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Theorem lpolconN 35025
Description: Contraposition property of a polarity. (Contributed by NM, 26-Nov-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lpolcon.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lpolcon.p  |-  P  =  (LPol `  W )
lpolcon.w  |-  ( ph  ->  W  e.  X )
lpolcon.o  |-  ( ph  -> 
._|_  e.  P )
lpolcon.x  |-  ( ph  ->  X  C_  V )
lpolcon.y  |-  ( ph  ->  Y  C_  V )
lpolcon.c  |-  ( ph  ->  X  C_  Y )
Assertion
Ref Expression
lpolconN  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  Y ) 
C_  (  ._|_  `  X
) )

Proof of Theorem lpolconN
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lpolcon.o . . 3  |-  ( ph  -> 
._|_  e.  P )
2 lpolcon.w . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  X )
3 lpolcon.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
4 eqid 2422 . . . . 5  |-  ( LSubSp `  W )  =  (
LSubSp `  W )
5 eqid 2422 . . . . 5  |-  ( 0g
`  W )  =  ( 0g `  W
)
6 eqid 2422 . . . . 5  |-  (LSAtoms `  W
)  =  (LSAtoms `  W
)
7 eqid 2422 . . . . 5  |-  (LSHyp `  W )  =  (LSHyp `  W )
8 lpolcon.p . . . . 5  |-  P  =  (LPol `  W )
93, 4, 5, 6, 7, 8islpolN 35021 . . . 4  |-  ( W  e.  X  ->  (  ._|_  e.  P  <->  (  ._|_  : ~P V --> ( LSubSp `  W )  /\  (
(  ._|_  `  V )  =  { ( 0g `  W ) }  /\  A. x A. y ( ( x  C_  V  /\  y  C_  V  /\  x  C_  y )  -> 
(  ._|_  `  y )  C_  (  ._|_  `  x ) )  /\  A. x  e.  (LSAtoms `  W )
( (  ._|_  `  x
)  e.  (LSHyp `  W )  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x
) )  =  x ) ) ) ) )
102, 9syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  (  ._|_  e.  P  <->  ( 
._|_  : ~P V --> ( LSubSp `  W )  /\  (
(  ._|_  `  V )  =  { ( 0g `  W ) }  /\  A. x A. y ( ( x  C_  V  /\  y  C_  V  /\  x  C_  y )  -> 
(  ._|_  `  y )  C_  (  ._|_  `  x ) )  /\  A. x  e.  (LSAtoms `  W )
( (  ._|_  `  x
)  e.  (LSHyp `  W )  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x
) )  =  x ) ) ) ) )
111, 10mpbid 213 . 2  |-  ( ph  ->  (  ._|_  : ~P V
--> ( LSubSp `  W )  /\  ( (  ._|_  `  V
)  =  { ( 0g `  W ) }  /\  A. x A. y ( ( x 
C_  V  /\  y  C_  V  /\  x  C_  y )  ->  (  ._|_  `  y )  C_  (  ._|_  `  x )
)  /\  A. x  e.  (LSAtoms `  W )
( (  ._|_  `  x
)  e.  (LSHyp `  W )  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x
) )  =  x ) ) ) )
12 simpr2 1012 . . 3  |-  ( ( 
._|_  : ~P V --> ( LSubSp `  W )  /\  (
(  ._|_  `  V )  =  { ( 0g `  W ) }  /\  A. x A. y ( ( x  C_  V  /\  y  C_  V  /\  x  C_  y )  -> 
(  ._|_  `  y )  C_  (  ._|_  `  x ) )  /\  A. x  e.  (LSAtoms `  W )
( (  ._|_  `  x
)  e.  (LSHyp `  W )  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x
) )  =  x ) ) )  ->  A. x A. y ( ( x  C_  V  /\  y  C_  V  /\  x  C_  y )  -> 
(  ._|_  `  y )  C_  (  ._|_  `  x ) ) )
13 lpolcon.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  C_  V )
14 lpolcon.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  C_  V )
15 lpolcon.c . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  C_  Y )
1613, 14, 153jca 1185 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X  C_  V  /\  Y  C_  V  /\  X  C_  Y ) )
17 fvex 5892 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  W )  e.  _V
183, 17eqeltri 2503 . . . . . . 7  |-  V  e. 
