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  U  /\  ( s  e.  U  /\  z  e.  U
) )  /\  (
u  =  ( r 
.+  ( ( G `
 u )  .x.  Z ) )  /\  v  =  ( s  .+  ( ( G `  v )  .x.  Z
) )  /\  (
( l  .x.  u
)  .+  v )  =  ( z  .+  ( ( G `  ( ( l  .x.  u )  .+  v
) )  .x.  Z
) ) ) )  ->  ( G `  ( ( l  .x.  u )  .+  v
) )  =  ( ( l ( .r
`  D ) ( G `  u ) ) ( +g  `  D
) ( G `  v ) ) )
Distinct variable groups:    x, k,
y,  .+    k, K, x    .0. , k    .x. , k, x, y    U, k, x, y    x, V    k, X, x, y   
k, Z, x, y   
z, l,  .+    G, l, z    K, l    U, l, z    X, l, z    Z, l, z, k, x, y    .x. , l, z    u, k, v, x, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z, v, u, k, s, r, l)    D( x, y, z, v, u, k, s, r, l)    .+ ( v, u, s, r)    .(+) (
x, y, z, v, u, k, s, r, l)    .x. ( v, u, s, r)    U( v, u, s, r)    G( x, y, v, u, k, s, r)    H( x, y, z, v, u, k, s, r, l)    K( y, z, v, u, s, r)    N( x, y, z, v, u, k, s, r, l)    V( y, z, v, u, k, s, r, l)    W( x, y, z, v, u, k, s, r, l)    X( v, u, s, r)    .0. ( x, y, z, v, u, s, r, l)    Z( v, u, s, r)

Proof of Theorem lshpkrlem5
StepHypRef Expression
1 lshpkrlem.a . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  W )
2 eqid 2443 . . 3  |-  ( 0g
`  W )  =  ( 0g `  W
)
3 eqid 2443 . . 3  |-  (Cntz `  W )  =  (Cntz `  W )
4 simp11 1018 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  U  /\  ( s  e.  U  /\  z  e.  U
) )  /\  (
u  =  ( r 
.+  ( ( G `
 u )  .x.  Z ) )  /\  v  =  ( s  .+  ( ( G `  v )  .x.  Z
) )  /\  (
( l  .x.  u
)  .+  v )  =  ( z  .+  ( ( G `  ( ( l  .x.  u )  .+  v
) )  .x.  Z
) ) ) )  ->  ph )
5 lshpkrlem.w . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
64, 5syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  U  /\  ( s  e.  U  /\  z  e.  U
) )  /\  (
u  =  ( r 
.+  ( ( G `
 u )  .x.  Z ) )  /\  v  =  ( s  .+  ( ( G `  v )  .x.  Z
) )  /\  (
( l  .x.  u
)  .+  v )  =  ( z  .+  ( ( G `  ( ( l  .x.  u )  .+  v
) )  .x.  Z
) ) ) )  ->  W  e.  LVec )
7 lveclmod 17206 . . . . . 6  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
86, 7syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  U  /\  ( s  e.  U  /\  z  e.  U
) )  /\  (
u  =  ( r 
.+  ( ( G `
 u )  .x.  Z ) )  /\  v  =  ( s  .+  ( ( G `  v )  .x.  Z
) )  /\  (
( l  .x.  u
)  .+  v )  =  ( z  .+  ( ( G `  ( ( l  .x.  u )  .+  v
) )  .x.  Z
) ) ) )  ->  W  e.  LMod )
9 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( LSubSp `  W )  =  (
LSubSp `  W )
109lsssssubg 17058 . . . . 5  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( LSubSp `  W )  C_  (SubGrp `  W ) )
118, 10syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  U  /\  ( s  e.  U  /\  z  e.  U
) )  /\  (
u  =  ( r 
.+  ( ( G `
 u )  .x.  Z ) )  /\  v  =  ( s  .+  ( ( G `  v )  .x.  Z
) )  /\  (
( l  .x.  u
)  .+  v )  =  ( z  .+  ( ( G `  ( ( l  .x.  u )  .+  v
) )  .x.  Z
) ) ) )  ->  ( LSubSp `  W
)  C_  (SubGrp `  W
) )
12 lshpkrlem.h . . . . . 6  |-  H  =  (LSHyp `  W )
