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Theorem lptre2pt 31892
Description: If a set in the real line has a limit point than it contains two distinct points that are closer than a given distance. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lptre2pt.j  |-  J  =  ( topGen `  ran  (,) )
lptre2pt.a  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
lptre2pt.x  |-  ( ph  ->  ( ( limPt `  J
) `  A )  =/=  (/) )
lptre2pt.e  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
lptre2pt  |-  ( ph  ->  E. x  e.  A  E. y  e.  A  ( x  =/=  y  /\  ( abs `  (
x  -  y ) )  <  E ) )
Distinct variable groups:    x, A, y    x, E, y    x, J, y    ph, x, y

Proof of Theorem lptre2pt
Dummy variables  a 
b  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lptre2pt.x . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( limPt `  J
) `  A )  =/=  (/) )
2 n0 3803 . . 3  |-  ( ( ( limPt `  J ) `  A )  =/=  (/)  <->  E. w  w  e.  ( ( limPt `  J ) `  A ) )
31, 2sylib 196 . 2  |-  ( ph  ->  E. w  w  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
)
4 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
)  ->  w  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
)
5 lptre2pt.j . . . . . . . . 9  |-  J  =  ( topGen `  ran  (,) )
6 lptre2pt.a . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
76adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
)  ->  A  C_  RR )
8 retop 21485 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Top
95, 8eqeltri 2541 . . . . . . . . . . 11  |-  J  e. 
Top
10 uniretop 21486 . . . . . . . . . . . . 13  |-  RR  =  U. ( topGen `  ran  (,) )
115unieqi 4260 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. J  =  U. ( topGen `  ran  (,) )
1210, 11eqtr4i 2489 . . . . . . . . . . . 12  |-  RR  =  U. J
1312lpss 19861 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  RR )  -> 
( ( limPt `  J
) `  A )  C_  RR )
149, 7, 13sylancr 663 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
)  ->  ( ( limPt `  J ) `  A )  C_  RR )
1514, 4sseldd 3500 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
)  ->  w  e.  RR )
165, 7, 15islptre 31871 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
)  ->  ( w  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )  <->  A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( w  e.  ( a (,) b
)  ->  ( (
a (,) b )  i^i  ( A  \  { w } ) )  =/=  (/) ) ) )
174, 16mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
)  ->  A. a  e.  RR*  A. b  e. 
RR*  ( w  e.  ( a (,) b
)  ->  ( (
a (,) b )  i^i  ( A  \  { w } ) )  =/=  (/) ) )
18 lptre2pt.e . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
1918rpred 11281 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  E  e.  RR )
2019adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
)  ->  E  e.  RR )
2120rehalfcld 10806 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
)  ->  ( E  /  2 )  e.  RR )
2215, 21resubcld 10008 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
)  ->  ( w  -  ( E  / 
2 ) )  e.  RR )
2322rexrd 9660 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
)  ->  ( w  -  ( E  / 
2 ) )  e. 
RR* )
2415, 21readdcld 9640 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
)  ->  ( w  +  ( E  / 
2 ) )  e.  RR )
2524rexrd 9660 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
)  ->  ( w  +  ( E  / 
2 ) )  e. 
RR* )
2618rphalfcld 11293 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( E  /  2
)  e.  RR+ )
2726adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
)  ->  ( E  /  2 )  e.  RR+ )
2815, 27ltsubrpd 11309 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
)  ->  ( w  -  ( E  / 
2 ) )  < 
w )
2915, 27ltaddrpd 11310 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
)  ->  w  <  ( w  +  ( E  /  2 ) ) )
3023, 25, 15, 28, 29eliood 31777 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
)  ->  w  e.  ( ( w  -  ( E  /  2
) ) (,) (
w  +  ( E  /  2 ) ) ) )
31 oveq1 6303 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  ( w  -  ( E  /  2
) )  ->  (
a (,) b )  =  ( ( w  -  ( E  / 
2 ) ) (,) b ) )
3231eleq2d 2527 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  ( w  -  ( E  /  2
) )  ->  (
w  e.  ( a (,) b )  <->  w  e.  ( ( w  -  ( E  /  2
) ) (,) b
) ) )
3331ineq1d 3695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  ( w  -  ( E  /  2
) )  ->  (
( a (,) b
)  i^i  ( A  \  { w } ) )  =  ( ( ( w  -  ( E  /  2 ) ) (,) b )  i^i  ( A  \  {
w } ) ) )
3433neeq1d 2734 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  ( w  -  ( E  /  2
) )  ->  (
( ( a (,) b )  i^i  ( A  \  { w }
) )  =/=  (/)  <->  ( (
( w  -  ( E  /  2 ) ) (,) b )  i^i  ( A  \  {
w } ) )  =/=  (/) ) )
3532, 34imbi12d 320 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  ( w  -  ( E  /  2
) )  ->  (
( w  e.  ( a (,) b )  ->  ( ( a (,) b )  i^i  ( A  \  {
w } ) )  =/=  (/) )  <->  ( w  e.  ( ( w  -  ( E  /  2
) ) (,) b
)  ->  ( (
( w  -  ( E  /  2 ) ) (,) b )  i^i  ( A  \  {
w } ) )  =/=  (/) ) ) )
36 oveq2 6304 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  ( w  +  ( E  /  2
) )  ->  (
( w  -  ( E  /  2 ) ) (,) b )  =  ( ( w  -  ( E  /  2
) ) (,) (
w  +  ( E  /  2 ) ) ) )
3736eleq2d 2527 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  ( w  +  ( E  /  2
) )  ->  (
w  e.  ( ( w  -  ( E  /  2 ) ) (,) b )  <->  w  e.  ( ( w  -  ( E  /  2
) ) (,) (
w  +  ( E  /  2 ) ) ) ) )
3836ineq1d 3695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  ( w  +  ( E  /  2
) )  ->  (
( ( w  -  ( E  /  2
) ) (,) b
)  i^i  ( A  \  { w } ) )  =  ( ( ( w  -  ( E  /  2 ) ) (,) ( w  +  ( E  /  2
) ) )  i^i  ( A  \  {
w } ) ) )
3938neeq1d 2734 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  ( w  +  ( E  /  2
) )  ->  (
( ( ( w  -  ( E  / 
2 ) ) (,) b )  i^i  ( A  \  { w }
) )  =/=  (/)  <->  ( (
( w  -  ( E  /  2 ) ) (,) ( w  +  ( E  /  2
) ) )  i^i  ( A  \  {
w } ) )  =/=  (/) ) )
4037, 39imbi12d 320 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  ( w  +  ( E  /  2
) )  ->  (
( w  e.  ( ( w  -  ( E  /  2 ) ) (,) b )  -> 
( ( ( w  -  ( E  / 
2 ) ) (,) b )  i^i  ( A  \  { w }
) )  =/=  (/) )  <->  ( w  e.  ( ( w  -  ( E  /  2
) ) (,) (
w  +  ( E  /  2 ) ) )  ->  ( (
( w  -  ( E  /  2 ) ) (,) ( w  +  ( E  /  2
) ) )  i^i  ( A  \  {
w } ) )  =/=  (/) ) ) )
4135, 40rspc2v 3219 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( w  -  ( E  /  2 ) )  e.  RR*  /\  (
w  +  ( E  /  2 ) )  e.  RR* )  ->  ( A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( w  e.  ( a (,) b
)  ->  ( (
a (,) b )  i^i  ( A  \  { w } ) )  =/=  (/) )  -> 
( w  e.  ( ( w  -  ( E  /  2 ) ) (,) ( w  +  ( E  /  2
) ) )  -> 
( ( ( w  -  ( E  / 