_V
1918elpw2 4588 . . . . . 6  |-  ( X  e.  ~P V  <->  X  C_  V
)
2013, 19sylibr 215 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  ~P V
)
2118elpw2 4588 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  ~P V  <->  Y  C_  V
)
2214, 21sylibr 215 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  ~P V
)
23 sseq1 3485 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  (
x  C_  V  <->  X  C_  V
) )
24 biidd 240 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  (
y  C_  V  <->  y  C_  V ) )
25 sseq1 3485 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  (
x  C_  y  <->  X  C_  y
) )
2623, 24, 253anbi123d 1335 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  (
( x  C_  V  /\  y  C_  V  /\  x  C_  y )  <->  ( X  C_  V  /\  y  C_  V  /\  X  C_  y
) ) )
27 fveq2 5882 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  (  ._|_  `  x )  =  (  ._|_  `  X ) )
2827sseq2d 3492 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  (
(  ._|_  `  y )  C_  (  ._|_  `  x )  <-> 
(  ._|_  `  y )  C_  (  ._|_  `  X ) ) )
2926, 28imbi12d 321 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  (
( ( x  C_  V  /\  y  C_  V  /\  x  C_  y )  ->  (  ._|_  `  y
)  C_  (  ._|_  `  x ) )  <->  ( ( X  C_  V  /\  y  C_  V  /\  X  C_  y )  ->  (  ._|_  `  y )  C_  (  ._|_  `  X )
) ) )
30 biidd 240 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  Y  ->  ( X  C_  V  <->  X  C_  V
) )
31 sseq1 3485 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  Y  ->  (
y  C_  V  <->  Y  C_  V
) )
32 sseq2 3486 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  Y  ->  ( X  C_  y  <->  X  C_  Y
) )
3330, 31, 323anbi123d 1335 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  Y  ->  (
( X  C_  V  /\  y  C_  V  /\  X  C_  y )  <->  ( X  C_  V  /\  Y  C_  V  /\  X  C_  Y
) ) )
34 fveq2 5882 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  Y  ->  (  ._|_  `  y )  =  (  ._|_  `  Y ) )
3534sseq1d 3491 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  Y  ->  (
(  ._|_  `  y )  C_  (  ._|_  `  X )  <-> 
(  ._|_  `  Y )  C_  (  ._|_  `  X ) ) )
3633, 35imbi12d 321 . . . . . . 7  |-  ( y  =  Y  ->  (
( ( X  C_  V  /\  y  C_  V  /\  X  C_  y )  ->  (  ._|_  `  y
)  C_  (  ._|_  `  X ) )  <->  ( ( X  C_  V  /\  Y  C_  V  /\  X  C_  Y )  ->  (  ._|_  `  Y )  C_  (  ._|_  `  X )
) ) )
3729, 36sylan9bb 704 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  X  /\  y  =  Y )  ->  ( ( ( x 
C_  V  /\  y  C_  V  /\  x  C_  y )  ->  (  ._|_  `  y )  C_  (  ._|_  `  x )
)  <->  ( ( X 
C_  V  /\  Y  C_  V  /\  X  C_  Y )  ->  (  ._|_  `  Y )  C_  (  ._|_  `  X )
) ) )
3837spc2gv 3169 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  ~P V  /\  Y  e.  ~P V )  ->  ( A. x A. y ( ( x  C_  V  /\  y  C_  V  /\  x  C_  y )  -> 
(  ._|_  `  y )  C_  (  ._|_  `  x ) )  ->  ( ( X  C_  V  /\  Y  C_  V  /\  X  C_  Y )  ->  (  ._|_  `  Y )  C_  (  ._|_  `  X )
) ) )
3920, 22, 38syl2anc 665 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. x A. y ( ( x 
C_  V  /\  y  C_  V  /\  x  C_  y )  ->  (  ._|_  `  y )  C_  (  ._|_  `  x )
)  ->  ( ( X  C_  V  /\  Y  C_  V  /\  X  C_  Y )  ->  (  ._|_  `  Y )  C_  (  ._|_  `  X )
) ) )
4016, 39mpid 42 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. x A. y ( ( x 
C_  V  /\  y  C_  V  /\  x  C_  y )  ->  (  ._|_  `  y )  C_  (  ._|_  `  x )
)  ->  (  ._|_  `  Y )  C_  (  ._|_  `  X ) ) )
4112, 40syl5 33 . 2  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  : ~P V
--> ( LSubSp `  W )  /\  ( (  ._|_  `  V
)  =  { ( 0g `  W ) }  /\  A. x A. y ( ( x 
C_  V  /\  y  C_  V  /\  x  C_  y )  ->  (  ._|_  `  y )  C_  (  ._|_  `  x )
)  /\  A. x  e.  (LSAtoms `  W )
( (  ._|_  `  x
)  e.  (LSHyp `  W )  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x
) )  =  x ) ) )  -> 
(  ._|_  `  Y )  C_  (  ._|_  `  X ) ) )
4211, 41mpd 15 1  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  Y ) 
C_  (  ._|_  `  X
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982   A.wal 1435    = wceq 1437    e. wcel 1872   A.wral 2771   _Vcvv 3080    C_ wss 3436   ~Pcpw 3981   {csn 3998   -->wf 5597   ` cfv 5601   Basecbs 15121   0gc0g 15338   LSubSpclss 18155  LSAtomsclsa 32510  LSHypclsh 32511  LPolclpoN 35018
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6598
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-ral 2776  df-rex 2777  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-op 4005  df-uni 4220  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-id 4768  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-fv 5609  df-ov 6309  df-oprab 6310  df-mpt2 6311  df-map 7486  df-lpolN 35019
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