135, 7syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
14 lshpkrlem.u . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  e.  H )
159, 12, 13, 14lshplss 32649 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  ( LSubSp `  W ) )
164, 15syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  U  /\  ( s  e.  U  /\  z  e.  U
) )  /\  (
u  =  ( r 
.+  ( ( G `
 u )  .x.  Z ) )  /\  v  =  ( s  .+  ( ( G `  v )  .x.  Z
) )  /\  (
( l  .x.  u
)  .+  v )  =  ( z  .+  ( ( G `  ( ( l  .x.  u )  .+  v
) )  .x.  Z
) ) ) )  ->  U  e.  (
LSubSp `  W ) )
1711, 16sseldd 3376 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  U  /\  ( s  e.  U  /\  z  e.  U
) )  /\  (
u  =  ( r 
.+  ( ( G `
 u )  .x.  Z ) )  /\  v  =  ( s  .+  ( ( G `  v )  .x.  Z
) )  /\  (
( l  .x.  u
)  .+  v )  =  ( z  .+  ( ( G `  ( ( l  .x.  u )  .+  v
) )  .x.  Z
) ) ) )  ->  U  e.  (SubGrp `  W ) )
18 lshpkrlem.z . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
194, 18syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  U  /\  ( s  e.  U  /\  z  e.  U
) )  /\  (
u  =  ( r 
.+  ( ( G `
 u )  .x.  Z ) )  /\  v  =  ( s  .+  ( ( G `  v )  .x.  Z
) )  /\  (
( l  .x.  u
)  .+  v )  =  ( z  .+  ( ( G `  ( ( l  .x.  u )  .+  v
) )  .x.  Z
) ) ) )  ->  Z  e.  V
)
20 lshpkrlem.v . . . . . 6  |-  V  =  ( Base `  W
)
21 lshpkrlem.n . . . . . 6  |-  N  =  ( LSpan `  W )
2220, 9, 21lspsncl 17077 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Z  e.  V )  ->  ( N `  { Z } )  e.  (
LSubSp `  W ) )
238, 19, 22syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  U  /\  ( s  e.  U  /\  z  e.  U
) )  /\  (
u  =  ( r 
.+  ( ( G `
 u )  .x.  Z ) )  /\  v  =  ( s  .+  ( ( G `  v )  .x.  Z
) )  /\  (
( l  .x.  u
)  .+  v )  =  ( z  .+  ( ( G `  ( ( l  .x.  u )  .+  v
) )  .x.  Z
) ) ) )  ->  ( N `  { Z } )  e.  ( LSubSp `  W )
)
2411, 23sseldd 3376 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  U  /\  ( s  e.  U  /\  z  e.  U
) )  /\  (
u  =  ( r 
.+  ( ( G `
 u )  .x.  Z ) )  /\  v  =  ( s  .+  ( ( G `  v )  .x.  Z
) )  /\  (
( l  .x.  u
)  .+  v )  =  ( z  .+  ( ( G `  ( ( l  .x.  u )  .+  v
) )  .x.  Z
) ) ) )  ->  ( N `  { Z } )  e.  (SubGrp `  W )
)
25 lshpkrlem.p . . . . 5  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
26 lshpkrlem.e . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( U  .(+)  ( N `
 { Z }
) )  =  V )
2720, 2, 21, 25, 12, 5, 14, 18, 26lshpdisj 32655 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( U  i^i  ( N `  { Z } ) )  =  { ( 0g `  W ) } )
284, 27syl 16 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  U  /\  ( s  e.  U  /\  z  e.  U
) )  /\  (
u  =  ( r 
.+  ( ( G `
 u )  .x.  Z ) )  /\  v  =  ( s  .+  ( ( G `  v )  .x.  Z
) )  /\  (
( l  .x.  u
)  .+  v )  =  ( z  .+  ( ( G `  ( ( l  .x.  u )  .+  v
) )  .x.  Z
) ) ) )  ->  ( U  i^i  ( N `  { Z } ) )  =  { ( 0g `  W ) } )
29 lmodabl 17011 . . . . 5  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Abel )
308, 29syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  U  /\  ( s  e.  U  /\  z  e.  U