2 ) ) (,) ( w  +  ( E  /  2 ) ) )  i^i  ( A  \  { w }
) )  =/=  (/) ) ) )
4223, 25, 41syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
)  ->  ( A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( w  e.  ( a (,) b
)  ->  ( (
a (,) b )  i^i  ( A  \  { w } ) )  =/=  (/) )  -> 
( w  e.  ( ( w  -  ( E  /  2 ) ) (,) ( w  +  ( E  /  2
) ) )  -> 
( ( ( w  -  ( E  / 
2 ) ) (,) ( w  +  ( E  /  2 ) ) )  i^i  ( A  \  { w }
) )  =/=  (/) ) ) )
4317, 30, 42mp2d 45 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
)  ->  ( (
( w  -  ( E  /  2 ) ) (,) ( w  +  ( E  /  2
) ) )  i^i  ( A  \  {
w } ) )  =/=  (/) )
44 n0 3803 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( w  -  ( E  /  2
) ) (,) (
w  +  ( E  /  2 ) ) )  i^i  ( A 
\  { w }
) )  =/=  (/)  <->  E. x  x  e.  ( (
( w  -  ( E  /  2 ) ) (,) ( w  +  ( E  /  2
) ) )  i^i  ( A  \  {
w } ) ) )
4543, 44sylib 196 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
)  ->  E. x  x  e.  ( (
( w  -  ( E  /  2 ) ) (,) ( w  +  ( E  /  2
) ) )  i^i  ( A  \  {
w } ) ) )
46 elinel2 31669 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( ( ( w  -  ( E  /  2 ) ) (,) ( w  +  ( E  /  2
) ) )  i^i  ( A  \  {
w } ) )  ->  x  e.  ( A  \  { w } ) )
4746eldifad 3483 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( ( ( w  -  ( E  /  2 ) ) (,) ( w  +  ( E  /  2
) ) )  i^i  ( A  \  {
w } ) )  ->  x  e.  A
)
4847adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
)  /\  x  e.  ( ( ( w  -  ( E  / 
2 ) ) (,) ( w  +  ( E  /  2 ) ) )  i^i  ( A  \  { w }
) ) )  ->  x  e.  A )
49 elinel1 31670 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( ( ( w  -  ( E  /  2 ) ) (,) ( w  +  ( E  /  2
) ) )  i^i  ( A  \  {
w } ) )  ->  x  e.  ( ( w  -  ( E  /  2 ) ) (,) ( w  +  ( E  /  2
) ) ) )
5049adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
)  /\  x  e.  ( ( ( w  -  ( E  / 
2 ) ) (,) ( w  +  ( E  /  2 ) ) )  i^i  ( A  \  { w }
) ) )  ->  x  e.  ( (
w  -  ( E  /  2 ) ) (,) ( w  +  ( E  /  2
) ) ) )
5146eldifbd 3484 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( ( ( w  -  ( E  /  2 ) ) (,) ( w  +  ( E  /  2
) ) )  i^i  ( A  \  {
w } ) )  ->  -.  x  e.  { w } )
5251adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
)  /\  x  e.  ( ( ( w  -  ( E  / 
2 ) ) (,) ( w  +  ( E  /  2 ) ) )  i^i  ( A  \  { w }
) ) )  ->  -.  x  e.  { w } )
5350, 52eldifd 3482 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
)  /\  x  e.  ( ( ( w  -  ( E  / 
2 ) ) (,) ( w  +  ( E  /  2 ) ) )  i^i  ( A  \  { w }
) ) )  ->  x  e.  ( (
( w  -  ( E  /  2 ) ) (,) ( w  +  ( E  /  2
) ) )  \  { w } ) )
5448, 53jca 532 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
)  /\  x  e.  ( ( ( w  -  ( E  / 
2 ) ) (,) ( w  +  ( E  /  2 ) ) )  i^i  ( A  \  { w }
) ) )  -> 
( x  e.  A  /\  x  e.  (
( ( w  -  ( E  /  2
) ) (,) (
w  +  ( E  /  2 ) ) )  \  { w } ) ) )
5554ex 434 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
)  ->  ( x  e.  ( ( ( w  -  ( E  / 
2 ) ) (,) ( w  +  ( E  /  2 ) ) )  i^i  ( A  \  { w }
) )  ->  (
x  e.  A  /\  x  e.  ( (
( w  -  ( E  /  2 ) ) (,) ( w  +  ( E  /  2
) ) )  \  { w } ) ) ) )
5655eximdv 1711 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
)  ->  ( E. x  x  e.  (
( ( w  -  ( E  /  2
) ) (,) (
w  +  ( E  /  2 ) ) )  i^i  ( A 
\  { w }
) )  ->  E. x
( x  e.  A  /\  x  e.  (
( ( w  -  ( E  /  2
) ) (,) (
w  +  ( E  /  2 ) ) )  \  { w } ) ) ) )
5745, 56mpd 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
)  ->  E. x
( x  e.  A  /\  x  e.  (
( ( w  -  ( E  /  2
) ) (,) (
w  +  ( E  /  2 ) ) )  \  { w } ) ) )
58 df-rex 2813 . . . 4  |-  ( E. x  e.  A  x  e.  ( ( ( w  -  ( E  /  2 ) ) (,) ( w  +  ( E  /  2
) ) )  \  { w } )  <->  E. x ( x  e.  A  /\  x  e.  ( ( ( w  -  ( E  / 
2 ) ) (,) ( w  +  ( E  /  2 ) ) )  \  {
w } ) ) )
5957, 58sylibr 212 . . 3  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
)  ->  E. x  e.  A  x  e.  ( ( ( w  -  ( E  / 
2 ) ) (,) ( w  +  ( E  /  2 ) ) )  \  {
w } ) )
6017adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
)  /\  x  e.  ( ( ( w  -  ( E  / 
2 ) ) (,) ( w  +  ( E  /  2 ) ) )  \  {
w } ) )  ->  A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  (
w  e.  ( a (,) b )  -> 
( ( a (,) b )  i^i  ( A  \  { w }
) )  =/=  (/) ) )
61 eldifi 3622 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( ( ( w  -  ( E  /  2 ) ) (,) ( w  +  ( E  /  2
) ) )  \  { w } )  ->  x  e.  ( ( w  -  ( E  /  2 ) ) (,) ( w  +  ( E  /  2
) ) ) )
62 elioore 11584 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( ( w  -  ( E  / 
2 ) ) (,) ( w  +  ( E  /  2 ) ) )  ->  x  e.  RR )
6361, 62syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( ( ( w  -  ( E  /  2 ) ) (,) ( w  +  ( E  /  2
) ) )  \  { w } )  ->  x  e.  RR )
6463adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
)  /\  x  e.  ( ( ( w  -  ( E  / 
2 ) ) (,) ( w  +  ( E  /  2 ) ) )  \  {
w } ) )  ->  x  e.  RR )
6515adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
)  /\  x  e.  ( ( ( w  -  ( E  / 
2 ) ) (,) ( w  +  ( E  /  2 ) ) )  \  {
w } ) )  ->  w  e.  RR )
66 eldifsni 4158 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( ( ( w  -  ( E  /  2 ) ) (,) ( w  +  ( E  /  2
) ) )  \  { w } )  ->  x  =/=  w
)
6766adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
)  /\  x  e.  ( ( ( w  -  ( E  / 
2 ) ) (,) ( w  +  ( E  /  2 ) ) )  \  {
w } ) )  ->  x  =/=  w
)
68 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR  /\  w  e.  RR )  ->  w  e.  RR )
69 resubcl 9902 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  RR  /\  w  e.  RR )  ->  ( x  -  w
)  e.  RR )
7069recnd 9639 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR  /\  w  e.  RR )  ->  ( x  -  w
)  e.  CC )
7170abscld 13370 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR  /\  w  e.  RR )  ->  ( abs `  (
x  -  w ) )  e.  RR )
7268, 71resubcld 10008 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR  /\  w  e.  RR )  ->  ( w  -  ( abs `  ( x  -  w ) ) )  e.  RR )
7372rexrd 9660 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR  /\  w  e.  RR )  ->  ( w  -  ( abs `  ( x  -  w ) ) )  e.  RR* )
74733adant3 1016 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR  /\  w  e.  RR  /\  x  =/=  w )  ->  (
w  -  ( abs `  ( x  -  w
) ) )  e. 
RR* )
7568, 71readdcld 9640 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR  /\  w  e.  RR )  ->  ( w  +  ( abs `  ( x  -  w ) ) )  e.  RR )
7675rexrd 9660 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR  /\  w  e.  RR )  ->  ( w  +  ( abs `  ( x  -  w ) ) )  e.  RR* )
77763adant3 1016 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR  /\  w  e.  RR  /\  x  =/=  w )  ->  (
w  +  ( abs `  ( x  -  w
) ) )  e. 
