Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lpssat Structured version   Unicode version

Theorem lpssat 33810
Description: Two subspaces in a proper subset relationship imply the existence of an atom less than or equal to one but not the other. (chpssati 26955 analog.) (Contributed by NM, 11-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lpssat.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lpssat.a  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
lpssat.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
lpssat.t  |-  ( ph  ->  T  e.  S )
lpssat.u  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
lpssat.l  |-  ( ph  ->  T  C.  U )
Assertion
Ref Expression
lpssat  |-  ( ph  ->  E. q  e.  A  ( q  C_  U  /\  -.  q  C_  T
) )
Distinct variable groups:    A, q    S, q    T, q    U, q    W, q
Allowed substitution hint:    ph( q)

Proof of Theorem lpssat
StepHypRef Expression
1 lpssat.l . . . 4  |-  ( ph  ->  T  C.  U )
2 dfpss3 3590 . . . . 5  |-  ( T 
C.  U  <->  ( T  C_  U  /\  -.  U  C_  T ) )
32simprbi 464 . . . 4  |-  ( T 
C.  U  ->  -.  U  C_  T )
41, 3syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  U  C_  T
)
5 iman 424 . . . . 5  |-  ( ( q  C_  U  ->  q 
C_  T )  <->  -.  (
q  C_  U  /\  -.  q  C_  T ) )
65ralbii 2895 . . . 4  |-  ( A. q  e.  A  (
q  C_  U  ->  q 
C_  T )  <->  A. q  e.  A  -.  (
q  C_  U  /\  -.  q  C_  T ) )
7 ss2rab 3576 . . . . 5  |-  ( { q  e.  A  | 
q  C_  U }  C_ 
{ q  e.  A  |  q  C_  T }  <->  A. q  e.  A  ( q  C_  U  ->  q 
C_  T ) )
8 lpssat.w . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
98adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  { q  e.  A  |  q  C_  U }  C_  { q  e.  A  |  q 
C_  T } )  ->  W  e.  LMod )
10 lpssat.s . . . . . . . . . . . 12  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
11 lpssat.a . . . . . . . . . . . 12  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
1210, 11lsatlss 33793 . . . . . . . . . . 11  |-  ( W  e.  LMod  ->  A  C_  S )
13 rabss2 3583 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
C_  S  ->  { q  e.  A  |  q 
C_  T }  C_  { q  e.  S  | 
q  C_  T }
)
14 uniss 4266 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { q  e.  A  | 
q  C_  T }  C_ 
{ q  e.  S  |  q  C_  T }  ->  U. { q  e.  A  |  q  C_  T }  C_  U. {
q  e.  S  | 
q  C_  T }
)
158, 12, 13, 144syl 21 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  U. { q  e.  A  |  q  C_  T }  C_  U. {
q  e.  S  | 
q  C_  T }
)
16 lpssat.t . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  T  e.  S )
17 unimax 4281 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T  e.  S  ->  U. {
q  e.  S  | 
q  C_  T }  =  T )
1816, 17syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U. { q  e.  S  |  q  C_  T }  =  T
)
19 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
2019, 10lssss 17363 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T  e.  S  ->  T  C_  ( Base `  W
) )
2116, 20syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  T  C_  ( Base `  W ) )
2218, 21eqsstrd 3538 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  U. { q  e.  S  |  q  C_  T }  C_  ( Base `  W ) )
2315, 22sstrd 3514 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U. { q  e.  A  |  q  C_  T }  C_  ( Base `  W ) )
2423adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  { q  e.  A  |  q  C_  U }  C_  { q  e.  A  |  q 
C_  T } )  ->  U. { q  e.  A  |  q  C_  T }  C_  ( Base `  W ) )
