Theorem lsatlspsn 34861

Description: The span of a non-zero singleton is an atom. (Contributed by NM, 16-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsatset.v	|- V = ( Base ` W )
lsatset.n	|- N = ( LSpan ` W )
lsatset.z	|- .0. = ( 0g ` W )
lsatset.a	|- A = (LSAtoms ` W )
lsatlspsn.w	|- ( ph -> W e. LMod )
lsatlspsn.x	|- ( ph -> X e. ( V \ { .0. } ) )

Assertion

Ref	Expression
lsatlspsn	|- ( ph -> ( N ` { X } ) e. A )

Proof of Theorem lsatlspsn

Dummy variable v is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsatlspsn.x	. . 3 |- ( ph -> X e. ( V \ { .0. } ) )
2		eqid 2457	. . 3 |- ( N ` { X } ) = ( N ` { X } )
3		sneq 4042	. . . . . 6 |- ( v = X -> { v } = { X } )
4	3	fveq2d 5876	. . . . 5 |- ( v = X -> ( N ` { v } ) = ( N ` { X } ) )
5	4	eqeq2d 2471	. . . 4 |- ( v = X -> ( ( N ` { X } ) = ( N ` { v } ) <-> ( N ` { X } ) = ( N ` { X } ) ) )
6	5	rspcev 3210	. . 3 |- ( ( X e. ( V \ { .0. } ) /\ ( N ` { X } ) = ( N ` { X } ) ) -> E. v e. ( V \ { .0. } ) ( N ` { X } ) = ( N ` { v } ) )
7	1, 2, 6	sylancl 662	. 2 |- ( ph -> E. v e. ( V \ { .0. } ) ( N ` { X } ) = ( N ` { v } ) )
8		lsatlspsn.w	. . 3 |- ( ph -> W e. LMod )
9		lsatset.v	. . . 4 |- V = ( Base ` W )
10		lsatset.n	. . . 4 |- N = ( LSpan ` W )
11		lsatset.z	. . . 4 |- .0. = ( 0g ` W )
12		lsatset.a	. . . 4 |- A = (LSAtoms ` W )
13	9, 10, 11, 12	islsat 34859	. . 3 |- ( W e. LMod -> ( ( N ` { X } ) e. A <-> E. v e. ( V \ { .0. } ) ( N ` { X } ) = ( N ` { v } ) ) )
14	8, 13	syl 16	. 2 |- ( ph -> ( ( N ` { X } ) e. A <-> E. v e. ( V \ { .0. } ) ( N ` { X } ) = ( N ` { v } ) ) )
15	7, 14	mpbird 232	1 |- ( ph -> ( N ` { X } ) e. A )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   = wceq 1395   e. wcel 1819   E.wrex 2808   \ cdif 3468   {csn 4032   ` cfv 5594   Basecbs 14644   0gc0g 14857   LModclmod 17639   LSpanclspn 17744  LSAtomsclsa 34842

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-fv 5602  df-lsatoms 34844

This theorem is referenced by:  lsatspn0  34868  dvh4dimlem  37313  dochsnshp  37323  lclkrlem2a  37377  lclkrlem2c  37379  lclkrlem2e  37381  lcfrlem20  37432  mapdrvallem2  37515  mapdpglem20  37561  mapdpglem30a  37565  mapdpglem30b  37566  hdmaprnlem3eN  37731  hdmaprnlem16N  37735