Theorem lsatlspsn 34083

Description: The span of a non-zero singleton is an atom. (Contributed by NM, 16-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsatset.v	|- V = ( Base ` W )
lsatset.n	|- N = ( LSpan ` W )
lsatset.z	|- .0. = ( 0g ` W )
lsatset.a	|- A = (LSAtoms ` W )
lsatlspsn.w	|- ( ph -> W e. LMod )
lsatlspsn.x	|- ( ph -> X e. ( V \ { .0. } ) )

Assertion

Ref	Expression
lsatlspsn	|- ( ph -> ( N ` { X } ) e. A )

Proof of Theorem lsatlspsn

Dummy variable v is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsatlspsn.x	. . 3 |- ( ph -> X e. ( V \ { .0. } ) )
2		eqid 2467	. . 3 |- ( N ` { X } ) = ( N ` { X } )
3		sneq 4042	. . . . . 6 |- ( v = X -> { v } = { X } )
4	3	fveq2d 5875	. . . . 5 |- ( v = X -> ( N ` { v } ) = ( N ` { X } ) )
5	4	eqeq2d 2481	. . . 4 |- ( v = X -> ( ( N ` { X } ) = ( N ` { v } ) <-> ( N ` { X } ) = ( N ` { X } ) ) )
6	5	rspcev 3219	. . 3 |- ( ( X e. ( V \ { .0. } ) /\ ( N ` { X } ) = ( N ` { X } ) ) -> E. v e. ( V \ { .0. } ) ( N ` { X } ) = ( N ` { v } ) )
7	1, 2, 6	sylancl 662	. 2 |- ( ph -> E. v e. ( V \ { .0. } ) ( N ` { X } ) = ( N ` { v } ) )
8		lsatlspsn.w	. . 3 |- ( ph -> W e. LMod )
9		lsatset.v	. . . 4 |- V = ( Base ` W )
10		lsatset.n	. . . 4 |- N = ( LSpan ` W )
11		lsatset.z	. . . 4 |- .0. = ( 0g ` W )
12		lsatset.a	. . . 4 |- A = (LSAtoms ` W )
13	9, 10, 11, 12	islsat 34081	. . 3 |- ( W e. LMod -> ( ( N ` { X } ) e. A <-> E. v e. ( V \ { .0. } ) ( N ` { X } ) = ( N ` { v } ) ) )
14	8, 13	syl 16	. 2 |- ( ph -> ( ( N ` { X } ) e. A <-> E. v e. ( V \ { .0. } ) ( N ` { X } ) = ( N ` { v } ) ) )
15	7, 14	mpbird 232	1 |- ( ph -> ( N ` { X } ) e. A )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   = wceq 1379   e. wcel 1767   E.wrex 2818   \ cdif 3478   {csn 4032   ` cfv 5593   Basecbs 14502   0gc0g 14707   LModclmod 17360   LSpanclspn 17465  LSAtomsclsa 34064

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6586

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4251  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-fv 5601  df-lsatoms 34066

This theorem is referenced by:  lsatspn0  34090  dvh4dimlem  36533  dochsnshp  36543  lclkrlem2a  36597  lclkrlem2c  36599  lclkrlem2e  36601  lcfrlem20  36652  mapdrvallem2  36735  mapdpglem20  36781  mapdpglem30a  36785  mapdpglem30b  36786  hdmaprnlem3eN  36951  hdmaprnlem16N  36955