Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lpssat Structured version   Unicode version

Theorem lpssat 32012
Description: Two subspaces in a proper subset relationship imply the existence of an atom less than or equal to one but not the other. (chpssati 27575 analog.) (Contributed by NM, 11-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lpssat.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lpssat.a  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
lpssat.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
lpssat.t  |-  ( ph  ->  T  e.  S )
lpssat.u  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
lpssat.l  |-  ( ph  ->  T  C.  U )
Assertion
Ref Expression
lpssat  |-  ( ph  ->  E. q  e.  A  ( q  C_  U  /\  -.  q  C_  T
) )
Distinct variable groups:    A, q    S, q    T, q    U, q    W, q
Allowed substitution hint:    ph( q)

Proof of Theorem lpssat
StepHypRef Expression
1 lpssat.l . . . 4  |-  ( ph  ->  T  C.  U )
2 dfpss3 3528 . . . . 5  |-  ( T 
C.  U  <->  ( T  C_  U  /\  -.  U  C_  T ) )
32simprbi 462 . . . 4  |-  ( T 
C.  U  ->  -.  U  C_  T )
41, 3syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  U  C_  T
)
5 iman 422 . . . . 5  |-  ( ( q  C_  U  ->  q 
C_  T )  <->  -.  (
q  C_  U  /\  -.  q  C_  T ) )
65ralbii 2834 . . . 4  |-  ( A. q  e.  A  (
q  C_  U  ->  q 
C_  T )  <->  A. q  e.  A  -.  (
q  C_  U  /\  -.  q  C_  T ) )
7 ss2rab 3514 . . . . 5  |-  ( { q  e.  A  | 
q  C_  U }  C_ 
{ q  e.  A  |  q  C_  T }  <->  A. q  e.  A  ( q  C_  U  ->  q 
C_  T ) )
8 lpssat.w . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
98adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  { q  e.  A  |  q  C_  U }  C_  { q  e.  A  |  q 
C_  T } )  ->  W  e.  LMod )
10 lpssat.s . . . . . . . . . . . 12  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
11 lpssat.a . . . . . . . . . . . 12  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
1210, 11lsatlss 31995 . . . . . . . . . . 11  |-  ( W  e.  LMod  ->  A  C_  S )
13 rabss2 3521 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
C_  S  ->  { q  e.  A  |  q 
C_  T }  C_  { q  e.  S  | 
q  C_  T }
)
14 uniss 4211 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { q  e.  A  | 
q  C_  T }  C_ 
{ q  e.  S  |  q  C_  T }  ->  U. { q  e.  A  |  q  C_  T }  C_  U. {
q  e.  S  | 
q  C_  T }
)
158, 12, 13, 144syl 21 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  U. { q  e.  A  |  q  C_  T }  C_  U. {
q  e.  S  | 
q  C_  T }
)
16 lpssat.t . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  T  e.  S )
17 unimax 4225 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T  e.  S  ->  U. {
q  e.  S  | 
q  C_  T }  =  T )
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U. { q  e.  S  |  q  C_  T }  =  T
)
19 eqid 2402 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
2019, 10lssss 17795 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T  e.  S  ->  T  C_  ( Base `  W
) )
2116, 20syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  T  C_  ( Base `  W ) )
2218, 21eqsstrd 3475 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  U. { q  e.  S  |  q  C_  T }  C_  ( Base `  W ) )
2315, 22sstrd 3451 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U. { q  e.  A  |  q  C_  T }  C_  ( Base `  W ) )
2423adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  { q  e.  A  |  q  C_  U }  C_  { q  e.  A  |  q 
C_  T } )  ->  U. { q  e.  A  |  q  C_  T }  C_  ( Base `  W ) )
25 uniss 4211 . . . . . . . . 9  |-  ( { q  e.  A  | 
q  C_  U }  C_ 
{ q  e.  A  |  q  C_  T }  ->  U. { q  e.  A  |  q  C_  U }  C_  U. {
q  e.  A  | 
q  C_  T }
)
2625adantl 464 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  { q  e.  A  |  q  C_  U }  C_  { q  e.  A  |  q 
C_  T } )  ->  U. { q  e.  A  |  q  C_  U }  C_  U. {
q  e.  A  | 
q  C_  T }
)
27 eqid 2402 . . . . . . . . 9  |-  ( LSpan `  W )  =  (