RR* )
78 simp2 997 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR  /\  w  e.  RR  /\  x  =/=  w )  ->  w  e.  RR )
79703adant3 1016 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR  /\  w  e.  RR  /\  x  =/=  w )  ->  (
x  -  w )  e.  CC )
80 recn 9599 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  CC )
81803ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR  /\  w  e.  RR  /\  x  =/=  w )  ->  x  e.  CC )
8278recnd 9639 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR  /\  w  e.  RR  /\  x  =/=  w )  ->  w  e.  CC )
83 simp3 998 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR  /\  w  e.  RR  /\  x  =/=  w )  ->  x  =/=  w )
8481, 82, 83subne0d 9959 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR  /\  w  e.  RR  /\  x  =/=  w )  ->  (
x  -  w )  =/=  0 )
8579, 84absrpcld 13382 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR  /\  w  e.  RR  /\  x  =/=  w )  ->  ( abs `  ( x  -  w ) )  e.  RR+ )
8678, 85ltsubrpd 11309 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR  /\  w  e.  RR  /\  x  =/=  w )  ->  (
w  -  ( abs `  ( x  -  w
) ) )  < 
w )
8778, 85ltaddrpd 11310 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR  /\  w  e.  RR  /\  x  =/=  w )  ->  w  <  ( w  +  ( abs `  ( x  -  w ) ) ) )
8874, 77, 78, 86, 87eliood 31777 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR  /\  w  e.  RR  /\  x  =/=  w )  ->  w  e.  ( ( w  -  ( abs `  ( x  -  w ) ) ) (,) ( w  +  ( abs `  (
x  -  w ) ) ) ) )
8964, 65, 67, 88syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
)  /\  x  e.  ( ( ( w  -  ( E  / 
2 ) ) (,) ( w  +  ( E  /  2 ) ) )  \  {
w } ) )  ->  w  e.  ( ( w  -  ( abs `  ( x  -  w ) ) ) (,) ( w  +  ( abs `  ( x  -  w ) ) ) ) )
9063recnd 9639 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( ( ( w  -  ( E  /  2 ) ) (,) ( w  +  ( E  /  2
) ) )  \  { w } )  ->  x  e.  CC )
9190adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
)  /\  x  e.  ( ( ( w  -  ( E  / 
2 ) ) (,) ( w  +  ( E  /  2 ) ) )  \  {
w } ) )  ->  x  e.  CC )
9265recnd 9639 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
)  /\  x  e.  ( ( ( w  -  ( E  / 
2 ) ) (,) ( w  +  ( E  /  2 ) ) )  \  {
w } ) )  ->  w  e.  CC )
9391, 92subcld 9950 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
)  /\  x  e.  ( ( ( w  -  ( E  / 
2 ) ) (,) ( w  +  ( E  /  2 ) ) )  \  {
w } ) )  ->  ( x  -  w )  e.  CC )
9493abscld 13370 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
)  /\  x  e.  ( ( ( w  -  ( E  / 
2 ) ) (,) ( w  +  ( E  /  2 ) ) )  \  {
w } ) )  ->  ( abs `  (
x  -  w ) )  e.  RR )
9565, 94resubcld 10008 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
)  /\  x  e.  ( ( ( w  -  ( E  / 
2 ) ) (,) ( w  +  ( E  /  2 ) ) )  \  {
w } ) )  ->  ( w  -  ( abs `  ( x  -  w ) ) )  e.  RR )
9695rexrd 9660 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
)  /\  x  e.  ( ( ( w  -  ( E  / 
2 ) ) (,) ( w  +  ( E  /  2 ) ) )  \  {
w } ) )  ->  ( w  -  ( abs `  ( x  -  w ) ) )  e.  RR* )
9765, 94readdcld 9640 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
)  /\  x  e.  ( ( ( w  -  ( E  / 
2 ) ) (,) ( w  +  ( E  /  2 ) ) )  \  {
w } ) )  ->  ( w  +  ( abs `  ( x  -  w ) ) )  e.  RR )
9897rexrd 9660 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
)  /\  x  e.  ( ( ( w  -  ( E  / 
2 ) ) (,) ( w  +  ( E  /  2 ) ) )  \  {
w } ) )  ->  ( w  +  ( abs `  ( x  -  w ) ) )  e.  RR* )
99 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  ( w  -  ( abs `  ( x  -  w ) ) )  ->  ( a (,) b )  =  ( ( w  -  ( abs `  ( x  -  w ) ) ) (,) b ) )
10099eleq2d 2527 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  ( w  -  ( abs `  ( x  -  w ) ) )  ->  ( w  e.  ( a (,) b
)  <->  w  e.  (
( w  -  ( abs `  ( x  -  w ) ) ) (,) b ) ) )
10199ineq1d 3695 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  ( w  -  ( abs `  ( x  -  w ) ) )  ->  ( (
a (,) b )  i^i  ( A  \  { w } ) )  =  ( ( ( w  -  ( abs `  ( x  -  w ) ) ) (,) b )  i^i  ( A  \  {
w } ) ) )
102101neeq1d 2734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  ( w  -  ( abs `  ( x  -  w ) ) )  ->  ( (
( a (,) b
)  i^i  ( A  \  { w } ) )  =/=  (/)  <->  ( (
( w  -  ( abs `  ( x  -  w ) ) ) (,) b )  i^i  ( A  \  {
w } ) )  =/=  (/) ) )
103100, 102imbi12d 320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  ( w  -  ( abs `  ( x  -  w ) ) )  ->  ( (
w  e.  ( a (,) b )  -> 
( ( a (,) b )  i^i  ( A  \  { w }
) )  =/=  (/) )  <->  ( w  e.  ( ( w  -  ( abs `  ( x  -  w ) ) ) (,) b )  ->  ( ( ( w  -  ( abs `  ( x  -  w
) ) ) (,) b )  i^i  ( A  \  { w }
) )  =/=  (/) ) ) )
104 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  ( w  +  ( abs `  ( x  -  w ) ) )  ->  ( (
w  -  ( abs `  ( x  -  w
) ) ) (,) b )  =  ( ( w  -  ( abs `  ( x  -  w ) ) ) (,) ( w  +  ( abs `  ( x  -  w ) ) ) ) )
105104eleq2d 2527 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  ( w  +  ( abs `  ( x  -  w ) ) )  ->  ( w  e.  ( ( w  -  ( abs `  ( x  -  w ) ) ) (,) b )  <-> 
w  e.  ( ( w  -  ( abs `  ( x  -  w
) ) ) (,) ( w  +  ( abs `  ( x  -  w ) ) ) ) ) )
106104ineq1d 3695 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  ( w  +  ( abs `  ( x  -  w ) ) )  ->  ( (
( w  -  ( abs `  ( x  -  w ) ) ) (,) b )  i^i  ( A  \  {
w } ) )  =  ( ( ( w  -  ( abs `  ( x  -  w
) ) ) (,) ( w  +  ( abs `  ( x  -  w ) ) ) )  i^i  ( A  \  { w }
) ) )
107106neeq1d 2734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  ( w  +  ( abs `  ( x  -  w ) ) )  ->  ( (
( ( w  -  ( abs `  ( x  -  w ) ) ) (,) b )  i^i  ( A  \  { w } ) )  =/=  (/)  <->  ( (
( w  -  ( abs `  ( x  -  w ) ) ) (,) ( w  +  ( abs `  ( x  -  w ) ) ) )  i^i  ( A  \  { w }
) )  =/=  (/) ) )
108105, 107imbi12d 320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  ( w  +  ( abs `  ( x  -  w ) ) )  ->  ( (
w  e.  ( ( w  -  ( abs `  ( x  -  w
) ) ) (,) b )  ->  (
( ( w  -  ( abs `  ( x  -  w ) ) ) (,) b )  i^i  ( A  \  { w } ) )  =/=  (/) )  <->  ( w  e.  ( ( w  -  ( abs `  ( x  -  w ) ) ) (,) ( w  +  ( abs `  (
x  -  w ) ) ) )  -> 
( ( ( w  -  ( abs `  (
x  -  w ) ) ) (,) (
w  +  ( abs `  ( x  -  w
) ) ) )  i^i  ( A  \  { w } ) )  =/=  (/) ) ) )
109103, 108rspc2v 3219 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( w  -  ( abs `  ( x  -  w ) ) )  e.  RR*  /\  (
w  +  ( abs `  ( x  -  w
) ) )  e. 
RR* )  ->  ( A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( w  e.  ( a (,) b
)  ->  ( (
a (,) b )  i^i  ( A  \  { w } ) )  =/=  (/) )  -> 
( w  e.  ( ( w  -  ( abs `  ( x  -  w ) ) ) (,) ( w  +  ( abs `  ( x  -  w ) ) ) )  ->  (
( ( w  -  ( abs `  ( x  -  w ) ) ) (,) ( w  +  ( abs `  (
x  -  w ) ) ) )  i^i  ( A  \  {
w } ) )  =/=  (/) ) ) )
11096, 98, 109syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
)  /\  x  e.  ( ( ( w  -  ( E  / 
2 ) ) (,) ( w  +  ( E  /  2 ) ) )  \  {
w } ) )  ->  ( A. a  e.  RR*  A. b  e. 
