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Theorem lplnnle2at 34554
Description: A lattice line (or atom) cannot majorize a lattice plane. (Contributed by NM, 8-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lplnnle2at.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
lplnnle2at.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
lplnnle2at.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
lplnnle2at.p  |-  P  =  ( LPlanes `  K )
Assertion
Ref Expression
lplnnle2at  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
) )  ->  -.  X  .<_  ( Q  .\/  R ) )

Proof of Theorem lplnnle2at
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr1 1002 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
) )  ->  X  e.  P )
2 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
3 eqid 2467 . . . . . 6  |-  (  <o  `  K )  =  ( 
<o  `  K )
4 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( LLines `  K )  =  (
LLines `  K )
5 lplnnle2at.p . . . . . 6  |-  P  =  ( LPlanes `  K )
62, 3, 4, 5islpln 34543 . . . . 5  |-  ( K  e.  HL  ->  ( X  e.  P  <->  ( X  e.  ( Base `  K
)  /\  E. y  e.  ( LLines `  K )
y (  <o  `  K
) X ) ) )
76adantr 465 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
) )  ->  ( X  e.  P  <->  ( X  e.  ( Base `  K
)  /\  E. y  e.  ( LLines `  K )
y (  <o  `  K
) X ) ) )
81, 7mpbid 210 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
) )  ->  ( X  e.  ( Base `  K )  /\  E. y  e.  ( LLines `  K ) y ( 
<o  `  K ) X ) )
98simprd 463 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
) )  ->  E. y  e.  ( LLines `  K )
y (  <o  `  K
) X )
10 oveq1 6292 . . . . . . . . 9  |-  ( Q  =  R  ->  ( Q  .\/  R )  =  ( R  .\/  R
) )
1110breq2d 4459 . . . . . . . 8  |-  ( Q  =  R  ->  ( X  .<_  ( Q  .\/  R )  <->  X  .<_  ( R 
.\/  R ) ) )
1211notbid 294 . . . . . . 7  |-  ( Q  =  R  ->  ( -.  X  .<_  ( Q 
.\/  R )  <->  -.  X  .<_  ( R  .\/  R
) ) )
13 simpl1 999 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  /\  Q  =/=  R
)  ->  K  e.  HL )
14 simpl3l 1051 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  /\  Q  =/=  R
)  ->  y  e.  ( LLines `  K )
)
15 simpl22 1075 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  /\  Q  =/=  R
)  ->  Q  e.  A )
16 simpl23 1076 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  /\  Q  =/=  R
)  ->  R  e.  A )
17 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  /\  Q  =/=  R
)  ->  Q  =/=  R )
18 lplnnle2at.j . . . . . . . . . . 11  |-  .\/  =  ( join `  K )
19 lplnnle2at.a . . . . . . . . . . 11  |-  A  =  ( Atoms `  K )
2018, 19, 4llni2 34525 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  Q  =/=  R
)  ->  ( Q  .\/  R )  e.  (
LLines `  K ) )
2113, 15, 16, 17, 20syl31anc 1231 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  /\  Q  =/=  R
)  ->  ( Q  .\/  R )  e.  (
LLines `  K ) )
22 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( lt
`  K )  =  ( lt `  K
)
2322, 4llnnlt 34536 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  y  e.  ( LLines `  K )  /\  ( Q  .\/  R )  e.  ( LLines `  K )
)  ->  -.  y
( lt `  K
) ( Q  .\/  R ) )
2413, 14, 21, 23syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  /\  Q  =/=  R
)  ->  -.  y
( lt `  K
) ( Q  .\/  R ) )
252, 4llnbase 34522 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( LLines `  K
)  ->  y  e.  ( Base `  K )
)
2614, 25syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  /\  Q  =/=  R
)  ->  y  e.  ( Base `  K )
)
27 simpl21 1074 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  /\  Q  =/=  R
)  ->  X  e.  P )
282, 5lplnbase 34547 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  P  ->  X  e.  ( Base `  K
) )
2927, 28syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  /\  Q  =/=  R
)  ->  X  e.  ( Base `  K )
)
30 simpl3r 1052 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  /\  Q  =/=  R
)  ->  y (  <o  `  K ) X )
312, 22, 3cvrlt 34284 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  y  e.  ( Base `  K )  /\  X  e.  ( Base `  K
) )  /\  y
(  <o  `  K ) X )  ->  y
( lt `  K
) X )
3213, 26, 29, 30, 31syl31anc 1231 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  /\  Q  =/=  R
)  ->  y ( lt `  K ) X )
33 hlpos 34379 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Poset )
3413, 33syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  /\  Q  =/=  R
)  ->  K  e.  Poset
)
352, 18, 19hlatjcl 34380 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  ->  ( Q  .\/  R
)  e.  ( Base `  K ) )
3613, 15, 16, 35syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  /\  Q  =/=  R
)  ->  ( Q  .\/  R )  e.  (
Base `  K )
)
37 lplnnle2at.l . . . . . . . . . . 11  |-  .<_  =  ( le `  K )
382, 37, 22pltletr 15461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  (
y  e.  ( Base `  K )  /\  X  e.  ( Base `  K
)  /\  ( Q  .\/  R )  e.  (
Base `  K )
) )  ->  (
( y ( lt
`  K ) X  /\  X  .<_  ( Q 