) )  /\  (
u  =  ( r 
.+  ( ( G `
 u )  .x.  Z ) )  /\  v  =  ( s  .+  ( ( G `  v )  .x.  Z
) )  /\  (
( l  .x.  u
)  .+  v )  =  ( z  .+  ( ( G `  ( ( l  .x.  u )  .+  v
) )  .x.  Z
) ) ) )  ->  W  e.  Abel )
313, 30, 17, 24ablcntzd 16358 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  U  /\  ( s  e.  U  /\  z  e.  U
) )  /\  (
u  =  ( r 
.+  ( ( G `
 u )  .x.  Z ) )  /\  v  =  ( s  .+  ( ( G `  v )  .x.  Z
) )  /\  (
( l  .x.  u
)  .+  v )  =  ( z  .+  ( ( G `  ( ( l  .x.  u )  .+  v
) )  .x.  Z
) ) ) )  ->  U  C_  (
(Cntz `  W ) `  ( N `  { Z } ) ) )
32 simp23r 1110 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  U  /\  ( s  e.  U  /\  z  e.  U
) )  /\  (
u  =  ( r 
.+  ( ( G `
 u )  .x.  Z ) )  /\  v  =  ( s  .+  ( ( G `  v )  .x.  Z
) )  /\  (
( l  .x.  u
)  .+  v )  =  ( z  .+  ( ( G `  ( ( l  .x.  u )  .+  v
) )  .x.  Z
) ) ) )  ->  z  e.  U
)
33 simp12 1019 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  U  /\  ( s  e.  U  /\  z  e.  U
) )  /\  (
u  =  ( r 
.+  ( ( G `
 u )  .x.  Z ) )  /\  v  =  ( s  .+  ( ( G `  v )  .x.  Z
) )  /\  (
( l  .x.  u
)  .+  v )  =  ( z  .+  ( ( G `  ( ( l  .x.  u )  .+  v
) )  .x.  Z
) ) ) )  ->  l  e.  K
)
34 simp22 1022 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  U  /\  ( s  e.  U  /\  z  e.  U
) )  /\  (
u  =  ( r 
.+  ( ( G `
 u )  .x.  Z ) )  /\  v  =  ( s  .+  ( ( G `  v )  .x.  Z
) )  /\  (
( l  .x.  u
)  .+  v )  =  ( z  .+  ( ( G `  ( ( l  .x.  u )  .+  v
) )  .x.  Z
) ) ) )  ->  r  e.  U
)
35 lshpkrlem.d . . . . . 6  |-  D  =  (Scalar `  W )
36 lshpkrlem.t . . . . . 6  |-  .x.  =  ( .s `  W )
37 lshpkrlem.k . . . . . 6  |-  K  =  ( Base `  D
)
3835, 36, 37, 9lssvscl 17055 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  ( LSubSp `  W ) )  /\  ( l  e.  K  /\  r  e.  U
) )  ->  (
l  .x.  r )  e.  U )
398, 16, 33, 34, 38syl22anc 1219 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  U  /\  ( s  e.  U  /\  z  e.  U
) )  /\  (
u  =  ( r 
.+  ( ( G `
 u )  .x.  Z ) )  /\  v  =  ( s  .+  ( ( G `  v )  .x.  Z
) )  /\  (
( l  .x.  u
)  .+  v )  =  ( z  .+  ( ( G `  ( ( l  .x.  u )  .+  v
) )  .x.  Z
) ) ) )  ->  ( l  .x.  r )  e.  U
)
40 simp23l 1109 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  U  /\  ( s  e.  U  /\  z  e.  U
) )  /\  (
u  =  ( r 
.+  ( ( G `
 u )  .x.  Z ) )  /\  v  =  ( s  .+  ( ( G `  v )  .x.  Z
) )  /\  (
( l  .x.  u
)  .+  v )  =  ( z  .+  ( ( G `  ( ( l  .x.  u )  .+  v
) )  .x.  Z
) ) ) )  ->  s  e.  U
)
411, 9lssvacl 17054 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  ( LSubSp `  W ) )  /\  ( ( l  .x.  r )  e.  U  /\  s  e.  U
) )  ->  (
( l  .x.  r
)  .+  s )  e.  U )
428, 16, 39, 40, 41syl22anc 1219 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  U  /\  ( s  e.  U  /\  z  e.  U
) )  /\  (
u  =  ( r 
.+  ( ( G `
 u )  .x.  Z ) )  /\  v  =  ( s  .+  ( ( G `  v )  .x.  Z
) )  /\  (
( l  .x.  u
)  .+  v )  =  ( z  .+  ( ( G `  ( ( l  .x.  u )  .+  v
