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Theorem lplncvrlvol2 34812
Description: A lattice line under a lattice plane is covered by it. (Contributed by NM, 12-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lplncvrlvol2.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
lplncvrlvol2.c  |-  C  =  (  <o  `  K )
lplncvrlvol2.p  |-  P  =  ( LPlanes `  K )
lplncvrlvol2.v  |-  V  =  ( LVols `  K )
Assertion
Ref Expression
lplncvrlvol2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  V )  /\  X  .<_  Y )  ->  X C Y )

Proof of Theorem lplncvrlvol2
Dummy variables  q  p  r  s  t  u  v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 461 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  V )  /\  X  .<_  Y )  ->  X  .<_  Y )
2 simpl1 999 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  V )  /\  X  .<_  Y )  ->  K  e.  HL )
3 simpl3 1001 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  V )  /\  X  .<_  Y )  ->  Y  e.  V
)
4 lplncvrlvol2.p . . . . . 6  |-  P  =  ( LPlanes `  K )
5 lplncvrlvol2.v . . . . . 6  |-  V  =  ( LVols `  K )
64, 5lvolnelpln 34787 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  V )  ->  -.  Y  e.  P
)
72, 3, 6syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  V )  /\  X  .<_  Y )  ->  -.  Y  e.  P )
8 simpl2 1000 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  V )  /\  X  .<_  Y )  ->  X  e.  P
)
9 eleq1 2539 . . . . . 6  |-  ( X  =  Y  ->  ( X  e.  P  <->  Y  e.  P ) )
108, 9syl5ibcom 220 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  V )  /\  X  .<_  Y )  ->  ( X  =  Y  ->  Y  e.  P ) )
1110necon3bd 2679 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  V )  /\  X  .<_  Y )  ->  ( -.  Y  e.  P  ->  X  =/= 
Y ) )
127, 11mpd 15 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  V )  /\  X  .<_  Y )  ->  X  =/=  Y
)
13 lplncvrlvol2.l . . . . 5  |-  .<_  =  ( le `  K )
14 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( lt
`  K )  =  ( lt `  K
)
1513, 14pltval 15464 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  V )  ->  ( X ( lt
`  K ) Y  <-> 
( X  .<_  Y  /\  X  =/=  Y ) ) )
1615adantr 465 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  V )  /\  X  .<_  Y )  ->  ( X ( lt `  K ) Y  <->  ( X  .<_  Y  /\  X  =/=  Y
) ) )
171, 12, 16mpbir2and 920 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  V )  /\  X  .<_  Y )  ->  X ( lt
`  K ) Y )
18 simpl1 999 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  V )  /\  X ( lt `  K ) Y )  ->  K  e.  HL )
19 simpl2 1000 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  V )  /\  X ( lt `  K ) Y )  ->  X  e.  P
)
20 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
2120, 4lplnbase 34731 . . . . 5  |-  ( X  e.  P  ->  X  e.  ( Base `  K
) )
2219, 21syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  V )  /\  X ( lt `  K ) Y )  ->  X  e.  (
Base `  K )
)
23 simpl3 1001 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  V )  /\  X ( lt `  K ) Y )  ->  Y  e.  V
)
2420, 5lvolbase 34775 . . . . 5  |-  ( Y  e.  V  ->  Y  e.  ( Base `  K
) )
2523, 24syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  V )  /\  X ( lt `  K ) Y )  ->  Y  e.  (
Base `  K )
)
26 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  V )  /\  X ( lt `  K ) Y )  ->  X ( lt
`  K ) Y )
27 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( join `  K )  =  (
join `  K )
28 lplncvrlvol2.c . . . . 5  |-  C  =  (  <o  `  K )
29 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( Atoms `  K )  =  (
Atoms `  K )
3020, 13, 14, 27, 28, 29hlrelat3 34609 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  ( Base `  K )  /\  Y  e.  ( Base `  K
) )  /\  X
( lt `  K
) Y )  ->  E. s  e.  ( Atoms `  K ) ( X C ( X ( join `  K
) s )  /\  ( X ( join `  K
) s )  .<_  Y ) )
3118, 22, 25, 26, 30syl31anc 1231 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  V )  /\  X ( lt `  K ) Y )  ->  E. s  e.  (
Atoms `  K ) ( X C ( X ( join `  K
) s )  /\  ( X ( join `  K
) s )  .<_  Y ) )
3220, 13, 27, 29, 5islvol2 34777 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  HL  ->  ( Y  e.  V  <->  ( Y  e.  ( Base `  K
)  /\  E. t  e.  ( Atoms `  K ) E. u  e.  ( Atoms `  K ) E. v  e.  ( Atoms `  K ) E. w  e.  ( Atoms `  K )
( ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t ( join `  K ) u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t ( join `  K ) u ) ( join `  K
) v ) )  /\  Y  =  ( ( ( t (
