Theorem lsatlspsn 32553

Description: The span of a non-zero singleton is an atom. (Contributed by NM, 16-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsatset.v	|- V = ( Base ` W )
lsatset.n	|- N = ( LSpan ` W )
lsatset.z	|- .0. = ( 0g ` W )
lsatset.a	|- A = (LSAtoms ` W )
lsatlspsn.w	|- ( ph -> W e. LMod )
lsatlspsn.x	|- ( ph -> X e. ( V \ { .0. } ) )

Assertion

Ref	Expression
lsatlspsn	|- ( ph -> ( N ` { X } ) e. A )

Proof of Theorem lsatlspsn

Dummy variable v is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsatlspsn.x	. . 3 |- ( ph -> X e. ( V \ { .0. } ) )
2		eqid 2450	. . 3 |- ( N ` { X } ) = ( N ` { X } )
3		sneq 3977	. . . . . 6 |- ( v = X -> { v } = { X } )
4	3	fveq2d 5867	. . . . 5 |- ( v = X -> ( N ` { v } ) = ( N ` { X } ) )
5	4	eqeq2d 2460	. . . 4 |- ( v = X -> ( ( N ` { X } ) = ( N ` { v } ) <-> ( N ` { X } ) = ( N ` { X } ) ) )
6	5	rspcev 3149	. . 3 |- ( ( X e. ( V \ { .0. } ) /\ ( N ` { X } ) = ( N ` { X } ) ) -> E. v e. ( V \ { .0. } ) ( N ` { X } ) = ( N ` { v } ) )
7	1, 2, 6	sylancl 667	. 2 |- ( ph -> E. v e. ( V \ { .0. } ) ( N ` { X } ) = ( N ` { v } ) )
8		lsatlspsn.w	. . 3 |- ( ph -> W e. LMod )
9		lsatset.v	. . . 4 |- V = ( Base ` W )
10		lsatset.n	. . . 4 |- N = ( LSpan ` W )
11		lsatset.z	. . . 4 |- .0. = ( 0g ` W )
12		lsatset.a	. . . 4 |- A = (LSAtoms ` W )
13	9, 10, 11, 12	islsat 32551	. . 3 |- ( W e. LMod -> ( ( N ` { X } ) e. A <-> E. v e. ( V \ { .0. } ) ( N ` { X } ) = ( N ` { v } ) ) )
14	8, 13	syl 17	. 2 |- ( ph -> ( ( N ` { X } ) e. A <-> E. v e. ( V \ { .0. } ) ( N ` { X } ) = ( N ` { v } ) ) )
15	7, 14	mpbird 236	1 |- ( ph -> ( N ` { X } ) e. A )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   = wceq 1443   e. wcel 1886   E.wrex 2737   \ cdif 3400   {csn 3967   ` cfv 5581   Basecbs 15114   0gc0g 15331   LModclmod 18084   LSpanclspn 18187  LSAtomsclsa 32534

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-op 3974  df-uni 4198  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-id 4748  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-fv 5589  df-lsatoms 32536

This theorem is referenced by:  lsatspn0  32560  dvh4dimlem  35005  dochsnshp  35015  lclkrlem2a  35069  lclkrlem2c  35071  lclkrlem2e  35073  lcfrlem20  35124  mapdrvallem2  35207  mapdpglem20  35253  mapdpglem30a  35257  mapdpglem30b  35258  hdmaprnlem3eN  35423  hdmaprnlem16N  35427