RR*  ( w  e.  ( a (,) b
)  ->  ( (
a (,) b )  i^i  ( A  \  { w } ) )  =/=  (/) )  -> 
( w  e.  ( ( w  -  ( abs `  ( x  -  w ) ) ) (,) ( w  +  ( abs `  ( x  -  w ) ) ) )  ->  (
( ( w  -  ( abs `  ( x  -  w ) ) ) (,) ( w  +  ( abs `  (
x  -  w ) ) ) )  i^i  ( A  \  {
w } ) )  =/=  (/) ) ) )
11160, 89, 110mp2d 45 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
)  /\  x  e.  ( ( ( w  -  ( E  / 
2 ) ) (,) ( w  +  ( E  /  2 ) ) )  \  {
w } ) )  ->  ( ( ( w  -  ( abs `  ( x  -  w
) ) ) (,) ( w  +  ( abs `  ( x  -  w ) ) ) )  i^i  ( A  \  { w }
) )  =/=  (/) )
112 n0 3803 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( w  -  ( abs `  ( x  -  w ) ) ) (,) ( w  +  ( abs `  (
x  -  w ) ) ) )  i^i  ( A  \  {
w } ) )  =/=  (/)  <->  E. y  y  e.  ( ( ( w  -  ( abs `  (
x  -  w ) ) ) (,) (
w  +  ( abs `  ( x  -  w
) ) ) )  i^i  ( A  \  { w } ) ) )
113111, 112sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
)  /\  x  e.  ( ( ( w  -  ( E  / 
2 ) ) (,) ( w  +  ( E  /  2 ) ) )  \  {
w } ) )  ->  E. y  y  e.  ( ( ( w  -  ( abs `  (
x  -  w ) ) ) (,) (
w  +  ( abs `  ( x  -  w
) ) ) )  i^i  ( A  \  { w } ) ) )
114 elinel2 31669 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( ( ( w  -  ( abs `  ( x  -  w
) ) ) (,) ( w  +  ( abs `  ( x  -  w ) ) ) )  i^i  ( A  \  { w }
) )  ->  y  e.  ( A  \  {
w } ) )
115114eldifad 3483 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( ( ( w  -  ( abs `  ( x  -  w
) ) ) (,) ( w  +  ( abs `  ( x  -  w ) ) ) )  i^i  ( A  \  { w }
) )  ->  y  e.  A )
116115adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ( limPt `  J ) `  A ) )  /\  x  e.  ( (
( w  -  ( E  /  2 ) ) (,) ( w  +  ( E  /  2
) ) )  \  { w } ) )  /\  y  e.  ( ( ( w  -  ( abs `  (
x  -  w ) ) ) (,) (
w  +  ( abs `  ( x  -  w
) ) ) )  i^i  ( A  \  { w } ) ) )  ->  y  e.  A )
11765adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ( limPt `  J ) `  A ) )  /\  x  e.  ( (
( w  -  ( E  /  2 ) ) (,) ( w  +  ( E  /  2
) ) )  \  { w } ) )  /\  y  e.  ( ( ( w  -  ( abs `  (
x  -  w ) ) ) (,) (
w  +  ( abs `  ( x  -  w
) ) ) )  i^i  ( A  \  { w } ) ) )  ->  w  e.  RR )
11864adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ( limPt `  J ) `  A ) )  /\  x  e.  ( (
( w  -  ( E  /  2 ) ) (,) ( w  +  ( E  /  2
) ) )  \  { w } ) )  /\  y  e.  ( ( ( w  -  ( abs `  (
x  -  w ) ) ) (,) (
w  +  ( abs `  ( x  -  w
) ) ) )  i^i  ( A  \  { w } ) ) )  ->  x  e.  RR )
119 elinel1 31670 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( ( ( w  -  ( abs `  ( x  -  w
) ) ) (,) ( w  +  ( abs `  ( x  -  w ) ) ) )  i^i  ( A  \  { w }
) )  ->  y  e.  ( ( w  -  ( abs `  ( x  -  w ) ) ) (,) ( w  +  ( abs `  (
x  -  w ) ) ) ) )
120119adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ( limPt `  J ) `  A ) )  /\  x  e.  ( (
( w  -  ( E  /  2 ) ) (,) ( w  +  ( E  /  2
) ) )  \  { w } ) )  /\  y  e.  ( ( ( w  -  ( abs `  (
x  -  w ) ) ) (,) (
w  +  ( abs `  ( x  -  w
) ) ) )  i^i  ( A  \  { w } ) ) )  ->  y  e.  ( ( w  -  ( abs `  ( x  -  w ) ) ) (,) ( w  +  ( abs `  (
x  -  w ) ) ) ) )
121 simpl1 999 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( w  e.  RR  /\  x  e.  RR  /\  y  e.  ( (
w  -  ( abs `  ( x  -  w
) ) ) (,) ( w  +  ( abs `  ( x  -  w ) ) ) ) )  /\  0  <_  ( x  -  w ) )  ->  w  e.  RR )
122 simpl2 1000 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( w  e.  RR  /\  x  e.  RR  /\  y  e.  ( (
w  -  ( abs `  ( x  -  w
) ) ) (,) ( w  +  ( abs `  ( x  -  w ) ) ) ) )  /\  0  <_  ( x  -  w ) )  ->  x  e.  RR )
123 simpl3 1001 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( w  e.  RR  /\  x  e.  RR  /\  y  e.  ( (
w  -  ( abs `  ( x  -  w
) ) ) (,) ( w  +  ( abs `  ( x  -  w ) ) ) ) )  /\  0  <_  ( x  -  w ) )  -> 
y  e.  ( ( w  -  ( abs `  ( x  -  w
) ) ) (,) ( w  +  ( abs `  ( x  -  w ) ) ) ) )
124 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( w  e.  RR  /\  x  e.  RR  /\  y  e.  ( (
w  -  ( abs `  ( x  -  w
) ) ) (,) ( w  +  ( abs `  ( x  -  w ) ) ) ) )  /\  0  <_  ( x  -  w ) )  -> 
0  <_  ( x  -  w ) )
125122, 121subge0d 10163 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( w  e.  RR  /\  x  e.  RR  /\  y  e.  ( (
w  -  ( abs `  ( x  -  w
) ) ) (,) ( w  +  ( abs `  ( x  -  w ) ) ) ) )  /\  0  <_  ( x  -  w ) )  -> 
( 0  <_  (
x  -  w )  <-> 
w  <_  x )
)
126124, 125mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( w  e.  RR  /\  x  e.  RR  /\  y  e.  ( (
w  -  ( abs `  ( x  -  w
) ) ) (,) ( w  +  ( abs `  ( x  -  w ) ) ) ) )  /\  0  <_  ( x  -  w ) )  ->  w  <_  x )
127121, 122, 126abssubge0d 13366 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( w  e.  RR  /\  x  e.  RR  /\  y  e.  ( (
w  -  ( abs `  ( x  -  w
) ) ) (,) ( w  +  ( abs `  ( x  -  w ) ) ) ) )  /\  0  <_  ( x  -  w ) )  -> 
( abs `  (
x  -  w ) )  =  ( x  -  w ) )
128127oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( w  e.  RR  /\  x  e.  RR  /\  y  e.  ( (
w  -  ( abs `  ( x  -  w
) ) ) (,) ( w  +  ( abs `  ( x  -  w ) ) ) ) )  /\  0  <_  ( x  -  w ) )  -> 
( w  -  ( abs `  ( x  -  w ) ) )  =  ( w  -  ( x  -  w
) ) )
129127oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( w  e.  RR  /\  x  e.  RR  /\  y  e.  ( (
w  -  ( abs `  ( x  -  w
) ) ) (,) ( w  +  ( abs `  ( x  -  w ) ) ) ) )  /\  0  <_  ( x  -  w ) )  -> 
( w  +  ( abs `  ( x  -  w ) ) )  =  ( w  +  ( x  -  w ) ) )
130128, 129oveq12d 6314 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( w  e.  RR  /\  x  e.  RR  /\  y  e.  ( (
w  -  ( abs `  ( x  -  w
) ) ) (,) ( w  +  ( abs `  ( x  -  w ) ) ) ) )  /\  0  <_  ( x  -  w ) )  -> 
( ( w  -  ( abs `  ( x  -  w ) ) ) (,) ( w  +  ( abs `  (
x  -  w ) ) ) )  =  ( ( w  -  ( x  -  w
) ) (,) (
w  +  ( x  -  w ) ) ) )
131123, 130eleqtrd 2547 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( w  e.  RR  /\  x  e.  RR  /\  y  e.  ( (
w  -  ( abs `  ( x  -  w
) ) ) (,) ( w  +  ( abs `  ( x  -  w ) ) ) ) )  /\  0  <_  ( x  -  w ) )  -> 
y  e.  ( ( w  -  ( x  -  w ) ) (,) ( w  +  ( x  -  w
) ) ) )
132 elioore 11584 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( ( w  -  ( x  -  w ) ) (,) ( w  +  ( x  -  w ) ) )  ->  y  e.  RR )
1331323ad2ant3 1019 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( w  e.  RR  /\  x  e.  RR  /\  y  e.  ( ( w  -  ( x  -  w
) ) (,) (
w  +  ( x  -  w ) ) ) )  ->  y  e.  RR )
134 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( w  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  w  e.  RR )
13569ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( w  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( x  -  w
)  e.  RR )
136134, 135resubcld 10008 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( w  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( w  -  (
x  -  w ) )  e.  RR )
137136rexrd 9660 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( w  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( w  -  (
x  -  w ) )  e.  RR* )
1381373adant3 1016 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( w  e.  RR  /\  x  e.  RR  /\  y  e.  ( ( w  -  ( x  -  w
) ) (,) (
w  +  ( x  -  w ) ) ) )  ->  (
w  -  ( x  -  w ) )  e.  RR* )