join `  K )
u ) ( join `  K ) v ) ( join `  K
) w ) ) ) ) )
3332adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P )  ->  ( Y  e.  V  <->  ( Y  e.  ( Base `  K )  /\  E. t  e.  ( Atoms `  K ) E. u  e.  ( Atoms `  K ) E. v  e.  ( Atoms `  K ) E. w  e.  ( Atoms `  K ) ( ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t ( join `  K
) u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t ( join `  K
) u ) (
join `  K )
v ) )  /\  Y  =  ( (
( t ( join `  K ) u ) ( join `  K
) v ) (
join `  K )
w ) ) ) ) )
34 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t ( join `  K
) u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t ( join `  K
) u ) (
join `  K )
v ) )  /\  Y  =  ( (
( t ( join `  K ) u ) ( join `  K
) v ) (
join `  K )
w ) )  ->  Y  =  ( (
( t ( join `  K ) u ) ( join `  K
) v ) (
join `  K )
w ) )
3520, 13, 27, 29, 4islpln2 34733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  HL  ->  ( X  e.  P  <->  ( X  e.  ( Base `  K
)  /\  E. p  e.  ( Atoms `  K ) E. q  e.  ( Atoms `  K ) E. r  e.  ( Atoms `  K ) ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p (
join `  K )
q )  /\  X  =  ( ( p ( join `  K
) q ) (
join `  K )
r ) ) ) ) )
36 simp3rl 1069 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  r  e.  (
Atoms `  K )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p ( join `  K
) q )  /\  X  =  ( (
p ( join `  K
) q ) (
join `  K )
r ) ) )  /\  ( ( t  e.  ( Atoms `  K
)  /\  u  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( v  e.  ( Atoms `  K )  /\  w  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  Y  =  ( ( ( t (
join `  K )
u ) ( join `  K ) v ) ( join `  K
) w ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( X C ( X ( join `  K
) s )  /\  ( X ( join `  K
) s )  .<_  Y ) ) )  ->  X C ( X ( join `  K
) s ) )
37 simp3rr 1070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  r  e.  (
Atoms `  K )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p ( join `  K
) q )  /\  X  =  ( (
p ( join `  K
) q ) (
join `  K )
r ) ) )  /\  ( ( t  e.  ( Atoms `  K
)  /\  u  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( v  e.  ( Atoms `  K )  /\  w  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  Y  =  ( ( ( t (
join `  K )
u ) ( join `  K ) v ) ( join `  K
) w ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( X C ( X ( join `  K
) s )  /\  ( X ( join `  K
) s )  .<_  Y ) ) )  ->  ( X (
join `  K )
s )  .<_  Y )
38 simp133 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  r  e.  (
Atoms `  K )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p ( join `  K
) q )  /\  X  =  ( (
p ( join `  K
) q ) (
join `  K )
r ) ) )  /\  ( ( t  e.  ( Atoms `  K
)  /\  u  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( v  e.  ( Atoms `  K )  /\  w  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  Y  =  ( ( ( t (
join `  K )
u ) ( join `  K ) v ) ( join `  K
) w ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( X C ( X ( join `  K
) s )  /\  ( X ( join `  K
) s )  .<_  Y ) ) )  ->  X  =  ( ( p ( join `  K ) q ) ( join `  K
) r ) )
3938oveq1d 6310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  r  e.  (
Atoms `  K )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p ( join `  K
) q )  /\  X  =  ( (
p ( join `  K
) q ) (
join `  K )
r ) ) )  /\  ( ( t  e.  ( Atoms `  K
)  /\  u  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( v  e.  ( Atoms `  K )  /\  w  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  Y  =  ( ( ( t (
join `  K )
u ) ( join `  K ) v ) ( join `  K
) w ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( X C ( X ( join `  K
) s )  /\  ( X ( join `  K
) s )  .<_  Y ) ) )  ->  ( X (
join `  K )
s )  =  ( ( ( p (
join `  K )
q ) ( join `  K ) r ) ( join `  K
) s ) )
40 simp23 1031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  r  e.  (
Atoms `  K )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p ( join `  K
) q )  /\  X  =  ( (
p ( join `  K
) q ) (
join `  K )
r ) ) )  /\  ( ( t  e.  ( Atoms `  K
)  /\  u  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( v  e.  ( Atoms `  K )  /\  w  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  Y  =  ( ( ( t (
join `  K )
u ) ( join `  K ) v ) ( join `  K
) w ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( X C ( X ( join `  K
) s )  /\  ( X ( join `  K
) s )  .<_  Y ) ) )  ->  Y  =  ( ( ( t (
join `  K )
u ) ( join `  K ) v ) ( join `  K
) w ) )
