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Theorem lplnexllnN 33304
Description: Given an atom on a lattice plane, there is a lattice line whose join with the atom equals the plane. (Contributed by NM, 26-Jun-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lplnexat.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
lplnexat.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
lplnexat.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
lplnexat.n  |-  N  =  ( LLines `  K )
lplnexat.p  |-  P  =  ( LPlanes `  K )
Assertion
Ref Expression
lplnexllnN  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  ->  E. y  e.  N  ( -.  Q  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  Q ) ) )
Distinct variable groups:    y,  .\/    y, 
.<_    y, N    y, Q    y, X
Allowed substitution hints:    A( y)    P( y)    K( y)

Proof of Theorem lplnexllnN
Dummy variables  s 
r  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl2 992 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  ->  X  e.  P
)
2 simpl1 991 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  ->  K  e.  HL )
3 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
4 lplnexat.p . . . . . 6  |-  P  =  ( LPlanes `  K )
53, 4lplnbase 33274 . . . . 5  |-  ( X  e.  P  ->  X  e.  ( Base `  K
) )
61, 5syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  ->  X  e.  (
Base `  K )
)
7 lplnexat.l . . . . 5  |-  .<_  =  ( le `  K )
8 lplnexat.j . . . . 5  |-  .\/  =  ( join `  K )
9 lplnexat.a . . . . 5  |-  A  =  ( Atoms `  K )
10 lplnexat.n . . . . 5  |-  N  =  ( LLines `  K )
113, 7, 8, 9, 10, 4islpln3 33273 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  ( Base `  K ) )  -> 
( X  e.  P  <->  E. z  e.  N  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) ) )
122, 6, 11syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  ->  ( X  e.  P  <->  E. z  e.  N  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) ) )
131, 12mpbid 210 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  ->  E. z  e.  N  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) )
14 simpll1 1027 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( Q  .<_  z  /\  (
z  e.  N  /\  r  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) ) )  ->  K  e.  HL )
15 simpr2l 1047 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( Q  .<_  z  /\  (
z  e.  N  /\  r  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) ) )  -> 
z  e.  N )
16 simpll3 1029 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( Q  .<_  z  /\  (
z  e.  N  /\  r  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) ) )  ->  Q  e.  A )
17 simpr1 994 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( Q  .<_  z  /\  (
z  e.  N  /\  r  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) ) )  ->  Q  .<_  z )
187, 8, 9, 10llnexatN 33261 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  z  e.  N  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  z )  ->  E. s  e.  A  ( Q  =/=  s  /\  z  =  ( Q  .\/  s ) ) )
1914, 15, 16, 17, 18syl31anc 1221 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( Q  .<_  z  /\  (
z  e.  N  /\  r  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) ) )  ->  E. s  e.  A  ( Q  =/=  s  /\  z  =  ( Q  .\/  s ) ) )
20 simp1l1 1081 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( Q  .<_  z  /\  (
z  e.  N  /\  r  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( Q  =/=  s  /\  z  =  ( Q  .\/  s ) ) ) )  ->  K  e.  HL )
21 simp22r 1108 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( Q  .<_  z  /\  (
z  e.  N  /\  r  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( Q  =/=  s  /\  z  =  ( Q  .\/  s ) ) ) )  ->  r  e.  A )
22 simp3l 1016 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( Q  .<_  z  /\  (
z  e.  N  /\  r  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( Q  =/=  s  /\  z  =  ( Q  .\/  s ) ) ) )  ->  s  e.  A )
23 simp1l3 1083 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( Q  .<_  z  /\  (
z  e.  N  /\  r  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( Q  =/=  s  /\  z  =  ( Q  .\/  s ) ) ) )  ->  Q  e.  A )
24 simp23l 1109 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( Q  .<_  z  /\  (
