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Theorem lshpkrlem4 33067
Description: Lemma for lshpkrex 33072. Part of showing linearity of  G. (Contributed by NM, 16-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lshpkrlem.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lshpkrlem.a  |-  .+  =  ( +g  `  W )
lshpkrlem.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lshpkrlem.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
lshpkrlem.h  |-  H  =  (LSHyp `  W )
lshpkrlem.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lshpkrlem.u  |-  ( ph  ->  U  e.  H )
lshpkrlem.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
lshpkrlem.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
lshpkrlem.e  |-  ( ph  ->  ( U  .(+)  ( N `
 { Z }
) )  =  V )
lshpkrlem.d  |-  D  =  (Scalar `  W )
lshpkrlem.k  |-  K  =  ( Base `  D
)
lshpkrlem.t  |-  .x.  =  ( .s `  W )
lshpkrlem.o  |-  .0.  =  ( 0g `  D )
lshpkrlem.g  |-  G  =  ( x  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  K  E. y  e.  U  x  =  ( y  .+  ( k  .x.  Z
) ) ) )
Assertion
Ref Expression
lshpkrlem4  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  V  /\  s  e.  V )  /\  ( u  =  ( r  .+  ( ( G `  u ) 
.x.  Z ) )  /\  v  =  ( s  .+  ( ( G `  v ) 
.x.  Z ) ) ) )  ->  (
( l  .x.  u
)  .+  v )  =  ( ( ( l  .x.  r ) 
.+  s )  .+  ( ( ( l ( .r `  D
) ( G `  u ) ) ( +g  `  D ) ( G `  v
) )  .x.  Z
) ) )
Distinct variable groups:    x, k,
y,  .+    k, K, x    .0. , k    .x. , k, x, y    U, k, x, y    x, V    k, X, x, y   
k, Z, x, y    .+ , l    G, l    K, l    U, l    X, l    Z, l, k, x, y    .x. , l    u, k, v, x, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y, v, u, k, s, r, l)    D( x, y, v, u, k, s, r, l)    .+ ( v, u, s, r)    .(+) ( x, y, v, u, k, s, r, l)    .x. ( v, u, s, r)    U( v, u, s, r)    G( x, y, v, u, k, s, r)    H( x, y, v, u, k, s, r, l)    K( y, v, u, s, r)    N( x, y, v, u, k, s, r, l)    V( y, v, u, k, s, r, l)    W( x, y, v, u, k, s, r, l)    X( v, u, s, r)    .0. ( x, y, v, u, s, r, l)    Z( v, u, s, r)

Proof of Theorem lshpkrlem4
StepHypRef Expression
1 simp3l 1016 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  V  /\  s  e.  V )  /\  ( u  =  ( r  .+  ( ( G `  u ) 
.x.  Z ) )  /\  v  =  ( s  .+  ( ( G `  v ) 
.x.  Z ) ) ) )  ->  u  =  ( r  .+  ( ( G `  u )  .x.  Z
) ) )
21oveq2d 6209 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  V  /\  s  e.  V )  /\  ( u  =  ( r  .+  ( ( G `  u ) 
.x.  Z ) )  /\  v  =  ( s  .+  ( ( G `  v ) 
.x.  Z ) ) ) )  ->  (
l  .x.  u )  =  ( l  .x.  ( r  .+  (
( G `  u
)  .x.  Z )
) ) )
3 simp3r 1017 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  V  /\  s  e.  V )  /\  ( u  =  ( r  .+  ( ( G `  u ) 
.x.  Z ) )  /\  v  =  ( s  .+  ( ( G `  v ) 
.x.  Z ) ) ) )  ->  v  =  ( s  .+  ( ( G `  v )  .x.  Z
) ) )
42, 3oveq12d 6211 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  V  /\  s  e.  V )  /\  ( u  =  ( r  .+  ( ( G `  u ) 
.x.  Z ) )  /\  v  =  ( s  .+  ( ( G `  v ) 
.x.  Z ) ) ) )  ->  (
( l  .x.  u
)  .+  v )  =  ( ( l 
.x.  ( r  .+  ( ( G `  u )  .x.  Z
) ) )  .+  ( s  .+  (
( G `  v
)  .x.  Z )
) ) )
5 simpl1 991 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  V  /\  s  e.  V )
)  ->  ph )
6 lshpkrlem.w . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
7 lveclmod 17302 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
85, 6, 73syl 20 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  V  /\  s  e.  V )
)  ->  W  e.  LMod )
