Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lshpinN Structured version   Unicode version

Theorem lshpinN 32020
Description: The intersection of two different hyperplanes is not a hyperplane. (Contributed by NM, 29-Oct-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lshpin.h  |-  H  =  (LSHyp `  W )
lshpin.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lshpin.t  |-  ( ph  ->  T  e.  H )
lshpin.u  |-  ( ph  ->  U  e.  H )
Assertion
Ref Expression
lshpinN  |-  ( ph  ->  ( ( T  i^i  U )  e.  H  <->  T  =  U ) )

Proof of Theorem lshpinN
StepHypRef Expression
1 inss1 3661 . . . . 5  |-  ( T  i^i  U )  C_  T
2 lshpin.h . . . . . 6  |-  H  =  (LSHyp `  W )
3 lshpin.w . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
43adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( T  i^i  U )  e.  H
)  ->  W  e.  LVec )
5 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( T  i^i  U )  e.  H
)  ->  ( T  i^i  U )  e.  H
)
6 lshpin.t . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  T  e.  H )
76adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( T  i^i  U )  e.  H
)  ->  T  e.  H )
82, 4, 5, 7lshpcmp 32019 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( T  i^i  U )  e.  H
)  ->  ( ( T  i^i  U )  C_  T 
<->  ( T  i^i  U
)  =  T ) )
91, 8mpbii 213 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( T  i^i  U )  e.  H
)  ->  ( T  i^i  U )  =  T )
10 inss2 3662 . . . . 5  |-  ( T  i^i  U )  C_  U
11 lshpin.u . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  e.  H )
1211adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( T  i^i  U )  e.  H
)  ->  U  e.  H )
132, 4, 5, 12lshpcmp 32019 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( T  i^i  U )  e.  H
)  ->  ( ( T  i^i  U )  C_  U 
<->  ( T  i^i  U
)  =  U ) )
1410, 13mpbii 213 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( T  i^i  U )  e.  H
)  ->  ( T  i^i  U )  =  U )
159, 14eqtr3d 2447 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( T  i^i  U )  e.  H
)  ->  T  =  U )
1615ex 434 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( T  i^i  U )  e.  H  ->  T  =  U )
)
17 inidm 3650 . . . 4  |-  ( T  i^i  T )  =  T
1817, 6syl5eqel 2496 . . 3  |-  ( ph  ->  ( T  i^i  T
)  e.  H )
19 ineq2 3637 . . . 4  |-  ( T  =  U  ->  ( T  i^i  T )  =  ( T  i^i  U
) )
2019eleq1d 2473 . . 3  |-  ( T  =  U  ->  (
( T  i^i  T
)  e.  H  <->  ( T  i^i  U )  e.  H
) )
2118, 20syl5ibcom 222 . 2  |-  ( ph  ->  ( T  =  U  ->  ( T  i^i  U )  e.  H ) )
2216, 21impbid 192 1  |-  ( ph  ->  ( ( T  i^i  U )  e.  H  <->  T  =  U ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 186    /\ wa 369    = wceq 1407    e. wcel 1844    i^i cin 3415    C_ wss 3416   ` cfv 5571   LVecclvec 18070  LSHypclsh 32006
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-int 4230  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-om 6686  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-tpos 6960  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-er 7350  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-nn 10579  df-2 10637  df-3 10638  df-ndx 14846  df-slot 14847  df-base 14848  df-sets 14849  df-ress 14850  df-plusg 14924  df-mulr 14925  df-0g 15058  df-mgm 16198  df-sgrp 16237  df-mnd 16247  df-submnd 16293  df-grp 16383  df-minusg 16384  df-sbg 16385  df-subg 16524  df-cntz 16681  df-lsm 16982  df-cmn 17126  df-abl 17127  df-mgp 17464  df-ur 17476  df-ring 17522  df-oppr 17594  df-dvdsr 17612  df-unit 17613  df-invr 17643  df-drng 17720  df-lmod 17836  df-lss 17901  df-lsp 17940  df-lvec 18071  df-lshyp 32008
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator