Theorem lpni 10347

Description: For any line, there exists a point not on the line. (Contributed by Jeff Hankins, 15-Aug-2009.)

Hypothesis

Ref	Expression
lpni.1	|- P = U.G

Assertion

Ref	Expression
lpni	|- ((G e. Plig /\ L e. G) -> E.a e. P a e/ L)

Distinct variable groups:   G,a   L,a   P,a

Proof of Theorem lpni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lpni.1	. . . 4 |- P = U.G
2	1	tncp 10346	. . 3 |- (G e. Plig -> E.b e. P E.c e. P E.d e. P A.l e. G -. (b e. l /\ c e. l /\ d e. l))
3		eleq2 1958	. . . . . . . . . 10 |- (l = L -> (b e. l <-> b e. L))
4		eleq2 1958	. . . . . . . . . 10 |- (l = L -> (c e. l <-> c e. L))
5		eleq2 1958	. . . . . . . . . 10 |- (l = L -> (d e. l <-> d e. L))
6	3, 4, 5	3anbi123d 1168	. . . . . . . . 9 |- (l = L -> ((b e. l /\ c e. l /\ d e. l) <-> (b e. L /\ c e. L /\ d e. L)))
7	6	notbid 673	. . . . . . . 8 |- (l = L -> (-. (b e. l /\ c e. l /\ d e. l) <-> -. (b e. L /\ c e. L /\ d e. L)))
8	7	rcla4cv 2377	. . . . . . 7 |- (A.l e. G -. (b e. l /\ c e. l /\ d e. l) -> (L e. G -> -. (b e. L /\ c e. L /\ d e. L)))
9		eleq1 1957	. . . . . . . . . . . 12 |- (a = b -> (a e. L <-> b e. L))
10	9	notbid 673	. . . . . . . . . . 11 |- (a = b -> (-. a e. L <-> -. b e. L))
11	10	rcla4ev 2381	. . . . . . . . . 10 |- ((b e. P /\ -. b e. L) -> E.a e. P -. a e. L)
12	11	ex 402	. . . . . . . . 9 |- (b e. P -> (-. b e. L -> E.a e. P -. a e. L))
13		eleq1 1957	. . . . . . . . . . . 12 |- (a = c -> (a e. L <-> c e. L))
14	13	notbid 673	. . . . . . . . . . 11 |- (a = c -> (-. a e. L <-> -. c e. L))
15	14	rcla4ev 2381	. . . . . . . . . 10 |- ((c e. P /\ -. c e. L) -> E.a e. P -. a e. L)
16	15	ex 402	. . . . . . . . 9 |- (c e. P -> (-. c e. L -> E.a e. P -. a e. L))
17		eleq1 1957	. . . . . . . . . . . 12 |- (a = d -> (a e. L <-> d e. L))
18	17	notbid 673	. . . . . . . . . . 11 |- (a = d -> (-. a e. L <-> -. d e. L))
19	18	rcla4ev 2381	. . . . . . . . . 10 |- ((d e. P /\ -. d e. L) -> E.a e. P -. a e. L)
20	19	ex 402	. . . . . . . . 9 |- (d e. P -> (-. d e. L -> E.a e. P -. a e. L))
21	12, 16, 20	3jaao 1164	. . . . . . . 8 |- ((b e. P /\ c e. P /\ d e. P) -> ((-. b e. L \/ -. c e. L \/ -. d e. L) -> E.a e. P -. a e. L))
22		3ianor 870	. . . . . . . 8 |- (-. (b e. L /\ c e. L /\ d e. L) <-> (-. b e. L \/ -. c e. L \/ -. d e. L))
23		df-nel 2020	. . . . . . . . 9 |- (a e/ L <-> -. a e. L)
24	23	rexbii 2128	. . . . . . . 8 |- (E.a e. P a e/ L <-> E.a e. P -. a e. L)
25	21, 22, 24	3imtr4g 612	. . . . . . 7 |- ((b e. P /\ c e. P /\ d e. P) -> (-. (b e. L /\ c e. L /\ d e. L) -> E.a e. P a e/ L))
26	8, 25	syl9r 72	. . . . . 6 |- ((b e. P /\ c e. P /\ d e. P) -> (A.l e. G -. (b e. l /\ c e. l /\ d e. l) -> (L e. G -> E.a e. P a e/ L)))
27	26	3expia 1069	. . . . 5 |- ((b e. P /\ c e. P) -> (d e. P -> (A.l e. G -. (b e. l /\ c e. l /\ d e. l) -> (L e. G -> E.a e. P a e/ L))))
28	27	r19.23adv 2215	. . . 4 |- ((b e. P /\ c e. P) -> (E.d e. P A.l e. G -. (b e. l /\ c e. l /\ d e. l) -> (L e. G -> E.a e. P a e/ L)))
29	28	r19.23aivv 2217	. . 3 |- (E.b e. P E.c e. P E.d e. P A.l e. G -. (b e. l /\ c e. l /\ d e. l) -> (L e. G -> E.a e. P a e/ L))
30	2, 29	syl 12	. 2 |- (G e. Plig -> (L e. G -> E.a e. P a e/ L))
31	30	imp 377	1 |- ((G e. Plig /\ L e. G) -> E.a e. P a e/ L)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 240   \/ w3o 857   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300   e/ wnel 2018  A.wral 2105  E.wrex 2106  U.cuni 3177  Pligcplig 10343

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-v 2294  df-uni 3178  df-plig 10344

Copyright terms: Public domain