Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lshpkrcl Structured version   Unicode version

Theorem lshpkrcl 34581
Description: The set  G defined by hyperplane  U is a linear functional. (Contributed by NM, 17-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lshpkr.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lshpkr.a  |-  .+  =  ( +g  `  W )
lshpkr.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lshpkr.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
lshpkr.h  |-  H  =  (LSHyp `  W )
lshpkr.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lshpkr.u  |-  ( ph  ->  U  e.  H )
lshpkr.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
lshpkr.e  |-  ( ph  ->  ( U  .(+)  ( N `
 { Z }
) )  =  V )
lshpkr.d  |-  D  =  (Scalar `  W )
lshpkr.k  |-  K  =  ( Base `  D
)
lshpkr.t  |-  .x.  =  ( .s `  W )
lshpkr.g  |-  G  =  ( x  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  K  E. y  e.  U  x  =  ( y  .+  ( k  .x.  Z
) ) ) )
lshpkr.f  |-  F  =  (LFnl `  W )
Assertion
Ref Expression
lshpkrcl  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
Distinct variable groups:    x, k,
y,  .+    k, K, x    U, k, x, y    D, k    .x. , k, x, y   
k, Z, x, y   
x, V
Allowed substitution hints:    ph( x, y, k)    D( x, y)    .(+) ( x, y, k)    F( x, y, k)    G( x, y, k)    H( x, y, k)    K( y)    N( x, y, k)    V( y, k)    W( x, y, k)

Proof of Theorem lshpkrcl
Dummy variables  a 
l  u  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lshpkr.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
2 lshpkr.a . . . . 5  |-  .+  =  ( +g  `  W )
3 lshpkr.n . . . . 5  |-  N  =  ( LSpan `  W )
4 lshpkr.p . . . . 5  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
5 lshpkr.h . . . . 5  |-  H  =  (LSHyp `  W )
6 lshpkr.w . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
76adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  V )  ->  W  e.  LVec )
8 lshpkr.u . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  e.  H )
98adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  V )  ->  U  e.  H )
10 lshpkr.z . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
1110adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  V )  ->  Z  e.  V )
12 simpr 461 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  V )  ->  a  e.  V )
13 lshpkr.e . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( U  .(+)  ( N `
 { Z }
) )  =  V )
1413adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  V )  ->  ( U  .(+)  ( N `  { Z } ) )  =  V )
15 lshpkr.d . . . . 5  |-  D  =  (Scalar `  W )
16 lshpkr.k . . . . 5  |-  K  =  ( Base `  D
)
17 lshpkr.t . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  W )
181, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 12, 14, 15, 16, 17lshpsmreu 34574 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  V )  ->  E! k  e.  K  E. y  e.  U  a  =  ( y  .+  ( k  .x.  Z
) ) )
19 riotacl 6257 . . . 4  |-  ( E! k  e.  K  E. y  e.  U  a  =  ( y  .+  ( k  .x.  Z
) )  ->  ( iota_ k  e.  K  E. y  e.  U  a  =  ( y  .+  ( k  .x.  Z
) ) )  e.  K )
2018, 19syl 16 . . 3  |-  ( (
ph  /\  a  e.  V )  ->  ( iota_ k  e.  K  E. y  e.  U  a  =  ( y  .+  ( k  .x.  Z
) ) )  e.  K )
21 lshpkr.g . . . 4  |-  G  =  ( x  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  K  E. y  e.  U  x  =  ( y  .+  ( k  .x.  Z
) ) ) )
