Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lpssat Structured version   Unicode version

Theorem lpssat 32548
Description: Two subspaces in a proper subset relationship imply the existence of an atom less than or equal to one but not the other. (chpssati 28014 analog.) (Contributed by NM, 11-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lpssat.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lpssat.a  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
lpssat.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
lpssat.t  |-  ( ph  ->  T  e.  S )
lpssat.u  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
lpssat.l  |-  ( ph  ->  T  C.  U )
Assertion
Ref Expression
lpssat  |-  ( ph  ->  E. q  e.  A  ( q  C_  U  /\  -.  q  C_  T
) )
Distinct variable groups:    A, q    S, q    T, q    U, q    W, q
Allowed substitution hint:    ph( q)

Proof of Theorem lpssat
StepHypRef Expression
1 lpssat.l . . . 4  |-  ( ph  ->  T  C.  U )
2 dfpss3 3551 . . . . 5  |-  ( T 
C.  U  <->  ( T  C_  U  /\  -.  U  C_  T ) )
32simprbi 465 . . . 4  |-  ( T 
C.  U  ->  -.  U  C_  T )
41, 3syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  U  C_  T
)
5 iman 425 . . . . 5  |-  ( ( q  C_  U  ->  q 
C_  T )  <->  -.  (
q  C_  U  /\  -.  q  C_  T ) )
65ralbii 2853 . . . 4  |-  ( A. q  e.  A  (
q  C_  U  ->  q 
C_  T )  <->  A. q  e.  A  -.  (
q  C_  U  /\  -.  q  C_  T ) )
7 ss2rab 3537 . . . . 5  |-  ( { q  e.  A  | 
q  C_  U }  C_ 
{ q  e.  A  |  q  C_  T }  <->  A. q  e.  A  ( q  C_  U  ->  q 
C_  T ) )
8 lpssat.w . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
98adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  { q  e.  A  |  q  C_  U }  C_  { q  e.  A  |  q 
C_  T } )  ->  W  e.  LMod )
10 lpssat.s . . . . . . . . . . . 12  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
11 lpssat.a . . . . . . . . . . . 12  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
1210, 11lsatlss 32531 . . . . . . . . . . 11  |-  ( W  e.  LMod  ->  A  C_  S )
13 rabss2 3544 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
C_  S  ->  { q  e.  A  |  q 
C_  T }  C_  { q  e.  S  | 
q  C_  T }
)
14 uniss 4240 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { q  e.  A  | 
q  C_  T }  C_ 
{ q  e.  S  |  q  C_  T }  ->  U. { q  e.  A  |  q  C_  T }  C_  U. {
q  e.  S  | 
q  C_  T }
)
158, 12, 13, 144syl 19 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  U. { q  e.  A  |  q  C_  T }  C_  U. {
q  e.  S  | 
q  C_  T }
)
16 lpssat.t . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  T  e.  S )
17 unimax 4254 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T  e.  S  ->  U. {
q  e.  S  | 
q  C_  T }  =  T )
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U. { q  e.  S  |  q  C_  T }  =  T
)
19 eqid 2422 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
2019, 10lssss 18159 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T  e.  S  ->  T  C_  ( Base `  W
) )
2116, 20syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  T  C_  ( Base `  W ) )
2218, 21eqsstrd 3498 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  U. { q  e.  S  |  q  C_  T }  C_  ( Base `  W ) )
2315, 22sstrd 3474 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U. { q  e.  A  |  q  C_  T }  C_  ( Base `  W ) )
2423adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  { q  e.  A  |  q  C_  U }  C_  { q  e.  A  |  q 
C_  T } )  ->  U. { q  e.  A  |  q  C_  T }  C_  ( Base `  W ) )
25 uniss 4240 . . . . . . . . 9  |-  ( { q  e.  A  | 
q  C_  U }  C_ 