139134, 135readdcld 9640 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( w  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( w  +  ( x  -  w ) )  e.  RR )
140139rexrd 9660 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( w  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( w  +  ( x  -  w ) )  e.  RR* )
1411403adant3 1016 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( w  e.  RR  /\  x  e.  RR  /\  y  e.  ( ( w  -  ( x  -  w
) ) (,) (
w  +  ( x  -  w ) ) ) )  ->  (
w  +  ( x  -  w ) )  e.  RR* )
142 simp3 998 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( w  e.  RR  /\  x  e.  RR  /\  y  e.  ( ( w  -  ( x  -  w
) ) (,) (
w  +  ( x  -  w ) ) ) )  ->  y  e.  ( ( w  -  ( x  -  w
) ) (,) (
w  +  ( x  -  w ) ) ) )
143 iooltub 31794 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( w  -  (
x  -  w ) )  e.  RR*  /\  (
w  +  ( x  -  w ) )  e.  RR*  /\  y  e.  ( ( w  -  ( x  -  w
) ) (,) (
w  +  ( x  -  w ) ) ) )  ->  y  <  ( w  +  ( x  -  w ) ) )
144138, 141, 142, 143syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( w  e.  RR  /\  x  e.  RR  /\  y  e.  ( ( w  -  ( x  -  w
) ) (,) (
w  +  ( x  -  w ) ) ) )  ->  y  <  ( w  +  ( x  -  w ) ) )
145134recnd 9639 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( w  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  w  e.  CC )
14680adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( w  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  x  e.  CC )
147145, 146pncan3d 9953 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( w  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( w  +  ( x  -  w ) )  =  x )
1481473adant3 1016 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( w  e.  RR  /\  x  e.  RR  /\  y  e.  ( ( w  -  ( x  -  w
) ) (,) (
w  +  ( x  -  w ) ) ) )  ->  (
w  +  ( x  -  w ) )  =  x )
149144, 148breqtrd 4480 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( w  e.  RR  /\  x  e.  RR  /\  y  e.  ( ( w  -  ( x  -  w
) ) (,) (
w  +  ( x  -  w ) ) ) )  ->  y  <  x )
150133, 149gtned 9737 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( w  e.  RR  /\  x  e.  RR  /\  y  e.  ( ( w  -  ( x  -  w
) ) (,) (
w  +  ( x  -  w ) ) ) )  ->  x  =/=  y )
151121, 122, 131, 150syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( w  e.  RR  /\  x  e.  RR  /\  y  e.  ( (
w  -  ( abs `  ( x  -  w
) ) ) (,) ( w  +  ( abs `  ( x  -  w ) ) ) ) )  /\  0  <_  ( x  -  w ) )  ->  x  =/=  y )
152 simpl1 999 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( w  e.  RR  /\  x  e.  RR  /\  y  e.  ( (
w  -  ( abs `  ( x  -  w
) ) ) (,) ( w  +  ( abs `  ( x  -  w ) ) ) ) )  /\  -.  0  <_  ( x  -  w ) )  ->  w  e.  RR )
153 simpl2 1000 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( w  e.  RR  /\  x  e.  RR  /\  y  e.  ( (
w  -  ( abs `  ( x  -  w
) ) ) (,) ( w  +  ( abs `  ( x  -  w ) ) ) ) )  /\  -.  0  <_  ( x  -  w ) )  ->  x  e.  RR )
154 simpl3 1001 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( w  e.  RR  /\  x  e.  RR  /\  y  e.  ( (
w  -  ( abs `  ( x  -  w
) ) ) (,) ( w  +  ( abs `  ( x  -  w ) ) ) ) )  /\  -.  0  <_  ( x  -  w ) )  ->  y  e.  ( ( w  -  ( abs `  ( x  -  w ) ) ) (,) ( w  +  ( abs `  ( x  -  w ) ) ) ) )
155135adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( w  e.  RR  /\  x  e.  RR )  /\  -.  0  <_ 
( x  -  w
) )  ->  (
x  -  w )  e.  RR )
156 0red 9614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( w  e.  RR  /\  x  e.  RR )  /\  -.  0  <_ 
( x  -  w
) )  ->  0  e.  RR )
157 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( w  e.  RR  /\  x  e.  RR )  /\  -.  0  <_ 
( x  -  w
) )  ->  -.  0  <_  ( x  -  w ) )
158155, 156ltnled 9749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( w  e.  RR  /\  x  e.  RR )  /\  -.  0  <_ 
( x  -  w
) )  ->  (
( x  -  w
)  <  0  <->  -.  0  <_  ( x  -  w
) ) )
159157, 158mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( w  e.  RR  /\  x  e.  RR )  /\  -.  0  <_ 
( x  -  w
) )  ->  (
x  -  w )  <  0 )
160155, 156, 159ltled 9750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( w  e.  RR  /\  x  e.  RR )  /\  -.  0  <_ 
( x  -  w
) )  ->  (
x  -  w )  <_  0 )
161155, 160absnidd 13348 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( w  e.  RR  /\  x  e.  RR )  /\  -.  0  <_ 
( x  -  w
) )  ->  ( abs `  ( x  -  w ) )  = 
-u ( x  -  w ) )
162146adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( w  e.  RR  /\  x  e.  RR )  /\  -.  0  <_ 
( x  -  w
) )  ->  x  e.  CC )
163145adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( w  e.  RR  /\  x  e.  RR )  /\  -.  0  <_ 
( x  -  w
) )  ->  w  e.  CC )
164162, 163negsubdi2d 9966 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( w  e.  RR  /\  x  e.  RR )  /\  -.  0  <_ 
( x  -  w
) )  ->  -u (
x  -  w )  =  ( w  -  x ) )
165161, 164eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( w  e.  RR  /\  x  e.  RR )  /\  -.  0  <_ 
( x  -  w
) )  ->  ( abs `  ( x  -  w ) )  =  ( w  -  x
) )
166165oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( w  e.  RR  /\  x  e.  RR )  /\  -.  0  <_ 
( x  -  w
) )  ->  (
w  -  ( abs `  ( x  -  w
) ) )  =  ( w  -  (
w  -  x ) ) )
167165oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( w  e.  RR  /\  x  e.  RR )  /\  -.  0  <_ 
( x  -  w
) )  ->  (
w  +  ( abs `  ( x  -  w
) ) )  =  ( w  +  ( w  -  x ) ) )
168166, 167oveq12d 6314 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( w  e.  RR  /\  x  e.  RR )  /\  -.  0  <_ 
( x  -  w
) )  ->  (
( w  -  ( abs `  ( x  -  w ) ) ) (,) ( w  +  ( abs `  ( x  -  w ) ) ) )  =  ( ( w  -  (
w  -  x ) ) (,) ( w  +  ( w  -  x ) ) ) )
1691683adantl3 1154 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( w  e.  RR  /\  x  e.  RR  /\  y  e.  ( (
w  -  ( abs `  ( x  -  w
) ) ) (,) ( w  +  ( abs `  ( x  -  w ) ) ) ) )  /\  -.  0  <_  ( x  -  w ) )  ->  ( ( w  -  ( abs `  (
x  -  w ) ) ) (,) (
w  +  ( abs `  ( x  -  w
) ) ) )  =  ( ( w  -  ( w  -  x ) ) (,) ( w  +  ( w  -  x ) ) ) )
170154, 169eleqtrd 2547 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( w  e.  RR  /\  x  e.  RR  /\  y  e.  ( (
w  -  ( abs `  ( x  -  w
) ) ) (,) ( w  +  ( abs `  ( x  -  w ) ) ) ) )  /\  -.  0  <_  ( x  -  w ) )  ->  y  e.  ( ( w  -  (
w  -  x ) ) (,) ( w  +  ( w  -  x ) ) ) )
171 simp2 997 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( w  e.  RR  /\  x  e.  RR  /\  y  e.  ( ( w  -  ( w  -  x
) ) (,) (
w  +  ( w  -  x ) ) ) )  ->  x  e.  RR )
172171rexrd 9660 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( w  e.  RR  /\  x  e.  RR  /\  y  e.  ( ( w  -  ( w  -  x
) ) (,) (
w  +  ( w  -  x ) ) ) )  ->  x  e.  RR* )
173 resubcl 9902 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( w  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( w  -  x
)  e.  RR )
174134, 173readdcld 9640 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( w  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( w  +  ( w  -  x ) )  e.  RR )
175174rexrd 9660 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( w  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( w  +  ( w  -  x ) )  e.  RR* )