) )  .x.  Z
) ) ) )  ->  ( ( l 
.x.  r )  .+  s )  e.  U
)
43 simp13 1020 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  U  /\  ( s  e.  U  /\  z  e.  U
) )  /\  (
u  =  ( r 
.+  ( ( G `
 u )  .x.  Z ) )  /\  v  =  ( s  .+  ( ( G `  v )  .x.  Z
) )  /\  (
( l  .x.  u
)  .+  v )  =  ( z  .+  ( ( G `  ( ( l  .x.  u )  .+  v
) )  .x.  Z
) ) ) )  ->  u  e.  V
)
4420, 35, 36, 37lmodvscl 16984 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  ->  (
l  .x.  u )  e.  V )
458, 33, 43, 44syl3anc 1218 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  U  /\  ( s  e.  U  /\  z  e.  U
) )  /\  (
u  =  ( r 
.+  ( ( G `
 u )  .x.  Z ) )  /\  v  =  ( s  .+  ( ( G `  v )  .x.  Z
) )  /\  (
( l  .x.  u
)  .+  v )  =  ( z  .+  ( ( G `  ( ( l  .x.  u )  .+  v
) )  .x.  Z
) ) ) )  ->  ( l  .x.  u )  e.  V
)
46 simp21 1021 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  U  /\  ( s  e.  U  /\  z  e.  U
) )  /\  (
u  =  ( r 
.+  ( ( G `
 u )  .x.  Z ) )  /\  v  =  ( s  .+  ( ( G `  v )  .x.  Z
) )  /\  (
( l  .x.  u
)  .+  v )  =  ( z  .+  ( ( G `  ( ( l  .x.  u )  .+  v
) )  .x.  Z
) ) ) )  ->  v  e.  V
)
4720, 1lmodvacl 16981 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
l  .x.  u )  e.  V  /\  v  e.  V )  ->  (
( l  .x.  u
)  .+  v )  e.  V )
488, 45, 46, 47syl3anc 1218 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  U  /\  ( s  e.  U  /\  z  e.  U
) )  /\  (
u  =  ( r 
.+  ( ( G `
 u )  .x.  Z ) )  /\  v  =  ( s  .+  ( ( G `  v )  .x.  Z
) )  /\  (
( l  .x.  u
)  .+  v )  =  ( z  .+  ( ( G `  ( ( l  .x.  u )  .+  v
) )  .x.  Z
) ) ) )  ->  ( ( l 
.x.  u )  .+  v )  e.  V
)
495adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
l  .x.  u )  .+  v )  e.  V
)  ->  W  e.  LVec )
5014adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
l  .x.  u )  .+  v )  e.  V
)  ->  U  e.  H )
5118adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
l  .x.  u )  .+  v )  e.  V
)  ->  Z  e.  V )
52 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
l  .x.  u )  .+  v )  e.  V
)  ->  ( (
l  .x.  u )  .+  v )  e.  V
)
5326adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
l  .x.  u )  .+  v )  e.  V
)  ->  ( U  .(+) 
( N `  { Z } ) )  =  V )
54 lshpkrlem.o . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  D )
55 lshpkrlem.g . . . . . 6  |-  G  =  ( x  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  K  E. y  e.  U  x  =  ( y  .+  ( k  .x.  Z
) ) ) )
5620, 1, 21, 25, 12, 49, 50, 51, 52, 53, 35, 37, 36, 54, 55lshpkrlem2 32779 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
l  .x.  u )  .+  v )  e.  V
)  ->  ( G `  ( ( l  .x.  u )  .+  v
) )  e.  K
)
574, 48, 56syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  U  /\  ( s  e.  U  /\  z  e.  U
) )  /\  (
u  =  ( r 
.+  ( ( G `
 u )  .x.  Z ) )  /\  v  =  ( s  .+  ( ( G `  v )  .x.  Z
) )  /\  (
( l  .x.  u
)  .+  v )  =  ( z  .+  ( ( G `  ( ( l  .x.  u )  .+  v
) )  .x.  Z
) ) ) )  ->  ( G `  ( ( l  .x.  u )  .+  v
) )  e.  K
)