25 uniss 4266 . . . . . . . . 9  |-  ( { q  e.  A  | 
q  C_  U }  C_ 
{ q  e.  A  |  q  C_  T }  ->  U. { q  e.  A  |  q  C_  U }  C_  U. {
q  e.  A  | 
q  C_  T }
)
2625adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  { q  e.  A  |  q  C_  U }  C_  { q  e.  A  |  q 
C_  T } )  ->  U. { q  e.  A  |  q  C_  U }  C_  U. {
q  e.  A  | 
q  C_  T }
)
27 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( LSpan `  W )  =  (
LSpan `  W )
2819, 27lspss 17410 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U. { q  e.  A  |  q  C_  T }  C_  ( Base `  W
)  /\  U. { q  e.  A  |  q 
C_  U }  C_  U. { q  e.  A  |  q  C_  T }
)  ->  ( ( LSpan `  W ) `  U. { q  e.  A  |  q  C_  U }
)  C_  ( ( LSpan `  W ) `  U. { q  e.  A  |  q  C_  T }
) )
299, 24, 26, 28syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  { q  e.  A  |  q  C_  U }  C_  { q  e.  A  |  q 
C_  T } )  ->  ( ( LSpan `  W ) `  U. { q  e.  A  |  q  C_  U }
)  C_  ( ( LSpan `  W ) `  U. { q  e.  A  |  q  C_  T }
) )
30 lpssat.u . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
3110, 27, 11lssats 33809 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  U  =  ( ( LSpan `  W ) `  U. { q  e.  A  |  q  C_  U }
) )
328, 30, 31syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  =  ( (
LSpan `  W ) `  U. { q  e.  A  |  q  C_  U }
) )
3332adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  { q  e.  A  |  q  C_  U }  C_  { q  e.  A  |  q 
C_  T } )  ->  U  =  ( ( LSpan `  W ) `  U. { q  e.  A  |  q  C_  U } ) )
3410, 27, 11lssats 33809 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  e.  S )  ->  T  =  ( ( LSpan `  W ) `  U. { q  e.  A  |  q  C_  T }
) )
358, 16, 34syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  T  =  ( (
LSpan `  W ) `  U. { q  e.  A  |  q  C_  T }
) )
3635adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  { q  e.  A  |  q  C_  U }  C_  { q  e.  A  |  q 
C_  T } )  ->  T  =  ( ( LSpan `  W ) `  U. { q  e.  A  |  q  C_  T } ) )
3729, 33, 363sstr4d 3547 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  { q  e.  A  |  q  C_  U }  C_  { q  e.  A  |  q 
C_  T } )  ->  U  C_  T
)
3837ex 434 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( { q  e.  A  |  q  C_  U }  C_  { q  e.  A  |  q 
C_  T }  ->  U 
C_  T ) )
397, 38syl5bir 218 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. q  e.  A  ( q  C_  U  ->  q  C_  T
)  ->  U  C_  T
) )
406, 39syl5bir 218 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. q  e.  A  -.  ( q 
C_  U  /\  -.  q  C_  T )  ->  U  C_  T ) )
414, 40mtod 177 . 2  |-  ( ph  ->  -.  A. q  e.  A  -.  ( q 
C_  U  /\  -.  q  C_  T ) )
42 dfrex2 2915 . 2  |-  ( E. q  e.  A  ( q  C_  U  /\  -.  q  C_  T )  <->  -.  A. q  e.  A  -.  ( q  C_  U  /\  -.  q  C_  T
) )
4341, 42sylibr 212 1  |-  ( ph  ->  E. q  e.  A  ( q  C_  U  /\  -.  q  C_  T
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815   {crab 2818    C_ wss 3476    C. wpss 3477   U.cuni 4245   ` cfv 5586   Basecbs 14483   LModclmod 17292   LSubSpclss 17358   LSpanclspn 17397  LSAtomsclsa 33771
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-ndx 14486  df-slot 14487  df-base 14488  df-sets 14489  df-plusg 14561  df-0g 14690  df-mnd 15725  df-grp 15855  df-minusg 15856  df-sbg 15857  df-mgp 16929  df-ur 16941  df-rng 16985  df-lmod 17294  df-lss 17359  df-lsp 17398  df-lsatoms 33773
This theorem is referenced by:  lrelat  33811  dihglblem6  36137  dochexmidlem8  36264
  Copyright terms: Public domain W3C validator