Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsatn0 Structured version   Unicode version

Theorem lsatn0 32950
Description: A 1-dim subspace (atom) of a left module or left vector space is nonzero. (atne0 25884 analog.) (Contributed by NM, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lsatn0.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
lsatn0.a  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
lsatn0.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
lsatn0.u  |-  ( ph  ->  U  e.  A )
Assertion
Ref Expression
lsatn0  |-  ( ph  ->  U  =/=  {  .0.  } )

Proof of Theorem lsatn0
Dummy variable  v is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lsatn0.u . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  A )
2 lsatn0.w . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
3 eqid 2451 . . . . 5  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
4 eqid 2451 . . . . 5  |-  ( LSpan `  W )  =  (
LSpan `  W )
5 lsatn0.o . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
6 lsatn0.a . . . . 5  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
73, 4, 5, 6islsat 32942 . . . 4  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( U  e.  A  <->  E. v  e.  ( ( Base `  W
)  \  {  .0.  } ) U  =  ( ( LSpan `  W ) `  { v } ) ) )
82, 7syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( U  e.  A  <->  E. v  e.  ( (
Base `  W )  \  {  .0.  } ) U  =  ( (
LSpan `  W ) `  { v } ) ) )
91, 8mpbid 210 . 2  |-  ( ph  ->  E. v  e.  ( ( Base `  W
)  \  {  .0.  } ) U  =  ( ( LSpan `  W ) `  { v } ) )
10 eldifsn 4098 . . . . 5  |-  ( v  e.  ( ( Base `  W )  \  {  .0.  } )  <->  ( v  e.  ( Base `  W
)  /\  v  =/=  .0.  ) )
113, 5, 4lspsneq0 17199 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  v  e.  ( Base `  W
) )  ->  (
( ( LSpan `  W
) `  { v } )  =  {  .0.  }  <->  v  =  .0.  ) )
122, 11sylan 471 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( Base `  W )
)  ->  ( (
( LSpan `  W ) `  { v } )  =  {  .0.  }  <->  v  =  .0.  ) )
1312biimpd 207 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( Base `  W )
)  ->  ( (
( LSpan `  W ) `  { v } )  =  {  .0.  }  ->  v  =  .0.  )
)
1413necon3d 2672 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( Base `  W )
)  ->  ( v  =/=  .0.  ->  ( ( LSpan `  W ) `  { v } )  =/=  {  .0.  }
) )
1514expimpd 603 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( v  e.  ( Base `  W
)  /\  v  =/=  .0.  )  ->  ( (
LSpan `  W ) `  { v } )  =/=  {  .0.  }
) )
1610, 15syl5bi 217 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( v  e.  ( ( Base `  W
)  \  {  .0.  } )  ->  ( ( LSpan `  W ) `  { v } )  =/=  {  .0.  }
) )
17 neeq1 2729 . . . . 5  |-  ( U  =  ( ( LSpan `  W ) `  {
v } )  -> 
( U  =/=  {  .0.  }  <->  ( ( LSpan `  W ) `  {
v } )  =/= 
{  .0.  } ) )
1817biimprcd 225 . . . 4  |-  ( ( ( LSpan `  W ) `  { v } )  =/=  {  .0.  }  ->  ( U  =  ( ( LSpan `  W ) `  { v } )  ->  U  =/=  {  .0.  } ) )
1916, 18syl6 33 . . 3  |-  ( ph  ->  ( v  e.  ( ( Base `  W
)  \  {  .0.  } )  ->  ( U  =  ( ( LSpan `  W ) `  {
v } )  ->  U  =/=  {  .0.  }
) ) )
2019rexlimdv 2936 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. v  e.  ( ( Base `  W
)  \  {  .0.  } ) U  =  ( ( LSpan `  W ) `  { v } )  ->  U  =/=  {  .0.  } ) )
219, 20mpd 15 1  |-  ( ph  ->  U  =/=  {  .0.  } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2644   E.wrex 2796    \ cdif 3423   {csn 3975   ` cfv 5516   Basecbs 14276   0gc0g 14480   LModclmod 17054   LSpanclspn 17158  LSAtomsclsa 32925
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4501  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-cnex 9439  ax-resscn 9440  ax-1cn 9441  ax-icn 9442  ax-addcl 9443  ax-addrcl 9444  ax-mulcl 9445  ax-mulrcl 9446  ax-mulcom 9447  ax-addass 9448  ax-mulass 9449  ax-distr 9450  ax-i2m1 9451  ax-1ne0 9452  ax-1rid 9453  ax-rnegex 9454  ax-rrecex 9455  ax-cnre 9456  ax-pre-lttri 9457  ax-pre-lttrn 9458  ax-pre-ltadd 9459  ax-pre-mulgt0 9460
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-pss 3442  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-tp 3980  df-op 3982  df-uni 4190  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-tr 4484  df-eprel 4730  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-fr 4777  df-we 4779  df-ord 4820  df-on 4821  df-lim 4822  df-suc 4823  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-om 6577  df-recs 6932  df-rdg 6966  df-er 7201  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-pnf 9521  df-mnf 9522  df-xr 9523  df-ltxr 9524  df-le 9525  df-sub 9698  df-neg 9699  df-nn 10424  df-2 10481  df-ndx 14279  df-slot 14280  df-base 14281  df-sets 14282  df-plusg 14353  df-0g 14482  df-mnd 15517  df-grp 15647  df-mgp 16697  df-rng 16753  df-lmod 17056  df-lss 17120  df-lsp 17159  df-lsatoms 32927
This theorem is referenced by:  lsatspn0  32951  lsatssn0  32953  lsatcmp  32954  lsatcv0  32982  dochsat  35334  dochsatshp  35402  dochshpsat  35405  dochexmidlem1  35411
  Copyright terms: Public domain W3C validator