z  e.  N  /\  r  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( Q  =/=  s  /\  z  =  ( Q  .\/  s ) ) ) )  ->  -.  r  .<_  z )
25 simp3rr 1062 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( Q  .<_  z  /\  (
z  e.  N  /\  r  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( Q  =/=  s  /\  z  =  ( Q  .\/  s ) ) ) )  ->  z  =  ( Q  .\/  s ) )
2625breq2d 4325 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( Q  .<_  z  /\  (
z  e.  N  /\  r  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( Q  =/=  s  /\  z  =  ( Q  .\/  s ) ) ) )  ->  (
r  .<_  z  <->  r  .<_  ( Q  .\/  s ) ) )
2724, 26mtbid 300 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( Q  .<_  z  /\  (
z  e.  N  /\  r  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( Q  =/=  s  /\  z  =  ( Q  .\/  s ) ) ) )  ->  -.  r  .<_  ( Q  .\/  s ) )
287, 8, 9atnlej2 33120 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( r  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  s  e.  A
)  /\  -.  r  .<_  ( Q  .\/  s
) )  ->  r  =/=  s )
2920, 21, 23, 22, 27, 28syl131anc 1231 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( Q  .<_  z  /\  (
z  e.  N  /\  r  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( Q  =/=  s  /\  z  =  ( Q  .\/  s ) ) ) )  ->  r  =/=  s )
308, 9, 10llni2 33252 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  r  e.  A  /\  s  e.  A )  /\  r  =/=  s
)  ->  ( r  .\/  s )  e.  N
)
3120, 21, 22, 29, 30syl31anc 1221 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( Q  .<_  z  /\  (
z  e.  N  /\  r  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( Q  =/=  s  /\  z  =  ( Q  .\/  s ) ) ) )  ->  (
r  .\/  s )  e.  N )
32 simp3rl 1061 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( Q  .<_  z  /\  (
z  e.  N  /\  r  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( Q  =/=  s  /\  z  =  ( Q  .\/  s ) ) ) )  ->  Q  =/=  s )
337, 8, 9hlatcon2 33192 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( Q  e.  A  /\  s  e.  A  /\  r  e.  A
)  /\  ( Q  =/=  s  /\  -.  r  .<_  ( Q  .\/  s
) ) )  ->  -.  Q  .<_  ( r 
.\/  s ) )
3420, 23, 22, 21, 32, 27, 33syl132anc 1236 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( Q  .<_  z  /\  (
z  e.  N  /\  r  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( Q  =/=  s  /\  z  =  ( Q  .\/  s ) ) ) )  ->  -.  Q  .<_  ( r  .\/  s ) )
35 simp23r 1110 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( Q  .<_  z  /\  (
z  e.  N  /\  r  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( Q  =/=  s  /\  z  =  ( Q  .\/  s ) ) ) )  ->  X  =  ( z  .\/  r ) )
3625oveq1d 6127 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( Q  .<_  z  /\  (
z  e.  N  /\  r  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( Q  =/=  s  /\  z  =  ( Q  .\/  s ) ) ) )  ->  (
z  .\/  r )  =  ( ( Q 
.\/  s )  .\/  r ) )
37 hllat 33104 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
3820, 37syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( Q  .<_  z  /\  (
z  e.  N  /\  r  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( Q  =/=  s  /\  z  =  ( Q  .\/  s ) ) ) )  ->  K  e.  Lat )
393, 9atbase 33030 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Q  e.  A  ->  Q  e.  ( Base `  K
) )
4023, 39syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( Q  .<_  z  /\  (
z  e.  N  /\  r  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( Q  =/=  s  /\  z  =  ( Q  .\/  s ) ) ) )  ->  Q  e.  ( Base `  K
) )
413, 9atbase 33030 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  e.  A  ->  s  e.  ( Base `  K
) )
4222, 41syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( Q  .<_  z  /\  (
z  e.  N  /\  r  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( Q  =/=  s  /\  z  =  ( Q  .\/  s ) ) ) )  ->  s  e.  ( Base `  K
) )
433, 9atbase 33030 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  e.  A  ->  r  e.  ( Base `  K
) )
4421, 43syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( Q  .<_  z  /\  (
z  e.  N  /\  r  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( Q  =/=  s  /\  z  =  ( Q  .\/  s ) ) ) )  ->  r  e.  ( Base `  K
) )
453, 8latj31 15290 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( Q  e.  ( Base `  K )  /\  s  e.  ( Base `  K )  /\  r  e.  ( Base `  K
) ) )  -> 
( ( Q  .\/  s )  .\/  r
