Theorem lsatnem0 34913

Description: The meet of distinct atoms is the zero subspace. (atnemeq0 27423 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsatnem0.o	|- .0. = ( 0g ` W )
lsatnem0.a	|- A = (LSAtoms ` W )
lsatnem0.w	|- ( ph -> W e. LVec )
lsatnem0.q	|- ( ph -> Q e. A )
lsatnem0.r	|- ( ph -> R e. A )

Assertion

Ref	Expression
lsatnem0	|- ( ph -> ( Q =/= R <-> ( Q i^i R ) = { .0. } ) )

Proof of Theorem lsatnem0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsatnem0.a	. . . . 5 |- A = (LSAtoms ` W )
2		lsatnem0.w	. . . . 5 |- ( ph -> W e. LVec )
3		lsatnem0.r	. . . . 5 |- ( ph -> R e. A )
4		lsatnem0.q	. . . . 5 |- ( ph -> Q e. A )
5	1, 2, 3, 4	lsatcmp 34871	. . . 4 |- ( ph -> ( R C_ Q <-> R = Q ) )
6		eqcom 2466	. . . 4 |- ( R = Q <-> Q = R )
7	5, 6	syl6bb 261	. . 3 |- ( ph -> ( R C_ Q <-> Q = R ) )
8	7	necon3bbid 2704	. 2 |- ( ph -> ( -. R C_ Q <-> Q =/= R ) )
9		lsatnem0.o	. . 3 |- .0. = ( 0g ` W )
10		eqid 2457	. . 3 |- ( LSubSp ` W ) = ( LSubSp ` W )
11		lveclmod 17879	. . . . 5 |- ( W e. LVec -> W e. LMod )
12	2, 11	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> W e. LMod )
13	10, 1, 12, 4	lsatlssel 34865	. . 3 |- ( ph -> Q e. ( LSubSp ` W ) )
14	9, 10, 1, 2, 13, 3	lsatnle 34912	. 2 |- ( ph -> ( -. R C_ Q <-> ( Q i^i R ) = { .0. } ) )
15	8, 14	bitr3d 255	1 |- ( ph -> ( Q =/= R <-> ( Q i^i R ) = { .0. } ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   = wceq 1395   e. wcel 1819   =/= wne 2652   i^i cin 3470   C_ wss 3471   {csn 4032   ` cfv 5594   0gc0g 14857   LModclmod 17639   LSubSpclss 17705   LVecclvec 17875  LSAtomsclsa 34842

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-tpos 6973  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-0g 14859  df-mre 15003  df-mrc 15004  df-acs 15006  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-submnd 16094  df-grp 16184  df-minusg 16185  df-sbg 16186  df-subg 16325  df-cntz 16482  df-oppg 16508  df-lsm 16783  df-cmn 16927  df-abl 16928  df-mgp 17269  df-ur 17281  df-ring 17327  df-oppr 17399  df-dvdsr 17417  df-unit 17418  df-invr 17448  df-drng 17525  df-lmod 17641  df-lss 17706  df-lsp 17745  df-lvec 17876  df-lsatoms 34844  df-lcv 34887

This theorem is referenced by:  lsatexch1  34914  lsatcv0eq  34915  lsatcvatlem  34917