Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lshpkrlem1 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem lshpkrlem1 32688
 Description: Lemma for lshpkrex 32696. The value of tentative functional is zero iff its argument belongs to hyperplane . (Contributed by NM, 14-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lshpkrlem.v
lshpkrlem.a
lshpkrlem.n
lshpkrlem.p
lshpkrlem.h LSHyp
lshpkrlem.w
lshpkrlem.u
lshpkrlem.z
lshpkrlem.x
lshpkrlem.e
lshpkrlem.d Scalar
lshpkrlem.k
lshpkrlem.t
lshpkrlem.o
lshpkrlem.g
Assertion
Ref Expression
lshpkrlem1
Distinct variable groups:   ,,,   ,,   ,   ,,,   ,,,   ,   ,,,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,,)   (,,)   (,,)   (,,)   (,,)   ()   (,,)   (,)   (,,)   (,)

Proof of Theorem lshpkrlem1
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lshpkrlem.w . . . . 5
2 lveclmod 18341 . . . . 5
31, 2syl 17 . . . 4
4 lshpkrlem.d . . . . 5 Scalar
54lmodfgrp 18112 . . . 4
6 lshpkrlem.k . . . . 5
7 lshpkrlem.o . . . . 5
86, 7grpidcl 16706 . . . 4
93, 5, 83syl 18 . . 3
10 lshpkrlem.v . . . 4
11 lshpkrlem.a . . . 4
12 lshpkrlem.n . . . 4
13 lshpkrlem.p . . . 4
14 lshpkrlem.h . . . 4 LSHyp
15 lshpkrlem.u . . . 4
16 lshpkrlem.z . . . 4
17 lshpkrlem.x . . . 4
18 lshpkrlem.e . . . 4
19 lshpkrlem.t . . . 4
2010, 11, 12, 13, 14, 1, 15, 16, 17, 18, 4, 6, 19lshpsmreu 32687 . . 3
21 oveq1 6302 . . . . . . 7
2221oveq2d 6311 . . . . . 6
2322eqeq2d 2463 . . . . 5
2423rexbidv 2903 . . . 4
2524riota2 6279 . . 3
269, 20, 25syl2anc 667 . 2
27 simpr 463 . . . . . 6
28 eqidd 2454 . . . . . 6
29 eqeq2 2464 . . . . . . 7
3029rspcev 3152 . . . . . 6
3127, 28, 30syl2anc 667 . . . . 5
3231ex 436 . . . 4
33 eleq1a 2526 . . . . . 6
3433a1i 11 . . . . 5
3534rexlimdv 2879 . . . 4
3632, 35impbid 194 . . 3
37 eqid 2453 . . . . . . . . . . 11
3810, 4, 19, 7, 37lmod0vs 18136 . . . . . . . . . 10
393, 16, 38syl2anc 667 . . . . . . . . 9
4039adantr 467 . . . . . . . 8
4140oveq2d 6311 . . . . . . 7
421adantr 467 . . . . . . . . 9
4342, 2syl 17 . . . . . . . 8
44 eqid 2453 . . . . . . . . . 10
4544, 14, 3, 15lshplss 32559 . . . . . . . . 9
4610, 44lssel 18173 . . . . . . . . 9
4745, 46sylan 474 . . . . . . . 8
4810, 11, 37lmod0vrid 18134 . . . . . . . 8
4943, 47, 48syl2anc 667 . . . . . . 7
5041, 49eqtrd 2487 . . . . . 6
5150eqeq2d 2463 . . . . 5
5251bicomd 205 . . . 4
5352rexbidva 2900 . . 3
5436, 53bitrd 257 . 2
55 eqeq1 2457 . . . . . . . 8
5655rexbidv 2903 . . . . . . 7
5756riotabidv 6259 . . . . . 6
58 lshpkrlem.g . . . . . 6
59 riotaex 6261 . . . . . 6
6057, 58, 59fvmpt 5953 . . . . 5
61 oveq1 6302 . . . . . . . . 9
6261eqeq2d 2463 . . . . . . . 8
6362cbvrexv 3022 . . . . . . 7
6463a1i 11 . . . . . 6
6564riotabiia 6274 . . . . 5
6660, 65syl6eq 2503 . . . 4
6717, 66syl 17 . . 3
6867eqeq1d 2455 . 2
6926, 54, 683bitr4d 289 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 188   wa 371   wceq 1446   wcel 1889  wrex 2740  wreu 2741  csn 3970   cmpt 4464  cfv 5585  crio 6256  (class class class)co 6295  cbs 15133   cplusg 15202  Scalarcsca 15205  cvsca 15206  c0g 15350  cgrp 16681  clsm 17298  clmod 18103  clss 18167  clspn 18206  clvec 18337  LSHypclsh 32553 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-tpos 6978  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-ndx 15136  df-slot 15137  df-base 15138  df-sets 15139  df-ress 15140  df-plusg 15215  df-mulr 15216  df-0g 15352  df-mgm 16500  df-sgrp 16539  df-mnd 16549  df-submnd 16595  df-grp 16685  df-minusg 16686  df-sbg 16687  df-subg 16826  df-cntz 16983  df-lsm 17300  df-cmn 17444  df-abl 17445  df-mgp 17736  df-ur 17748  df-ring 17794  df-oppr 17863  df-dvdsr 17881  df-unit 17882  df-invr 17912  df-drng 17989  df-lmod 18105  df-lss 18168  df-lsp 18207  df-lvec 18338  df-lshyp 32555 This theorem is referenced by:  lshpkr  32695
 Copyright terms: Public domain W3C validator