Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsatcveq0 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem lsatcveq0 32598
Description: A subspace covered by an atom must be the zero subspace. (atcveq0 28001 analog.) (Contributed by NM, 7-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsatcveq0.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
lsatcveq0.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lsatcveq0.a  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
lsatcveq0.c  |-  C  =  (  <oLL  `  W )
lsatcveq0.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lsatcveq0.u  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
lsatcveq0.q  |-  ( ph  ->  Q  e.  A )
Assertion
Ref Expression
lsatcveq0  |-  ( ph  ->  ( U C Q  <-> 
U  =  {  .0.  } ) )

Proof of Theorem lsatcveq0
StepHypRef Expression
1 lsatcveq0.s . . . . 5  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
2 lsatcveq0.c . . . . 5  |-  C  =  (  <oLL  `  W )
3 lsatcveq0.w . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
43adantr 467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  U C Q )  ->  W  e.  LVec )
5 lsatcveq0.u . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
65adantr 467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  U C Q )  ->  U  e.  S )
7 lsatcveq0.a . . . . . . 7  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
8 lveclmod 18329 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
93, 8syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
10 lsatcveq0.q . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Q  e.  A )
111, 7, 9, 10lsatlssel 32563 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Q  e.  S )
1211adantr 467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  U C Q )  ->  Q  e.  S )
13 simpr 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  U C Q )  ->  U C Q )
141, 2, 4, 6, 12, 13lcvpss 32590 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  U C Q )  ->  U  C.  Q )
1514ex 436 . . 3  |-  ( ph  ->  ( U C Q  ->  U  C.  Q
) )
16 lsatcveq0.o . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
1716, 7, 2, 3, 10lsatcv0 32597 . . . 4  |-  ( ph  ->  {  .0.  } C Q )
1833ad2ant1 1029 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  {  .0.  } C Q  /\  U  C.  Q )  ->  W  e.  LVec )
1916, 1lsssn0 18171 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  LMod  ->  {  .0.  }  e.  S )
209, 19syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  {  .0.  }  e.  S )
21203ad2ant1 1029 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  {  .0.  } C Q  /\  U  C.  Q )  ->  {  .0.  }  e.  S )
22113ad2ant1 1029 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  {  .0.  } C Q  /\  U  C.  Q )  ->  Q  e.  S )
2353ad2ant1 1029 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  {  .0.  } C Q  /\  U  C.  Q )  ->  U  e.  S )
24 simp2 1009 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  {  .0.  } C Q  /\  U  C.  Q )  ->  {  .0.  } C Q )
2516, 1lss0ss 18172 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  {  .0.  } 
C_  U )
269, 5, 25syl2anc 667 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  {  .0.  }  C_  U )
27263ad2ant1 1029 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  {  .0.  } C Q  /\  U  C.  Q )  ->  {  .0.  } 
C_  U )
28 simp3 1010 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  {  .0.  } C Q  /\  U  C.  Q )  ->  U  C.  Q )
291, 2, 18, 21, 22, 23, 24, 27, 28lcvnbtwn3 32594 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  {  .0.  } C Q  /\  U  C.  Q )  ->  U  =  {  .0.  } )
30293exp 1207 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( {  .0.  } C Q  ->  ( U 
C.  Q  ->  U  =  {  .0.  } ) ) )
3117, 30mpd 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( U  C.  Q  ->  U  =  {  .0.  } ) )
3215, 31syld 45 . 2  |-  ( ph  ->  ( U C Q  ->  U  =  {  .0.  } ) )
33 breq1 4405 . . 3  |-  ( U  =  {  .0.  }  ->  ( U C Q  <->  {  .0.  } C Q ) )
3417, 33syl5ibrcom 226 . 2  |-  ( ph  ->  ( U  =  {  .0.  }  ->  U C Q ) )
3532, 34impbid 194 1  |-  ( ph  ->  ( U C Q  <-> 
U  =  {  .0.  } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444    e. wcel 1887    C_ wss 3404    C. wpss 3405   {csn 3968   class class class wbr 4402   ` cfv 5582   0gc0g 15338   LModclmod 18091   LSubSpclss 18155   LVecclvec 18325  LSAtomsclsa 32540    <oLL clcv 32584
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-tpos 6973  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-0g 15340  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-grp 16673  df-minusg 16674  df-sbg 16675  df-cmn 17432  df-abl 17433  df-mgp 17724  df-ur 17736  df-ring 17782  df-oppr 17851  df-dvdsr 17869  df-unit 17870  df-invr 17900  df-drng 17977  df-lmod 18093  df-lss 18156  df-lsp 18195  df-lvec 18326  df-lsatoms 32542  df-lcv 32585
This theorem is referenced by:  lcvp  32606  lsatcv1  32614
  Copyright terms: Public domain W3C validator