1761753adant3 1016 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( w  e.  RR  /\  x  e.  RR  /\  y  e.  ( ( w  -  ( w  -  x
) ) (,) (
w  +  ( w  -  x ) ) ) )  ->  (
w  +  ( w  -  x ) )  e.  RR* )
177 simp3 998 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( w  e.  RR  /\  x  e.  RR  /\  y  e.  ( ( w  -  ( w  -  x
) ) (,) (
w  +  ( w  -  x ) ) ) )  ->  y  e.  ( ( w  -  ( w  -  x
) ) (,) (
w  +  ( w  -  x ) ) ) )
178145, 146nncand 9955 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( w  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( w  -  (
w  -  x ) )  =  x )
179178oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( w  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( w  -  ( w  -  x
) ) (,) (
w  +  ( w  -  x ) ) )  =  ( x (,) ( w  +  ( w  -  x
) ) ) )
1801793adant3 1016 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( w  e.  RR  /\  x  e.  RR  /\  y  e.  ( ( w  -  ( w  -  x
) ) (,) (
w  +  ( w  -  x ) ) ) )  ->  (
( w  -  (
w  -  x ) ) (,) ( w  +  ( w  -  x ) ) )  =  ( x (,) ( w  +  ( w  -  x ) ) ) )
181177, 180eleqtrd 2547 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( w  e.  RR  /\  x  e.  RR  /\  y  e.  ( ( w  -  ( w  -  x
) ) (,) (
w  +  ( w  -  x ) ) ) )  ->  y  e.  ( x (,) (
w  +  ( w  -  x ) ) ) )
182 ioogtlb 31774 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  (
w  +  ( w  -  x ) )  e.  RR*  /\  y  e.  ( x (,) (
w  +  ( w  -  x ) ) ) )  ->  x  <  y )
183172, 176, 181, 182syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( w  e.  RR  /\  x  e.  RR  /\  y  e.  ( ( w  -  ( w  -  x
) ) (,) (
w  +  ( w  -  x ) ) ) )  ->  x  <  y )
184171, 183ltned 9738 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( w  e.  RR  /\  x  e.  RR  /\  y  e.  ( ( w  -  ( w  -  x
) ) (,) (
w  +  ( w  -  x ) ) ) )  ->  x  =/=  y )
185152, 153, 170, 184syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( w  e.  RR  /\  x  e.  RR  /\  y  e.  ( (
w  -  ( abs `  ( x  -  w
) ) ) (,) ( w  +  ( abs `  ( x  -  w ) ) ) ) )  /\  -.  0  <_  ( x  -  w ) )  ->  x  =/=  y
)
186151, 185pm2.61dan 791 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  e.  RR  /\  x  e.  RR  /\  y  e.  ( ( w  -  ( abs `  ( x  -  w ) ) ) (,) ( w  +  ( abs `  (
x  -  w ) ) ) ) )  ->  x  =/=  y
)
187117, 118, 120, 186syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ( limPt `  J ) `  A ) )  /\  x  e.  ( (
( w  -  ( E  /  2 ) ) (,) ( w  +  ( E  /  2
) ) )  \  { w } ) )  /\  y  e.  ( ( ( w  -  ( abs `  (
x  -  w ) ) ) (,) (
w  +  ( abs `  ( x  -  w
) ) ) )  i^i  ( A  \  { w } ) ) )  ->  x  =/=  y )
18863adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( ( ( w  -  ( E  /  2 ) ) (,) ( w  +  ( E  /  2
) ) )  \  { w } )  /\  y  e.  ( ( ( w  -  ( abs `  ( x  -  w ) ) ) (,) ( w  +  ( abs `  (
x  -  w ) ) ) )  i^i  ( A  \  {
w } ) ) )  ->  x  e.  RR )
189 elioore 11584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  ( ( w  -  ( abs `  (
x  -  w ) ) ) (,) (
w  +  ( abs `  ( x  -  w
) ) ) )  ->  y  e.  RR )
190119, 189syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  ( ( ( w  -  ( abs `  ( x  -  w
) ) ) (,) ( w  +  ( abs `  ( x  -  w ) ) ) )  i^i  ( A  \  { w }
) )  ->  y  e.  RR )
191190adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( ( ( w  -  ( E  /  2 ) ) (,) ( w  +  ( E  /  2
) ) )  \  { w } )  /\  y  e.  ( ( ( w  -  ( abs `  ( x  -  w ) ) ) (,) ( w  +  ( abs `  (
x  -  w ) ) ) )  i^i  ( A  \  {
w } ) ) )  ->  y  e.  RR )
192188, 191resubcld 10008 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( ( ( w  -  ( E  /  2 ) ) (,) ( w  +  ( E  /  2
) ) )  \  { w } )  /\  y  e.  ( ( ( w  -  ( abs `  ( x  -  w ) ) ) (,) ( w  +  ( abs `  (
x  -  w ) ) ) )  i^i  ( A  \  {
w } ) ) )  ->  ( x  -  y )  e.  RR )
193192recnd 9639 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( ( ( w  -  ( E  /  2 ) ) (,) ( w  +  ( E  /  2
) ) )  \  { w } )  /\  y  e.  ( ( ( w  -  ( abs `  ( x  -  w ) ) ) (,) ( w  +  ( abs `  (
x  -  w ) ) ) )  i^i  ( A  \  {
w } ) ) )  ->  ( x  -  y )  e.  CC )
194193adantll 713 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( ( w  -  ( E  / 
2 ) ) (,) ( w  +  ( E  /  2 ) ) )  \  {
w } ) )  /\  y  e.  ( ( ( w  -  ( abs `  ( x  -  w ) ) ) (,) ( w  +  ( abs `  (
x  -  w ) ) ) )  i^i  ( A  \  {
w } ) ) )  ->  ( x  -  y )  e.  CC )
195194abscld 13370 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ( ( w  -  ( E  / 
2 ) ) (,) ( w  +  ( E  /  2 ) ) )  \  {
w } ) )  /\  y  e.  ( ( ( w  -  ( abs `  ( x  -  w ) ) ) (,) ( w  +  ( abs `  (
x  -  w ) ) ) )  i^i  ( A  \  {
w } ) ) )  ->  ( abs `  ( x  -  y
) )  e.  RR )
196195adantllr 718 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ( limPt `  J ) `  A ) )  /\  x  e.  ( (
( w  -  ( E  /  2 ) ) (,) ( w  +  ( E  /  2
) ) )  \  { w } ) )  /\  y  e.  ( ( ( w  -  ( abs `  (
x  -  w ) ) ) (,) (
w  +  ( abs `  ( x  -  w
) ) ) )  i^i  ( A  \  { w } ) ) )  ->  ( abs `  ( x  -  y ) )  e.  RR )
19794adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ( limPt `  J ) `  A ) )  /\  x  e.  ( (
( w  -  ( E  /  2 ) ) (,) ( w  +  ( E  /  2
) ) )  \  { w } ) )  /\  y  e.  ( ( ( w  -  ( abs `  (
x  -  w ) ) ) (,) (
w  +  ( abs `  ( x  -  w
) ) ) )  i^i  ( A  \  { w } ) ) )  ->  ( abs `  ( x  -  w ) )  e.  RR )
19815adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
)  /\  y  e.  ( ( ( w  -  ( abs `  (
x  -  w ) ) ) (,) (
w  +  ( abs `  ( x  -  w
) ) ) )  i^i  ( A  \  { w } ) ) )  ->  w  e.  RR )
199190adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
)  /\  y  e.  ( ( ( w  -  ( abs `  (
x  -  w ) ) ) (,) (
w  +  ( abs `  ( x  -  w
) ) ) )  i^i  ( A  \  { w } ) ) )  ->  y  e.  RR )
200198, 199resubcld 10008 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
)  /\  y  e.  ( ( ( w  -  ( abs `  (
x  -  w ) ) ) (,) (
w  +  ( abs `  ( x  -  w
) ) ) )  i^i  ( A  \  { w } ) ) )  ->  (
w  -  y )  e.  RR )
201200recnd 9639 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
)  /\  y  e.  ( ( ( w  -  ( abs `  (
x  -  w ) ) ) (,) (
w  +  ( abs `  ( x  -  w
) ) ) )  i^i  ( A  \  { w } ) ) )  ->  (
w  -  y )  e.  CC )
202201abscld 13370 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
)  /\  y  e.  ( ( ( w  -  ( abs `  (
x  -  w ) ) ) (,) (
w  +  ( abs `  ( x  -  w
) ) ) )  i^i  ( A  \  { w } ) ) )  ->  ( abs `  ( w  -  y ) )  e.  RR )
203202adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ( limPt `  J ) `  A ) )  /\  x  e.  ( (
( w  -  ( E  /  2 ) ) (,) ( w  +  ( E  /  2
) ) )  \  { w } ) )  /\  y  e.  ( ( ( w  -  ( abs `  (
x  -  w ) ) ) (,) (
w  +  ( abs `  ( x  -  w
) ) ) )  i^i  ( A  \  { w } ) ) )  ->  ( abs `  ( w  -  y ) )  e.  RR )
204197, 203readdcld 9640 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ( limPt `  J ) `  A ) )  /\  x  e.  ( (
( w  -  ( E  /  2 ) ) (,) ( w  +  ( E  /  2
) ) )  \  { w } ) )  /\  y  e.  ( ( ( w  -  ( abs `  (
x  -  w ) ) ) (,) (
w  +  ( abs `  ( x  -  w
) ) ) )  i^i  ( A  \  { w } ) ) )  ->  (
( abs `  (
x  -  w ) )  +  ( abs `  ( w  -  y
) ) )  e.  RR )
20519ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ( limPt `  J ) `  A ) )  /\  x  e.  ( (
( w  -  ( E  /  2 ) ) (,) ( w  +  ( E  /  2
) ) )  \  { w } ) )  /\  y  e.  ( ( ( w  -  ( abs `  (