5820, 36, 35, 37, 21, 8, 57, 19lspsneli 17101 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  U  /\  ( s  e.  U  /\  z  e.  U
) )  /\  (
u  =  ( r 
.+  ( ( G `
 u )  .x.  Z ) )  /\  v  =  ( s  .+  ( ( G `  v )  .x.  Z
) )  /\  (
( l  .x.  u
)  .+  v )  =  ( z  .+  ( ( G `  ( ( l  .x.  u )  .+  v
) )  .x.  Z
) ) ) )  ->  ( ( G `
 ( ( l 
.x.  u )  .+  v ) )  .x.  Z )  e.  ( N `  { Z } ) )
595adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  u  e.  V )  ->  W  e.  LVec )
6014adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  u  e.  V )  ->  U  e.  H )
6118adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  u  e.  V )  ->  Z  e.  V )
62 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  u  e.  V )  ->  u  e.  V )
6326adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  u  e.  V )  ->  ( U  .(+)  ( N `  { Z } ) )  =  V )
6420, 1, 21, 25, 12, 59, 60, 61, 62, 63, 35, 37, 36, 54, 55lshpkrlem2 32779 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  u  e.  V )  ->  ( G `  u )  e.  K )
654, 43, 64syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  U  /\  ( s  e.  U  /\  z  e.  U
) )  /\  (
u  =  ( r 
.+  ( ( G `
 u )  .x.  Z ) )  /\  v  =  ( s  .+  ( ( G `  v )  .x.  Z
) )  /\  (
( l  .x.  u
)  .+  v )  =  ( z  .+  ( ( G `  ( ( l  .x.  u )  .+  v
) )  .x.  Z
) ) ) )  ->  ( G `  u )  e.  K
)
66 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( .r
`  D )  =  ( .r `  D
)
6735, 37, 66lmodmcl 16979 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  l  e.  K  /\  ( G `  u )  e.  K )  ->  (
l ( .r `  D ) ( G `
 u ) )  e.  K )
688, 33, 65, 67syl3anc 1218 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  U  /\  ( s  e.  U  /\  z  e.  U
) )  /\  (
u  =  ( r 
.+  ( ( G `
 u )  .x.  Z ) )  /\  v  =  ( s  .+  ( ( G `  v )  .x.  Z
) )  /\  (
( l  .x.  u
)  .+  v )  =  ( z  .+  ( ( G `  ( ( l  .x.  u )  .+  v
) )  .x.  Z
) ) ) )  ->  ( l ( .r `  D ) ( G `  u
) )  e.  K
)
695adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V )  ->  W  e.  LVec )
7014adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V )  ->  U  e.  H )
7118adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V )  ->  Z  e.  V )
72 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V )  ->  v  e.  V )
7326adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V )  ->  ( U  .(+)  ( N `  { Z } ) )  =  V )
7420, 1, 21, 25, 12, 69, 70, 71, 72, 73, 35, 37, 36, 54, 55lshpkrlem2 32779 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V )  ->  ( G `  v )  e.  K )
754, 46, 74syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  U  /\  ( s  e.  U  /\  z  e.  U
) )  /\  (
u  =  ( r 
.+  ( ( G `
 u )  .x.  Z ) )  /\  v  =  ( s  .+  ( ( G `  v )  .x.  Z
) )  /\  (
( l  .x.  u
)  .+  v )  =  ( z  .+  ( ( G `  ( ( l  .x.  u )  .+  v
) )  .x.  Z
) ) ) )  ->  ( G `  v )  e.  K
)
76 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( +g  `  D )  =  ( +g  `  D )
7735, 37, 76lmodacl 16978 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
