MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lply1binom Structured version   Unicode version

Theorem lply1binom 18218
Description: The binomial theorem for linear polynomials (monic polynomials of degree 1) over commutative rings:  ( X  +  A
) ^ N is the sum from  k  =  0 to  N of  ( N  _C  k )  x.  (
( A ^ ( N  -  k )
)  x.  ( X ^ k ) ). (Contributed by AV, 25-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cply1binom.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
cply1binom.x  |-  X  =  (var1 `  R )
cply1binom.a  |-  .+  =  ( +g  `  P )
cply1binom.m  |-  .X.  =  ( .r `  P )
cply1binom.t  |-  .x.  =  (.g
`  P )
cply1binom.g  |-  G  =  (mulGrp `  P )
cply1binom.e  |-  .^  =  (.g
`  G )
cply1binom.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
Assertion
Ref Expression
lply1binom  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  NN0  /\  A  e.  B )  ->  ( N  .^  ( X  .+  A ) )  =  ( P  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... N ) 
|->  ( ( N  _C  k )  .x.  (
( ( N  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  X ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, k    k, N    P, k    R, k   
k, X    .X. , k    .x. , k    .^ , k    .+ , k
Allowed substitution hints:    B( k)    G( k)

Proof of Theorem lply1binom
StepHypRef Expression
1 crngring 17081 . . . . . 6  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
2 cply1binom.p . . . . . . 7  |-  P  =  (Poly1 `  R )
32ply1ring 18159 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
Ring )
4 ringcmn 17101 . . . . . 6  |-  ( P  e.  Ring  ->  P  e. CMnd
)
51, 3, 43syl 20 . . . . 5  |-  ( R  e.  CRing  ->  P  e. CMnd )
653ad2ant1 1017 . . . 4  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  NN0  /\  A  e.  B )  ->  P  e. CMnd )
7 cply1binom.x . . . . . . 7  |-  X  =  (var1 `  R )
8 cply1binom.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  P
)
97, 2, 8vr1cl 18128 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  X  e.  B )
101, 9syl 16 . . . . 5  |-  ( R  e.  CRing  ->  X  e.  B )
11103ad2ant1 1017 . . . 4  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  NN0  /\  A  e.  B )  ->  X  e.  B )
12 simp3 998 . . . 4  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  NN0  /\  A  e.  B )  ->  A  e.  B )
13 cply1binom.a . . . . 5  |-  .+  =  ( +g  `  P )
148, 13cmncom 16687 . . . 4  |-  ( ( P  e. CMnd  /\  X  e.  B  /\  A  e.  B )  ->  ( X  .+  A )  =  ( A  .+  X
) )
156, 11, 12, 14syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  NN0  /\  A  e.  B )  ->  ( X  .+  A )  =  ( A  .+  X
) )
1615oveq2d 6311 . 2  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  NN0  /\  A  e.  B )  ->  ( N  .^  ( X  .+  A ) )  =  ( N  .^  ( A  .+  X ) ) )
172ply1crng 18107 . . . 4  |-  ( R  e.  CRing  ->  P  e.  CRing
)
18173ad2ant1 1017 . . 3  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  NN0  /\  A  e.  B )  ->  P  e.  CRing )
19 simp2 997 . . 3  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  NN0  /\  A  e.  B )  ->  N  e.  NN0 )
208eleq2i 2545 . . . . 5  |-  ( A  e.  B  <->  A  e.  ( Base `  P )
)
2120biimpi 194 . . . 4  |-  ( A  e.  B  ->  A  e.  ( Base `  P
) )
22213ad2ant3 1019 . . 3  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  NN0  /\  A  e.  B )  ->  A  e.  ( Base `  P
) )
2310, 8syl6eleq 2565 . . . 4  |-  ( R  e.  CRing  ->  X  e.  ( Base `  P )
)
24233ad2ant1 1017 . . 3  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  NN0  /\  A  e.  B )  ->  X  e.  ( Base `  P
) )
25 eqid 2467 . . . 4  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  P )
26 cply1binom.m . . . 4  |-  .X.  =  ( .r `  P )
27 cply1binom.t . . . 4  |-  .x.  =  (.g
`  P )
28 cply1binom.g . . . 4  |-  G  =  (mulGrp `  P )
29 cply1binom.e . . . 4  |-  .^  =  (.g
`  G )
3025, 26, 27, 13, 28, 29crngbinom 17142 . . 3  |-  ( ( ( P  e.  CRing  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( A  e.  (
Base `  P )  /\  X  e.  ( Base `  P ) ) )  ->  ( N  .^  ( A  .+  X
) )  =  ( P  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... N ) 
|->  ( ( N  _C  k )  .x.  (
( ( N  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  X ) ) ) ) ) )
3118, 19, 22, 24, 30syl22anc 1229 . 2  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  NN0  /\  A  e.  B )  ->  ( N  .^  ( A  .+  X ) )  =  ( P  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... N ) 
|->  ( ( N  _C  k )  .x.  (
( ( N  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  X ) ) ) ) ) )
3216, 31eqtrd 2508 1  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  N  e.  NN0  /\  A  e.  B )  ->  ( N  .^  ( X  .+  A ) )  =  ( P  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... N ) 
|->  ( ( N  _C  k )  .x.  (
( ( N  -  k )  .^  A
)  .X.  ( k  .^  X ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    |-> cmpt 4511   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   0cc0 9504    - cmin 9817   NN0cn0 10807   ...cfz 11684    _C cbc 12360   Basecbs 14507   +g cplusg 14572   .rcmulr 14573    gsumg cgsu 14713  .gcmg 15928  CMndccmn 16671  mulGrpcmgp 17013   Ringcrg 17070   CRingccrg 17071  var1cv1 18085  Poly1cpl1 18086
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-ofr 6536  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-ixp 7482  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-oi 7947  df-card 8332  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-rp 11233  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-seq 12088  df-fac 12334  df-bc 12361  df-hash 12386  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-sca 14588  df-vsca 14589  df-tset 14591  df-ple 14592  df-0g 14714  df-gsum 14715  df-mre 14858  df-mrc 14859  df-acs 14861  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-mhm 15839  df-submnd 15840  df-grp 15929  df-minusg 15930  df-mulg 15932  df-subg 16070  df-ghm 16137  df-cntz 16227  df-cmn 16673  df-abl 16674  df-mgp 17014  df-ur 17026  df-srg 17030  df-ring 17072  df-cring 17073  df-subrg 17298  df-psr 17875  df-mvr 17876  df-mpl 17877  df-opsr 17879  df-psr1 18089  df-vr1 18090  df-ply1 18091
This theorem is referenced by:  lply1binomsc  18219
  Copyright terms: Public domain W3C validator