x  -  w ) ) ) (,) (
w  +  ( abs `  ( x  -  w
) ) ) )  i^i  ( A  \  { w } ) ) )  ->  E  e.  RR )
206118recnd 9639 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ( limPt `  J ) `  A ) )  /\  x  e.  ( (
( w  -  ( E  /  2 ) ) (,) ( w  +  ( E  /  2
) ) )  \  { w } ) )  /\  y  e.  ( ( ( w  -  ( abs `  (
x  -  w ) ) ) (,) (
w  +  ( abs `  ( x  -  w
) ) ) )  i^i  ( A  \  { w } ) ) )  ->  x  e.  CC )
207190recnd 9639 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( ( ( w  -  ( abs `  ( x  -  w
) ) ) (,) ( w  +  ( abs `  ( x  -  w ) ) ) )  i^i  ( A  \  { w }
) )  ->  y  e.  CC )
208207adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ( limPt `  J ) `  A ) )  /\  x  e.  ( (
( w  -  ( E  /  2 ) ) (,) ( w  +  ( E  /  2
) ) )  \  { w } ) )  /\  y  e.  ( ( ( w  -  ( abs `  (
x  -  w ) ) ) (,) (
w  +  ( abs `  ( x  -  w
) ) ) )  i^i  ( A  \  { w } ) ) )  ->  y  e.  CC )
20992adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ( limPt `  J ) `  A ) )  /\  x  e.  ( (
( w  -  ( E  /  2 ) ) (,) ( w  +  ( E  /  2
) ) )  \  { w } ) )  /\  y  e.  ( ( ( w  -  ( abs `  (
x  -  w ) ) ) (,) (
w  +  ( abs `  ( x  -  w
) ) ) )  i^i  ( A  \  { w } ) ) )  ->  w  e.  CC )
210206, 208, 209abs3difd 13394 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ( limPt `  J ) `  A ) )  /\  x  e.  ( (
( w  -  ( E  /  2 ) ) (,) ( w  +  ( E  /  2
) ) )  \  { w } ) )  /\  y  e.  ( ( ( w  -  ( abs `  (
x  -  w ) ) ) (,) (
w  +  ( abs `  ( x  -  w
) ) ) )  i^i  ( A  \  { w } ) ) )  ->  ( abs `  ( x  -  y ) )  <_ 
( ( abs `  (
x  -  w ) )  +  ( abs `  ( w  -  y
) ) ) )
21121ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ( limPt `  J ) `  A ) )  /\  x  e.  ( (
( w  -  ( E  /  2 ) ) (,) ( w  +  ( E  /  2
) ) )  \  { w } ) )  /\  y  e.  ( ( ( w  -  ( abs `  (
x  -  w ) ) ) (,) (
w  +  ( abs `  ( x  -  w
) ) ) )  i^i  ( A  \  { w } ) ) )  ->  ( E  /  2 )  e.  RR )
212 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
)  /\  x  e.  ( ( ( w  -  ( E  / 
2 ) ) (,) ( w  +  ( E  /  2 ) ) )  \  {
w } ) )  ->  ph )
21361adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
)  /\  x  e.  ( ( ( w  -  ( E  / 
2 ) ) (,) ( w  +  ( E  /  2 ) ) )  \  {
w } ) )  ->  x  e.  ( ( w  -  ( E  /  2 ) ) (,) ( w  +  ( E  /  2
) ) ) )
21462, 146sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( w  e.  RR  /\  x  e.  ( (
w  -  ( E  /  2 ) ) (,) ( w  +  ( E  /  2
) ) ) )  ->  x  e.  CC )
21562, 145sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( w  e.  RR  /\  x  e.  ( (
w  -  ( E  /  2 ) ) (,) ( w  +  ( E  /  2
) ) ) )  ->  w  e.  CC )
216214, 215abssubd 13387 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( w  e.  RR  /\  x  e.  ( (
w  -  ( E  /  2 ) ) (,) ( w  +  ( E  /  2
) ) ) )  ->  ( abs `  (
x  -  w ) )  =  ( abs `  ( w  -  x
) ) )
2172163adant1 1014 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR  /\  x  e.  ( ( w  -  ( E  /  2 ) ) (,) ( w  +  ( E  /  2
) ) ) )  ->  ( abs `  (
x  -  w ) )  =  ( abs `  ( w  -  x
) ) )
218 simp2 997 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR  /\  x  e.  ( ( w  -  ( E  /  2 ) ) (,) ( w  +  ( E  /  2
) ) ) )  ->  w  e.  RR )
21919rehalfcld 10806 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( E  /  2
)  e.  RR )
2202193ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR  /\  x  e.  ( ( w  -  ( E  /  2 ) ) (,) ( w  +  ( E  /  2
) ) ) )  ->  ( E  / 
2 )  e.  RR )
221 simp3 998 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR  /\  x  e.  ( ( w  -  ( E  /  2 ) ) (,) ( w  +  ( E  /  2
) ) ) )  ->  x  e.  ( ( w  -  ( E  /  2 ) ) (,) ( w  +  ( E  /  2
) ) ) )
222218, 220, 221iooabslt 31778 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR  /\  x  e.  ( ( w  -  ( E  /  2 ) ) (,) ( w  +  ( E  /  2
) ) ) )  ->  ( abs `  (
w  -  x ) )  <  ( E  /  2 ) )
223217, 222eqbrtrd 4476 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR  /\  x  e.  ( ( w  -  ( E  /  2 ) ) (,) ( w  +  ( E  /  2
) ) ) )  ->  ( abs `  (
x  -  w ) )  <  ( E  /  2 ) )
224212, 65, 213, 223syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
)  /\  x  e.  ( ( ( w  -  ( E  / 
2 ) ) (,) ( w  +  ( E  /  2 ) ) )  \  {
w } ) )  ->  ( abs `  (
x  -  w ) )  <  ( E  /  2 ) )
225224adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ( limPt `  J ) `  A ) )  /\  x  e.  ( (
( w  -  ( E  /  2 ) ) (,) ( w  +  ( E  /  2
) ) )  \  { w } ) )  /\  y  e.  ( ( ( w  -  ( abs `  (
x  -  w ) ) ) (,) (
w  +  ( abs `  ( x  -  w
) ) ) )  i^i  ( A  \  { w } ) ) )  ->  ( abs `  ( x  -  w ) )  < 
( E  /  2
) )
226212, 65, 2133jca 1176 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
)  /\  x  e.  ( ( ( w  -  ( E  / 
2 ) ) (,) ( w  +  ( E  /  2 ) ) )  \  {
w } ) )  ->  ( ph  /\  w  e.  RR  /\  x  e.  ( ( w  -  ( E  /  2
) ) (,) (
w  +  ( E  /  2 ) ) ) ) )
227 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( w  e.  RR  /\  y  e.  ( (
w  -  ( abs `  ( x  -  w
) ) ) (,) ( w  +  ( abs `  ( x  -  w ) ) ) ) )  ->  w  e.  RR )
228189adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( w  e.  RR  /\  y  e.  ( (
w  -  ( abs `  ( x  -  w
) ) ) (,) ( w  +  ( abs `  ( x  -  w ) ) ) ) )  -> 
y  e.  RR )
229227, 228resubcld 10008 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( w  e.  RR  /\  y  e.  ( (
w  -  ( abs `  ( x  -  w
) ) ) (,) ( w  +  ( abs `  ( x  -  w ) ) ) ) )  -> 
( w  -  y
)  e.  RR )
230229recnd 9639 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( w  e.  RR  /\  y  e.  ( (
w  -  ( abs `  ( x  -  w
) ) ) (,) ( w  +  ( abs `  ( x  -  w ) ) ) ) )  -> 
( w  -  y
)  e.  CC )
231230abscld 13370 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( w  e.  RR  /\  y  e.  ( (
w  -  ( abs `  ( x  -  w
) ) ) (,) ( w  +  ( abs `  ( x  -  w ) ) ) ) )  -> 
( abs `  (
w  -  y ) )  e.  RR )
2322313ad2antl2 1159 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  RR  /\  x  e.  ( ( w  -  ( E  /  2
) ) (,) (
w  +  ( E  /  2 ) ) ) )  /\  y  e.  ( ( w  -  ( abs `  ( x  -  w ) ) ) (,) ( w  +  ( abs `  (
x  -  w ) ) ) ) )  ->  ( abs `  (
w  -  y ) )  e.  RR )
233220adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  RR  /\  x  e.  ( ( w  -  ( E  /  2
) ) (,) (
w  +  ( E  /  2 ) ) ) )  /\  y  e.  ( ( w  -  ( abs `  ( x  -  w ) ) ) (,) ( w  +  ( abs `  (
x  -  w ) ) ) ) )  ->  ( E  / 
2 )  e.  RR )
234214, 215subcld 9950 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( w  e.  RR  /\  x  e.  ( (
w  -  ( E  /  2 ) ) (,) ( w  +  ( E  /  2
) ) ) )  ->  ( x  -  w )  e.  CC )
235234abscld 13370 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( w  e.  RR  /\  x  e.  ( (
w  -  ( E  /  2 ) ) (,) ( w  +  ( E  /  2
) ) ) )  ->  ( abs `  (
x  -  w ) )  e.  RR )
2362353adant1 1014 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR  /\  x  e.  ( ( w  -  ( E  /  2 ) ) (,) ( w  +  ( E  /  2
) ) ) )  ->  ( abs `  (
x  -  w ) )  e.  RR )
237236adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  RR  /\  x  e.  ( ( w  -  ( E  /  2
) ) (,) (
w  +  ( E  /  2 ) ) ) )  /\  y  e.  ( ( w  -  ( abs `  ( x  -  w ) ) ) (,) ( w  +  ( abs `  (
x  -  w ) ) ) ) )  ->  ( abs `  (
x  -  w ) )  e.  RR )
238 simpl2 1000 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  RR  /\  x  e.  ( ( w  -  ( E  /  2
