Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsator0sp Structured version   Unicode version

Theorem lsator0sp 32651
Description: The span of a vector is either an atom or the zero subspace. (Contributed by NM, 15-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsator0sp.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lsator0sp.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lsator0sp.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
lsator0sp.a  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
isator0sp.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
isator0sp.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
Assertion
Ref Expression
lsator0sp  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } )  e.  A  \/  ( N `
 { X }
)  =  {  .0.  } ) )

Proof of Theorem lsator0sp
StepHypRef Expression
1 lsator0sp.v . . . . . 6  |-  V  =  ( Base `  W
)
2 lsator0sp.n . . . . . 6  |-  N  =  ( LSpan `  W )
3 lsator0sp.o . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
4 lsator0sp.a . . . . . 6  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
5 isator0sp.w . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
6 isator0sp.x . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
71, 2, 3, 4, 5, 6lsatspn0 32650 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } )  e.  A  <->  X  =/=  .0.  ) )
87biimprd 223 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X  =/=  .0.  ->  ( N `  { X } )  e.  A
) )
98necon1bd 2684 . . 3  |-  ( ph  ->  ( -.  ( N `
 { X }
)  e.  A  ->  X  =  .0.  )
)
101, 3, 2lspsneq0 17098 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  (
( N `  { X } )  =  {  .0.  }  <->  X  =  .0.  ) )
115, 6, 10syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } )  =  {  .0.  }  <->  X  =  .0.  ) )
129, 11sylibrd 234 . 2  |-  ( ph  ->  ( -.  ( N `
 { X }
)  e.  A  -> 
( N `  { X } )  =  {  .0.  } ) )
1312orrd 378 1  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } )  e.  A  \/  ( N `
 { X }
)  =  {  .0.  } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2611   {csn 3882   ` cfv 5423   Basecbs 14179   0gc0g 14383   LModclmod 16953   LSpanclspn 17057  LSAtomsclsa 32624
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-er 7106  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-nn 10328  df-2 10385  df-ndx 14182  df-slot 14183  df-base 14184  df-sets 14185  df-plusg 14256  df-0g 14385  df-mnd 15420  df-grp 15550  df-mgp 16597  df-rng 16652  df-lmod 16955  df-lss 17019  df-lsp 17058  df-lsatoms 32626
This theorem is referenced by:  mapdspex  35318
  Copyright terms: Public domain W3C validator