9 simpl2 992 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  V  /\  s  e.  V )
)  ->  l  e.  K )
10 simpr2 995 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  V  /\  s  e.  V )
)  ->  r  e.  V )
11 simpl3 993 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  V  /\  s  e.  V )
)  ->  u  e.  V )
12 lshpkrlem.v . . . . . . . . . 10  |-  V  =  ( Base `  W
)
13 lshpkrlem.a . . . . . . . . . 10  |-  .+  =  ( +g  `  W )
14 lshpkrlem.n . . . . . . . . . 10  |-  N  =  ( LSpan `  W )
15 lshpkrlem.p . . . . . . . . . 10  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
16 lshpkrlem.h . . . . . . . . . 10  |-  H  =  (LSHyp `  W )
176adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  u  e.  V )  ->  W  e.  LVec )
18 lshpkrlem.u . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U  e.  H )
1918adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  u  e.  V )  ->  U  e.  H )
20 lshpkrlem.z . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
2120adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  u  e.  V )  ->  Z  e.  V )
22 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  u  e.  V )  ->  u  e.  V )
23 lshpkrlem.e . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( U  .(+)  ( N `
 { Z }
) )  =  V )
2423adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  u  e.  V )  ->  ( U  .(+)  ( N `  { Z } ) )  =  V )
25 lshpkrlem.d . . . . . . . . . 10  |-  D  =  (Scalar `  W )
26 lshpkrlem.k . . . . . . . . . 10  |-  K  =  ( Base `  D
)
27 lshpkrlem.t . . . . . . . . . 10  |-  .x.  =  ( .s `  W )
28 lshpkrlem.o . . . . . . . . . 10  |-  .0.  =  ( 0g `  D )
29 lshpkrlem.g . . . . . . . . . 10  |-  G  =  ( x  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  K  E. y  e.  U  x  =  ( y  .+  ( k  .x.  Z
) ) ) )
3012, 13, 14, 15, 16, 17, 19, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 29lshpkrlem2 33065 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  u  e.  V )  ->  ( G `  u )  e.  K )
315, 11, 30syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  V  /\  s  e.  V )
)  ->  ( G `  u )  e.  K
)
325, 20syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  V  /\  s  e.  V )
)  ->  Z  e.  V )
3312, 25, 27, 26lmodvscl 17080 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( G `  u )  e.  K  /\  Z  e.  V )  ->  (
( G `  u
)  .x.  Z )  e.  V )
348, 31, 32, 33syl3anc 1219 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  V  /\  s  e.  V )
)  ->  ( ( G `  u )  .x.  Z )  e.  V
)
3512, 13, 25, 27, 26lmodvsdi 17086 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
l  e.  K  /\  r  e.  V  /\  ( ( G `  u )  .x.  Z
)  e.  V ) )  ->  ( l  .x.  ( r  .+  (
( G `  u
)  .x.  Z )
) )  =  ( ( l  .x.  r
)  .+  ( l  .x.  ( ( G `  u )  .x.  Z
) ) ) )
368, 9, 10, 34, 35syl13anc 1221 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  V  /\  s  e.  V )
)  ->  ( l  .x.  ( r  .+  (
( G `  u
)  .x.  Z )
) )  =  ( ( l  .x.  r
)  .+  ( l  .x.  ( ( G `  u )  .x.  Z
) ) ) )
37 eqid 2451 . . . . . . . . 9  |-  ( .r
`  D )  =  ( .r `  D
)
3812, 25, 27, 26, 37lmodvsass 17088 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
l  e.  K  /\  ( G `  u )  e.  K  /\  Z  e.  V ) )  -> 
( ( l ( .r `  D ) ( G `  u
) )  .x.  Z
)  =  ( l 
.x.  ( ( G `
 u )  .x.  Z ) ) )
398, 9, 31, 32, 38syl13anc 1221 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  V  /\  s  e.  V )
)  ->  ( (
l ( .r `  D ) ( G `
 u ) ) 
.x.  Z )  =  ( l  .x.  (
( G `  u
)  .x.  Z )
) )
4039oveq2d 6209 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  V  /\  s  e.  V )
