Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lplnle Structured version   Unicode version

Theorem lplnle 32814
 Description: Any element greater than 0 and not an atom and not a lattice line majorizes a lattice plane. (Contributed by NM, 28-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lplnle.b
lplnle.l
lplnle.z
lplnle.a
lplnle.n
lplnle.p
Assertion
Ref Expression
lplnle
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem lplnle
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lplnle.b . . . 4
2 lplnle.l . . . 4
3 lplnle.z . . . 4
4 lplnle.a . . . 4
5 lplnle.n . . . 4
61, 2, 3, 4, 5llnle 32792 . . 3
763adantr3 1166 . 2
8 simp1ll 1068 . . . . . 6
91, 5llnbase 32783 . . . . . . 7
1093ad2ant2 1027 . . . . . 6
11 simp1lr 1069 . . . . . 6
12 simp3 1007 . . . . . . 7
13 simp2 1006 . . . . . . . 8
14 simp1r3 1103 . . . . . . . 8
15 nelne2 2761 . . . . . . . 8
1613, 14, 15syl2anc 665 . . . . . . 7
17 eqid 2429 . . . . . . . . 9
182, 17pltval 16157 . . . . . . . 8
198, 13, 11, 18syl3anc 1264 . . . . . . 7
2012, 16, 19mpbir2and 930 . . . . . 6
21 eqid 2429 . . . . . . 7
22 eqid 2429 . . . . . . 7
231, 2, 17, 21, 22, 4hlrelat3 32686 . . . . . 6
248, 10, 11, 20, 23syl31anc 1267 . . . . 5
25 simp1ll 1068 . . . . . . . . . . 11
26 hllat 32638 . . . . . . . . . . . . 13
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . . . 12
28 simp21 1038 . . . . . . . . . . . . 13
2928, 9syl 17 . . . . . . . . . . . 12
30 simp23 1040 . . . . . . . . . . . . 13
311, 4atbase 32564 . . . . . . . . . . . . 13
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . . 12
331, 21latjcl 16248 . . . . . . . . . . . 12
3427, 29, 32, 33syl3anc 1264 . . . . . . . . . . 11
35 simp3l 1033 . . . . . . . . . . 11
36 lplnle.p . . . . . . . . . . . 12
371, 22, 5, 36lplni 32806 . . . . . . . . . . 11
3825, 34, 28, 35, 37syl31anc 1267 . . . . . . . . . 10
39 simp3r 1034 . . . . . . . . . 10
40 breq1 4429 . . . . . . . . . . 11
4140rspcev 3188 . . . . . . . . . 10
4238, 39, 41syl2anc 665 . . . . . . . . 9
43423exp 1204 . . . . . . . 8
44433expd 1222 . . . . . . 7
45443imp 1199 . . . . . 6
4645rexlimdv 2922 . . . . 5
4724, 46mpd 15 . . . 4
48473exp 1204 . . 3
4948rexlimdv 2922 . 2
507, 49mpd 15 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 187   wa 370   w3a 982   wceq 1437   wcel 1870   wne 2625  wrex 2783   class class class wbr 4426  cfv 5601  (class class class)co 6305  cbs 15084  cple 15159  cplt 16137  cjn 16140  cp0 16234  clat 16242   ccvr 32537  catm 32538  chlt 32625  clln 32765  clpl 32766 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-id 4769  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-preset 16124  df-poset 16142  df-plt 16155  df-lub 16171  df-glb 16172  df-join 16173  df-meet 16174  df-p0 16236  df-lat 16243  df-clat 16305  df-oposet 32451  df-ol 32453  df-oml 32454  df-covers 32541  df-ats 32542  df-atl 32573  df-cvlat 32597  df-hlat 32626  df-llines 32772  df-lplanes 32773 This theorem is referenced by:  lplncvrlvol  32890
 Copyright terms: Public domain W3C validator