)  =  ( ( r  .\/  s ) 
.\/  Q ) )
4638, 40, 42, 44, 45syl13anc 1220 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( Q  .<_  z  /\  (
z  e.  N  /\  r  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( Q  =/=  s  /\  z  =  ( Q  .\/  s ) ) ) )  ->  (
( Q  .\/  s
)  .\/  r )  =  ( ( r 
.\/  s )  .\/  Q ) )
4735, 36, 463eqtrd 2479 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( Q  .<_  z  /\  (
z  e.  N  /\  r  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( Q  =/=  s  /\  z  =  ( Q  .\/  s ) ) ) )  ->  X  =  ( ( r 
.\/  s )  .\/  Q ) )
48 breq2 4317 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( r  .\/  s )  ->  ( Q  .<_  y  <->  Q  .<_  ( r  .\/  s ) ) )
4948notbid 294 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( r  .\/  s )  ->  ( -.  Q  .<_  y  <->  -.  Q  .<_  ( r  .\/  s
) ) )
50 oveq1 6119 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( r  .\/  s )  ->  (
y  .\/  Q )  =  ( ( r 
.\/  s )  .\/  Q ) )
5150eqeq2d 2454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( r  .\/  s )  ->  ( X  =  ( y  .\/  Q )  <->  X  =  ( ( r  .\/  s )  .\/  Q
) ) )
5249, 51anbi12d 710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( r  .\/  s )  ->  (
( -.  Q  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  Q ) )  <->  ( -.  Q  .<_  ( r  .\/  s
)  /\  X  =  ( ( r  .\/  s )  .\/  Q
) ) ) )
5352rspcev 3094 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( r  .\/  s
)  e.  N  /\  ( -.  Q  .<_  ( r  .\/  s )  /\  X  =  ( ( r  .\/  s
)  .\/  Q )
) )  ->  E. y  e.  N  ( -.  Q  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  Q ) ) )
5431, 34, 47, 53syl12anc 1216 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( Q  .<_  z  /\  (
z  e.  N  /\  r  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( Q  =/=  s  /\  z  =  ( Q  .\/  s ) ) ) )  ->  E. y  e.  N  ( -.  Q  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  Q ) ) )
55543expia 1189 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( Q  .<_  z  /\  (
z  e.  N  /\  r  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) ) )  -> 
( ( s  e.  A  /\  ( Q  =/=  s  /\  z  =  ( Q  .\/  s ) ) )  ->  E. y  e.  N  ( -.  Q  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  Q ) ) ) )
5655expd 436 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( Q  .<_  z  /\  (
z  e.  N  /\  r  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) ) )  -> 
( s  e.  A  ->  ( ( Q  =/=  s  /\  z  =  ( Q  .\/  s
) )  ->  E. y  e.  N  ( -.  Q  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  Q ) ) ) ) )
5756rexlimdv 2861 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( Q  .<_  z  /\  (
z  e.  N  /\  r  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) ) )  -> 
( E. s  e.  A  ( Q  =/=  s  /\  z  =  ( Q  .\/  s
) )  ->  E. y  e.  N  ( -.  Q  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  Q ) ) ) )
5819, 57mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( Q  .<_  z  /\  (
z  e.  N  /\  r  e.  A )  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) ) )  ->  E. y  e.  N  ( -.  Q  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  Q ) ) )
59583exp2 1205 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  ->  ( Q  .<_  z  ->  ( ( z  e.  N  /\  r  e.  A )  ->  (
( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) )  ->  E. y  e.  N  ( -.  Q  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  Q ) ) ) ) ) )
60 simpr2l 1047 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( -.  Q  .<_  z  /\  ( z  e.  N  /\  r  e.  A
)  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) ) )  ->  z  e.  N )
61 simpr1 994 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( -.  Q  .<_  z  /\  ( z  e.  N  /\  r  e.  A
)  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) ) )  ->  -.  Q  .<_  z )
62 simpll1 1027 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( -.  Q  .<_  z  /\  ( z  e.  N  /\  r  e.  A
)  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) ) )  ->  K  e.  HL )
6362, 37syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( -.  Q  .<_  z  /\  ( z  e.  N  /\  r  e.  A
)  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) ) )  ->  K  e.  Lat )
643, 10llnbase 33249 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  N  ->  z  e.  ( Base `  K