LSpan `  W )
2819, 27lspss 17842 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U. { q  e.  A  |  q  C_  T }  C_  ( Base `  W
)  /\  U. { q  e.  A  |  q 
C_  U }  C_  U. { q  e.  A  |  q  C_  T }
)  ->  ( ( LSpan `  W ) `  U. { q  e.  A  |  q  C_  U }
)  C_  ( ( LSpan `  W ) `  U. { q  e.  A  |  q  C_  T }
) )
299, 24, 26, 28syl3anc 1230 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  { q  e.  A  |  q  C_  U }  C_  { q  e.  A  |  q 
C_  T } )  ->  ( ( LSpan `  W ) `  U. { q  e.  A  |  q  C_  U }
)  C_  ( ( LSpan `  W ) `  U. { q  e.  A  |  q  C_  T }
) )
30 lpssat.u . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
3110, 27, 11lssats 32011 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  U  =  ( ( LSpan `  W ) `  U. { q  e.  A  |  q  C_  U }
) )
328, 30, 31syl2anc 659 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  =  ( (
LSpan `  W ) `  U. { q  e.  A  |  q  C_  U }
) )
3332adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  { q  e.  A  |  q  C_  U }  C_  { q  e.  A  |  q 
C_  T } )  ->  U  =  ( ( LSpan `  W ) `  U. { q  e.  A  |  q  C_  U } ) )
3410, 27, 11lssats 32011 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  e.  S )  ->  T  =  ( ( LSpan `  W ) `  U. { q  e.  A  |  q  C_  T }
) )
358, 16, 34syl2anc 659 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  T  =  ( (
LSpan `  W ) `  U. { q  e.  A  |  q  C_  T }
) )
3635adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  { q  e.  A  |  q  C_  U }  C_  { q  e.  A  |  q 
C_  T } )  ->  T  =  ( ( LSpan `  W ) `  U. { q  e.  A  |  q  C_  T } ) )
3729, 33, 363sstr4d 3484 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  { q  e.  A  |  q  C_  U }  C_  { q  e.  A  |  q 
C_  T } )  ->  U  C_  T
)
3837ex 432 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( { q  e.  A  |  q  C_  U }  C_  { q  e.  A  |  q 
C_  T }  ->  U 
C_  T ) )
397, 38syl5bir 218 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. q  e.  A  ( q  C_  U  ->  q  C_  T
)  ->  U  C_  T
) )
406, 39syl5bir 218 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. q  e.  A  -.  ( q 
C_  U  /\  -.  q  C_  T )  ->  U  C_  T ) )
414, 40mtod 177 . 2  |-  ( ph  ->  -.  A. q  e.  A  -.  ( q 
C_  U  /\  -.  q  C_  T ) )
42 dfrex2 2854 . 2  |-  ( E. q  e.  A  ( q  C_  U  /\  -.  q  C_  T )  <->  -.  A. q  e.  A  -.  ( q  C_  U  /\  -.  q  C_  T
) )
4341, 42sylibr 212 1  |-  ( ph  ->  E. q  e.  A  ( q  C_  U  /\  -.  q  C_  T
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   A.wral 2753   E.wrex 2754   {crab 2757    C_ wss 3413    C. wpss 3414   U.cuni 4190   ` cfv 5525   Basecbs 14733   LModclmod 17724   LSubSpclss 17790   LSpanclspn 17829  LSAtomsclsa 31973
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-cnex 9498  ax-resscn 9499  ax-1cn 9500  ax-icn 9501  ax-addcl 9502  ax-addrcl 9503  ax-mulcl 9504  ax-mulrcl 9505  ax-mulcom 9506  ax-addass 9507  ax-mulass 9508  ax-distr 9509  ax-i2m1 9510  ax-1ne0 9511  ax-1rid 9512  ax-rnegex 9513  ax-rrecex 9514  ax-cnre 9515  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517  ax-pre-ltadd 9518  ax-pre-mulgt0 9519
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-ord 4824  df-on 4825  df-lim 4826  df-suc 4827  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-om 6639  df-1st 6738  df-2nd 6739  df-recs 6999  df-rdg 7033  df-er 7268  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-xr 9582  df-ltxr 9583  df-le 9584  df-sub 9763  df-neg 9764  df-nn 10497  df-2 10555  df-ndx 14736  df-slot 14737  df-base 14738  df-sets 14739  df-plusg 14814  df-0g 14948  df-mgm 16088  df-sgrp 16127  df-mnd 16137  df-grp 16273  df-minusg 16274  df-sbg 16275  df-mgp 17354  df-ur 17366  df-ring 17412  df-lmod 17726  df-lss 17791  df-lsp 17830  df-lsatoms 31975
This theorem is referenced by:  lrelat  32013  dihglblem6  34341  dochexmidlem8  34468
  Copyright terms: Public domain W3C validator