l ( .r `  D ) ( G `
 u ) )  e.  K  /\  ( G `  v )  e.  K )  ->  (
( l ( .r
`  D ) ( G `  u ) ) ( +g  `  D
) ( G `  v ) )  e.  K )
788, 68, 75, 77syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  U  /\  ( s  e.  U  /\  z  e.  U
) )  /\  (
u  =  ( r 
.+  ( ( G `
 u )  .x.  Z ) )  /\  v  =  ( s  .+  ( ( G `  v )  .x.  Z
) )  /\  (
( l  .x.  u
)  .+  v )  =  ( z  .+  ( ( G `  ( ( l  .x.  u )  .+  v
) )  .x.  Z
) ) ) )  ->  ( ( l ( .r `  D
) ( G `  u ) ) ( +g  `  D ) ( G `  v
) )  e.  K
)
7920, 36, 35, 37, 21, 8, 78, 19lspsneli 17101 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  U  /\  ( s  e.  U  /\  z  e.  U
) )  /\  (
u  =  ( r 
.+  ( ( G `
 u )  .x.  Z ) )  /\  v  =  ( s  .+  ( ( G `  v )  .x.  Z
) )  /\  (
( l  .x.  u
)  .+  v )  =  ( z  .+  ( ( G `  ( ( l  .x.  u )  .+  v
) )  .x.  Z
) ) ) )  ->  ( ( ( l ( .r `  D ) ( G `
 u ) ) ( +g  `  D
) ( G `  v ) )  .x.  Z )  e.  ( N `  { Z } ) )
80 simp33 1026 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  U  /\  ( s  e.  U  /\  z  e.  U
) )  /\  (
u  =  ( r 
.+  ( ( G `
 u )  .x.  Z ) )  /\  v  =  ( s  .+  ( ( G `  v )  .x.  Z
) )  /\  (
( l  .x.  u
)  .+  v )  =  ( z  .+  ( ( G `  ( ( l  .x.  u )  .+  v
) )  .x.  Z
) ) ) )  ->  ( ( l 
.x.  u )  .+  v )  =  ( z  .+  ( ( G `  ( ( l  .x.  u ) 
.+  v ) ) 
.x.  Z ) ) )
81 simp1 988 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  U  /\  ( s  e.  U  /\  z  e.  U
) )  /\  (
u  =  ( r 
.+  ( ( G `
 u )  .x.  Z ) )  /\  v  =  ( s  .+  ( ( G `  v )  .x.  Z
) )  /\  (
( l  .x.  u
)  .+  v )  =  ( z  .+  ( ( G `  ( ( l  .x.  u )  .+  v
) )  .x.  Z
) ) ) )  ->  ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )
)
8220, 9lssel 17038 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  ( LSubSp `  W )  /\  r  e.  U )  ->  r  e.  V )
8316, 34, 82syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  U  /\  ( s  e.  U  /\  z  e.  U
) )  /\  (
u  =  ( r 
.+  ( ( G `
 u )  .x.  Z ) )  /\  v  =  ( s  .+  ( ( G `  v )  .x.  Z
) )  /\  (
( l  .x.  u
)  .+  v )  =  ( z  .+  ( ( G `  ( ( l  .x.  u )  .+  v
) )  .x.  Z
) ) ) )  ->  r  e.  V
)
8420, 9lssel 17038 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  ( LSubSp `  W )  /\  s  e.  U )  ->  s  e.  V )
8516, 40, 84syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  U  /\  ( s  e.  U  /\  z  e.  U
) )  /\  (
u  =  ( r 
.+  ( ( G `
 u )  .x.  Z ) )  /\  v  =  ( s  .+  ( ( G `  v )  .x.  Z
) )  /\  (
( l  .x.  u
)  .+  v )  =  ( z  .+  ( ( G `  ( ( l  .x.  u )  .+  v
) )  .x.  Z
) ) ) )  ->  s  e.  V
)
86 simp31 1024 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  U  /\  ( s  e.  U  /\  z  e.  U
) )  /\  (
u  =  ( r 
.+  ( ( G `
 u )  .x.  Z ) )  /\  v  =  ( s  .+  ( ( G `  v )  .x.  Z
) )  /\  (
( l  .x.  u
)  .+  v )  =  ( z  .+  ( ( G `  ( ( l  .x.  u )  .+  v
) )  .x.  Z
) ) ) )  ->  u  =  ( r  .+  ( ( G `  u ) 
.x.  Z ) ) )
87 simp32 1025 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  U  /\  ( s  e.  U  /\  z  e.  U
) )  /\  (