) )
6560, 64syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( -.  Q  .<_  z  /\  ( z  e.  N  /\  r  e.  A
)  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) ) )  ->  z  e.  ( Base `  K )
)
66 simpr2r 1048 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( -.  Q  .<_  z  /\  ( z  e.  N  /\  r  e.  A
)  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) ) )  ->  r  e.  A )
6766, 43syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( -.  Q  .<_  z  /\  ( z  e.  N  /\  r  e.  A
)  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) ) )  ->  r  e.  ( Base `  K )
)
683, 7, 8latlej1 15251 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  z  e.  ( Base `  K )  /\  r  e.  ( Base `  K
) )  ->  z  .<_  ( z  .\/  r
) )
6963, 65, 67, 68syl3anc 1218 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( -.  Q  .<_  z  /\  ( z  e.  N  /\  r  e.  A
)  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) ) )  ->  z  .<_  ( z  .\/  r ) )
70 simpr3r 1050 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( -.  Q  .<_  z  /\  ( z  e.  N  /\  r  e.  A
)  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) ) )  ->  X  =  ( z  .\/  r
) )
7169, 70breqtrrd 4339 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( -.  Q  .<_  z  /\  ( z  e.  N  /\  r  e.  A
)  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) ) )  ->  z  .<_  X )
72 simplr 754 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( -.  Q  .<_  z  /\  ( z  e.  N  /\  r  e.  A
)  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) ) )  ->  Q  .<_  X )
73 simpll3 1029 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( -.  Q  .<_  z  /\  ( z  e.  N  /\  r  e.  A
)  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) ) )  ->  Q  e.  A )
7473, 39syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( -.  Q  .<_  z  /\  ( z  e.  N  /\  r  e.  A
)  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) ) )  ->  Q  e.  ( Base `  K )
)
75 simpll2 1028 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( -.  Q  .<_  z  /\  ( z  e.  N  /\  r  e.  A
)  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) ) )  ->  X  e.  P )
7675, 5syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( -.  Q  .<_  z  /\  ( z  e.  N  /\  r  e.  A
)  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) ) )  ->  X  e.  ( Base `  K )
)
773, 7, 8latjle12 15253 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( z  e.  (
Base `  K )  /\  Q  e.  ( Base `  K )  /\  X  e.  ( Base `  K ) ) )  ->  ( ( z 
.<_  X  /\  Q  .<_  X )  <->  ( z  .\/  Q )  .<_  X )
)
7863, 65, 74, 76, 77syl13anc 1220 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( -.  Q  .<_  z  /\  ( z  e.  N  /\  r  e.  A
)  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) ) )  ->  ( (
z  .<_  X  /\  Q  .<_  X )  <->  ( z  .\/  Q )  .<_  X ) )
7971, 72, 78mpbi2and 912 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( -.  Q  .<_  z  /\  ( z  e.  N  /\  r  e.  A
)  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) ) )  ->  ( z  .\/  Q )  .<_  X )
803, 8latjcl 15242 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  z  e.  ( Base `  K )  /\  Q  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
z  .\/  Q )  e.  ( Base `  K
) )
8163, 65, 74, 80syl3anc 1218 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( -.  Q  .<_  z  /\  ( z  e.  N  /\  r  e.  A
)  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) ) )  ->  ( z  .\/  Q )  e.  (
Base `  K )
)
82 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (  <o  `  K )  =  ( 
<o  `  K )
833, 7, 8, 82, 9cvr1 33150 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  z  e.  ( Base `  K )  /\  Q  e.  A )  ->  ( -.  Q  .<_  z  <->  z (  <o  `  K ) ( z  .\/  Q ) ) )
8462, 65, 73, 83syl3anc 1218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( -.  Q  .<_  z  /\  ( z  e.  N  /\  r  e.  A
)  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) ) )  ->  ( -.  Q  .<_  z  <->  z (  <o  `  K ) ( z  .\/  Q ) ) )
8561, 84mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( -.  Q  .<_  z  /\  ( z  e.  N  /\  r  e.  A
)  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) ) )  ->  z (  <o  `  K ) ( z  .\/  Q ) )
