Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsatexch Unicode version

Theorem lsatexch 27922
 Description: The atom exchange property. Proposition 1(i) of [Kalmbach] p. 140. A version of this theorem was originally proved by Hermann Grassmann in 1862. (atexch 22791 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsatexch.s
lsatexch.p
lsatexch.o
lsatexch.a LSAtoms
lsatexch.w
lsatexch.u
lsatexch.q
lsatexch.r
lsatexch.l
lsatexch.z
Assertion
Ref Expression
lsatexch

Proof of Theorem lsatexch
StepHypRef Expression
1 lsatexch.w . . . . . 6
2 lveclmod 15694 . . . . . 6
31, 2syl 17 . . . . 5
4 lsatexch.s . . . . . 6
54lsssssubg 15550 . . . . 5 SubGrp
63, 5syl 17 . . . 4 SubGrp
7 lsatexch.u . . . 4
86, 7sseldd 3104 . . 3 SubGrp
9 lsatexch.a . . . . 5 LSAtoms
10 lsatexch.r . . . . 5
114, 9, 3, 10lsatlssel 27876 . . . 4
126, 11sseldd 3104 . . 3 SubGrp
13 lsatexch.p . . . 4
1413lsmub2 14803 . . 3 SubGrp SubGrp
158, 12, 14syl2anc 645 . 2
16 eqid 2253 . . 3 L L
174, 13lsmcl 15671 . . . 4
183, 7, 11, 17syl3anc 1187 . . 3
19 lsatexch.q . . . . 5
204, 9, 3, 19lsatlssel 27876 . . . 4
214, 13lsmcl 15671 . . . 4
223, 7, 20, 21syl3anc 1187 . . 3
23 lsatexch.z . . . . . . 7
24 lsatexch.o . . . . . . . 8
254, 13, 24, 9, 16, 1, 7, 19lcvp 27919 . . . . . . 7 L
2623, 25mpbid 203 . . . . . 6 L
274, 16, 1, 7, 22, 26lcvpss 27903 . . . . 5
2813lsmub1 14802 . . . . . . 7 SubGrp SubGrp
298, 12, 28syl2anc 645 . . . . . 6
30 lsatexch.l . . . . . 6
316, 20sseldd 3104 . . . . . . 7 SubGrp
326, 18sseldd 3104 . . . . . . 7 SubGrp
3313lsmlub 14809 . . . . . . 7 SubGrp SubGrp SubGrp
348, 31, 32, 33syl3anc 1187 . . . . . 6
3529, 30, 34mpbi2and 892 . . . . 5
36 psssstr 3202 . . . . 5
3727, 35, 36syl2anc 645 . . . 4
384, 13, 9, 16, 1, 7, 10lcv2 27921 . . . 4 L
3937, 38mpbid 203 . . 3 L
404, 16, 1, 7, 18, 22, 39, 27, 35lcvnbtwn2 27906 . 2
4115, 40sseqtr4d 3136 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 6   wb 178   wa 360   wceq 1619   wcel 1621   cin 3077   wss 3078   wpss 3079  csn 3544   class class class wbr 3920  cfv 4592  (class class class)co 5710  c0g 13274  SubGrpcsubg 14450  clsm 14780  clmod 15462  clss 15524  clvec 15690  LSAtomsclsa 27853   L clcv 27897 This theorem is referenced by:  lsatexch1  27925 This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-iin 3806  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-tpos 6086  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-1o 6365  df-oadd 6369  df-er 6546  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-fin 6753  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-n 9627  df-2 9684  df-3 9685  df-ndx 13025  df-slot 13026  df-base 13027  df-sets 13028  df-ress 13029  df-plusg 13095  df-mulr 13096  df-0g 13278  df-mre 13361  df-mrc 13362  df-acs 13363  df-mnd 14202  df-submnd 14251  df-grp 14324  df-minusg 14325  df-sbg 14326  df-subg 14453  df-cntz 14628  df-oppg 14654  df-lsm 14782  df-cmn 14926  df-abl 14927  df-mgp 15161  df-ring 15175  df-ur 15177  df-oppr 15240  df-dvdsr 15258  df-unit 15259  df-invr 15289  df-drng 15349  df-lmod 15464  df-lss 15525  df-lsp 15564  df-lvec 15691  df-lsatoms 27855  df-lcv 27898
 Copyright terms: Public domain W3C validator