Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lshpkrlem2 Structured version   Unicode version

Theorem lshpkrlem2 33908
Description: Lemma for lshpkrex 33915. The value of tentative functional  G is a scalar. (Contributed by NM, 16-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lshpkrlem.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lshpkrlem.a  |-  .+  =  ( +g  `  W )
lshpkrlem.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lshpkrlem.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
lshpkrlem.h  |-  H  =  (LSHyp `  W )
lshpkrlem.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lshpkrlem.u  |-  ( ph  ->  U  e.  H )
lshpkrlem.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
lshpkrlem.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
lshpkrlem.e  |-  ( ph  ->  ( U  .(+)  ( N `
 { Z }
) )  =  V )
lshpkrlem.d  |-  D  =  (Scalar `  W )
lshpkrlem.k  |-  K  =  ( Base `  D
)
lshpkrlem.t  |-  .x.  =  ( .s `  W )
lshpkrlem.o  |-  .0.  =  ( 0g `  D )
lshpkrlem.g  |-  G  =  ( x  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  K  E. y  e.  U  x  =  ( y  .+  ( k  .x.  Z
) ) ) )
Assertion
Ref Expression
lshpkrlem2  |-  ( ph  ->  ( G `  X
)  e.  K )
Distinct variable groups:    x, k,
y,  .+    k, K, x    .0. , k    .x. , k, x, y    U, k, x, y    x, V    k, X, x, y   
k, Z, x, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y, k)    D( x, y, k)    .(+) (
x, y, k)    G( x, y, k)    H( x, y, k)    K( y)    N( x, y, k)    V( y, k)    W( x, y, k)    .0. ( x, y)

Proof of Theorem lshpkrlem2
StepHypRef Expression
1 lshpkrlem.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
2 eqeq1 2471 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  (
x  =  ( y 
.+  ( k  .x.  Z ) )  <->  X  =  ( y  .+  (
k  .x.  Z )
) ) )
32rexbidv 2973 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  ( E. y  e.  U  x  =  ( y  .+  ( k  .x.  Z
) )  <->  E. y  e.  U  X  =  ( y  .+  (
k  .x.  Z )
) ) )
43riotabidv 6245 . . . 4  |-  ( x  =  X  ->  ( iota_ k  e.  K  E. y  e.  U  x  =  ( y  .+  ( k  .x.  Z
) ) )  =  ( iota_ k  e.  K  E. y  e.  U  X  =  ( y  .+  ( k  .x.  Z
) ) ) )
5 lshpkrlem.g . . . 4  |-  G  =  ( x  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  K  E. y  e.  U  x  =  ( y  .+  ( k  .x.  Z
) ) ) )
6 riotaex 6247 . . . 4  |-  ( iota_ k  e.  K  E. y  e.  U  X  =  ( y  .+  (
k  .x.  Z )
) )  e.  _V
74, 5, 6fvmpt 5948 . . 3  |-  ( X  e.  V  ->  ( G `  X )  =  ( iota_ k  e.  K  E. y  e.  U  X  =  ( y  .+  ( k 
.x.  Z ) ) ) )
81, 7syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( G `  X
)  =  ( iota_ k  e.  K  E. y  e.  U  X  =  ( y  .+  (
k  .x.  Z )
) ) )
9 lshpkrlem.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  W
)
10 lshpkrlem.a . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  W )
11 lshpkrlem.n . . . 4  |-  N  =  ( LSpan `  W )
12 lshpkrlem.p . . . 4  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
13 lshpkrlem.h . . . 4  |-  H  =  (LSHyp `  W )
14 lshpkrlem.w . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
15 lshpkrlem.u . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  H )
16 lshpkrlem.z . . . 4  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
17 lshpkrlem.e . . . 4  |-  ( ph  ->  ( U  .(+)  ( N `
 { Z }
) )  =  V )
18 lshpkrlem.d . . . 4  |-  D  =  (Scalar `  W )
19 lshpkrlem.k . . . 4  |-  K  =  ( Base `  D
)
20 lshpkrlem.t . . . 4  |-  .x.  =  ( .s `  W )
219, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 1, 17, 18, 19, 20lshpsmreu 33906 . . 3  |-  ( ph  ->  E! k  e.  K  E. y  e.  U  X  =  ( y  .+  ( k  .x.  Z
) ) )
22 riotacl 6258 . . 3  |-  ( E! k  e.  K  E. y  e.  U  X  =  ( y  .+  ( k  .x.  Z
) )  ->  ( iota_ k  e.  K  E. y  e.  U  X  =  ( y  .+  ( k  .x.  Z
) ) )  e.  K )
2321, 22syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( iota_ k  e.  K  E. y  e.  U  X  =  ( y  .+  ( k  .x.  Z
) ) )  e.  K )
248, 23eqeltrd 2555 1  |-  ( ph  ->  ( G `  X
)  e.  K )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767   E.wrex 2815   E!wreu 2816   {csn 4027    |-> cmpt 4505   ` cfv 5586   iota_crio 6242  (class class class)co 6282   Basecbs 14486   +g cplusg 14551  Scalarcsca 14554   .scvsca 14555   0gc0g 14691   LSSumclsm 16450   LSpanclspn 17400   LVecclvec 17531  LSHypclsh 33772
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-tpos 6952  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-ress 14493  df-plusg 14564  df-mulr 14565  df-0g 14693  df-mnd 15728  df-submnd 15778  df-grp 15858  df-minusg 15859  df-sbg 15860  df-subg 15993  df-cntz 16150  df-lsm 16452  df-cmn 16596  df-abl 16597  df-mgp 16932  df-ur 16944  df-rng 16988  df-oppr 17056  df-dvdsr 17074  df-unit 17075  df-invr 17105  df-drng 17181  df-lmod 17297  df-lss 17362  df-lsp 17401  df-lvec 17532  df-lshyp 33774
This theorem is referenced by:  lshpkrlem4  33910  lshpkrlem5  33911
  Copyright terms: Public domain W3C validator