Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsatcv0eq Structured version   Unicode version

Theorem lsatcv0eq 35169
Description: If the sum of two atoms cover the zero subspace, they are equal. (atcv0eq 27496 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsatcv0eq.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
lsatcv0eq.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
lsatcv0eq.a  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
lsatcv0eq.c  |-  C  =  (  <oLL  `  W )
lsatcv0eq.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lsatcv0eq.q  |-  ( ph  ->  Q  e.  A )
lsatcv0eq.r  |-  ( ph  ->  R  e.  A )
Assertion
Ref Expression
lsatcv0eq  |-  ( ph  ->  ( {  .0.  } C ( Q  .(+)  R )  <->  Q  =  R
) )

Proof of Theorem lsatcv0eq
StepHypRef Expression
1 lsatcv0eq.o . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
2 lsatcv0eq.a . . . . . 6  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
3 lsatcv0eq.w . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
4 lsatcv0eq.q . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Q  e.  A )
5 lsatcv0eq.r . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  A )
61, 2, 3, 4, 5lsatnem0 35167 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Q  =/=  R  <->  ( Q  i^i  R )  =  {  .0.  }
) )
7 eqid 2454 . . . . . 6  |-  ( LSubSp `  W )  =  (
LSubSp `  W )
8 lsatcv0eq.p . . . . . 6  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
9 lsatcv0eq.c . . . . . 6  |-  C  =  (  <oLL  `  W )
10 lveclmod 17947 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
113, 10syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
127, 2, 11, 4lsatlssel 35119 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( LSubSp `  W ) )
137, 8, 1, 2, 9, 3, 12, 5lcvp 35162 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( Q  i^i  R )  =  {  .0.  }  <-> 
Q C ( Q 
.(+)  R ) ) )
141, 2, 9, 3, 4lsatcv0 35153 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  {  .0.  } C Q )
1514biantrurd 506 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Q C ( Q  .(+)  R )  <->  ( {  .0.  } C Q  /\  Q C ( Q  .(+)  R )
) ) )
166, 13, 153bitrd 279 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Q  =/=  R  <->  ( {  .0.  } C Q  /\  Q C ( Q  .(+)  R )
) ) )
173adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( {  .0.  } C Q  /\  Q C ( Q  .(+)  R ) ) )  ->  W  e.  LVec )
181, 7lsssn0 17789 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  LMod  ->  {  .0.  }  e.  ( LSubSp `  W
) )
1911, 18syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  {  .0.  }  e.  ( LSubSp `  W )
)
2019adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( {  .0.  } C Q  /\  Q C ( Q  .(+)  R ) ) )  ->  {  .0.  }  e.  (
LSubSp `  W ) )
2112adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( {  .0.  } C Q  /\  Q C ( Q  .(+)  R ) ) )  ->  Q  e.  ( LSubSp `  W ) )
227, 2, 11, 5lsatlssel 35119 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  e.  ( LSubSp `  W ) )
237, 8lsmcl 17924 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Q  e.  ( LSubSp `  W )  /\  R  e.  ( LSubSp `
 W ) )  ->  ( Q  .(+)  R )  e.  ( LSubSp `  W ) )
2411, 12, 22, 23syl3anc 1226 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Q  .(+)  R )  e.  ( LSubSp `  W
) )
2524adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( {  .0.  } C Q  /\  Q C ( Q  .(+)  R ) ) )  -> 
( Q  .(+)  R )  e.  ( LSubSp `  W
) )
26 simprl 754 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( {  .0.  } C Q  /\  Q C ( Q  .(+)  R ) ) )  ->  {  .0.  } C Q )
27 simprr 755 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( {  .0.  } C Q  /\  Q C ( Q  .(+)  R ) ) )  ->  Q C ( Q  .(+)  R ) )
287, 9, 17, 20, 21, 25, 26, 27lcvntr 35148 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( {  .0.  } C Q  /\  Q C ( Q  .(+)  R ) ) )  ->  -.  {  .0.  } C
( Q  .(+)  R ) )
2928ex 432 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( {  .0.  } C Q  /\  Q C ( Q  .(+)  R ) )  ->  -.  {  .0.  } C ( Q  .(+)  R )
) )
3016, 29sylbid 215 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Q  =/=  R  ->  -.  {  .0.  } C ( Q  .(+)  R ) ) )
3130necon4ad 2674 . 2  |-  ( ph  ->  ( {  .0.  } C ( Q  .(+)  R )  ->  Q  =  R ) )
327lsssssubg 17799 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( LSubSp `  W )  C_  (SubGrp `  W ) )
3311, 32syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( LSubSp `  W )  C_  (SubGrp `  W )
)
3433, 12sseldd 3490 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Q  e.  (SubGrp `  W ) )
358lsmidm 16881 . . . . 5  |-  ( Q  e.  (SubGrp `  W
)  ->  ( Q  .(+) 
Q )  =  Q )
3634, 35syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Q  .(+)  Q )  =  Q )
3714, 36breqtrrd 4465 . . 3  |-  ( ph  ->  {  .0.  } C
( Q  .(+)  Q ) )
38 oveq2 6278 . . . 4  |-  ( Q  =  R  ->  ( Q  .(+)  Q )  =  ( Q  .(+)  R ) )
3938breq2d 4451 . . 3  |-  ( Q  =  R  ->  ( {  .0.  } C ( Q  .(+)  Q )  <->  {  .0.  } C ( Q  .(+)  R )
) )
4037, 39syl5ibcom 220 . 2  |-  ( ph  ->  ( Q  =  R  ->  {  .0.  } C ( Q  .(+)  R ) ) )
4131, 40impbid 191 1  |-  ( ph  ->  ( {  .0.  } C ( Q  .(+)  R )  <->  Q  =  R
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823    =/= wne 2649    i^i cin 3460    C_ wss 3461   {csn 4016   class class class wbr 4439   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   0gc0g 14929  SubGrpcsubg 16394   LSSumclsm 16853   LModclmod 17707   LSubSpclss 17773   LVecclvec 17943  LSAtomsclsa 35096    <oLL clcv 35140
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-tpos 6947  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-ress 14723  df-plusg 14797  df-mulr 14798  df-0g 14931  df-mre 15075  df-mrc 15076  df-acs 15078  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-submnd 16166  df-grp 16256  df-minusg 16257  df-sbg 16258  df-subg 16397  df-cntz 16554  df-oppg 16580  df-lsm 16855  df-cmn 16999  df-abl 17000  df-mgp 17337  df-ur 17349  df-ring 17395  df-oppr 17467  df-dvdsr 17485  df-unit 17486  df-invr 17516  df-drng 17593  df-lmod 17709  df-lss 17774  df-lsp 17813  df-lvec 17944  df-lsatoms 35098  df-lcv 35141
This theorem is referenced by:  lsatcv1  35170
  Copyright terms: Public domain W3C validator