4137, 39, 403brtr3d 4482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  r  e.  (
Atoms `  K )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p ( join `  K
) q )  /\  X  =  ( (
p ( join `  K
) q ) (
join `  K )
r ) ) )  /\  ( ( t  e.  ( Atoms `  K
)  /\  u  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( v  e.  ( Atoms `  K )  /\  w  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  Y  =  ( ( ( t (
join `  K )
u ) ( join `  K ) v ) ( join `  K
) w ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( X C ( X ( join `  K
) s )  /\  ( X ( join `  K
) s )  .<_  Y ) ) )  ->  ( ( ( p ( join `  K
) q ) (
join `  K )
r ) ( join `  K ) s ) 
.<_  ( ( ( t ( join `  K
) u ) (
join `  K )
v ) ( join `  K ) w ) )
42 simp11 1026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  r  e.  (
Atoms `  K )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p ( join `  K
) q )  /\  X  =  ( (
p ( join `  K
) q ) (
join `  K )
r ) ) )  /\  ( ( t  e.  ( Atoms `  K
)  /\  u  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( v  e.  ( Atoms `  K )  /\  w  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  Y  =  ( ( ( t (
join `  K )
u ) ( join `  K ) v ) ( join `  K
) w ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( X C ( X ( join `  K
) s )  /\  ( X ( join `  K
) s )  .<_  Y ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) ) )
43 simp12 1027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  r  e.  (
Atoms `  K )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p ( join `  K
) q )  /\  X  =  ( (
p ( join `  K
) q ) (
join `  K )
r ) ) )  /\  ( ( t  e.  ( Atoms `  K
)  /\  u  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( v  e.  ( Atoms `  K )  /\  w  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  Y  =  ( ( ( t (
join `  K )
u ) ( join `  K ) v ) ( join `  K
) w ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( X C ( X ( join `  K
) s )  /\  ( X ( join `  K
) s )  .<_  Y ) ) )  ->  r  e.  (
Atoms `  K ) )
44 simp3l 1024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  r  e.  (
Atoms `  K )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p ( join `  K
) q )  /\  X  =  ( (
p ( join `  K
) q ) (
join `  K )
r ) ) )  /\  ( ( t  e.  ( Atoms `  K
)  /\  u  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( v  e.  ( Atoms `  K )  /\  w  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  Y  =  ( ( ( t (
join `  K )
u ) ( join `  K ) v ) ( join `  K
) w ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( X C ( X ( join `  K
) s )  /\  ( X ( join `  K
) s )  .<_  Y ) ) )  ->  s  e.  (
Atoms `  K ) )
45 simp21l 1113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  r  e.  (
Atoms `  K )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p ( join `  K
) q )  /\  X  =  ( (
p ( join `  K
) q ) (
join `  K )
r ) ) )  /\  ( ( t  e.  ( Atoms `  K
)  /\  u  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( v  e.  ( Atoms `  K )  /\  w  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  Y  =  ( ( ( t (
join `  K )
u ) ( join `  K ) v ) ( join `  K
) w ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( X C ( X ( join `  K
) s )  /\  ( X ( join `  K
) s )  .<_  Y ) ) )  ->  t  e.  (
Atoms `  K ) )
4643, 44, 453jca 1176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  r  e.  (
Atoms `  K )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p ( join `  K
) q )  /\  X  =  ( (
p ( join `  K
) q ) (
join `  K )
r ) ) )  /\  ( ( t  e.  ( Atoms `  K
)  /\  u  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( v  e.  ( Atoms `  K )  /\  w  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  Y  =  ( ( ( t (
join `  K )
u ) ( join `  K ) v ) ( join `  K
) w ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( X C ( X ( join `  K
) s )  /\  ( X ( join `  K
) s )  .<_  Y ) ) )  ->  ( r  e.  ( Atoms `  K )  /\  s  e.  ( Atoms `  K )  /\  t  e.  ( Atoms `  K ) ) )
47 simp21r 1114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  r  e.  (
Atoms `  K )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p ( join `  K
) q )  /\  X  =  ( (
p ( join `  K
) q ) (
join `  K )
r ) ) )  /\  ( ( t  e.  ( Atoms `  K
)  /\  u  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( v  e.  ( Atoms `  K )  /\  w  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  Y  =  ( ( ( t (
join `  K )
u ) ( join `  K ) v ) ( join `  K
) w ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( X C ( X ( join `  K