22 eqeq1 2447 . . . . . . 7  |-  ( x  =  a  ->  (
x  =  ( y 
.+  ( k  .x.  Z ) )  <->  a  =  ( y  .+  (
k  .x.  Z )
) ) )
2322rexbidv 2954 . . . . . 6  |-  ( x  =  a  ->  ( E. y  e.  U  x  =  ( y  .+  ( k  .x.  Z
) )  <->  E. y  e.  U  a  =  ( y  .+  (
k  .x.  Z )
) ) )
2423riotabidv 6244 . . . . 5  |-  ( x  =  a  ->  ( iota_ k  e.  K  E. y  e.  U  x  =  ( y  .+  ( k  .x.  Z
) ) )  =  ( iota_ k  e.  K  E. y  e.  U  a  =  ( y  .+  ( k  .x.  Z
) ) ) )
2524cbvmptv 4528 . . . 4  |-  ( x  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  K  E. y  e.  U  x  =  ( y  .+  (
k  .x.  Z )
) ) )  =  ( a  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  K  E. y  e.  U  a  =  ( y  .+  ( k  .x.  Z
) ) ) )
2621, 25eqtri 2472 . . 3  |-  G  =  ( a  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  K  E. y  e.  U  a  =  ( y  .+  ( k  .x.  Z
) ) ) )
2720, 26fmptd 6040 . 2  |-  ( ph  ->  G : V --> K )
28 eqid 2443 . . . 4  |-  ( 0g
`  D )  =  ( 0g `  D
)
291, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 10, 13, 15, 16, 17, 28, 21lshpkrlem6 34580 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( l  e.  K  /\  u  e.  V  /\  v  e.  V ) )  -> 
( G `  (
( l  .x.  u
)  .+  v )
)  =  ( ( l ( .r `  D ) ( G `
 u ) ) ( +g  `  D
) ( G `  v ) ) )
3029ralrimivvva 2865 . 2  |-  ( ph  ->  A. l  e.  K  A. u  e.  V  A. v  e.  V  ( G `  ( ( l  .x.  u ) 
.+  v ) )  =  ( ( l ( .r `  D
) ( G `  u ) ) ( +g  `  D ) ( G `  v
) ) )
31 eqid 2443 . . . 4  |-  ( +g  `  D )  =  ( +g  `  D )
32 eqid 2443 . . . 4  |-  ( .r
`  D )  =  ( .r `  D
)
33 lshpkr.f . . . 4  |-  F  =  (LFnl `  W )
341, 2, 15, 17, 16, 31, 32, 33islfl 34525 . . 3  |-  ( W  e.  LVec  ->  ( G  e.  F  <->  ( G : V --> K  /\  A. l  e.  K  A. u  e.  V  A. v  e.  V  ( G `  ( (
l  .x.  u )  .+  v ) )  =  ( ( l ( .r `  D ) ( G `  u
) ) ( +g  `  D ) ( G `
 v ) ) ) ) )
356, 34syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  e.  F  <->  ( G : V --> K  /\  A. l  e.  K  A. u  e.  V  A. v  e.  V  ( G `  ( (
l  .x.  u )  .+  v ) )  =  ( ( l ( .r `  D ) ( G `  u
) ) ( +g  `  D ) ( G `
 v ) ) ) ) )
3627, 30, 35mpbir2and 922 1  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804   A.wral 2793   E.wrex 2794   E!wreu 2795   {csn 4014    |-> cmpt 4495   -->wf 5574   ` cfv 5578   iota_crio 6241  (class class class)co 6281   Basecbs 14509   +g cplusg 14574   .rcmulr 14575  Scalarcsca 14577   .scvsca 14578   0gc0g 14714   LSSumclsm 16528   LSpanclspn 17491   LVecclvec 17622  LSHypclsh 34440  LFnlclfn 34522
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-tpos 6957  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-er 7313  df-map 7424  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10543  df-2 10600  df-3 10601  df-ndx 14512  df-slot 14513  df-base 14514  df-sets 14515  df-ress 14516  df-plusg 14587  df-mulr 14588  df-0g 14716  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-submnd 15841  df-grp 15931  df-minusg 15932  df-sbg 15933  df-subg 16072  df-cntz 16229  df-lsm 16530  df-cmn 16674  df-abl 16675  df-mgp 17016  df-ur 17028  df-ring 17074  df-oppr 17146  df-dvdsr 17164  df-unit 17165  df-invr 17195  df-drng 17272  df-lmod 17388  df-lss 17453  df-lsp 17492  df-lvec 17623  df-lshyp 34442  df-lfl 34523
This theorem is referenced by:  lshpkr  34582  lshpkrex  34583  dochflcl  36942
  Copyright terms: Public domain W3C validator