Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsatn0 Structured version   Unicode version

Theorem lsatn0 35137
Description: A 1-dim subspace (atom) of a left module or left vector space is nonzero. (atne0 27380 analog.) (Contributed by NM, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lsatn0.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
lsatn0.a  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
lsatn0.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
lsatn0.u  |-  ( ph  ->  U  e.  A )
Assertion
Ref Expression
lsatn0  |-  ( ph  ->  U  =/=  {  .0.  } )

Proof of Theorem lsatn0
Dummy variable  v is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lsatn0.u . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  A )
2 lsatn0.w . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
3 eqid 2382 . . . . 5  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
4 eqid 2382 . . . . 5  |-  ( LSpan `  W )  =  (
LSpan `  W )
5 lsatn0.o . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
6 lsatn0.a . . . . 5  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
73, 4, 5, 6islsat 35129 . . . 4  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( U  e.  A  <->  E. v  e.  ( ( Base `  W
)  \  {  .0.  } ) U  =  ( ( LSpan `  W ) `  { v } ) ) )
82, 7syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( U  e.  A  <->  E. v  e.  ( (
Base `  W )  \  {  .0.  } ) U  =  ( (
LSpan `  W ) `  { v } ) ) )
91, 8mpbid 210 . 2  |-  ( ph  ->  E. v  e.  ( ( Base `  W
)  \  {  .0.  } ) U  =  ( ( LSpan `  W ) `  { v } ) )
10 eldifsn 4069 . . . . 5  |-  ( v  e.  ( ( Base `  W )  \  {  .0.  } )  <->  ( v  e.  ( Base `  W
)  /\  v  =/=  .0.  ) )
113, 5, 4lspsneq0 17771 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  v  e.  ( Base `  W
) )  ->  (
( ( LSpan `  W
) `  { v } )  =  {  .0.  }  <->  v  =  .0.  ) )
122, 11sylan 469 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( Base `  W )
)  ->  ( (
( LSpan `  W ) `  { v } )  =  {  .0.  }  <->  v  =  .0.  ) )
1312biimpd 207 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( Base `  W )
)  ->  ( (
( LSpan `  W ) `  { v } )  =  {  .0.  }  ->  v  =  .0.  )
)
1413necon3d 2606 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( Base `  W )
)  ->  ( v  =/=  .0.  ->  ( ( LSpan `  W ) `  { v } )  =/=  {  .0.  }
) )
1514expimpd 601 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( v  e.  ( Base `  W
)  /\  v  =/=  .0.  )  ->  ( (
LSpan `  W ) `  { v } )  =/=  {  .0.  }
) )
1610, 15syl5bi 217 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( v  e.  ( ( Base `  W
)  \  {  .0.  } )  ->  ( ( LSpan `  W ) `  { v } )  =/=  {  .0.  }
) )
17 neeq1 2663 . . . . 5  |-  ( U  =  ( ( LSpan `  W ) `  {
v } )  -> 
( U  =/=  {  .0.  }  <->  ( ( LSpan `  W ) `  {
v } )  =/= 
{  .0.  } ) )
1817biimprcd 225 . . . 4  |-  ( ( ( LSpan `  W ) `  { v } )  =/=  {  .0.  }  ->  ( U  =  ( ( LSpan `  W ) `  { v } )  ->  U  =/=  {  .0.  } ) )
1916, 18syl6 33 . . 3  |-  ( ph  ->  ( v  e.  ( ( Base `  W
)  \  {  .0.  } )  ->  ( U  =  ( ( LSpan `  W ) `  {
v } )  ->  U  =/=  {  .0.  }
) ) )
2019rexlimdv 2872 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. v  e.  ( ( Base `  W
)  \  {  .0.  } ) U  =  ( ( LSpan `  W ) `  { v } )  ->  U  =/=  {  .0.  } ) )
219, 20mpd 15 1  |-  ( ph  ->  U  =/=  {  .0.  } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1826    =/= wne 2577   E.wrex 2733    \ cdif 3386   {csn 3944   ` cfv 5496   Basecbs 14634   0gc0g 14847   LModclmod 17625   LSpanclspn 17730  LSAtomsclsa 35112
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-er 7229  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-nn 10453  df-2 10511  df-ndx 14637  df-slot 14638  df-base 14639  df-sets 14640  df-plusg 14715  df-0g 14849  df-mgm 15989  df-sgrp 16028  df-mnd 16038  df-grp 16174  df-mgp 17255  df-ring 17313  df-lmod 17627  df-lss 17692  df-lsp 17731  df-lsatoms 35114
This theorem is referenced by:  lsatspn0  35138  lsatssn0  35140  lsatcmp  35141  lsatcv0  35169  dochsat  37523  dochsatshp  37591  dochshpsat  37594  dochexmidlem1  37600
  Copyright terms: Public domain W3C validator