) s )  /\  ( X ( join `  K
) s )  .<_  Y ) ) )  ->  u  e.  (
Atoms `  K ) )
48 simp22l 1115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  r  e.  (
Atoms `  K )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p ( join `  K
) q )  /\  X  =  ( (
p ( join `  K
) q ) (
join `  K )
r ) ) )  /\  ( ( t  e.  ( Atoms `  K
)  /\  u  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( v  e.  ( Atoms `  K )  /\  w  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  Y  =  ( ( ( t (
join `  K )
u ) ( join `  K ) v ) ( join `  K
) w ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( X C ( X ( join `  K
) s )  /\  ( X ( join `  K
) s )  .<_  Y ) ) )  ->  v  e.  (
Atoms `  K ) )
49 simp22r 1116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  r  e.  (
Atoms `  K )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p ( join `  K
) q )  /\  X  =  ( (
p ( join `  K
) q ) (
join `  K )
r ) ) )  /\  ( ( t  e.  ( Atoms `  K
)  /\  u  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( v  e.  ( Atoms `  K )  /\  w  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  Y  =  ( ( ( t (
join `  K )
u ) ( join `  K ) v ) ( join `  K
) w ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( X C ( X ( join `  K
) s )  /\  ( X ( join `  K
) s )  .<_  Y ) ) )  ->  w  e.  (
Atoms `  K ) )
5047, 48, 493jca 1176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  r  e.  (
Atoms `  K )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p ( join `  K
) q )  /\  X  =  ( (
p ( join `  K
) q ) (
join `  K )
r ) ) )  /\  ( ( t  e.  ( Atoms `  K
)  /\  u  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( v  e.  ( Atoms `  K )  /\  w  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  Y  =  ( ( ( t (
join `  K )
u ) ( join `  K ) v ) ( join `  K
) w ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( X C ( X ( join `  K
) s )  /\  ( X ( join `  K
) s )  .<_  Y ) ) )  ->  ( u  e.  ( Atoms `  K )  /\  v  e.  ( Atoms `  K )  /\  w  e.  ( Atoms `  K ) ) )
51 simp131 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  r  e.  (
Atoms `  K )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p ( join `  K
) q )  /\  X  =  ( (
p ( join `  K
) q ) (
join `  K )
r ) ) )  /\  ( ( t  e.  ( Atoms `  K
)  /\  u  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( v  e.  ( Atoms `  K )  /\  w  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  Y  =  ( ( ( t (
join `  K )
u ) ( join `  K ) v ) ( join `  K
) w ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( X C ( X ( join `  K
) s )  /\  ( X ( join `  K
) s )  .<_  Y ) ) )  ->  p  =/=  q
)
52 simp132 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  r  e.  (
Atoms `  K )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p ( join `  K
) q )  /\  X  =  ( (
p ( join `  K
) q ) (
join `  K )
r ) ) )  /\  ( ( t  e.  ( Atoms `  K
)  /\  u  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( v  e.  ( Atoms `  K )  /\  w  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  Y  =  ( ( ( t (
join `  K )
u ) ( join `  K ) v ) ( join `  K
) w ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( X C ( X ( join `  K
) s )  /\  ( X ( join `  K
) s )  .<_  Y ) ) )  ->  -.  r  .<_  ( p ( join `  K
) q ) )
5336, 38, 393brtr3d 4482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  r  e.  (
Atoms `  K )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p ( join `  K
) q )  /\  X  =  ( (
p ( join `  K
) q ) (
join `  K )
r ) ) )  /\  ( ( t  e.  ( Atoms `  K
)  /\  u  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( v  e.  ( Atoms `  K )  /\  w  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  Y  =  ( ( ( t (
join `  K )
u ) ( join `  K ) v ) ( join `  K
) w ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( X C ( X ( join `  K
) s )  /\  ( X ( join `  K
) s )  .<_  Y ) ) )  ->  ( ( p ( join `  K
) q ) (
join `  K )
r ) C ( ( ( p (
join `  K )
q ) ( join `  K ) r ) ( join `  K
) s ) )
54 simp111 1125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  r  e.  (
Atoms `  K )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p ( join `  K
) q )  /\  X  =  ( (
p ( join `  K
) q ) (
join `  K )
r ) ) )  /\  ( ( t  e.  ( Atoms `  K
)  /\  u  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( v  e.  ( Atoms `  K )  /\  w  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  Y  =  ( ( ( t (
join `  K )
u ) ( join `  K ) v ) ( join `  K
