Theorem lsatnem0 32702

Description: The meet of distinct atoms is the zero subspace. (atnemeq0 25793 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsatnem0.o	|- .0. = ( 0g ` W )
lsatnem0.a	|- A = (LSAtoms ` W )
lsatnem0.w	|- ( ph -> W e. LVec )
lsatnem0.q	|- ( ph -> Q e. A )
lsatnem0.r	|- ( ph -> R e. A )

Assertion

Ref	Expression
lsatnem0	|- ( ph -> ( Q =/= R <-> ( Q i^i R ) = { .0. } ) )

Proof of Theorem lsatnem0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsatnem0.a	. . . . 5 |- A = (LSAtoms ` W )
2		lsatnem0.w	. . . . 5 |- ( ph -> W e. LVec )
3		lsatnem0.r	. . . . 5 |- ( ph -> R e. A )
4		lsatnem0.q	. . . . 5 |- ( ph -> Q e. A )
5	1, 2, 3, 4	lsatcmp 32660	. . . 4 |- ( ph -> ( R C_ Q <-> R = Q ) )
6		eqcom 2445	. . . 4 |- ( R = Q <-> Q = R )
7	5, 6	syl6bb 261	. . 3 |- ( ph -> ( R C_ Q <-> Q = R ) )
8	7	necon3bbid 2654	. 2 |- ( ph -> ( -. R C_ Q <-> Q =/= R ) )
9		lsatnem0.o	. . 3 |- .0. = ( 0g ` W )
10		eqid 2443	. . 3 |- ( LSubSp ` W ) = ( LSubSp ` W )
11		lveclmod 17199	. . . . 5 |- ( W e. LVec -> W e. LMod )
12	2, 11	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> W e. LMod )
13	10, 1, 12, 4	lsatlssel 32654	. . 3 |- ( ph -> Q e. ( LSubSp ` W ) )
14	9, 10, 1, 2, 13, 3	lsatnle 32701	. 2 |- ( ph -> ( -. R C_ Q <-> ( Q i^i R ) = { .0. } ) )
15	8, 14	bitr3d 255	1 |- ( ph -> ( Q =/= R <-> ( Q i^i R ) = { .0. } ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   = wceq 1369   e. wcel 1756   =/= wne 2618   i^i cin 3339   C_ wss 3340   {csn 3889   ` cfv 5430   0gc0g 14390   LModclmod 16960   LSubSpclss 17025   LVecclvec 17195  LSAtomsclsa 32631

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-int 4141  df-iun 4185  df-iin 4186  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-tpos 6757  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-1o 6932  df-oadd 6936  df-er 7113  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-fin 7326  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-nn 10335  df-2 10392  df-3 10393  df-ndx 14189  df-slot 14190  df-base 14191  df-sets 14192  df-ress 14193  df-plusg 14263  df-mulr 14264  df-0g 14392  df-mre 14536  df-mrc 14537  df-acs 14539  df-mnd 15427  df-submnd 15477  df-grp 15557  df-minusg 15558  df-sbg 15559  df-subg 15690  df-cntz 15847  df-oppg 15873  df-lsm 16147  df-cmn 16291  df-abl 16292  df-mgp 16604  df-ur 16616  df-rng 16659  df-oppr 16727  df-dvdsr 16745  df-unit 16746  df-invr 16776  df-drng 16846  df-lmod 16962  df-lss 17026  df-lsp 17065  df-lvec 17196  df-lsatoms 32633  df-lcv 32676

This theorem is referenced by:  lsatexch1  32703  lsatcv0eq  32704  lsatcvatlem  32706