Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsatcv0eq Structured version   Unicode version

Theorem lsatcv0eq 34245
Description: If the sum of two atoms cover the zero subspace, they are equal. (atcv0eq 27121 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsatcv0eq.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
lsatcv0eq.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
lsatcv0eq.a  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
lsatcv0eq.c  |-  C  =  (  <oLL  `  W )
lsatcv0eq.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lsatcv0eq.q  |-  ( ph  ->  Q  e.  A )
lsatcv0eq.r  |-  ( ph  ->  R  e.  A )
Assertion
Ref Expression
lsatcv0eq  |-  ( ph  ->  ( {  .0.  } C ( Q  .(+)  R )  <->  Q  =  R
) )

Proof of Theorem lsatcv0eq
StepHypRef Expression
1 lsatcv0eq.o . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
2 lsatcv0eq.a . . . . . 6  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
3 lsatcv0eq.w . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
4 lsatcv0eq.q . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Q  e.  A )
5 lsatcv0eq.r . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  A )
61, 2, 3, 4, 5lsatnem0 34243 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Q  =/=  R  <->  ( Q  i^i  R )  =  {  .0.  }
) )
7 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( LSubSp `  W )  =  (
LSubSp `  W )
8 lsatcv0eq.p . . . . . 6  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
9 lsatcv0eq.c . . . . . 6  |-  C  =  (  <oLL  `  W )
10 lveclmod 17623 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
113, 10syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
127, 2, 11, 4lsatlssel 34195 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( LSubSp `  W ) )
137, 8, 1, 2, 9, 3, 12, 5lcvp 34238 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( Q  i^i  R )  =  {  .0.  }  <-> 
Q C ( Q 
.(+)  R ) ) )
141, 2, 9, 3, 4lsatcv0 34229 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  {  .0.  } C Q )
1514biantrurd 508 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Q C ( Q  .(+)  R )  <->  ( {  .0.  } C Q  /\  Q C ( Q  .(+)  R )
) ) )
166, 13, 153bitrd 279 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Q  =/=  R  <->  ( {  .0.  } C Q  /\  Q C ( Q  .(+)  R )
) ) )
173adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( {  .0.  } C Q  /\  Q C ( Q  .(+)  R ) ) )  ->  W  e.  LVec )
181, 7lsssn0 17465 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  LMod  ->  {  .0.  }  e.  ( LSubSp `  W
) )
1911, 18syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  {  .0.  }  e.  ( LSubSp `  W )
)
2019adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( {  .0.  } C Q  /\  Q C ( Q  .(+)  R ) ) )  ->  {  .0.  }  e.  (
LSubSp `  W ) )
2112adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( {  .0.  } C Q  /\  Q C ( Q  .(+)  R ) ) )  ->  Q  e.  ( LSubSp `  W ) )
227, 2, 11, 5lsatlssel 34195 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  e.  ( LSubSp `  W ) )
237, 8lsmcl 17600 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Q  e.  ( LSubSp `  W )  /\  R  e.  ( LSubSp `
 W ) )  ->  ( Q  .(+)  R )  e.  ( LSubSp `  W ) )
2411, 12, 22, 23syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Q  .(+)  R )  e.  ( LSubSp `  W
) )
2524adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( {  .0.  } C Q  /\  Q C ( Q  .(+)  R ) ) )  -> 
( Q  .(+)  R )  e.  ( LSubSp `  W
) )
26 simprl 755 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( {  .0.  } C Q  /\  Q C ( Q  .(+)  R ) ) )  ->  {  .0.  } C Q )
27 simprr 756 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( {  .0.  } C Q  /\  Q C ( Q  .(+)  R ) ) )  ->  Q C ( Q  .(+)  R ) )
287, 9, 17, 20, 21, 25, 26, 27lcvntr 34224 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( {  .0.  } C Q  /\  Q C ( Q  .(+)  R ) ) )  ->  -.  {  .0.  } C
( Q  .(+)  R ) )
2928ex 434 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( {  .0.  } C Q  /\  Q C ( Q  .(+)  R ) )  ->  -.  {  .0.  } C ( Q  .(+)  R )
) )
3016, 29sylbid 215 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Q  =/=  R  ->  -.  {  .0.  } C ( Q  .(+)  R ) ) )
3130necon4ad 2687 . 2  |-  ( ph  ->  ( {  .0.  } C ( Q  .(+)  R )  ->  Q  =  R ) )
327lsssssubg 17475 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( LSubSp `  W )  C_  (SubGrp `  W ) )
3311, 32syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( LSubSp `  W )  C_  (SubGrp `  W )
)
3433, 12sseldd 3510 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Q  e.  (SubGrp `  W ) )
358lsmidm 16555 . . . . 5  |-  ( Q  e.  (SubGrp `  W
)  ->  ( Q  .(+) 
Q )  =  Q )
3634, 35syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Q  .(+)  Q )  =  Q )
3714, 36breqtrrd 4479 . . 3  |-  ( ph  ->  {  .0.  } C
( Q  .(+)  Q ) )
38 oveq2 6303 . . . 4  |-  ( Q  =  R  ->  ( Q  .(+)  Q )  =  ( Q  .(+)  R ) )
3938breq2d 4465 . . 3  |-  ( Q  =  R  ->  ( {  .0.  } C ( Q  .(+)  Q )  <->  {  .0.  } C ( Q  .(+)  R )
) )
4037, 39syl5ibcom 220 . 2  |-  ( ph  ->  ( Q  =  R  ->  {  .0.  } C ( Q  .(+)  R ) ) )
4131, 40impbid 191 1  |-  ( ph  ->  ( {  .0.  } C ( Q  .(+)  R )  <->  Q  =  R
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662    i^i cin 3480    C_ wss 3481   {csn 4033   class class class wbr 4453   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   0gc0g 14712  SubGrpcsubg 16067   LSSumclsm 16527   LModclmod 17383   LSubSpclss 17449   LVecclvec 17619  LSAtomsclsa 34172    <oLL clcv 34216
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-tpos 6967  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-0g 14714  df-mre 14858  df-mrc 14859  df-acs 14861  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-submnd 15840  df-grp 15929  df-minusg 15930  df-sbg 15931  df-subg 16070  df-cntz 16227  df-oppg 16253  df-lsm 16529  df-cmn 16673  df-abl 16674  df-mgp 17014  df-ur 17026  df-ring 17072  df-oppr 17144  df-dvdsr 17162  df-unit 17163  df-invr 17193  df-drng 17269  df-lmod 17385  df-lss 17450  df-lsp 17489  df-lvec 17620  df-lsatoms 34174  df-lcv 34217
This theorem is referenced by:  lsatcv1  34246
  Copyright terms: Public domain W3C validator