Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsatcmp2 Structured version   Unicode version

Theorem lsatcmp2 35145
Description: If an atom is included in at-most an atom, they are equal. More general version of lsatcmp 35144. TODO: can lspsncmp 17960 shorten this? (Contributed by NM, 3-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsatcmp2.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
lsatcmp2.a  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
lsatcmp2.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lsatcmp2.t  |-  ( ph  ->  T  e.  A )
lsatcmp2.u  |-  ( ph  ->  ( U  e.  A  \/  U  =  {  .0.  } ) )
Assertion
Ref Expression
lsatcmp2  |-  ( ph  ->  ( T  C_  U  <->  T  =  U ) )

Proof of Theorem lsatcmp2
StepHypRef Expression
1 simpr 459 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  T  C_  U
)  ->  T  C_  U
)
2 lsatcmp2.a . . . . 5  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
3 lsatcmp2.w . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
43adantr 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  T  C_  U
)  ->  W  e.  LVec )
5 lsatcmp2.t . . . . . 6  |-  ( ph  ->  T  e.  A )
65adantr 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  T  C_  U
)  ->  T  e.  A )
7 lsatcmp2.o . . . . . . 7  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
8 lveclmod 17950 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
93, 8syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
109adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  T  C_  U
)  ->  W  e.  LMod )
117, 2, 10, 6, 1lsatssn0 35143 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  T  C_  U
)  ->  U  =/=  {  .0.  } )
12 lsatcmp2.u . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( U  e.  A  \/  U  =  {  .0.  } ) )
1312ord 375 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( -.  U  e.  A  ->  U  =  {  .0.  } ) )
1413necon1ad 2670 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( U  =/=  {  .0.  }  ->  U  e.  A ) )
1514adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  T  C_  U
)  ->  ( U  =/=  {  .0.  }  ->  U  e.  A ) )
1611, 15mpd 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  T  C_  U
)  ->  U  e.  A )
172, 4, 6, 16lsatcmp 35144 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  T  C_  U
)  ->  ( T  C_  U  <->  T  =  U
) )
181, 17mpbid 210 . . 3  |-  ( (
ph  /\  T  C_  U
)  ->  T  =  U )
1918ex 432 . 2  |-  ( ph  ->  ( T  C_  U  ->  T  =  U ) )
20 eqimss 3541 . 2  |-  ( T  =  U  ->  T  C_  U )
2119, 20impbid1 203 1  |-  ( ph  ->  ( T  C_  U  <->  T  =  U ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823    =/= wne 2649    C_ wss 3461   {csn 4016   ` cfv 5570   0gc0g 14932   LModclmod 17710   LVecclvec 17946  LSAtomsclsa 35115
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-tpos 6947  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-ndx 14722  df-slot 14723  df-base 14724  df-sets 14725  df-ress 14726  df-plusg 14800  df-mulr 14801  df-0g 14934  df-mgm 16074  df-sgrp 16113  df-mnd 16123  df-grp 16259  df-minusg 16260  df-sbg 16261  df-cmn 17002  df-abl 17003  df-mgp 17340  df-ur 17352  df-ring 17398  df-oppr 17470  df-dvdsr 17488  df-unit 17489  df-invr 17519  df-drng 17596  df-lmod 17712  df-lss 17777  df-lsp 17816  df-lvec 17947  df-lsatoms 35117
This theorem is referenced by:  mapdrvallem2  37788
  Copyright terms: Public domain W3C validator