) ) (,) (
w  +  ( E  /  2 ) ) ) )  /\  y  e.  ( ( w  -  ( abs `  ( x  -  w ) ) ) (,) ( w  +  ( abs `  (
x  -  w ) ) ) ) )  ->  w  e.  RR )
239 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  RR  /\  x  e.  ( ( w  -  ( E  /  2
) ) (,) (
w  +  ( E  /  2 ) ) ) )  /\  y  e.  ( ( w  -  ( abs `  ( x  -  w ) ) ) (,) ( w  +  ( abs `  (
x  -  w ) ) ) ) )  ->  y  e.  ( ( w  -  ( abs `  ( x  -  w ) ) ) (,) ( w  +  ( abs `  ( x  -  w ) ) ) ) )
240238, 237, 239iooabslt 31778 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  RR  /\  x  e.  ( ( w  -  ( E  /  2
) ) (,) (
w  +  ( E  /  2 ) ) ) )  /\  y  e.  ( ( w  -  ( abs `  ( x  -  w ) ) ) (,) ( w  +  ( abs `  (
x  -  w ) ) ) ) )  ->  ( abs `  (
w  -  y ) )  <  ( abs `  ( x  -  w
) ) )
241223adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  RR  /\  x  e.  ( ( w  -  ( E  /  2
) ) (,) (
w  +  ( E  /  2 ) ) ) )  /\  y  e.  ( ( w  -  ( abs `  ( x  -  w ) ) ) (,) ( w  +  ( abs `  (
x  -  w ) ) ) ) )  ->  ( abs `  (
x  -  w ) )  <  ( E  /  2 ) )
242232, 237, 233, 240, 241lttrd 9760 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  RR  /\  x  e.  ( ( w  -  ( E  /  2
) ) (,) (
w  +  ( E  /  2 ) ) ) )  /\  y  e.  ( ( w  -  ( abs `  ( x  -  w ) ) ) (,) ( w  +  ( abs `  (
x  -  w ) ) ) ) )  ->  ( abs `  (
w  -  y ) )  <  ( E  /  2 ) )
243232, 233, 242ltled 9750 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  RR  /\  x  e.  ( ( w  -  ( E  /  2
) ) (,) (
w  +  ( E  /  2 ) ) ) )  /\  y  e.  ( ( w  -  ( abs `  ( x  -  w ) ) ) (,) ( w  +  ( abs `  (
x  -  w ) ) ) ) )  ->  ( abs `  (
w  -  y ) )  <_  ( E  /  2 ) )
244226, 119, 243syl2an 477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ( limPt `  J ) `  A ) )  /\  x  e.  ( (
( w  -  ( E  /  2 ) ) (,) ( w  +  ( E  /  2
) ) )  \  { w } ) )  /\  y  e.  ( ( ( w  -  ( abs `  (
x  -  w ) ) ) (,) (
w  +  ( abs `  ( x  -  w
) ) ) )  i^i  ( A  \  { w } ) ) )  ->  ( abs `  ( w  -  y ) )  <_ 
( E  /  2
) )
245197, 203, 211, 211, 225, 244ltleaddd 10193 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ( limPt `  J ) `  A ) )  /\  x  e.  ( (
( w  -  ( E  /  2 ) ) (,) ( w  +  ( E  /  2
) ) )  \  { w } ) )  /\  y  e.  ( ( ( w  -  ( abs `  (
x  -  w ) ) ) (,) (
w  +  ( abs `  ( x  -  w
) ) ) )  i^i  ( A  \  { w } ) ) )  ->  (
( abs `  (
x  -  w ) )  +  ( abs `  ( w  -  y
) ) )  < 
( ( E  / 
2 )  +  ( E  /  2 ) ) )
24619recnd 9639 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  E  e.  CC )
2472462halvesd 10805 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( E  / 
2 )  +  ( E  /  2 ) )  =  E )
248247ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ( limPt `  J ) `  A ) )  /\  x  e.  ( (
( w  -  ( E  /  2 ) ) (,) ( w  +  ( E  /  2
) ) )  \  { w } ) )  /\  y  e.  ( ( ( w  -  ( abs `  (
x  -  w ) ) ) (,) (
w  +  ( abs `  ( x  -  w
) ) ) )  i^i  ( A  \  { w } ) ) )  ->  (
( E  /  2
)  +  ( E  /  2 ) )  =  E )
249245, 248breqtrd 4480 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ( limPt `  J ) `  A ) )  /\  x  e.  ( (
( w  -  ( E  /  2 ) ) (,) ( w  +  ( E  /  2
) ) )  \  { w } ) )  /\  y  e.  ( ( ( w  -  ( abs `  (
x  -  w ) ) ) (,) (
w  +  ( abs `  ( x  -  w
) ) ) )  i^i  ( A  \  { w } ) ) )  ->  (
( abs `  (
x  -  w ) )  +  ( abs `  ( w  -  y
) ) )  < 
E )
250196, 204, 205, 210, 249lelttrd 9757 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ( limPt `  J ) `  A ) )  /\  x  e.  ( (
( w  -  ( E  /  2 ) ) (,) ( w  +  ( E  /  2
) ) )  \  { w } ) )  /\  y  e.  ( ( ( w  -  ( abs `  (
x  -  w ) ) ) (,) (
w  +  ( abs `  ( x  -  w
) ) ) )  i^i  ( A  \  { w } ) ) )  ->  ( abs `  ( x  -  y ) )  < 
E )
251116, 187, 250jca32 535 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ( limPt `  J ) `  A ) )  /\  x  e.  ( (
( w  -  ( E  /  2 ) ) (,) ( w  +  ( E  /  2
) ) )  \  { w } ) )  /\  y  e.  ( ( ( w  -  ( abs `  (
x  -  w ) ) ) (,) (
w  +  ( abs `  ( x  -  w
) ) ) )  i^i  ( A  \  { w } ) ) )  ->  (
y  e.  A  /\  ( x  =/=  y  /\  ( abs `  (
x  -  y ) )  <  E ) ) )
252251ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
)  /\  x  e.  ( ( ( w  -  ( E  / 
2 ) ) (,) ( w  +  ( E  /  2 ) ) )  \  {
w } ) )  ->  ( y  e.  ( ( ( w  -  ( abs `  (
x  -  w ) ) ) (,) (
w  +  ( abs `  ( x  -  w
) ) ) )  i^i  ( A  \  { w } ) )  ->  ( y  e.  A  /\  (
x  =/=  y  /\  ( abs `  ( x  -  y ) )  <  E ) ) ) )
253252eximdv 1711 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
)  /\  x  e.  ( ( ( w  -  ( E  / 
2 ) ) (,) ( w  +  ( E  /  2 ) ) )  \  {
w } ) )  ->  ( E. y 
y  e.  ( ( ( w  -  ( abs `  ( x  -  w ) ) ) (,) ( w  +  ( abs `  ( x  -  w ) ) ) )  i^i  ( A  \  { w }
) )  ->  E. y
( y  e.  A  /\  ( x  =/=  y  /\  ( abs `  (
x  -  y ) )  <  E ) ) ) )
254113, 253mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
)  /\  x  e.  ( ( ( w  -  ( E  / 
2 ) ) (,) ( w  +  ( E  /  2 ) ) )  \  {
w } ) )  ->  E. y ( y  e.  A  /\  (
x  =/=  y  /\  ( abs `  ( x  -  y ) )  <  E ) ) )
255 df-rex 2813 . . . . . 6  |-  ( E. y  e.  A  ( x  =/=  y  /\  ( abs `  ( x  -  y ) )  <  E )  <->  E. y
( y  e.  A  /\  ( x  =/=  y  /\  ( abs `  (
x  -  y ) )  <  E ) ) )
256254, 255sylibr 212 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
)  /\  x  e.  ( ( ( w  -  ( E  / 
2 ) ) (,) ( w  +  ( E  /  2 ) ) )  \  {
w } ) )  ->  E. y  e.  A  ( x  =/=  y  /\  ( abs `  (
x  -  y ) )  <  E ) )
257256ex 434 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
)  ->  ( x  e.  ( ( ( w  -  ( E  / 
2 ) ) (,) ( w  +  ( E  /  2 ) ) )  \  {
w } )  ->  E. y  e.  A  ( x  =/=  y  /\  ( abs `  (
x  -  y ) )  <  E ) ) )
258257reximdv 2931 . . 3  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
)  ->  ( E. x  e.  A  x  e.  ( ( ( w  -  ( E  / 
2 ) ) (,) ( w  +  ( E  /  2 ) ) )  \  {
w } )  ->  E. x  e.  A  E. y  e.  A  ( x  =/=  y  /\  ( abs `  (
x  -  y ) )  <  E ) ) )
25959, 258mpd 15 . 2  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( ( limPt `  J
) `  A )
)  ->  E. x  e.  A  E. y  e.  A  ( x  =/=  y  /\  ( abs `  ( x  -  y ) )  < 
E ) )
2603, 259exlimddv 1727 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  A  E. y  e.  A  ( x  =/=  y  /\  ( abs `  (
x  -  y ) )  <  E ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395   E.wex 1613    e. wcel 1819    =/= wne 2652   A.wral 2807   E.wrex 2808    \ cdif 3468    i^i cin 3470    C_ wss 3471   (/)c0 3793   {csn 4032   U.cuni 4251   class class class wbr 4456   ran crn 5009   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509    + caddc 9512   RR*cxr 9644    < clt 9645    <_ cle 9646    - cmin 9824   -ucneg 9825    / cdiv 10227   2c2 10606   RR+crp 11245   (,)cioo 11554   abscabs 13170   topGenctg 14946   Topctop 19612   limPtclp 19853
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xadd 11344  df-ioo 11558  df-seq 12111  df-exp 12170  df-cj 13035  df-re 13036  df-im 13037  df-sqrt 13171  df-abs 13172  df-topgen 14952  df-psmet 18629  df-xmet 18630  df-met 18631  df-bl 18632  df-top 19617  df-bases 19619  df-topon 19620  df-cld 19738  df-ntr 19739  df-cls 19740  df-nei 19817  df-lp 19855
This theorem is referenced by:  fourierdlem42  32177
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