) w ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( X C ( X ( join `  K
) s )  /\  ( X ( join `  K
) s )  .<_  Y ) ) )  ->  K  e.  HL )
55 hllat 34561 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
5654, 55syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  r  e.  (
Atoms `  K )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p ( join `  K
) q )  /\  X  =  ( (
p ( join `  K
) q ) (
join `  K )
r ) ) )  /\  ( ( t  e.  ( Atoms `  K
)  /\  u  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( v  e.  ( Atoms `  K )  /\  w  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  Y  =  ( ( ( t (
join `  K )
u ) ( join `  K ) v ) ( join `  K
) w ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( X C ( X ( join `  K
) s )  /\  ( X ( join `  K
) s )  .<_  Y ) ) )  ->  K  e.  Lat )
5720, 27, 29hlatjcl 34564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( p
( join `  K )
q )  e.  (
Base `  K )
)
5842, 57syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  r  e.  (
Atoms `  K )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p ( join `  K
) q )  /\  X  =  ( (
p ( join `  K
) q ) (
join `  K )
r ) ) )  /\  ( ( t  e.  ( Atoms `  K
)  /\  u  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( v  e.  ( Atoms `  K )  /\  w  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  Y  =  ( ( ( t (
join `  K )
u ) ( join `  K ) v ) ( join `  K
) w ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( X C ( X ( join `  K
) s )  /\  ( X ( join `  K
) s )  .<_  Y ) ) )  ->  ( p (
join `  K )
q )  e.  (
Base `  K )
)
5920, 29atbase 34487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( r  e.  ( Atoms `  K
)  ->  r  e.  ( Base `  K )
)
6043, 59syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  r  e.  (
Atoms `  K )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p ( join `  K
) q )  /\  X  =  ( (
p ( join `  K
) q ) (
join `  K )
r ) ) )  /\  ( ( t  e.  ( Atoms `  K
)  /\  u  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( v  e.  ( Atoms `  K )  /\  w  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  Y  =  ( ( ( t (
join `  K )
u ) ( join `  K ) v ) ( join `  K
) w ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( X C ( X ( join `  K
) s )  /\  ( X ( join `  K
) s )  .<_  Y ) ) )  ->  r  e.  (
Base `  K )
)
6120, 27latjcl 15555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( p ( join `  K ) q )  e.  ( Base `  K
)  /\  r  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( (
p ( join `  K
) q ) (
join `  K )
r )  e.  (
Base `  K )
)
6256, 58, 60, 61syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  r  e.  (
Atoms `  K )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p ( join `  K
) q )  /\  X  =  ( (
p ( join `  K
) q ) (
join `  K )
r ) ) )  /\  ( ( t  e.  ( Atoms `  K
)  /\  u  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( v  e.  ( Atoms `  K )  /\  w  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  Y  =  ( ( ( t (
join `  K )
u ) ( join `  K ) v ) ( join `  K
) w ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( X C ( X ( join `  K
) s )  /\  ( X ( join `  K
) s )  .<_  Y ) ) )  ->  ( ( p ( join `  K
) q ) (
join `  K )
r )  e.  (
Base `  K )
)
6320, 13, 27, 28, 29cvr1 34607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( ( p (
join `  K )
q ) ( join `  K ) r )  e.  ( Base `  K
)  /\  s  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( -.  s  .<_  ( ( p ( join `  K
) q ) (
join `  K )
r )  <->  ( (
p ( join `  K
) q ) (
join `  K )
r ) C ( ( ( p (
join `  K )
q ) ( join `  K ) r ) ( join `  K
) s ) ) )
6454, 62, 44, 63syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  r  e.  (
Atoms `  K )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p ( join `  K
) q )  /\  X  =  ( (
p ( join `  K
) q ) (
join `  K )
r ) ) )  /\  ( ( t  e.  ( Atoms `  K
)  /\  u  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( v  e.  ( Atoms `  K )  /\  w  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  Y  =  ( ( ( t (
join `  K )
u ) ( join `  K ) v ) ( join `  K
) w ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( X C ( X ( join `  K
) s )  /\  ( X ( join `  K
) s )  .<_  Y ) ) )  ->  ( -.  s  .<_  ( ( p (
join `  K )
q ) ( join `  K ) r )  <-> 
( ( p (
join `  K )
q ) ( join `  K ) r ) C ( ( ( p ( join `  K
) q ) (
join `  K )
r ) ( join `  K ) s ) ) )
6553, 64mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  r  e.  (
