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Theorem lptioo2 37705
Description: The upper bound of an open interval is a limit point of the interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lptioo2.1  |-  J  =  ( topGen `  ran  (,) )
lptioo2.2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
lptioo2.3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
lptioo2.4  |-  ( ph  ->  A  <  B )
Assertion
Ref Expression
lptioo2  |-  ( ph  ->  B  e.  ( (
limPt `  J ) `  ( A (,) B ) ) )

Proof of Theorem lptioo2
Dummy variables  a 
b  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 difssd 3560 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A (,) B )  \  { B } )  C_  ( A (,) B ) )
2 simpr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  x  e.  ( A (,) B ) )
3 ubioo 11665 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -.  B  e.  ( A (,) B
)
4 eleq1 2516 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  B  ->  (
x  e.  ( A (,) B )  <->  B  e.  ( A (,) B ) ) )
54biimpcd 228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( A (,) B )  ->  (
x  =  B  ->  B  e.  ( A (,) B ) ) )
63, 5mtoi 182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( A (,) B )  ->  -.  x  =  B )
76adantl 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  -.  x  =  B )
8 elsn 3981 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  { B }  <->  x  =  B )
97, 8sylnibr 307 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  -.  x  e.  { B } )
102, 9eldifd 3414 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  x  e.  ( ( A (,) B )  \  { B } ) )
1110ex 436 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A (,) B )  ->  x  e.  ( ( A (,) B
)  \  { B } ) ) )
1211ssrdv 3437 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  ( ( A (,) B )  \  { B } ) )
131, 12eqssd 3448 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( A (,) B )  \  { B } )  =  ( A (,) B ) )
1413ineq2d 3633 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( a (,) b )  i^i  (
( A (,) B
)  \  { B } ) )  =  ( ( a (,) b )  i^i  ( A (,) B ) ) )
1514ad2antrr 731 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* ) )  /\  B  e.  ( a (,) b ) )  -> 
( ( a (,) b )  i^i  (
( A (,) B
)  \  { B } ) )  =  ( ( a (,) b )  i^i  ( A (,) B ) ) )
16 simplrl 769 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* ) )  /\  B  e.  ( a (,) b ) )  -> 
a  e.  RR* )
17 simplrr 770 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* ) )  /\  B  e.  ( a (,) b ) )  -> 
b  e.  RR* )
18 lptioo2.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
1918ad2antrr 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* ) )  /\  B  e.  ( a (,) b ) )  ->  A  e.  RR* )
20 elioo3g 11662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  ( a (,) b )  <->  ( (
a  e.  RR*  /\  b  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  (
a  <  B  /\  B  <  b ) ) )
2120biimpi 198 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  ( a (,) b )  ->  (
( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  (
a  <  B  /\  B  <  b ) ) )
2221simpld 461 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  ( a (,) b )  ->  (
a  e.  RR*  /\  b  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* ) )
2322simp3d 1021 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ( a (,) b )  ->  B  e.  RR* )
2423adantl 468 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* ) )  /\  B  e.  ( a (,) b ) )  ->  B  e.  RR* )
25 iooin 11667 . . . . . . 7  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )
)  ->  ( (
a (,) b )  i^i  ( A (,) B ) )  =  ( if ( a  <_  A ,  A ,  a ) (,)
if ( b  <_  B ,  b ,  B ) ) )
2616, 17, 19, 24, 25syl22anc 1268 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* ) )  /\  B  e.  ( a (,) b ) )  -> 
( ( a (,) b )  i^i  ( A (,) B ) )  =  ( if ( a  <_  A ,  A ,  a ) (,) if ( b  <_  B ,  b ,  B ) ) )
27 iftrue 3886 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  <_  A  ->  if ( a  <_  A ,  A ,  a )  =  A )
2827adantl 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )
)  /\  B  e.  ( a (,) b
) )  /\  a  <_  A )  ->  if ( a  <_  A ,  A ,  a )  =  A )
29 lptioo2.4 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  <  B )
3029ad3antrrr 735 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )
)  /\  B  e.  ( a (,) b
) )  /\  a  <_  A )  ->  A  <  B )
3128, 30eqbrtrd 4422 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )
)  /\  B  e.  ( a (,) b
) )  /\  a  <_  A )  ->  if ( a  <_  A ,  A ,  a )  <  B )
32 iffalse 3889 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  a  <_  A  ->  if ( a  <_  A ,  A ,  a )  =  a )
3332adantl 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )
)  /\  B  e.  ( a (,) b
) )  /\  -.  a  <_  A )  ->  if ( a  <_  A ,  A ,  a )  =  a )
3421simprd 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  ( a (,) b )  ->  (
a  <  B  /\  B  <  b ) )
