Theorem lsatnem0 32623

Description: The meet of distinct atoms is the zero subspace. (atnemeq0 28042 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsatnem0.o	|- .0. = ( 0g ` W )
lsatnem0.a	|- A = (LSAtoms ` W )
lsatnem0.w	|- ( ph -> W e. LVec )
lsatnem0.q	|- ( ph -> Q e. A )
lsatnem0.r	|- ( ph -> R e. A )

Assertion

Ref	Expression
lsatnem0	|- ( ph -> ( Q =/= R <-> ( Q i^i R ) = { .0. } ) )

Proof of Theorem lsatnem0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsatnem0.a	. . . . 5 |- A = (LSAtoms ` W )
2		lsatnem0.w	. . . . 5 |- ( ph -> W e. LVec )
3		lsatnem0.r	. . . . 5 |- ( ph -> R e. A )
4		lsatnem0.q	. . . . 5 |- ( ph -> Q e. A )
5	1, 2, 3, 4	lsatcmp 32581	. . . 4 |- ( ph -> ( R C_ Q <-> R = Q ) )
6		eqcom 2460	. . . 4 |- ( R = Q <-> Q = R )
7	5, 6	syl6bb 265	. . 3 |- ( ph -> ( R C_ Q <-> Q = R ) )
8	7	necon3bbid 2663	. 2 |- ( ph -> ( -. R C_ Q <-> Q =/= R ) )
9		lsatnem0.o	. . 3 |- .0. = ( 0g ` W )
10		eqid 2453	. . 3 |- ( LSubSp ` W ) = ( LSubSp ` W )
11		lveclmod 18341	. . . . 5 |- ( W e. LVec -> W e. LMod )
12	2, 11	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> W e. LMod )
13	10, 1, 12, 4	lsatlssel 32575	. . 3 |- ( ph -> Q e. ( LSubSp ` W ) )
14	9, 10, 1, 2, 13, 3	lsatnle 32622	. 2 |- ( ph -> ( -. R C_ Q <-> ( Q i^i R ) = { .0. } ) )
15	8, 14	bitr3d 259	1 |- ( ph -> ( Q =/= R <-> ( Q i^i R ) = { .0. } ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 188   = wceq 1446   e. wcel 1889   =/= wne 2624   i^i cin 3405   C_ wss 3406   {csn 3970   ` cfv 5585   0gc0g 15350   LModclmod 18103   LSubSpclss 18167   LVecclvec 18337  LSAtomsclsa 32552

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-iin 4284  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-tpos 6978  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-oadd 7191  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-ndx 15136  df-slot 15137  df-base 15138  df-sets 15139  df-ress 15140  df-plusg 15215  df-mulr 15216  df-0g 15352  df-mre 15504  df-mrc 15505  df-acs 15507  df-mgm 16500  df-sgrp 16539  df-mnd 16549  df-submnd 16595  df-grp 16685  df-minusg 16686  df-sbg 16687  df-subg 16826  df-cntz 16983  df-oppg 17009  df-lsm 17300  df-cmn 17444  df-abl 17445  df-mgp 17736  df-ur 17748  df-ring 17794  df-oppr 17863  df-dvdsr 17881  df-unit 17882  df-invr 17912  df-drng 17989  df-lmod 18105  df-lss 18168  df-lsp 18207  df-lvec 18338  df-lsatoms 32554  df-lcv 32597

This theorem is referenced by:  lsatexch1  32624  lsatcv0eq  32625  lsatcvatlem  32627