u  =  ( r 
.+  ( ( G `
 u )  .x.  Z ) )  /\  v  =  ( s  .+  ( ( G `  v )  .x.  Z
) )  /\  (
( l  .x.  u
)  .+  v )  =  ( z  .+  ( ( G `  ( ( l  .x.  u )  .+  v
) )  .x.  Z
) ) ) )  ->  v  =  ( s  .+  ( ( G `  v ) 
.x.  Z ) ) )
88 lshpkrlem.x . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
8920, 1, 21, 25, 12, 5, 14, 18, 88, 26, 35, 37, 36, 54, 55lshpkrlem4 32781 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  V  /\  s  e.  V )  /\  ( u  =  ( r  .+  ( ( G `  u ) 
.x.  Z ) )  /\  v  =  ( s  .+  ( ( G `  v ) 
.x.  Z ) ) ) )  ->  (
( l  .x.  u
)  .+  v )  =  ( ( ( l  .x.  r ) 
.+  s )  .+  ( ( ( l ( .r `  D
) ( G `  u ) ) ( +g  `  D ) ( G `  v
) )  .x.  Z
) ) )
9081, 46, 83, 85, 86, 87, 89syl132anc 1236 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  U  /\  ( s  e.  U  /\  z  e.  U
) )  /\  (
u  =  ( r 
.+  ( ( G `
 u )  .x.  Z ) )  /\  v  =  ( s  .+  ( ( G `  v )  .x.  Z
) )  /\  (
( l  .x.  u
)  .+  v )  =  ( z  .+  ( ( G `  ( ( l  .x.  u )  .+  v
) )  .x.  Z
) ) ) )  ->  ( ( l 
.x.  u )  .+  v )  =  ( ( ( l  .x.  r )  .+  s
)  .+  ( (
( l ( .r
`  D ) ( G `  u ) ) ( +g  `  D
) ( G `  v ) )  .x.  Z ) ) )
9180, 90eqtr3d 2477 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  U  /\  ( s  e.  U  /\  z  e.  U
) )  /\  (
u  =  ( r 
.+  ( ( G `
 u )  .x.  Z ) )  /\  v  =  ( s  .+  ( ( G `  v )  .x.  Z
) )  /\  (
( l  .x.  u
)  .+  v )  =  ( z  .+  ( ( G `  ( ( l  .x.  u )  .+  v
) )  .x.  Z
) ) ) )  ->  ( z  .+  ( ( G `  ( ( l  .x.  u )  .+  v
) )  .x.  Z
) )  =  ( ( ( l  .x.  r )  .+  s
)  .+  ( (
( l ( .r
`  D ) ( G `  u ) ) ( +g  `  D
) ( G `  v ) )  .x.  Z ) ) )
921, 2, 3, 17, 24, 28, 31, 32, 42, 58, 79, 91subgdisj2 16208 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  U  /\  ( s  e.  U  /\  z  e.  U
) )  /\  (
u  =  ( r 
.+  ( ( G `
 u )  .x.  Z ) )  /\  v  =  ( s  .+  ( ( G `  v )  .x.  Z
) )  /\  (
( l  .x.  u
)  .+  v )  =  ( z  .+  ( ( G `  ( ( l  .x.  u )  .+  v
) )  .x.  Z
) ) ) )  ->  ( ( G `
 ( ( l 
.x.  u )  .+  v ) )  .x.  Z )  =  ( ( ( l ( .r `  D ) ( G `  u
) ) ( +g  `  D ) ( G `
 v ) ) 
.x.  Z ) )
9320, 21, 25, 12, 2, 13, 14, 18, 26lshpne0 32654 . . . 4  |-  ( ph  ->  Z  =/=  ( 0g
`  W ) )
944, 93syl 16 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  U  /\  ( s  e.  U  /\  z  e.  U
) )  /\  (
u  =  ( r 
.+  ( ( G `
 u )  .x.  Z ) )  /\  v  =  ( s  .+  ( ( G `  v )  .x.  Z
) )  /\  (
( l  .x.  u
)  .+  v )  =  ( z  .+  ( ( G `  ( ( l  .x.  u )  .+  v
) )  .x.  Z
) ) ) )  ->  Z  =/=  ( 0g `  W ) )
9520, 36, 35, 37, 2, 6, 57, 78, 19, 94lvecvscan2 17212 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  U  /\  ( s  e.  U  /\  z  e.  U
) )  /\  (
u  =  ( r 
.+  ( ( G `
 u )  .x.  Z ) )  /\  v  =  ( s  .+  ( ( G `  v )  .x.  Z
) )  /\  (
( l  .x.  u
)  .+  v )  =  ( z  .+  ( ( G `  ( ( l  .x.  u )  .+  v
) )  .x.  Z
) ) ) )  ->  ( ( ( G `  ( ( l  .x.  u ) 
.+  v ) ) 
.x.  Z )  =  ( ( ( l ( .r `  D
) ( G `  u ) ) ( +g  `  D ) ( G `  v
) )  .x.  Z
)  <->  ( G `  ( ( l  .x.  u )  .+  v
