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Theorem lptioo1 37809
Description: The lower bound of an open interval is a limit point of the interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lptioo1.1  |-  J  =  ( topGen `  ran  (,) )
lptioo1.2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
lptioo1.3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
lptioo1.4  |-  ( ph  ->  A  <  B )
Assertion
Ref Expression
lptioo1  |-  ( ph  ->  A  e.  ( (
limPt `  J ) `  ( A (,) B ) ) )

Proof of Theorem lptioo1
Dummy variables  a 
b  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 difssd 3550 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A (,) B )  \  { A } )  C_  ( A (,) B ) )
2 simpr 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  x  e.  ( A (,) B ) )
3 lbioo 11692 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -.  A  e.  ( A (,) B
)
4 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  A  ->  (
x  e.  ( A (,) B )  <->  A  e.  ( A (,) B ) ) )
54biimpcd 232 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( A (,) B )  ->  (
x  =  A  ->  A  e.  ( A (,) B ) ) )
63, 5mtoi 183 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( A (,) B )  ->  -.  x  =  A )
76adantl 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  -.  x  =  A )
8 elsn 3973 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  { A }  <->  x  =  A )
97, 8sylnibr 312 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  -.  x  e.  { A } )
102, 9eldifd 3401 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  x  e.  ( ( A (,) B )  \  { A } ) )
1110ex 441 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A (,) B )  ->  x  e.  ( ( A (,) B
)  \  { A } ) ) )
1211ssrdv 3424 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  ( ( A (,) B )  \  { A } ) )
131, 12eqssd 3435 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( A (,) B )  \  { A } )  =  ( A (,) B ) )
1413ineq2d 3625 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( a (,) b )  i^i  (
( A (,) B
)  \  { A } ) )  =  ( ( a (,) b )  i^i  ( A (,) B ) ) )
1514ad2antrr 740 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* ) )  /\  A  e.  ( a (,) b ) )  -> 
( ( a (,) b )  i^i  (
( A (,) B
)  \  { A } ) )  =  ( ( a (,) b )  i^i  ( A (,) B ) ) )
16 simplrl 778 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* ) )  /\  A  e.  ( a (,) b ) )  -> 
a  e.  RR* )
17 simplrr 779 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* ) )  /\  A  e.  ( a (,) b ) )  -> 
b  e.  RR* )
18 lptioo1.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
1918rexrd 9708 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
20 lptioo1.3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
2119, 20jca 541 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )
)
2221ad2antrr 740 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* ) )  /\  A  e.  ( a (,) b ) )  -> 
( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )
)
23 iooin 11695 . . . . . . 7  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )
)  ->  ( (
a (,) b )  i^i  ( A (,) B ) )  =  ( if ( a  <_  A ,  A ,  a ) (,)
if ( b  <_  B ,  b ,  B ) ) )
2416, 17, 22, 23syl21anc 1291 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* ) )  /\  A  e.  ( a (,) b ) )  -> 
( ( a (,) b )  i^i  ( A (,) B ) )  =  ( if ( a  <_  A ,  A ,  a ) (,) if ( b  <_  B ,  b ,  B ) ) )
25 elioo3g 11690 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  ( a (,) b )  <->  ( (
a  e.  RR*  /\  b  e.  RR*  /\  A  e. 
RR* )  /\  (
a  <  A  /\  A  <  b ) ) )
2625biimpi 199 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  ( a (,) b )  ->  (
( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR*  /\  A  e.  RR* )  /\  (
a  <  A  /\  A  <  b ) ) )
2726simpld 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ( a (,) b )  ->  (
a  e.  RR*  /\  b  e.  RR*  /\  A  e. 
RR* ) )
2827simp1d 1042 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( a (,) b )  ->  a  e.  RR* )
2927simp3d 1044 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( a (,) b )  ->  A  e.  RR* )
3026simprd 470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ( a (,) b )  ->  (
a  <  A  /\  A  <  b ) )
3130simpld 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( a (,) b )  ->  a  <  A )
3228, 29, 31xrltled 37574 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( a (,) b )  ->  a  <_  A )
3332iftrued 3880 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( a (,) b )  ->  if ( a  <_  A ,  A ,  a )  =  A )
3433adantl 473 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* ) )  /\  A  e.  ( a (,) b ) )  ->  if ( a  <_  A ,  A ,  a )  =  A )
3530simprd 470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( a (,) b )  ->  A  <  b )
3635ad2antlr 741 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )
)  /\  A  e.  ( a (,) b
) )  /\  b  <_  B )  ->  A  <  b )
37 iftrue 3878 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  <_  B  ->  if ( b  <_  B ,  b ,  B