Atoms `  K )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p ( join `  K
) q )  /\  X  =  ( (
p ( join `  K
) q ) (
join `  K )
r ) ) )  /\  ( ( t  e.  ( Atoms `  K
)  /\  u  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( v  e.  ( Atoms `  K )  /\  w  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  Y  =  ( ( ( t (
join `  K )
u ) ( join `  K ) v ) ( join `  K
) w ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( X C ( X ( join `  K
) s )  /\  ( X ( join `  K
) s )  .<_  Y ) ) )  ->  -.  s  .<_  ( ( p ( join `  K ) q ) ( join `  K
) r ) )
6613, 27, 294at2 34811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( r  e.  ( Atoms `  K )  /\  s  e.  ( Atoms `  K )  /\  t  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( u  e.  ( Atoms `  K )  /\  v  e.  ( Atoms `  K )  /\  w  e.  ( Atoms `  K )
) )  /\  (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p ( join `  K
) q )  /\  -.  s  .<_  ( ( p ( join `  K
) q ) (
join `  K )
r ) ) )  ->  ( ( ( ( p ( join `  K ) q ) ( join `  K
) r ) (
join `  K )
s )  .<_  ( ( ( t ( join `  K ) u ) ( join `  K
) v ) (
join `  K )
w )  <->  ( (
( p ( join `  K ) q ) ( join `  K
) r ) (
join `  K )
s )  =  ( ( ( t (
join `  K )
u ) ( join `  K ) v ) ( join `  K
) w ) ) )
6742, 46, 50, 51, 52, 65, 66syl33anc 1243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  r  e.  (
Atoms `  K )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p ( join `  K
) q )  /\  X  =  ( (
p ( join `  K
) q ) (
join `  K )
r ) ) )  /\  ( ( t  e.  ( Atoms `  K
)  /\  u  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( v  e.  ( Atoms `  K )  /\  w  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  Y  =  ( ( ( t (
join `  K )
u ) ( join `  K ) v ) ( join `  K
) w ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( X C ( X ( join `  K
) s )  /\  ( X ( join `  K
) s )  .<_  Y ) ) )  ->  ( ( ( ( p ( join `  K ) q ) ( join `  K
) r ) (
join `  K )
s )  .<_  ( ( ( t ( join `  K ) u ) ( join `  K
) v ) (
join `  K )
w )  <->  ( (
( p ( join `  K ) q ) ( join `  K
) r ) (
join `  K )
s )  =  ( ( ( t (
join `  K )
u ) ( join `  K ) v ) ( join `  K
) w ) ) )
6841, 67mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  r  e.  (
Atoms `  K )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p ( join `  K
) q )  /\  X  =  ( (
p ( join `  K
) q ) (
join `  K )
r ) ) )  /\  ( ( t  e.  ( Atoms `  K
)  /\  u  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( v  e.  ( Atoms `  K )  /\  w  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  Y  =  ( ( ( t (
join `  K )
u ) ( join `  K ) v ) ( join `  K
) w ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( X C ( X ( join `  K
) s )  /\  ( X ( join `  K
) s )  .<_  Y ) ) )  ->  ( ( ( p ( join `  K
) q ) (
join `  K )
r ) ( join `  K ) s )  =  ( ( ( t ( join `  K
) u ) (
join `  K )
v ) ( join `  K ) w ) )
6968, 39, 403eqtr4d 2518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  r  e.  (
Atoms `  K )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p ( join `  K
) q )  /\  X  =  ( (
p ( join `  K
) q ) (
join `  K )
r ) ) )  /\  ( ( t  e.  ( Atoms `  K
)  /\  u  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( v  e.  ( Atoms `  K )  /\  w  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  Y  =  ( ( ( t (
join `  K )
u ) ( join `  K ) v ) ( join `  K
) w ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( X C ( X ( join `  K
) s )  /\  ( X ( join `  K
) s )  .<_  Y ) ) )  ->  ( X (
join `  K )
s )  =  Y )
7036, 69breqtrd 4477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  r  e.  (
Atoms `  K )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p ( join `  K
) q )  /\  X  =  ( (
p ( join `  K
) q ) (
join `  K )
r ) ) )  /\  ( ( t  e.  ( Atoms `  K
)  /\  u  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( v  e.  ( Atoms `  K )  /\  w  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  Y  =  ( ( ( t (
join `  K )
u ) ( join `  K ) v ) ( join `  K
) w ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( X C ( X ( join `  K
) s )  /\  ( X ( join `  K
) s )  .<_  Y ) ) )  ->  X C Y )
71703exp 1195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  r  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p ( join `  K
) q )  /\  X  =  ( (
p ( join `  K
) q ) (
join `  K )
r ) ) )  ->  ( ( ( t  e.  ( Atoms `  K )  /\  u  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( v  e.  ( Atoms `  K )  /\  w  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  Y  =  ( ( ( t (