.\/  R ) )  ->  y ( lt
`  K ) ( Q  .\/  R ) ) )
3934, 26, 29, 36, 38syl13anc 1230 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  /\  Q  =/=  R
)  ->  ( (
y ( lt `  K ) X  /\  X  .<_  ( Q  .\/  R ) )  ->  y
( lt `  K
) ( Q  .\/  R ) ) )
4032, 39mpand 675 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  /\  Q  =/=  R
)  ->  ( X  .<_  ( Q  .\/  R
)  ->  y ( lt `  K ) ( Q  .\/  R ) ) )
4124, 40mtod 177 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  /\  Q  =/=  R
)  ->  -.  X  .<_  ( Q  .\/  R
) )
42 simp1 996 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  ->  K  e.  HL )
43 simp3l 1024 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  ->  y  e.  (
LLines `  K ) )
44 simp23 1031 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  ->  R  e.  A
)
4537, 19, 4llnnleat 34526 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  y  e.  ( LLines `  K )  /\  R  e.  A )  ->  -.  y  .<_  R )
4642, 43, 44, 45syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  ->  -.  y  .<_  R )
4743, 25syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  ->  y  e.  (
Base `  K )
)
48 simp21 1029 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  ->  X  e.  P
)
4948, 28syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  ->  X  e.  (
Base `  K )
)
50 simp3r 1025 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  ->  y (  <o  `  K ) X )
5142, 47, 49, 50, 31syl31anc 1231 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  ->  y ( lt
`  K ) X )
52333ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  ->  K  e.  Poset )
532, 19atbase 34303 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e.  A  ->  R  e.  ( Base `  K
) )
5444, 53syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  ->  R  e.  (
Base `  K )
)
552, 37, 22pltletr 15461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  (
y  e.  ( Base `  K )  /\  X  e.  ( Base `  K
)  /\  R  e.  ( Base `  K )
) )  ->  (
( y ( lt
`  K ) X  /\  X  .<_  R )  ->  y ( lt
`  K ) R ) )
5652, 47, 49, 54, 55syl13anc 1230 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  ->  ( ( y ( lt `  K
) X  /\  X  .<_  R )  ->  y
( lt `  K
) R ) )
5751, 56mpand 675 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  ->  ( X  .<_  R  ->  y ( lt
`  K ) R ) )
5837, 22pltle 15451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  HL  /\  y  e.  ( LLines `  K )  /\  R  e.  A )  ->  (
y ( lt `  K ) R  -> 
y  .<_  R ) )
5942, 43, 44, 58syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  ->  ( y ( lt `  K ) R  ->  y  .<_  R ) )
6057, 59syld 44 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  ->  ( X  .<_  R  ->  y  .<_  R ) )
6146, 60mtod 177 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  ->  -.  X  .<_  R )
6218, 19hlatjidm 34382 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  R  e.  A )  ->  ( R  .\/  R
)  =  R )
6342, 44, 62syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  ->  ( R  .\/  R )  =  R )
6463breq2d 4459 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  ->  ( X  .<_  ( R  .\/  R )  <-> 
X  .<_  R ) )
6561, 64mtbird 301 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  ->  -.  X  .<_  ( R  .\/  R ) )
6612, 41, 65pm2.61ne 2782 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  ->  -.  X  .<_  ( Q  .\/  R ) )
67663exp 1195 . . . . 5  |-  ( K  e.  HL  ->  (
( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  ->  ( (
y  e.  ( LLines `  K )  /\  y
(  <o  `  K ) X )  ->  -.  X  .<_  ( Q  .\/  R ) ) ) )
6867exp4a 606 . . . 4  |-  ( K  e.  HL  ->  (
( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  ->  ( y  e.  ( LLines `  K )  ->  ( y (  <o  `  K ) X  ->  -.  X  .<_  ( Q 
.\/  R ) ) ) ) )
6968imp 429 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
) )  ->  (
y  e.  ( LLines `  K )  ->  (
y (  <o  `  K
) X  ->  -.  X  .<_  ( Q  .\/  R ) ) ) )
7069rexlimdv 2953 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
) )  ->  ( E. y  e.  ( LLines `
 K ) y (  <o  `  K ) X  ->  -.  X  .<_  ( Q  .\/  R ) ) )
719, 70mpd 15 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
) )  ->  -.  X  .<_  ( Q  .\/  R ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   E.wrex 2815   class class class wbr 4447   ` cfv 5588  (class class class)co 6285   Basecbs 14493   lecple 14565   Posetcpo 15430   ltcplt 15431   joincjn 15434    <o ccvr 34276   Atomscatm 34277   HLchlt 34364   LLinesclln 34504   LPlanesclpl 34505
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-poset 15436  df-plt 15448  df-lub 15464  df-glb 15465  df-join 15466  df-meet 15467  df-p0 15529  df-lat 15536  df-clat 15598  df-oposet 34190  df-ol 34192  df-oml 34193  df-covers 34280  df-ats 34281  df-atl 34312  df-cvlat 34336  df-hlat 34365  df-llines 34511  df-lplanes 34512
This theorem is referenced by:  lplnnleat  34555  lplnnlelln  34556  2atnelpln  34557  lvolnle3at  34595
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