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Theorem lptioo1 37712
Description: The lower bound of an open interval is a limit point of the interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lptioo1.1  |-  J  =  ( topGen `  ran  (,) )
lptioo1.2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
lptioo1.3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
lptioo1.4  |-  ( ph  ->  A  <  B )
Assertion
Ref Expression
lptioo1  |-  ( ph  ->  A  e.  ( (
limPt `  J ) `  ( A (,) B ) ) )

Proof of Theorem lptioo1
Dummy variables  a 
b  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 difssd 3561 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A (,) B )  \  { A } )  C_  ( A (,) B ) )
2 simpr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  x  e.  ( A (,) B ) )
3 lbioo 11667 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -.  A  e.  ( A (,) B
)
4 eleq1 2517 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  A  ->  (
x  e.  ( A (,) B )  <->  A  e.  ( A (,) B ) ) )
54biimpcd 228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( A (,) B )  ->  (
x  =  A  ->  A  e.  ( A (,) B ) ) )
63, 5mtoi 182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( A (,) B )  ->  -.  x  =  A )
76adantl 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  -.  x  =  A )
8 elsn 3982 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  { A }  <->  x  =  A )
97, 8sylnibr 307 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  -.  x  e.  { A } )
102, 9eldifd 3415 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A (,) B ) )  ->  x  e.  ( ( A (,) B )  \  { A } ) )
1110ex 436 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A (,) B )  ->  x  e.  ( ( A (,) B
)  \  { A } ) ) )
1211ssrdv 3438 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  ( ( A (,) B )  \  { A } ) )
131, 12eqssd 3449 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( A (,) B )  \  { A } )  =  ( A (,) B ) )
1413ineq2d 3634 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( a (,) b )  i^i  (
( A (,) B
)  \  { A } ) )  =  ( ( a (,) b )  i^i  ( A (,) B ) ) )
1514ad2antrr 732 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* ) )  /\  A  e.  ( a (,) b ) )  -> 
( ( a (,) b )  i^i  (
( A (,) B
)  \  { A } ) )  =  ( ( a (,) b )  i^i  ( A (,) B ) ) )
16 simplrl 770 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* ) )  /\  A  e.  ( a (,) b ) )  -> 
a  e.  RR* )
17 simplrr 771 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* ) )  /\  A  e.  ( a (,) b ) )  -> 
b  e.  RR* )
18 lptioo1.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
1918rexrd 9690 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
20 lptioo1.3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
2119, 20jca 535 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )
)
2221ad2antrr 732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* ) )  /\  A  e.  ( a (,) b ) )  -> 
( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )
)
23 iooin 11670 . . . . . . 7  |-  ( ( ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )  /\  ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )
)  ->  ( (
a (,) b )  i^i  ( A (,) B ) )  =  ( if ( a  <_  A ,  A ,  a ) (,)
if ( b  <_  B ,  b ,  B ) ) )
2416, 17, 22, 23syl21anc 1267 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* ) )  /\  A  e.  ( a (,) b ) )  -> 
( ( a (,) b )  i^i  ( A (,) B ) )  =  ( if ( a  <_  A ,  A ,  a ) (,) if ( b  <_  B ,  b ,  B ) ) )
25 elioo3g 11665 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  ( a (,) b )  <->  ( (
a  e.  RR*  /\  b  e.  RR*  /\  A  e. 
RR* )  /\  (
a  <  A  /\  A  <  b ) ) )
2625biimpi 198 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  ( a (,) b )  ->  (
( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR*  /\  A  e.  RR* )  /\  (
a  <  A  /\  A  <  b ) ) )
2726simpld 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ( a (,) b )  ->  (
a  e.  RR*  /\  b  e.  RR*  /\  A  e. 
RR* ) )
2827simp1d 1020 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( a (,) b )  ->  a  e.  RR* )
2927simp3d 1022 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( a (,) b )  ->  A  e.  RR* )
3026simprd 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ( a (,) b )  ->  (
a  <  A  /\  A  <  b ) )
3130simpld 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( a (,) b )  ->  a  <  A )
3228, 29, 31xrltled 37484 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( a (,) b )  ->  a  <_  A )
3332iftrued 3889 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( a (,) b )  ->  if ( a  <_  A ,  A ,  a )  =  A )
3433adantl 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* ) )  /\  A  e.  ( a (,) b ) )  ->  if ( a  <_  A ,  A ,  a )  =  A )
3530simprd 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( a (,) b )  ->  A  <  b )
3635ad2antlr 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )
)  /\  A  e.  ( a (,) b
) )  /\  b  <_  B )  ->  A  <  b )
37 iftrue 3887 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  <_  B  ->  if ( b  <_  B ,  b ,  B
