Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsatcvatlem Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem lsatcvatlem 32615
Description: Lemma for lsatcvat 32616. (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsatcvat.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
lsatcvat.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lsatcvat.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
lsatcvat.a  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
lsatcvat.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lsatcvat.u  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
lsatcvat.q  |-  ( ph  ->  Q  e.  A )
lsatcvat.r  |-  ( ph  ->  R  e.  A )
lsatcvat.n  |-  ( ph  ->  U  =/=  {  .0.  } )
lsatcvat.l  |-  ( ph  ->  U  C.  ( Q  .(+) 
R ) )
lsatcvat.m  |-  ( ph  ->  -.  Q  C_  U
)
Assertion
Ref Expression
lsatcvatlem  |-  ( ph  ->  U  e.  A )

Proof of Theorem lsatcvatlem
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lsatcvat.s . . 3  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
2 lsatcvat.o . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
3 lsatcvat.a . . 3  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
4 lsatcvat.w . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
5 lveclmod 18329 . . . 4  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
64, 5syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
7 lsatcvat.u . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
8 lsatcvat.n . . 3  |-  ( ph  ->  U  =/=  {  .0.  } )
91, 2, 3, 6, 7, 8lssatomic 32577 . 2  |-  ( ph  ->  E. x  e.  A  x  C_  U )
10 eqid 2451 . . . . 5  |-  (  <oLL  `  W
)  =  (  <oLL  `  W
)
1143ad2ant1 1029 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  x  C_  U
)  ->  W  e.  LVec )
1263ad2ant1 1029 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  x  C_  U
)  ->  W  e.  LMod )
13 simp2 1009 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  x  C_  U
)  ->  x  e.  A )
141, 3, 12, 13lsatlssel 32563 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  x  C_  U
)  ->  x  e.  S )
15 lsatcvat.q . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Q  e.  A )
161, 3, 6, 15lsatlssel 32563 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Q  e.  S )
17163ad2ant1 1029 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  x  C_  U
)  ->  Q  e.  S )
18 lsatcvat.p . . . . . . 7  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
191, 18lsmcl 18306 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Q  e.  S  /\  x  e.  S )  ->  ( Q  .(+)  x )  e.  S )
2012, 17, 14, 19syl3anc 1268 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  x  C_  U
)  ->  ( Q  .(+) 
x )  e.  S
)
2173ad2ant1 1029 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  x  C_  U
)  ->  U  e.  S )
22 lsatcvat.m . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  -.  Q  C_  U
)
23223ad2ant1 1029 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  x  C_  U
)  ->  -.  Q  C_  U )
24 sseq1 3453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  Q  ->  (
x  C_  U  <->  Q  C_  U
) )
2524biimpcd 228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x 
C_  U  ->  (
x  =  Q  ->  Q  C_  U ) )
2625necon3bd 2638 . . . . . . . . . 10  |-  ( x 
C_  U  ->  ( -.  Q  C_  U  ->  x  =/=  Q ) )
27263ad2ant3 1031 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  x  C_  U
)  ->  ( -.  Q  C_  U  ->  x  =/=  Q ) )
2823, 27mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  x  C_  U
)  ->  x  =/=  Q )
29153ad2ant1 1029 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  x  C_  U
)  ->  Q  e.  A )
302, 3, 11, 13, 29lsatnem0 32611 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  x  C_  U
)  ->  ( x  =/=  Q  <->  ( x  i^i 
Q )  =  {  .0.  } ) )
3128, 30mpbid 214 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  x  C_  U
)  ->  ( x  i^i  Q )  =  {  .0.  } )
321, 18, 2, 3, 10, 11, 14, 29lcvp 32606 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  x  C_  U
)  ->  ( (
x  i^i  Q )  =  {  .0.  }  <->  x (  <oLL  `  W ) ( x 
.(+)  Q ) ) )
3331, 32mpbid 214 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  x  C_  U
)  ->  x (  <oLL  `  W ) ( x 
.(+)  Q ) )
34 lmodabl 18135 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Abel )
3512, 34syl 17 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  x  C_  U
)  ->  W  e.  Abel )
361lsssssubg 18181 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e.  LMod  ->  S  C_  (SubGrp `  W ) )