{ q  e.  A  |  q  C_  T }  ->  U. { q  e.  A  |  q  C_  U }  C_  U. {
q  e.  A  | 
q  C_  T }
)
2625adantl 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  { q  e.  A  |  q  C_  U }  C_  { q  e.  A  |  q 
C_  T } )  ->  U. { q  e.  A  |  q  C_  U }  C_  U. {
q  e.  A  | 
q  C_  T }
)
27 eqid 2422 . . . . . . . . 9  |-  ( LSpan `  W )  =  (
LSpan `  W )
2819, 27lspss 18206 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U. { q  e.  A  |  q  C_  T }  C_  ( Base `  W
)  /\  U. { q  e.  A  |  q 
C_  U }  C_  U. { q  e.  A  |  q  C_  T }
)  ->  ( ( LSpan `  W ) `  U. { q  e.  A  |  q  C_  U }
)  C_  ( ( LSpan `  W ) `  U. { q  e.  A  |  q  C_  T }
) )
299, 24, 26, 28syl3anc 1264 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  { q  e.  A  |  q  C_  U }  C_  { q  e.  A  |  q 
C_  T } )  ->  ( ( LSpan `  W ) `  U. { q  e.  A  |  q  C_  U }
)  C_  ( ( LSpan `  W ) `  U. { q  e.  A  |  q  C_  T }
) )
30 lpssat.u . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
3110, 27, 11lssats 32547 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  U  =  ( ( LSpan `  W ) `  U. { q  e.  A  |  q  C_  U }
) )
328, 30, 31syl2anc 665 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  =  ( (
LSpan `  W ) `  U. { q  e.  A  |  q  C_  U }
) )
3332adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  { q  e.  A  |  q  C_  U }  C_  { q  e.  A  |  q 
C_  T } )  ->  U  =  ( ( LSpan `  W ) `  U. { q  e.  A  |  q  C_  U } ) )
3410, 27, 11lssats 32547 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  e.  S )  ->  T  =  ( ( LSpan `  W ) `  U. { q  e.  A  |  q  C_  T }
) )
358, 16, 34syl2anc 665 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  T  =  ( (
LSpan `  W ) `  U. { q  e.  A  |  q  C_  T }
) )
3635adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  { q  e.  A  |  q  C_  U }  C_  { q  e.  A  |  q 
C_  T } )  ->  T  =  ( ( LSpan `  W ) `  U. { q  e.  A  |  q  C_  T } ) )
3729, 33, 363sstr4d 3507 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  { q  e.  A  |  q  C_  U }  C_  { q  e.  A  |  q 
C_  T } )  ->  U  C_  T
)
3837ex 435 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( { q  e.  A  |  q  C_  U }  C_  { q  e.  A  |  q 
C_  T }  ->  U 
C_  T ) )
397, 38syl5bir 221 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. q  e.  A  ( q  C_  U  ->  q  C_  T
)  ->  U  C_  T
) )
406, 39syl5bir 221 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. q  e.  A  -.  ( q 
C_  U  /\  -.  q  C_  T )  ->  U  C_  T ) )
414, 40mtod 180 . 2  |-  ( ph  ->  -.  A. q  e.  A  -.  ( q 
C_  U  /\  -.  q  C_  T ) )
42 dfrex2 2873 . 2  |-  ( E. q  e.  A  ( q  C_  U  /\  -.  q  C_  T )  <->  -.  A. q  e.  A  -.  ( q  C_  U  /\  -.  q  C_  T
) )
4341, 42sylibr 215 1  |-  ( ph  ->  E. q  e.  A  ( q  C_  U  /\  -.  q  C_  T
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1872   A.wral 2771   E.wrex 2772   {crab 2775    C_ wss 3436    C. wpss 3437   U.cuni 4219   ` cfv 5601   Basecbs 15120   LModclmod 18090   LSubSpclss 18154   LSpanclspn 18193  LSAtomsclsa 32509
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-er 7374  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-nn 10617  df-2 10675  df-ndx 15123  df-slot 15124  df-base 15125  df-sets 15126  df-plusg 15202  df-0g 15339  df-mgm 16487  df-sgrp 16526  df-mnd 16536  df-grp 16672  df-minusg 16673  df-sbg 16674  df-mgp 17723  df-ur 17735  df-ring 17781  df-lmod 18092  df-lss 18155  df-lsp 18194  df-lsatoms 32511
This theorem is referenced by:  lrelat  32549  dihglblem6  34877  dochexmidlem8  35004
  Copyright terms: Public domain W3C validator