863, 82, 10, 4lplni 33272 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( z  .\/  Q
)  e.  ( Base `  K )  /\  z  e.  N )  /\  z
(  <o  `  K )
( z  .\/  Q
) )  ->  (
z  .\/  Q )  e.  P )
8762, 81, 60, 85, 86syl31anc 1221 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( -.  Q  .<_  z  /\  ( z  e.  N  /\  r  e.  A
)  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) ) )  ->  ( z  .\/  Q )  e.  P
)
887, 4lplncmp 33302 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( z  .\/  Q
)  e.  P  /\  X  e.  P )  ->  ( ( z  .\/  Q )  .<_  X  <->  ( z  .\/  Q )  =  X ) )
8962, 87, 75, 88syl3anc 1218 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( -.  Q  .<_  z  /\  ( z  e.  N  /\  r  e.  A
)  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) ) )  ->  ( (
z  .\/  Q )  .<_  X  <->  ( z  .\/  Q )  =  X ) )
9079, 89mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( -.  Q  .<_  z  /\  ( z  e.  N  /\  r  e.  A
)  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) ) )  ->  ( z  .\/  Q )  =  X )
9190eqcomd 2448 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( -.  Q  .<_  z  /\  ( z  e.  N  /\  r  e.  A
)  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) ) )  ->  X  =  ( z  .\/  Q
) )
92 breq2 4317 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  z  ->  ( Q  .<_  y  <->  Q  .<_  z ) )
9392notbid 294 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  z  ->  ( -.  Q  .<_  y  <->  -.  Q  .<_  z ) )
94 oveq1 6119 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  z  ->  (
y  .\/  Q )  =  ( z  .\/  Q ) )
9594eqeq2d 2454 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  z  ->  ( X  =  ( y  .\/  Q )  <->  X  =  ( z  .\/  Q
) ) )
9693, 95anbi12d 710 . . . . . . 7  |-  ( y  =  z  ->  (
( -.  Q  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  Q ) )  <->  ( -.  Q  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  Q
) ) ) )
9796rspcev 3094 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  N  /\  ( -.  Q  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  Q ) ) )  ->  E. y  e.  N  ( -.  Q  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  Q ) ) )
9860, 61, 91, 97syl12anc 1216 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  /\  ( -.  Q  .<_  z  /\  ( z  e.  N  /\  r  e.  A
)  /\  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) ) ) )  ->  E. y  e.  N  ( -.  Q  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  Q ) ) )
99983exp2 1205 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  ->  ( -.  Q  .<_  z  ->  ( (
z  e.  N  /\  r  e.  A )  ->  ( ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r
) )  ->  E. y  e.  N  ( -.  Q  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  Q ) ) ) ) ) )
10059, 99pm2.61d 158 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  ->  ( ( z  e.  N  /\  r  e.  A )  ->  (
( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) )  ->  E. y  e.  N  ( -.  Q  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  Q ) ) ) ) )
101100rexlimdvv 2868 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  ->  ( E. z  e.  N  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  z  /\  X  =  ( z  .\/  r ) )  ->  E. y  e.  N  ( -.  Q  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  Q ) ) ) )
10213, 101mpd 15 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Q  e.  A )  /\  Q  .<_  X )  ->  E. y  e.  N  ( -.  Q  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  Q ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2620   E.wrex 2737   class class class wbr 4313   ` cfv 5439  (class class class)co 6112   Basecbs 14195   lecple 14266   joincjn 15135   Latclat 15236    <o ccvr 33003   Atomscatm 33004   HLchlt 33091   LLinesclln 33231   LPlanesclpl 33232
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-op 3905  df-uni 4113  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-id 4657  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-poset 15137  df-plt 15149  df-lub 15165  df-glb 15166  df-join 15167  df-meet 15168  df-p0 15230  df-lat 15237  df-clat 15299  df-oposet 32917  df-ol 32919  df-oml 32920  df-covers 33007  df-ats 33008  df-atl 33039  df-cvlat 33063  df-hlat 33092  df-llines 33238  df-lplanes 33239
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