)  =  b )
3837eqcomd 2457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  <_  B  ->  b  =  if ( b  <_  B ,  b ,  B ) )
3938adantl 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )
)  /\  A  e.  ( a (,) b
) )  /\  b  <_  B )  ->  b  =  if ( b  <_  B ,  b ,  B ) )
4036, 39breqtrd 4427 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )
)  /\  A  e.  ( a (,) b
) )  /\  b  <_  B )  ->  A  <  if ( b  <_  B ,  b ,  B ) )
41 lptioo1.4 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  <  B )
4241ad3antrrr 736 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )
)  /\  A  e.  ( a (,) b
) )  /\  -.  b  <_  B )  ->  A  <  B )
43 iffalse 3890 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  b  <_  B  ->  if ( b  <_  B ,  b ,  B
)  =  B )
4443eqcomd 2457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  b  <_  B  ->  B  =  if ( b  <_  B ,  b ,  B ) )
4544adantl 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )
)  /\  A  e.  ( a (,) b
) )  /\  -.  b  <_  B )  ->  B  =  if (
b  <_  B , 
b ,  B ) )
4642, 45breqtrd 4427 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )
)  /\  A  e.  ( a (,) b
) )  /\  -.  b  <_  B )  ->  A  <  if ( b  <_  B ,  b ,  B ) )
4740, 46pm2.61dan 800 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* ) )  /\  A  e.  ( a (,) b ) )  ->  A  <  if ( b  <_  B ,  b ,  B ) )
4834, 47eqbrtrd 4423 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* ) )  /\  A  e.  ( a (,) b ) )  ->  if ( a  <_  A ,  A ,  a )  <  if ( b  <_  B ,  b ,  B ) )
4919ad3antrrr 736 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )
)  /\  A  e.  ( a (,) b
) )  /\  a  <_  A )  ->  A  e.  RR* )
5016adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )
)  /\  A  e.  ( a (,) b
) )  /\  -.  a  <_  A )  -> 
a  e.  RR* )
5149, 50ifclda 3913 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* ) )  /\  A  e.  ( a (,) b ) )  ->  if ( a  <_  A ,  A ,  a )  e.  RR* )
5217adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )
)  /\  A  e.  ( a (,) b
) )  /\  b  <_  B )  ->  b  e.  RR* )
5320ad3antrrr 736 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* )
)  /\  A  e.  ( a (,) b
) )  /\  -.  b  <_  B )  ->  B  e.  RR* )
5452, 53ifclda 3913 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* ) )  /\  A  e.  ( a (,) b ) )  ->  if ( b  <_  B ,  b ,  B
)  e.  RR* )
55 ioon0 11662 . . . . . . . 8  |-  ( ( if ( a  <_  A ,  A , 
a )  e.  RR*  /\  if ( b  <_  B ,  b ,  B )  e.  RR* )  ->  ( ( if ( a  <_  A ,  A ,  a ) (,) if ( b  <_  B ,  b ,  B ) )  =/=  (/)  <->  if ( a  <_  A ,  A , 
a )  <  if ( b  <_  B ,  b ,  B
) ) )
5651, 54, 55syl2anc 667 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* ) )  /\  A  e.  ( a (,) b ) )  -> 
( ( if ( a  <_  A ,  A ,  a ) (,) if ( b  <_  B ,  b ,  B ) )  =/=  (/) 
<->  if ( a  <_  A ,  A , 
a )  <  if ( b  <_  B ,  b ,  B
) ) )
5748, 56mpbird 236 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* ) )  /\  A  e.  ( a (,) b ) )  -> 
( if ( a  <_  A ,  A ,  a ) (,)
if ( b  <_  B ,  b ,  B ) )  =/=  (/) )
5824, 57eqnetrd 2691 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* ) )  /\  A  e.  ( a (,) b ) )  -> 
( ( a (,) b )  i^i  ( A (,) B ) )  =/=  (/) )
5915, 58eqnetrd 2691 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR*  /\  b  e.  RR* ) )  /\  A  e.  ( a (,) b ) )  -> 
( ( a (,) b )  i^i  (
( A (,) B
)  \  { A } ) )  =/=  (/) )
6059ex 436 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  RR*  /\  b  e. 
RR* ) )  -> 
( A  e.  ( a (,) b )  ->  ( ( a (,) b )  i^i  ( ( A (,) B )  \  { A } ) )  =/=  (/) ) )
6160ralrimivva 2809 . 2  |-  ( ph  ->  A. a  e.  RR*  A. b  e.  RR*  ( A  e.  ( a (,) b )  ->  (
( a (,) b
)  i^i  ( ( A (,) B )  \  { A } ) )  =/=  (/) ) )
62 lptioo1.1 . . 3  |-  J  =  ( topGen `  ran  (,) )
63 ioossre 11696 . . . 4  |-  ( A (,) B )  C_  RR
6463a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  RR )
6562, 64, 18islptre 37699 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  e.  ( ( limPt `  J ) `  ( A (,) B
) )  <->  A. a  e.  RR*  A. b  e. 
RR*  ( A  e.  ( a (,) b
)  ->  ( (
a (,) b )  i^i  ( ( A (,) B )  \  { A } ) )  =/=  (/) ) ) )
6661, 65mpbird 236 1  |-  ( ph  ->  A  e.  ( (
limPt `  J ) `  ( A (,) B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444    e. wcel 1887    =/= wne 2622   A.wral 2737    \ cdif 3401    i^i cin 3403    C_ wss 3404   (/)c0 3731   ifcif 3881   {csn 3968   class class class wbr 4402   ran crn 4835   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   RRcr 9538   RR*cxr 9674    < clt 9675    <_ cle 9676   (,)cioo 11635   topGenctg 15336   limPtclp 20150
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-sup 7956  df-inf 7957  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-q 11265  df-ioo 11639  df-topgen 15342  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-cld 20034  df-ntr 20035  df-cls 20036  df-nei 20114  df-lp 20152
This theorem is referenced by:  lptioo1cn  37727  fouriersw  38095
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