Theorem lsatlspsn 32636

Description: The span of a non-zero singleton is an atom. (Contributed by NM, 16-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsatset.v	|- V = ( Base ` W )
lsatset.n	|- N = ( LSpan ` W )
lsatset.z	|- .0. = ( 0g ` W )
lsatset.a	|- A = (LSAtoms ` W )
lsatlspsn.w	|- ( ph -> W e. LMod )
lsatlspsn.x	|- ( ph -> X e. ( V \ { .0. } ) )

Assertion

Ref	Expression
lsatlspsn	|- ( ph -> ( N ` { X } ) e. A )

Proof of Theorem lsatlspsn

Dummy variable v is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsatlspsn.x	. . 3 |- ( ph -> X e. ( V \ { .0. } ) )
2		eqid 2442	. . 3 |- ( N ` { X } ) = ( N ` { X } )
3		sneq 3886	. . . . . 6 |- ( v = X -> { v } = { X } )
4	3	fveq2d 5694	. . . . 5 |- ( v = X -> ( N ` { v } ) = ( N ` { X } ) )
5	4	eqeq2d 2453	. . . 4 |- ( v = X -> ( ( N ` { X } ) = ( N ` { v } ) <-> ( N ` { X } ) = ( N ` { X } ) ) )
6	5	rspcev 3072	. . 3 |- ( ( X e. ( V \ { .0. } ) /\ ( N ` { X } ) = ( N ` { X } ) ) -> E. v e. ( V \ { .0. } ) ( N ` { X } ) = ( N ` { v } ) )
7	1, 2, 6	sylancl 662	. 2 |- ( ph -> E. v e. ( V \ { .0. } ) ( N ` { X } ) = ( N ` { v } ) )
8		lsatlspsn.w	. . 3 |- ( ph -> W e. LMod )
9		lsatset.v	. . . 4 |- V = ( Base ` W )
10		lsatset.n	. . . 4 |- N = ( LSpan ` W )
11		lsatset.z	. . . 4 |- .0. = ( 0g ` W )
12		lsatset.a	. . . 4 |- A = (LSAtoms ` W )
13	9, 10, 11, 12	islsat 32634	. . 3 |- ( W e. LMod -> ( ( N ` { X } ) e. A <-> E. v e. ( V \ { .0. } ) ( N ` { X } ) = ( N ` { v } ) ) )
14	8, 13	syl 16	. 2 |- ( ph -> ( ( N ` { X } ) e. A <-> E. v e. ( V \ { .0. } ) ( N ` { X } ) = ( N ` { v } ) ) )
15	7, 14	mpbird 232	1 |- ( ph -> ( N ` { X } ) e. A )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   = wceq 1369   e. wcel 1756   E.wrex 2715   \ cdif 3324   {csn 3876   ` cfv 5417   Basecbs 14173   0gc0g 14377   LModclmod 16947   LSpanclspn 17051  LSAtomsclsa 32617

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-ral 2719  df-rex 2720  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-op 3883  df-uni 4091  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-id 4635  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-fv 5425  df-lsatoms 32619

This theorem is referenced by:  lsatspn0  32643  dvh4dimlem  35086  dochsnshp  35096  lclkrlem2a  35150  lclkrlem2c  35152  lclkrlem2e  35154  lcfrlem20  35205  mapdrvallem2  35288  mapdpglem20  35334  mapdpglem30a  35338  mapdpglem30b  35339  hdmaprnlem3eN  35504  hdmaprnlem16N  35508