3712, 36syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  x  C_  U
)  ->  S  C_  (SubGrp `  W ) )
3837, 14sseldd 3433 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  x  C_  U
)  ->  x  e.  (SubGrp `  W ) )
3937, 17sseldd 3433 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  x  C_  U
)  ->  Q  e.  (SubGrp `  W ) )
4018lsmcom 17496 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  Abel  /\  x  e.  (SubGrp `  W )  /\  Q  e.  (SubGrp `  W ) )  -> 
( x  .(+)  Q )  =  ( Q  .(+)  x ) )
4135, 38, 39, 40syl3anc 1268 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  x  C_  U
)  ->  ( x  .(+) 
Q )  =  ( Q  .(+)  x )
)
4233, 41breqtrd 4427 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  x  C_  U
)  ->  x (  <oLL  `  W ) ( Q 
.(+)  x ) )
43 simp3 1010 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  x  C_  U
)  ->  x  C_  U
)
44 lsatcvat.l . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  C.  ( Q  .(+) 
R ) )
45443ad2ant1 1029 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  x  C_  U
)  ->  U  C.  ( Q  .(+)  R ) )
4618lsmub1 17308 . . . . . . . 8  |-  ( ( Q  e.  (SubGrp `  W )  /\  x  e.  (SubGrp `  W )
)  ->  Q  C_  ( Q  .(+)  x ) )
4739, 38, 46syl2anc 667 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  x  C_  U
)  ->  Q  C_  ( Q  .(+)  x ) )
48 lsatcvat.r . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  R  e.  A )
49483ad2ant1 1029 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  x  C_  U
)  ->  R  e.  A )
5044pssssd 3530 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  U  C_  ( Q  .(+) 
R ) )
51503ad2ant1 1029 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  x  C_  U
)  ->  U  C_  ( Q  .(+)  R ) )
5243, 51sstrd 3442 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  x  C_  U
)  ->  x  C_  ( Q  .(+)  R ) )
5318, 3, 11, 13, 49, 29, 52, 28lsatexch1 32612 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  x  C_  U
)  ->  R  C_  ( Q  .(+)  x ) )
541, 3, 6, 48lsatlssel 32563 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  R  e.  S )
55543ad2ant1 1029 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  x  C_  U
)  ->  R  e.  S )
5637, 55sseldd 3433 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  x  C_  U
)  ->  R  e.  (SubGrp `  W ) )
5737, 20sseldd 3433 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  x  C_  U
)  ->  ( Q  .(+) 
x )  e.  (SubGrp `  W ) )
5818lsmlub 17315 . . . . . . . 8  |-  ( ( Q  e.  (SubGrp `  W )  /\  R  e.  (SubGrp `  W )  /\  ( Q  .(+)  x )  e.  (SubGrp `  W
) )  ->  (
( Q  C_  ( Q  .(+)  x )  /\  R  C_  ( Q  .(+)  x ) )  <->  ( Q  .(+) 
R )  C_  ( Q  .(+)  x ) ) )
5939, 56, 57, 58syl3anc 1268 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  x  C_  U
)  ->  ( ( Q  C_  ( Q  .(+)  x )  /\  R  C_  ( Q  .(+)  x ) )  <->  ( Q  .(+)  R )  C_  ( Q  .(+) 
x ) ) )
6047, 53, 59mpbi2and 932 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  x  C_  U
)  ->  ( Q  .(+) 
R )  C_  ( Q  .(+)  x ) )
6145, 60psssstrd 3542 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  x  C_  U
)  ->  U  C.  ( Q  .(+)  x ) )
621, 10, 11, 14, 20, 21, 42, 43, 61lcvnbtwn3 32594 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  x  C_  U
)  ->  U  =  x )
6362, 13eqeltrd 2529 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  x  C_  U
)  ->  U  e.  A )
6463rexlimdv3a 2881 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  A  x  C_  U  ->  U  e.  A ) )
659, 64mpd 15 1  |-  ( ph  ->  U  e.  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444    e. wcel 1887    =/= wne 2622   E.wrex 2738    i^i cin 3403    C_ wss 3404    C. wpss 3405   {csn 3968   class class class wbr 4402   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   0gc0g 15338  SubGrpcsubg 16811   LSSumclsm 17286   Abelcabl 17431   LModclmod 18091   LSubSpclss 18155   LVecclvec 18325  LSAtomsclsa 32540    <oLL clcv 32584
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-tpos 6973  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-0g 15340  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-submnd 16583  df-grp 16673  df-minusg 16674  df-sbg 16675  df-subg 16814  df-cntz 16971  df-oppg 16997  df-lsm 17288  df-cmn 17432  df-abl 17433  df-mgp 17724  df-ur 17736  df-ring 17782  df-oppr 17851  df-dvdsr 17869  df-unit 17870  df-invr 17900  df-drng 17977  df-lmod 18093  df-lss 18156  df-lsp 18195  df-lvec 18326  df-lsatoms 32542  df-lcv 32585
This theorem is referenced by:  lsatcvat  32616
  Copyright terms: Public domain W3C validator