)  ->  ( (
l  .x.  r )  .+  ( ( l ( .r `  D ) ( G `  u
) )  .x.  Z
) )  =  ( ( l  .x.  r
)  .+  ( l  .x.  ( ( G `  u )  .x.  Z
) ) ) )
4136, 40eqtr4d 2495 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  V  /\  s  e.  V )
)  ->  ( l  .x.  ( r  .+  (
( G `  u
)  .x.  Z )
) )  =  ( ( l  .x.  r
)  .+  ( (
l ( .r `  D ) ( G `
 u ) ) 
.x.  Z ) ) )
4241oveq1d 6208 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  V  /\  s  e.  V )
)  ->  ( (
l  .x.  ( r  .+  ( ( G `  u )  .x.  Z
) ) )  .+  ( s  .+  (
( G `  v
)  .x.  Z )
) )  =  ( ( ( l  .x.  r )  .+  (
( l ( .r
`  D ) ( G `  u ) )  .x.  Z ) )  .+  ( s 
.+  ( ( G `
 v )  .x.  Z ) ) ) )
4312, 25, 27, 26lmodvscl 17080 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  l  e.  K  /\  r  e.  V )  ->  (
l  .x.  r )  e.  V )
448, 9, 10, 43syl3anc 1219 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  V  /\  s  e.  V )
)  ->  ( l  .x.  r )  e.  V
)
4525, 26, 37lmodmcl 17075 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  l  e.  K  /\  ( G `  u )  e.  K )  ->  (
l ( .r `  D ) ( G `
 u ) )  e.  K )
468, 9, 31, 45syl3anc 1219 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  V  /\  s  e.  V )
)  ->  ( l
( .r `  D
) ( G `  u ) )  e.  K )
4712, 25, 27, 26lmodvscl 17080 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
l ( .r `  D ) ( G `
 u ) )  e.  K  /\  Z  e.  V )  ->  (
( l ( .r
`  D ) ( G `  u ) )  .x.  Z )  e.  V )
488, 46, 32, 47syl3anc 1219 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  V  /\  s  e.  V )
)  ->  ( (
l ( .r `  D ) ( G `
 u ) ) 
.x.  Z )  e.  V )
49 simpr3 996 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  V  /\  s  e.  V )
)  ->  s  e.  V )
50 simpr1 994 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  V  /\  s  e.  V )
)  ->  v  e.  V )
516adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V )  ->  W  e.  LVec )
5218adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V )  ->  U  e.  H )
5320adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V )  ->  Z  e.  V )
54 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V )  ->  v  e.  V )
5523adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V )  ->  ( U  .(+)  ( N `  { Z } ) )  =  V )
5612, 13, 14, 15, 16, 51, 52, 53, 54, 55, 25, 26, 27, 28, 29lshpkrlem2 33065 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V )  ->  ( G `  v )  e.  K )
575, 50, 56syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  V  /\  s  e.  V )
)  ->  ( G `  v )  e.  K
)
5812, 25, 27, 26lmodvscl 17080 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( G `  v )  e.  K  /\  Z  e.  V )  ->  (
( G `  v
)  .x.  Z )  e.  V )
598, 57, 32, 58syl3anc 1219 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  V  /\  s  e.  V )
)  ->  ( ( G `  v )  .x.  Z )  e.  V
)
6012, 13lmod4 17110 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
( l  .x.  r
)  e.  V  /\  ( ( l ( .r `  D ) ( G `  u
) )  .x.  Z
)  e.  V )  /\  ( s  e.  V  /\  ( ( G `  v ) 
.x.  Z )  e.  V ) )  -> 
( ( ( l 
.x.  r )  .+  ( ( l ( .r `  D ) ( G `  u
) )  .x.  Z
) )  .+  (
s  .+  ( ( G `  v )  .x.  Z ) ) )  =  ( ( ( l  .x.  r ) 
.+  s )  .+  ( ( ( l ( .r `  D
) ( G `  u ) )  .x.  Z )  .+  (
( G `  v
)  .x.  Z )
) ) )
618, 44, 48, 49, 59, 60syl122anc 1228 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  V  /\  s  e.  V )
)  ->  ( (
( l  .x.  r
)  .+  ( (
l ( .r `  D ) ( G `
 u ) ) 
.x.  Z ) ) 
.+  ( s  .+  ( ( G `  v )  .x.  Z
) ) )  =  ( ( ( l 
.x.  r )  .+  s )  .+  (
( ( l ( .r `  D ) ( G `  u
) )  .x.  Z
