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Theorem lpni 23817
Description: For any line, there exists a point not on the line. (Contributed by Jeff Hankins, 15-Aug-2009.)
Hypothesis
Ref Expression
lpni.1  |-  P  = 
U. G
Assertion
Ref Expression
lpni  |-  ( ( G  e.  Plig  /\  L  e.  G )  ->  E. a  e.  P  a  e/  L )
Distinct variable groups:    G, a    L, a    P, a

Proof of Theorem lpni
Dummy variables  b 
c  d  l are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lpni.1 . . . 4  |-  P  = 
U. G
21tncp 23816 . . 3  |-  ( G  e.  Plig  ->  E. b  e.  P  E. c  e.  P  E. d  e.  P  A. l  e.  G  -.  (
b  e.  l  /\  c  e.  l  /\  d  e.  l )
)
3 eleq2 2527 . . . . . . . . . 10  |-  ( l  =  L  ->  (
b  e.  l  <->  b  e.  L ) )
4 eleq2 2527 . . . . . . . . . 10  |-  ( l  =  L  ->  (
c  e.  l  <->  c  e.  L ) )
5 eleq2 2527 . . . . . . . . . 10  |-  ( l  =  L  ->  (
d  e.  l  <->  d  e.  L ) )
63, 4, 53anbi123d 1290 . . . . . . . . 9  |-  ( l  =  L  ->  (
( b  e.  l  /\  c  e.  l  /\  d  e.  l )  <->  ( b  e.  L  /\  c  e.  L  /\  d  e.  L ) ) )
76notbid 294 . . . . . . . 8  |-  ( l  =  L  ->  ( -.  ( b  e.  l  /\  c  e.  l  /\  d  e.  l )  <->  -.  ( b  e.  L  /\  c  e.  L  /\  d  e.  L ) ) )
87rspccv 3174 . . . . . . 7  |-  ( A. l  e.  G  -.  ( b  e.  l  /\  c  e.  l  /\  d  e.  l )  ->  ( L  e.  G  ->  -.  (
b  e.  L  /\  c  e.  L  /\  d  e.  L )
) )
9 eleq1 2526 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  b  ->  (
a  e.  L  <->  b  e.  L ) )
109notbid 294 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  b  ->  ( -.  a  e.  L  <->  -.  b  e.  L ) )
1110rspcev 3177 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  P  /\  -.  b  e.  L
)  ->  E. a  e.  P  -.  a  e.  L )
1211ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  P  ->  ( -.  b  e.  L  ->  E. a  e.  P  -.  a  e.  L
) )
13 eleq1 2526 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  c  ->  (
a  e.  L  <->  c  e.  L ) )
1413notbid 294 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  c  ->  ( -.  a  e.  L  <->  -.  c  e.  L ) )
1514rspcev 3177 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( c  e.  P  /\  -.  c  e.  L
)  ->  E. a  e.  P  -.  a  e.  L )
1615ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( c  e.  P  ->  ( -.  c  e.  L  ->  E. a  e.  P  -.  a  e.  L
) )
17 eleq1 2526 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  d  ->  (
a  e.  L  <->  d  e.  L ) )
1817notbid 294 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  d  ->  ( -.  a  e.  L  <->  -.  d  e.  L ) )
1918rspcev 3177 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( d  e.  P  /\  -.  d  e.  L
)  ->  E. a  e.  P  -.  a  e.  L )
2019ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( d  e.  P  ->  ( -.  d  e.  L  ->  E. a  e.  P  -.  a  e.  L
) )
2112, 16, 203jaao 1287 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  P  /\  c  e.  P  /\  d  e.  P )  ->  ( ( -.  b  e.  L  \/  -.  c  e.  L  \/  -.  d  e.  L
)  ->  E. a  e.  P  -.  a  e.  L ) )
22 3ianor 982 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( b  e.  L  /\  c  e.  L  /\  d  e.  L
)  <->  ( -.  b  e.  L  \/  -.  c  e.  L  \/  -.  d  e.  L
) )
23 df-nel 2650 . . . . . . . . 9  |-  ( a  e/  L  <->  -.  a  e.  L )
2423rexbii 2858 . . . . . . . 8  |-  ( E. a  e.  P  a  e/  L  <->  E. a  e.  P  -.  a  e.  L )
2521, 22, 243imtr4g 270 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  P  /\  c  e.  P  /\  d  e.  P )  ->  ( -.  ( b  e.  L  /\  c  e.  L  /\  d  e.  L )  ->  E. a  e.  P  a  e/  L ) )
268, 25syl9r 72 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  P  /\  c  e.  P  /\  d  e.  P )  ->  ( A. l  e.  G  -.  ( b  e.  l  /\  c  e.  l  /\  d  e.  l )  ->  ( L  e.  G  ->  E. a  e.  P  a  e/  L ) ) )
27263expia 1190 . . . . 5  |-  ( ( b  e.  P  /\  c  e.  P )  ->  ( d  e.  P  ->  ( A. l  e.  G  -.  ( b  e.  l  /\  c  e.  l  /\  d  e.  l )  ->  ( L  e.  G  ->  E. a  e.  P  a  e/  L ) ) ) )
2827rexlimdv 2944 . . . 4  |-  ( ( b  e.  P  /\  c  e.  P )  ->  ( E. d  e.  P  A. l  e.  G  -.  ( b  e.  l  /\  c  e.  l  /\  d  e.  l )  ->  ( L  e.  G  ->  E. a  e.  P  a  e/  L ) ) )
2928rexlimivv 2950 . . 3  |-  ( E. b  e.  P  E. c  e.  P  E. d  e.  P  A. l  e.  G  -.  ( b  e.  l  /\  c  e.  l  /\  d  e.  l )  ->  ( L  e.  G  ->  E. a  e.  P  a  e/  L ) )
302, 29syl 16 . 2  |-  ( G  e.  Plig  ->  ( L  e.  G  ->  E. a  e.  P  a  e/  L ) )
3130imp 429 1  |-  ( ( G  e.  Plig  /\  L  e.  G )  ->  E. a  e.  P  a  e/  L )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    \/ w3o 964    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    e/ wnel 2648   A.wral 2798   E.wrex 2799   U.cuni 4198   Pligcplig 23813
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-v 3078  df-uni 4199  df-plig 23814
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