join `  K )
u ) ( join `  K ) v ) ( join `  K
) w ) )  ->  ( ( s  e.  ( Atoms `  K
)  /\  ( X C ( X (
join `  K )
s )  /\  ( X ( join `  K
) s )  .<_  Y ) )  ->  X C Y ) ) )
7271exp4a 606 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  r  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p ( join `  K
) q )  /\  X  =  ( (
p ( join `  K
) q ) (
join `  K )
r ) ) )  ->  ( ( ( t  e.  ( Atoms `  K )  /\  u  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( v  e.  ( Atoms `  K )  /\  w  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  Y  =  ( ( ( t (
join `  K )
u ) ( join `  K ) v ) ( join `  K
) w ) )  ->  ( s  e.  ( Atoms `  K )  ->  ( ( X C ( X ( join `  K ) s )  /\  ( X (
join `  K )
s )  .<_  Y )  ->  X C Y ) ) ) )
73723expd 1213 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  r  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p ( join `  K
) q )  /\  X  =  ( (
p ( join `  K
) q ) (
join `  K )
r ) ) )  ->  ( ( t  e.  ( Atoms `  K
)  /\  u  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( (
v  e.  ( Atoms `  K )  /\  w  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( Y  =  ( ( ( t ( join `  K
) u ) (
join `  K )
v ) ( join `  K ) w )  ->  ( s  e.  ( Atoms `  K )  ->  ( ( X C ( X ( join `  K ) s )  /\  ( X (
join `  K )
s )  .<_  Y )  ->  X C Y ) ) ) ) ) )
7473rexlimdv3a 2961 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( E. r  e.  ( Atoms `  K ) ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p (
join `  K )
q )  /\  X  =  ( ( p ( join `  K
) q ) (
join `  K )
r ) )  -> 
( ( t  e.  ( Atoms `  K )  /\  u  e.  ( Atoms `  K ) )  ->  ( ( v  e.  ( Atoms `  K
)  /\  w  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( Y  =  ( ( ( t ( join `  K
) u ) (
join `  K )
v ) ( join `  K ) w )  ->  ( s  e.  ( Atoms `  K )  ->  ( ( X C ( X ( join `  K ) s )  /\  ( X (
join `  K )
s )  .<_  Y )  ->  X C Y ) ) ) ) ) ) )
75743expib 1199 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  HL  ->  (
( p  e.  (
Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  -> 
( E. r  e.  ( Atoms `  K )
( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p ( join `  K
) q )  /\  X  =  ( (
p ( join `  K
) q ) (
join `  K )
r ) )  -> 
( ( t  e.  ( Atoms `  K )  /\  u  e.  ( Atoms `  K ) )  ->  ( ( v  e.  ( Atoms `  K
)  /\  w  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( Y  =  ( ( ( t ( join `  K
) u ) (
join `  K )
v ) ( join `  K ) w )  ->  ( s  e.  ( Atoms `  K )  ->  ( ( X C ( X ( join `  K ) s )  /\  ( X (
join `  K )
s )  .<_  Y )  ->  X C Y ) ) ) ) ) ) ) )
7675rexlimdvv 2965 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  HL  ->  ( E. p  e.  ( Atoms `  K ) E. q  e.  ( Atoms `  K ) E. r  e.  ( Atoms `  K )
( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p ( join `  K
) q )  /\  X  =  ( (
p ( join `  K
) q ) (
join `  K )
r ) )  -> 
( ( t  e.  ( Atoms `  K )  /\  u  e.  ( Atoms `  K ) )  ->  ( ( v  e.  ( Atoms `  K
)  /\  w  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( Y  =  ( ( ( t ( join `  K
) u ) (
join `  K )
v ) ( join `  K ) w )  ->  ( s  e.  ( Atoms `  K )  ->  ( ( X C ( X ( join `  K ) s )  /\  ( X (
join `  K )
s )  .<_  Y )  ->  X C Y ) ) ) ) ) ) )
7776adantld 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  HL  ->  (
( X  e.  (
Base `  K )  /\  E. p  e.  (
Atoms `  K ) E. q  e.  ( Atoms `  K ) E. r  e.  ( Atoms `  K )
( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p ( join `  K
) q )  /\  X  =  ( (
p ( join `  K
) q ) (
join `  K )
r ) ) )  ->  ( ( t  e.  ( Atoms `  K
)  /\  u  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( (
v  e.  ( Atoms `  K )  /\  w  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( Y  =  ( ( ( t ( join `  K
) u ) (
join `  K )
v ) ( join `  K ) w )  ->  ( s  e.  ( Atoms `  K )  ->  ( ( X C ( X ( join `  K ) s )  /\  ( X (
join `  K )
s )  .<_  Y )  ->  X C Y ) ) ) ) ) ) )
7835, 77sylbid 215 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  HL  ->  ( X  e.  P  ->  ( ( t  e.  (
Atoms `  K )  /\  u  e.  ( Atoms `  K ) )  -> 
( ( v  e.  ( Atoms `  K )  /\  w  e.  ( Atoms `  K ) )  ->  ( Y  =  ( ( ( t ( join `  K
) u ) (
join `  K )
v ) ( join `  K ) w )  ->  ( s  e.  ( Atoms `  K )  ->  ( ( X C ( X ( join `  K ) s )  /\  ( X (
join `  K )
s )  .<_  Y )  ->  X C Y ) ) ) ) ) ) )
7978imp31 432 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P )  /\  ( t  e.  ( Atoms `  K )  /\  u  e.  ( Atoms `  K ) ) )  ->  ( (