)  .+  ( ( G `  v )  .x.  Z ) ) ) )
62 eqid 2451 . . . . . . . 8  |-  ( +g  `  D )  =  ( +g  `  D )
6312, 13, 25, 27, 26, 62lmodvsdir 17087 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
( l ( .r
`  D ) ( G `  u ) )  e.  K  /\  ( G `  v )  e.  K  /\  Z  e.  V ) )  -> 
( ( ( l ( .r `  D
) ( G `  u ) ) ( +g  `  D ) ( G `  v
) )  .x.  Z
)  =  ( ( ( l ( .r
`  D ) ( G `  u ) )  .x.  Z ) 
.+  ( ( G `
 v )  .x.  Z ) ) )
648, 46, 57, 32, 63syl13anc 1221 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  V  /\  s  e.  V )
)  ->  ( (
( l ( .r
`  D ) ( G `  u ) ) ( +g  `  D
) ( G `  v ) )  .x.  Z )  =  ( ( ( l ( .r `  D ) ( G `  u
) )  .x.  Z
)  .+  ( ( G `  v )  .x.  Z ) ) )
6564oveq2d 6209 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  V  /\  s  e.  V )
)  ->  ( (
( l  .x.  r
)  .+  s )  .+  ( ( ( l ( .r `  D
) ( G `  u ) ) ( +g  `  D ) ( G `  v
) )  .x.  Z
) )  =  ( ( ( l  .x.  r )  .+  s
)  .+  ( (
( l ( .r
`  D ) ( G `  u ) )  .x.  Z ) 
.+  ( ( G `
 v )  .x.  Z ) ) ) )
6661, 65eqtr4d 2495 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  V  /\  s  e.  V )
)  ->  ( (
( l  .x.  r
)  .+  ( (
l ( .r `  D ) ( G `
 u ) ) 
.x.  Z ) ) 
.+  ( s  .+  ( ( G `  v )  .x.  Z
) ) )  =  ( ( ( l 
.x.  r )  .+  s )  .+  (
( ( l ( .r `  D ) ( G `  u
) ) ( +g  `  D ) ( G `
 v ) ) 
.x.  Z ) ) )
6742, 66eqtrd 2492 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  V  /\  s  e.  V )
)  ->  ( (
l  .x.  ( r  .+  ( ( G `  u )  .x.  Z
) ) )  .+  ( s  .+  (
( G `  v
)  .x.  Z )
) )  =  ( ( ( l  .x.  r )  .+  s
)  .+  ( (
( l ( .r
`  D ) ( G `  u ) ) ( +g  `  D
) ( G `  v ) )  .x.  Z ) ) )
68673adant3 1008 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  V  /\  s  e.  V )  /\  ( u  =  ( r  .+  ( ( G `  u ) 
.x.  Z ) )  /\  v  =  ( s  .+  ( ( G `  v ) 
.x.  Z ) ) ) )  ->  (
( l  .x.  (
r  .+  ( ( G `  u )  .x.  Z ) ) ) 
.+  ( s  .+  ( ( G `  v )  .x.  Z
) ) )  =  ( ( ( l 
.x.  r )  .+  s )  .+  (
( ( l ( .r `  D ) ( G `  u
) ) ( +g  `  D ) ( G `
 v ) ) 
.x.  Z ) ) )
694, 68eqtrd 2492 1  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  V  /\  s  e.  V )  /\  ( u  =  ( r  .+  ( ( G `  u ) 
.x.  Z ) )  /\  v  =  ( s  .+  ( ( G `  v ) 
.x.  Z ) ) ) )  ->  (
( l  .x.  u
)  .+  v )  =  ( ( ( l  .x.  r ) 
.+  s )  .+  ( ( ( l ( .r `  D
) ( G `  u ) ) ( +g  `  D ) ( G `  v
) )  .x.  Z
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   E.wrex 2796   {csn 3978    |-> cmpt 4451   ` cfv 5519   iota_crio 6153  (class class class)co 6193   Basecbs 14285   +g cplusg 14349   .rcmulr 14350  Scalarcsca 14352   .scvsca 14353   0gc0g 14489   LSSumclsm 16246   LModclmod 17063   LSpanclspn 17167   LVecclvec 17298  LSHypclsh 32929
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-int 4230  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-tpos 6848  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-er 7204  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-nn 10427  df-2 10484  df-3 10485  df-ndx 14288  df-slot 14289  df-base 14290  df-sets 14291  df-ress 14292  df-plusg 14362  df-mulr 14363  df-0g 14491  df-mnd 15526  df-submnd 15576  df-grp 15656  df-minusg 15657  df-sbg 15658  df-subg 15789  df-cntz 15946  df-lsm 16248  df-cmn 16392  df-abl 16393  df-mgp 16706  df-ur 16718  df-rng 16762  df-oppr 16830  df-dvdsr 16848  df-unit 16849  df-invr 16879  df-drng 16949  df-lmod 17065  df-lss 17129  df-lsp 17168  df-lvec 17299  df-lshyp 32931
This theorem is referenced by:  lshpkrlem5  33068
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