)  =  b )
3837eqcomd 2477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  <_  B  ->  b  =  if ( b  <_  B ,  b ,  B ) )
3938adantl 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )
)  /\  A  e.  ( a (,) b
) )  /\  b  <_  B )  ->  b  =  if ( b  <_  B ,  b ,  B ) )
4036, 39breqtrd 4420 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )
)  /\  A  e.  ( a (,) b
) )  /\  b  <_  B )  ->  A  <  if ( b  <_  B ,  b ,  B ) )
41 lptioo1.4 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  <  B )
4241ad3antrrr 744 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )
)  /\  A  e.  ( a (,) b
) )  /\  -.  b  <_  B )  ->  A  <  B )
43 iffalse 3881 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  b  <_  B  ->  if ( b  <_  B ,  b ,  B
)  =  B )
4443eqcomd 2477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  b  <_  B  ->  B  =  if ( b  <_  B ,  b ,  B ) )
4544adantl 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )
)  /\  A  e.  ( a (,) b
) )  /\  -.  b  <_  B )  ->  B  =  if (
b  <_  B , 
b ,  B ) )
4642, 45breqtrd 4420 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )
)  /\  A  e.  ( a (,) b
) )  /\  -.  b  <_  B )  ->  A  <  if ( b  <_  B ,  b ,  B ) )
4740, 46pm2.61dan 808 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* ) )  /\  A  e.  ( a (,) b ) )  ->  A  <  if ( b  <_  B ,  b ,  B ) )
4834, 47eqbrtrd 4416 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* ) )  /\  A  e.  ( a (,) b ) )  ->  if ( a  <_  A ,  A ,  a )  <  if ( b  <_  B ,  b ,  B ) )
4919ad3antrrr 744 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )
)  /\  A  e.  ( a (,) b
) )  /\  a  <_  A )  ->  A  e.  RR* )
5016adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )
)  /\  A  e.  ( a (,) b
) )  /\  -.  a  <_  A )  -> 
a  e.  RR* )
5149, 50ifclda 3904 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* ) )  /\  A  e.  ( a (,) b ) )  ->  if ( a  <_  A ,  A ,  a )  e.  RR* )
5217adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )
)  /\  A  e.  ( a (,) b
) )  /\  b  <_  B )  ->  b  e.  RR* )
5320ad3antrrr 744 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )
)  /\  A  e.  ( a (,) b
) )  /\  -.  b  <_  B )  ->  B  e.  RR* )
5452, 53ifclda 3904 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* ) )  /\  A  e.  ( a (,) b ) )  ->  if ( b  <_  B ,  b ,  B
)  e.  RR* )
55 ioon0 11687 . . . . . . . 8  |-  ( ( if ( a  <_  A ,  A , 
a )  e.  RR*  /\  if ( b  <_  B ,  b ,  B )  e.  RR* )  ->  ( ( if ( a  <_  A ,  A ,  a ) (,) if ( b  <_  B ,  b ,  B ) )  =/=  (/)  <->  if ( a  <_  A ,  A , 
a )  <  if ( b  <_  B ,  b ,  B
) ) )
5651, 54, 55syl2anc 673 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* ) )  /\  A  e.  ( a (,) b ) )  -> 
( ( if ( a  <_  A ,  A ,  a ) (,) if ( b  <_  B ,  b ,  B ) )  =/=  (/) 
<->  if ( a  <_  A ,  A , 
a )  <  if ( b  <_  B ,  b ,  B
) ) )
5748, 56mpbird 240 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* ) )  /\  A  e.  ( a (,) b ) )  -> 
( if ( a  <_  A ,  A ,  a ) (,)
if ( b  <_  B ,  b ,  B ) )  =/=  (/) )
5824, 57eqnetrd 2710 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* ) )  /\  A  e.  ( a (,) b ) )  -> 
( ( a (,) b )  i^i  ( A (,) B ) )  =/=  (/) )
5915, 58eqnetrd 2710 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* ) )  /\  A  e.  ( a (,) b ) )  -> 
( ( a (,) b )  i^i  (
( A (,) B
)  \  { A } ) )  =/=  (/) )
6059ex 441 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  RR*  /\  b  e. 
RR* ) )  -> 
( A  e.  ( a (,) b )  ->  ( ( a (,) b )  i^i  ( ( A (,) B )  \  { A } ) )  =/=  (/) ) )
6160ralrimivva 2814 . 2  |-  ( ph  ->  A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( A  e.  ( a (,) b )  ->  (
( a (,) b
)  i^i  ( ( A (,) B )  \  { A } ) )  =/=  (/) ) )
62 lptioo1.1 . . 3  |-  J  =  ( topGen `  ran  (,) )
63 ioossre 11721 . . . 4  |-  ( A (,) B )  C_  RR
6463a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  RR )
6562, 64, 18islptre 37796 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  e.  ( ( limPt `  J ) `  ( A (,) B
) )  <->  A. a  e.  RR*  A. b  e. 
RR*  ( A  e.  ( a (,) b
)  ->  ( (
a (,) b )  i^i  ( ( A (,) B )  \  { A } ) )  =/=  (/) ) ) )
6661, 65mpbird 240 1  |-  ( ph  ->  A  e.  ( (
limPt `  J ) `  ( A (,) B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756    \ cdif 3387    i^i cin 3389    C_ wss 3390   (/)c0 3722   ifcif 3872   {csn 3959   class class class wbr 4395   ran crn 4840   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   RRcr 9556   RR*cxr 9692    < clt 9693    <_ cle 9694   (,)cioo 11660   topGenctg 15414   limPtclp 20227
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-sup 7974  df-inf 7975  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-q 11288  df-ioo 11664  df-topgen 15420  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229
This theorem is referenced by:  lptioo1cn  37824  fouriersw  38207
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