v  e.  ( Atoms `  K )  /\  w  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( Y  =  ( ( ( t ( join `  K
) u ) (
join `  K )
v ) ( join `  K ) w )  ->  ( s  e.  ( Atoms `  K )  ->  ( ( X C ( X ( join `  K ) s )  /\  ( X (
join `  K )
s )  .<_  Y )  ->  X C Y ) ) ) ) )
8034, 79syl7 68 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P )  /\  ( t  e.  ( Atoms `  K )  /\  u  e.  ( Atoms `  K ) ) )  ->  ( (
v  e.  ( Atoms `  K )  /\  w  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( (
( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t ( join `  K
) u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t ( join `  K
) u ) (
join `  K )
v ) )  /\  Y  =  ( (
( t ( join `  K ) u ) ( join `  K
) v ) (
join `  K )
w ) )  -> 
( s  e.  (
Atoms `  K )  -> 
( ( X C ( X ( join `  K ) s )  /\  ( X (
join `  K )
s )  .<_  Y )  ->  X C Y ) ) ) ) )
8180rexlimdvv 2965 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P )  /\  ( t  e.  ( Atoms `  K )  /\  u  e.  ( Atoms `  K ) ) )  ->  ( E. v  e.  ( Atoms `  K ) E. w  e.  ( Atoms `  K )
( ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t ( join `  K ) u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t ( join `  K ) u ) ( join `  K
) v ) )  /\  Y  =  ( ( ( t (
join `  K )
u ) ( join `  K ) v ) ( join `  K
) w ) )  ->  ( s  e.  ( Atoms `  K )  ->  ( ( X C ( X ( join `  K ) s )  /\  ( X (
join `  K )
s )  .<_  Y )  ->  X C Y ) ) ) )
8281rexlimdvva 2966 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P )  ->  ( E. t  e.  ( Atoms `  K ) E. u  e.  ( Atoms `  K ) E. v  e.  ( Atoms `  K ) E. w  e.  ( Atoms `  K )
( ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t ( join `  K ) u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t ( join `  K ) u ) ( join `  K
) v ) )  /\  Y  =  ( ( ( t (
join `  K )
u ) ( join `  K ) v ) ( join `  K
) w ) )  ->  ( s  e.  ( Atoms `  K )  ->  ( ( X C ( X ( join `  K ) s )  /\  ( X (
join `  K )
s )  .<_  Y )  ->  X C Y ) ) ) )
8382adantld 467 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P )  ->  ( ( Y  e.  ( Base `  K
)  /\  E. t  e.  ( Atoms `  K ) E. u  e.  ( Atoms `  K ) E. v  e.  ( Atoms `  K ) E. w  e.  ( Atoms `  K )
( ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t ( join `  K ) u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t ( join `  K ) u ) ( join `  K
) v ) )  /\  Y  =  ( ( ( t (
join `  K )
u ) ( join `  K ) v ) ( join `  K
) w ) ) )  ->  ( s  e.  ( Atoms `  K )  ->  ( ( X C ( X ( join `  K ) s )  /\  ( X (
join `  K )
s )  .<_  Y )  ->  X C Y ) ) ) )
8433, 83sylbid 215 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P )  ->  ( Y  e.  V  ->  ( s  e.  (
Atoms `  K )  -> 
( ( X C ( X ( join `  K ) s )  /\  ( X (
join `  K )
s )  .<_  Y )  ->  X C Y ) ) ) )
85843impia 1193 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  V )  ->  ( s  e.  (
Atoms `  K )  -> 
( ( X C ( X ( join `  K ) s )  /\  ( X (
join `  K )
s )  .<_  Y )  ->  X C Y ) ) )
8685rexlimdv 2957 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  V )  ->  ( E. s  e.  ( Atoms `  K )
( X C ( X ( join `  K
) s )  /\  ( X ( join `  K
) s )  .<_  Y )  ->  X C Y ) )
8786imp 429 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  V )  /\  E. s  e.  (
Atoms `  K ) ( X C ( X ( join `  K
) s )  /\  ( X ( join `  K
) s )  .<_  Y ) )  ->  X C Y )
8831, 87syldan 470 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  V )  /\  X ( lt `  K ) Y )  ->  X C Y )
8917, 88syldan 470 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  V )  /\  X  .<_  Y )  ->  X C Y )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   E.wrex 2818   class class class wbr 4453   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   Basecbs 14507   lecple 14579   ltcplt 15445   joincjn 15448   Latclat 15549    <o ccvr 34460   Atomscatm 34461   HLchlt 34548   LPlanesclpl 34689   LVolsclvol 34690
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-poset 15450  df-plt 15462  df-lub 15478  df-glb 15479  df-join 15480  df-meet 15481  df-p0 15543  df-lat 15550  df-clat 15612  df-oposet 34374  df-ol 34376  df-oml 34377  df-covers 34464  df-ats 34465  df-atl 34496  df-cvlat 34520  df-hlat 34549  df-llines 34695  df-lplanes 34696  df-lvols 34697
This theorem is referenced by:  lplncvrlvol  34813  lvolcmp  34814  2lplnm2N  34818  2lplnmj  34819
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