Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lptioo2cn Structured version   Unicode version

Theorem lptioo2cn 31890
Description: The upper bound of an open interval is a limit point of the interval, wirth respect to the standard topology on complex numbers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lptioo2cn.1  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
lptioo2cn.2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
lptioo2cn.3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
lptioo2cn.4  |-  ( ph  ->  A  <  B )
Assertion
Ref Expression
lptioo2cn  |-  ( ph  ->  B  e.  ( (
limPt `  J ) `  ( A (,) B ) ) )

Proof of Theorem lptioo2cn
StepHypRef Expression
1 eqid 2454 . . . . . 6  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  (
topGen `  ran  (,) )
2 lptioo2cn.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
3 lptioo2cn.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
4 lptioo2cn.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  <  B )
51, 2, 3, 4lptioo2 31876 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  ( (
limPt `  ( topGen `  ran  (,) ) ) `  ( A (,) B ) ) )
6 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
76cnfldtop 21457 . . . . . 6  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  Top
8 ax-resscn 9538 . . . . . . 7  |-  RR  C_  CC
9 unicntop 31671 . . . . . . 7  |-  CC  =  U. ( TopOpen ` fld )
108, 9sseqtri 3521 . . . . . 6  |-  RR  C_  U. ( TopOpen ` fld )
11 ioossre 11589 . . . . . 6  |-  ( A (,) B )  C_  RR
12 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  U. ( TopOpen
` fld
)  =  U. ( TopOpen
` fld
)
136tgioo2 21474 . . . . . . 7  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
1412, 13restlp 19851 . . . . . 6  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Top  /\  RR  C_  U. ( TopOpen
` fld
)  /\  ( A (,) B )  C_  RR )  ->  ( ( limPt `  ( topGen `  ran  (,) )
) `  ( A (,) B ) )  =  ( ( ( limPt `  ( TopOpen ` fld ) ) `  ( A (,) B ) )  i^i  RR ) )
157, 10, 11, 14mp3an 1322 . . . . 5  |-  ( (
limPt `  ( topGen `  ran  (,) ) ) `  ( A (,) B ) )  =  ( ( (
limPt `  ( TopOpen ` fld ) ) `  ( A (,) B ) )  i^i  RR )
165, 15syl6eleq 2552 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  ( ( ( limPt `  ( TopOpen ` fld ) ) `  ( A (,) B ) )  i^i  RR ) )
17 elin 3673 . . . 4  |-  ( B  e.  ( ( (
limPt `  ( TopOpen ` fld ) ) `  ( A (,) B ) )  i^i  RR )  <->  ( B  e.  ( ( limPt `  ( TopOpen
` fld
) ) `  ( A (,) B ) )  /\  B  e.  RR ) )
1816, 17sylib 196 . . 3  |-  ( ph  ->  ( B  e.  ( ( limPt `  ( TopOpen ` fld ) ) `  ( A (,) B ) )  /\  B  e.  RR ) )
1918simpld 457 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  ( (
limPt `  ( TopOpen ` fld ) ) `  ( A (,) B ) ) )
20 lptioo2cn.1 . . . . 5  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
2120eqcomi 2467 . . . 4  |-  ( TopOpen ` fld )  =  J
2221fveq2i 5851 . . 3  |-  ( limPt `  ( TopOpen ` fld ) )  =  (
limPt `  J )
2322fveq1i 5849 . 2  |-  ( (
limPt `  ( TopOpen ` fld ) ) `  ( A (,) B ) )  =  ( ( limPt `  J ) `  ( A (,) B ) )
2419, 23syl6eleq 2552 1  |-  ( ph  ->  B  e.  ( (
limPt `  J ) `  ( A (,) B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823    i^i cin 3460    C_ wss 3461   U.cuni 4235   class class class wbr 4439   ran crn 4989   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   CCcc 9479   RRcr 9480   RR*cxr 9616    < clt 9617   (,)cioo 11532   TopOpenctopn 14911   topGenctg 14927  ℂfldccnfld 18615   Topctop 19561   limPtclp 19802
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fi 7863  df-sup 7893  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11321  df-xadd 11322  df-xmul 11323  df-ioo 11536  df-fz 11676  df-seq 12090  df-exp 12149  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-sqrt 13150  df-abs 13151  df-struct 14718  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-plusg 14797  df-mulr 14798  df-starv 14799  df-tset 14803  df-ple 14804  df-ds 14806  df-unif 14807  df-rest 14912  df-topn 14913  df-topgen 14933  df-psmet 18606  df-xmet 18607  df-met 18608  df-bl 18609  df-mopn 18610  df-cnfld 18616  df-top 19566  df-bases 19568  df-topon 19569  df-topsp 19570  df-cld 19687  df-ntr 19688  df-cls 19689  df-nei 19766  df-lp 19804  df-xms 20989  df-ms 20990
This theorem is referenced by:  cncfiooiccre  31937  fourierdlem60  32188  fourierdlem74  32202  fourierdlem88  32216  fourierdlem94  32222  fourierdlem95  32223  fourierdlem103  32231  fourierdlem104  32232  fourierdlem113  32241
  Copyright terms: Public domain W3C validator