Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lshpinN Structured version   Unicode version

Theorem lshpinN 32730
Description: The intersection of two different hyperplanes is not a hyperplane. (Contributed by NM, 29-Oct-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lshpin.h  |-  H  =  (LSHyp `  W )
lshpin.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lshpin.t  |-  ( ph  ->  T  e.  H )
lshpin.u  |-  ( ph  ->  U  e.  H )
Assertion
Ref Expression
lshpinN  |-  ( ph  ->  ( ( T  i^i  U )  e.  H  <->  T  =  U ) )

Proof of Theorem lshpinN
StepHypRef Expression
1 inss1 3591 . . . . 5  |-  ( T  i^i  U )  C_  T
2 lshpin.h . . . . . 6  |-  H  =  (LSHyp `  W )
3 lshpin.w . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
43adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( T  i^i  U )  e.  H
)  ->  W  e.  LVec )
5 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( T  i^i  U )  e.  H
)  ->  ( T  i^i  U )  e.  H
)
6 lshpin.t . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  T  e.  H )
76adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( T  i^i  U )  e.  H
)  ->  T  e.  H )
82, 4, 5, 7lshpcmp 32729 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( T  i^i  U )  e.  H
)  ->  ( ( T  i^i  U )  C_  T 
<->  ( T  i^i  U
)  =  T ) )
91, 8mpbii 211 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( T  i^i  U )  e.  H
)  ->  ( T  i^i  U )  =  T )
10 inss2 3592 . . . . 5  |-  ( T  i^i  U )  C_  U
11 lshpin.u . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  e.  H )
1211adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( T  i^i  U )  e.  H
)  ->  U  e.  H )
132, 4, 5, 12lshpcmp 32729 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( T  i^i  U )  e.  H
)  ->  ( ( T  i^i  U )  C_  U 
<->  ( T  i^i  U
)  =  U ) )
1410, 13mpbii 211 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( T  i^i  U )  e.  H
)  ->  ( T  i^i  U )  =  U )
159, 14eqtr3d 2477 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( T  i^i  U )  e.  H
)  ->  T  =  U )
1615ex 434 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( T  i^i  U )  e.  H  ->  T  =  U )
)
17 inidm 3580 . . . 4  |-  ( T  i^i  T )  =  T
1817, 6syl5eqel 2527 . . 3  |-  ( ph  ->  ( T  i^i  T
)  e.  H )
19 ineq2 3567 . . . 4  |-  ( T  =  U  ->  ( T  i^i  T )  =  ( T  i^i  U
) )
2019eleq1d 2509 . . 3  |-  ( T  =  U  ->  (
( T  i^i  T
)  e.  H  <->  ( T  i^i  U )  e.  H
) )
2118, 20syl5ibcom 220 . 2  |-  ( ph  ->  ( T  =  U  ->  ( T  i^i  U )  e.  H ) )
2216, 21impbid 191 1  |-  ( ph  ->  ( ( T  i^i  U )  e.  H  <->  T  =  U ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    i^i cin 3348    C_ wss 3349   ` cfv 5439   LVecclvec 17205  LSHypclsh 32716
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-tpos 6766  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-er 7122  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-nn 10344  df-2 10401  df-3 10402  df-ndx 14198  df-slot 14199  df-base 14200  df-sets 14201  df-ress 14202  df-plusg 14272  df-mulr 14273  df-0g 14401  df-mnd 15436  df-submnd 15486  df-grp 15566  df-minusg 15567  df-sbg 15568  df-subg 15699  df-cntz 15856  df-lsm 16156  df-cmn 16300  df-abl 16301  df-mgp 16614  df-ur 16626  df-rng 16669  df-oppr 16737  df-dvdsr 16755  df-unit 16756  df-invr 16786  df-drng 16856  df-lmod 16972  df-lss 17036  df-lsp 17075  df-lvec 17206  df-lshyp 32718
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator