Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lply1binom Structured version   Unicode version

Theorem lply1binom 30851
Description: The binomial theorem for linear polynomials (monic polynomials of degree 1) over commutative rings:  ( X  +  A
) ^ N is the sum from  k  =  0 to  N of  ( N  _C  k )  x.  (
( A ^ ( N  -  k )
)  x.  ( X ^ k ) ). (Contributed by AV, 25-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cply1binom.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
cply1binom.x  |-  X  =  (var1 `  R )
cply1binom.a  |-  .+  =  ( +g  `  P )
cply1binom.m  |-  .X.  =  ( .r `  P )
cply1binom.t  |-  .x.  =  (.g
`  P )
cply1binom.g  |-  G  =  (mulGrp `  P )
cply1binom.e  |-  .^  =  (.g
`  G )
cply1binom.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
Assertion
Ref Expression
lply1binom  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  NN0  /\  A  e.  B )  ->  ( N  .^  ( X  .+  A ) )  =  ( P  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... N ) 
|->  ( ( N  _C  k )  .x.  (
( ( N  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  X ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, k    k, N    P, k    R, k   
k, X    .X. , k    .x. , k    .^ , k    .+ , k
Allowed substitution hints:    B( k)    G( k)

Proof of Theorem lply1binom
StepHypRef Expression
1 crngrng 16655 . . . . . 6  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
2 cply1binom.p . . . . . . 7  |-  P  =  (Poly1 `  R )
32ply1rng 17703 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
Ring )
4 rngcmn 16675 . . . . . 6  |-  ( P  e.  Ring  ->  P  e. CMnd
)
51, 3, 43syl 20 . . . . 5  |-  ( R  e.  CRing  ->  P  e. CMnd )
653ad2ant1 1009 . . . 4  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  NN0  /\  A  e.  B )  ->  P  e. CMnd )
7 cply1binom.x . . . . . . 7  |-  X  =  (var1 `  R )
8 cply1binom.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  P
)
97, 2, 8vr1cl 17671 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  X  e.  B )
101, 9syl 16 . . . . 5  |-  ( R  e.  CRing  ->  X  e.  B )
11103ad2ant1 1009 . . . 4  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  NN0  /\  A  e.  B )  ->  X  e.  B )
12 simp3 990 . . . 4  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  NN0  /\  A  e.  B )  ->  A  e.  B )
13 cply1binom.a . . . . 5  |-  .+  =  ( +g  `  P )
148, 13cmncom 16293 . . . 4  |-  ( ( P  e. CMnd  /\  X  e.  B  /\  A  e.  B )  ->  ( X  .+  A )  =  ( A  .+  X
) )
156, 11, 12, 14syl3anc 1218 . . 3  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  NN0  /\  A  e.  B )  ->  ( X  .+  A )  =  ( A  .+  X
) )
1615oveq2d 6107 . 2  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  NN0  /\  A  e.  B )  ->  ( N  .^  ( X  .+  A ) )  =  ( N  .^  ( A  .+  X ) ) )
172ply1crng 17654 . . . 4  |-  ( R  e.  CRing  ->  P  e.  CRing
)
18173ad2ant1 1009 . . 3  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  NN0  /\  A  e.  B )  ->  P  e.  CRing )
19 simp2 989 . . 3  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  NN0  /\  A  e.  B )  ->  N  e.  NN0 )
208eleq2i 2507 . . . . 5  |-  ( A  e.  B  <->  A  e.  ( Base `  P )
)
2120biimpi 194 . . . 4  |-  ( A  e.  B  ->  A  e.  ( Base `  P
) )
22213ad2ant3 1011 . . 3  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  NN0  /\  A  e.  B )  ->  A  e.  ( Base `  P
) )
2310, 8syl6eleq 2533 . . . 4  |-  ( R  e.  CRing  ->  X  e.  ( Base `  P )
)
24233ad2ant1 1009 . . 3  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  NN0  /\  A  e.  B )  ->  X  e.  ( Base `  P
) )
25 eqid 2443 . . . 4  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  P )
26 cply1binom.m . . . 4  |-  .X.  =  ( .r `  P )
27 cply1binom.t . . . 4  |-  .x.  =  (.g
`  P )
28 cply1binom.g . . . 4  |-  G  =  (mulGrp `  P )
29 cply1binom.e . . . 4  |-  .^  =  (.g
`  G )
3025, 26, 27, 13, 28, 29crngbinom 16713 . . 3  |-  ( ( ( P  e.  CRing  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( A  e.  (
Base `  P )  /\  X  e.  ( Base `  P ) ) )  ->  ( N  .^  ( A  .+  X
) )  =  ( P  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... N ) 
|->  ( ( N  _C  k )  .x.  (
( ( N  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  X ) ) ) ) ) )
3118, 19, 22, 24, 30syl22anc 1219 . 2  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  NN0  /\  A  e.  B )  ->  ( N  .^  ( A  .+  X ) )  =  ( P  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... N ) 
|->  ( ( N  _C  k )  .x.  (
( ( N  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  X ) ) ) ) ) )
3216, 31eqtrd 2475 1  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  NN0  /\  A  e.  B )  ->  ( N  .^  ( X  .+  A ) )  =  ( P  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... N ) 
|->  ( ( N  _C  k )  .x.  (
( ( N  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  X ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    e. cmpt 4350   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   0cc0 9282    - cmin 9595   NN0cn0 10579   ...cfz 11437    _C cbc 12078   Basecbs 14174   +g cplusg 14238   .rcmulr 14239    gsumg cgsu 14379  .gcmg 15414  CMndccmn 16277  mulGrpcmgp 16591   Ringcrg 16645   CRingccrg 16646  var1cv1 17632  Poly1cpl1 17633
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-inf2 7847  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-iin 4174  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-se 4680  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-isom 5427  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-of 6320  df-ofr 6321  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-supp 6691  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-2o 6921  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-pm 7217  df-ixp 7264  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-fsupp 7621  df-oi 7724  df-card 8109  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-5 10383  df-6 10384  df-7 10385  df-8 10386  df-9 10387  df-10 10388  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-rp 10992  df-fz 11438  df-fzo 11549  df-seq 11807  df-fac 12052  df-bc 12079  df-hash 12104  df-struct 14176  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-sets 14180  df-ress 14181  df-plusg 14251  df-mulr 14252  df-sca 14254  df-vsca 14255  df-tset 14257  df-ple 14258  df-0g 14380  df-gsum 14381  df-mre 14524  df-mrc 14525  df-acs 14527  df-mnd 15415  df-mhm 15464  df-submnd 15465  df-grp 15545  df-minusg 15546  df-mulg 15548  df-subg 15678  df-ghm 15745  df-cntz 15835  df-cmn 16279  df-abl 16280  df-mgp 16592  df-ur 16604  df-srg 16608  df-rng 16647  df-cring 16648  df-subrg 16863  df-psr 17423  df-mvr 17424  df-mpl 17425  df-opsr 17427  df-psr1 17636  df-vr1 17637  df-ply1 17638
This theorem is referenced by:  lply1binomsc  30852
  Copyright terms: Public domain W3C validator