3534simpld 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  ( a (,) b )  ->  a  <  B )
3635ad2antlr 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )
)  /\  B  e.  ( a (,) b
) )  /\  -.  a  <_  A )  -> 
a  <  B )
3733, 36eqbrtrd 4422 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )
)  /\  B  e.  ( a (,) b
) )  /\  -.  a  <_  A )  ->  if ( a  <_  A ,  A ,  a )  <  B )
3831, 37pm2.61dan 799 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* ) )  /\  B  e.  ( a (,) b ) )  ->  if ( a  <_  A ,  A ,  a )  <  B )
3934simprd 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  ( a (,) b )  ->  B  <  b )
4022simp2d 1020 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  ( a (,) b )  ->  b  e.  RR* )
41 xrltnle 9698 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  ->  ( B  <  b  <->  -.  b  <_  B ) )
4223, 40, 41syl2anc 666 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  ( a (,) b )  ->  ( B  <  b  <->  -.  b  <_  B ) )
4339, 42mpbid 214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  ( a (,) b )  ->  -.  b  <_  B )
44 iffalse 3889 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  b  <_  B  ->  if ( b  <_  B ,  b ,  B
)  =  B )
4543, 44syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  ( a (,) b )  ->  if ( b  <_  B ,  b ,  B
)  =  B )
4645eqcomd 2456 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  ( a (,) b )  ->  B  =  if ( b  <_  B ,  b ,  B ) )
4746adantl 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* ) )  /\  B  e.  ( a (,) b ) )  ->  B  =  if (
b  <_  B , 
b ,  B ) )
4838, 47breqtrd 4426 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* ) )  /\  B  e.  ( a (,) b ) )  ->  if ( a  <_  A ,  A ,  a )  <  if ( b  <_  B ,  b ,  B ) )
4919, 16ifcld 3923 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* ) )  /\  B  e.  ( a (,) b ) )  ->  if ( a  <_  A ,  A ,  a )  e.  RR* )
5047, 24eqeltrrd 2529 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* ) )  /\  B  e.  ( a (,) b ) )  ->  if ( b  <_  B ,  b ,  B
)  e.  RR* )
51 ioon0 11659 . . . . . . . 8  |-  ( ( if ( a  <_  A ,  A , 
a )  e.  RR*  /\  if ( b  <_  B ,  b ,  B )  e.  RR* )  ->  ( ( if ( a  <_  A ,  A ,  a ) (,) if ( b  <_  B ,  b ,  B ) )  =/=  (/)  <->  if ( a  <_  A ,  A , 
a )  <  if ( b  <_  B ,  b ,  B
) ) )
5249, 50, 51syl2anc 666 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* ) )  /\  B  e.  ( a (,) b ) )  -> 
( ( if ( a  <_  A ,  A ,  a ) (,) if ( b  <_  B ,  b ,  B ) )  =/=  (/) 
<->  if ( a  <_  A ,  A , 
a )  <  if ( b  <_  B ,  b ,  B
) ) )
5348, 52mpbird 236 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* ) )  /\  B  e.  ( a (,) b ) )  -> 
( if ( a  <_  A ,  A ,  a ) (,)
if ( b  <_  B ,  b ,  B ) )  =/=  (/) )
5426, 53eqnetrd 2690 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* ) )  /\  B  e.  ( a (,) b ) )  -> 
( ( a (,) b )  i^i  ( A (,) B ) )  =/=  (/) )
5515, 54eqnetrd 2690 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* ) )  /\  B  e.  ( a (,) b ) )  -> 
( ( a (,) b )  i^i  (
( A (,) B
)  \  { B } ) )  =/=  (/) )
5655ex 436 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  RR*  /\  b  e. 
RR* ) )  -> 
( B  e.  ( a (,) b )  ->  ( ( a (,) b )  i^i  ( ( A (,) B )  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )
5756ralrimivva 2808 . 2  |-  ( ph  ->  A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( B  e.  ( a (,) b )  ->  (
( a (,) b
)  i^i  ( ( A (,) B )  \  { B } ) )  =/=  (/) ) )
58 lptioo2.1 . . 3  |-  J  =  ( topGen `  ran  (,) )
59 ioossre 11693 . . . 4  |-  ( A (,) B )  C_  RR
6059a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  RR )
61 lptioo2.3 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
6258, 60, 61islptre 37693 . 2  |-  ( ph  ->  ( B  e.  ( ( limPt `  J ) `  ( A (,) B
) )  <->  A. a  e.  RR*  A. b  e. 
RR*  ( B  e.  ( a (,) b
)  ->  ( (
a (,) b )  i^i  ( ( A (,) B )  \  { B } ) )  =/=  (/) ) ) )
6357, 62mpbird 236 1  |-  ( ph  ->  B  e.  ( (
limPt `  J ) `  ( A (,) B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 984    = wceq 1443    e. wcel 1886    =/= wne 2621   A.wral 2736    \ cdif 3400    i^i cin 3402    C_ wss 3403   (/)c0 3730   ifcif 3880   {csn 3967   class class class wbr 4401   ran crn 4834   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   RRcr 9535   RR*cxr 9671    < clt 9672    <_ cle 9673   (,)cioo 11632   topGenctg 15329   limPtclp 20143
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-iin 4280  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-er 7360  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-sup 7953  df-inf 7954  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-n0 10867  df-z 10935  df-uz 11157  df-q 11262  df-ioo 11636  df-topgen 15335  df-top 19914  df-bases 19915  df-topon 19916  df-cld 20027  df-ntr 20028  df-cls 20029  df-nei 20107  df-lp 20145
This theorem is referenced by:  lptioo2cn  37720  fouriersw  38089
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