) )  =  ( ( l ( .r
`  D ) ( G `  u ) ) ( +g  `  D
) ( G `  v ) ) ) )
9692, 95mpbid 210 1  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  U  /\  ( s  e.  U  /\  z  e.  U
) )  /\  (
u  =  ( r 
.+  ( ( G `
 u )  .x.  Z ) )  /\  v  =  ( s  .+  ( ( G `  v )  .x.  Z
) )  /\  (
( l  .x.  u
)  .+  v )  =  ( z  .+  ( ( G `  ( ( l  .x.  u )  .+  v
) )  .x.  Z
) ) ) )  ->  ( G `  ( ( l  .x.  u )  .+  v
) )  =  ( ( l ( .r
`  D ) ( G `  u ) ) ( +g  `  D
) ( G `  v ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2620   E.wrex 2735    i^i cin 3346    C_ wss 3347   {csn 3896    e. cmpt 4369   ` cfv 5437   iota_crio 6070  (class class class)co 6110   Basecbs 14193   +g cplusg 14257   .rcmulr 14258  Scalarcsca 14260   .scvsca 14261   0gc0g 14397  SubGrpcsubg 15694  Cntzccntz 15852   LSSumclsm 16152   Abelcabel 16297   LModclmod 16967   LSubSpclss 17032   LSpanclspn 17071   LVecclvec 17202  LSHypclsh 32643
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4422  ax-sep 4432  ax-nul 4440  ax-pow 4489  ax-pr 4550  ax-un 6391  ax-cnex 9357  ax-resscn 9358  ax-1cn 9359  ax-icn 9360  ax-addcl 9361  ax-addrcl 9362  ax-mulcl 9363  ax-mulrcl 9364  ax-mulcom 9365  ax-addass 9366  ax-mulass 9367  ax-distr 9368  ax-i2m1 9369  ax-1ne0 9370  ax-1rid 9371  ax-rnegex 9372  ax-rrecex 9373  ax-cnre 9374  ax-pre-lttri 9375  ax-pre-lttrn 9376  ax-pre-ltadd 9377  ax-pre-mulgt0 9378
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2739  df-rex 2740  df-reu 2741  df-rmo 2742  df-rab 2743  df-v 2993  df-sbc 3206  df-csb 3308  df-dif 3350  df-un 3352  df-in 3354  df-ss 3361  df-pss 3363  df-nul 3657  df-if 3811  df-pw 3881  df-sn 3897  df-pr 3899  df-tp 3901  df-op 3903  df-uni 4111  df-int 4148  df-iun 4192  df-br 4312  df-opab 4370  df-mpt 4371  df-tr 4405  df-eprel 4651  df-id 4655  df-po 4660  df-so 4661  df-fr 4698  df-we 4700  df-ord 4741  df-on 4742  df-lim 4743  df-suc 4744  df-xp 4865  df-rel 4866  df-cnv 4867  df-co 4868  df-dm 4869  df-rn 4870  df-res 4871  df-ima 4872  df-iota 5400  df-fun 5439  df-fn 5440  df-f 5441  df-f1 5442  df-fo 5443  df-f1o 5444  df-fv 5445  df-riota 6071  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-om 6496  df-1st 6596  df-2nd 6597  df-tpos 6764  df-recs 6851  df-rdg 6885  df-er 7120  df-en 7330  df-dom 7331  df-sdom 7332  df-pnf 9439  df-mnf 9440  df-xr 9441  df-ltxr 9442  df-le 9443  df-sub 9616  df-neg 9617  df-nn 10342  df-2 10399  df-3 10400  df-ndx 14196  df-slot 14197  df-base 14198  df-sets 14199  df-ress 14200  df-plusg 14270  df-mulr 14271  df-0g 14399  df-mnd 15434  df-submnd 15484  df-grp 15564  df-minusg 15565  df-sbg 15566  df-subg 15697  df-cntz 15854  df-lsm 16154  df-cmn 16298  df-abl 16299  df-mgp 16611  df-ur 16623  df-rng 16666  df-oppr 16734  df-dvdsr 16752  df-unit 16753  df-invr 16783  df-drng 16853  df-lmod 16969  df-lss 17033  df-lsp 17072  df-lvec 17203  df-lshyp 32645
This theorem is referenced by:  lshpkrlem6  32783
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