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Theorem lplncvrlvol2 30097
Description: A lattice line under a lattice plane is covered by it. (Contributed by NM, 12-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lplncvrlvol2.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
lplncvrlvol2.c  |-  C  =  (  <o  `  K )
lplncvrlvol2.p  |-  P  =  ( LPlanes `  K )
lplncvrlvol2.v  |-  V  =  ( LVols `  K )
Assertion
Ref Expression
lplncvrlvol2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  V )  /\  X  .<_  Y )  ->  X C Y )

Proof of Theorem lplncvrlvol2
Dummy variables  q  p  r  s  t  u  v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 448 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  V )  /\  X  .<_  Y )  ->  X  .<_  Y )
2 simpl1 960 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  V )  /\  X  .<_  Y )  ->  K  e.  HL )
3 simpl3 962 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  V )  /\  X  .<_  Y )  ->  Y  e.  V
)
4 lplncvrlvol2.p . . . . . 6  |-  P  =  ( LPlanes `  K )
5 lplncvrlvol2.v . . . . . 6  |-  V  =  ( LVols `  K )
64, 5lvolnelpln 30072 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  V )  ->  -.  Y  e.  P
)
72, 3, 6syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  V )  /\  X  .<_  Y )  ->  -.  Y  e.  P )
8 simpl2 961 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  V )  /\  X  .<_  Y )  ->  X  e.  P
)
9 eleq1 2464 . . . . . 6  |-  ( X  =  Y  ->  ( X  e.  P  <->  Y  e.  P ) )
108, 9syl5ibcom 212 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  V )  /\  X  .<_  Y )  ->  ( X  =  Y  ->  Y  e.  P ) )
1110necon3bd 2604 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  V )  /\  X  .<_  Y )  ->  ( -.  Y  e.  P  ->  X  =/= 
Y ) )
127, 11mpd 15 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  V )  /\  X  .<_  Y )  ->  X  =/=  Y
)
13 lplncvrlvol2.l . . . . 5  |-  .<_  =  ( le `  K )
14 eqid 2404 . . . . 5  |-  ( lt
`  K )  =  ( lt `  K
)
1513, 14pltval 14372 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  V )  ->  ( X ( lt
`  K ) Y  <-> 
( X  .<_  Y  /\  X  =/=  Y ) ) )
1615adantr 452 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  V )  /\  X  .<_  Y )  ->  ( X ( lt `  K ) Y  <->  ( X  .<_  Y  /\  X  =/=  Y
) ) )
171, 12, 16mpbir2and 889 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  V )  /\  X  .<_  Y )  ->  X ( lt
`  K ) Y )
18 simpl1 960 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  V )  /\  X ( lt `  K ) Y )  ->  K  e.  HL )
19 simpl2 961 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  V )  /\  X ( lt `  K ) Y )  ->  X  e.  P
)
20 eqid 2404 . . . . . 6  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
2120, 4lplnbase 30016 . . . . 5  |-  ( X  e.  P  ->  X  e.  ( Base `  K
) )
2219, 21syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  V )  /\  X ( lt `  K ) Y )  ->  X  e.  (
Base `  K )
)
23 simpl3 962 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  V )  /\  X ( lt `  K ) Y )  ->  Y  e.  V
)
2420, 5lvolbase 30060 . . . . 5  |-  ( Y  e.  V  ->  Y  e.  ( Base `  K
) )
2523, 24syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  V )  /\  X ( lt `  K ) Y )  ->  Y  e.  (
Base `  K )
)
26 simpr 448 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  V )  /\  X ( lt `  K ) Y )  ->  X ( lt
`  K ) Y )
27 eqid 2404 . . . . 5  |-  ( join `  K )  =  (
join `  K )
28 lplncvrlvol2.c . . . . 5  |-  C  =  (  <o  `  K )
29 eqid 2404 . . . . 5  |-  ( Atoms `  K )  =  (
Atoms `  K )
3020, 13, 14, 27, 28, 29hlrelat3 29894 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  ( Base `  K )  /\  Y  e.  ( Base `  K
) )  /\  X
( lt `  K
) Y )  ->  E. s  e.  ( Atoms `  K ) ( X C ( X ( join `  K
) s )  /\  ( X ( join `  K
) s )  .<_  Y ) )
3118, 22, 25, 26, 30syl31anc 1187 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  V )  /\  X ( lt `  K ) Y )  ->  E. s  e.  (
Atoms `  K ) ( X C ( X ( join `  K
) s )  /\  ( X ( join `  K
) s )  .<_  Y ) )
3220, 13, 27, 29, 5islvol2 30062 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  HL  ->  ( Y  e.  V  <->  ( Y  e.  ( Base `  K
)  /\  E. t  e.  ( Atoms `  K ) E. u  e.  ( Atoms `  K ) E. v  e.  ( Atoms `  K ) E. w  e.  ( Atoms `  K )
( ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t ( join `  K ) u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t ( join `  K ) u ) ( join `  K
) v ) )  /\  Y  =  ( ( ( t (
join `  K )
u ) ( join `  K ) v ) ( join `  K
) w ) ) ) ) )
3332adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P )  ->  ( Y  e.  V  <->  ( Y  e.  ( Base `  K )  /\  E. t  e.  ( Atoms `  K ) E. u  e.  ( Atoms `  K ) E. v  e.  ( Atoms `  K ) E. w  e.  ( Atoms `  K ) ( ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t ( join `  K
) u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t ( join `  K
) u ) (
join `  K )
v ) )  /\  Y  =  ( (
( t ( join `  K ) u ) ( join `  K
) v ) (
join `  K )
w ) ) ) ) )
34 simpr 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t ( join `  K
) u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t ( join `  K
) u ) (
join `  K )
v ) )  /\  Y  =  ( (
( t ( join `  K ) u ) ( join `  K
) v ) (
join `  K )
w ) )  ->  Y  =  ( (
( t ( join `  K ) u ) ( join `  K
) v ) (
join `  K )
w ) )
3520, 13, 27, 29, 4islpln2 30018 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  HL  ->  ( X  e.  P  <->  ( X  e.  ( Base `  K
)  /\  E. p  e.  ( Atoms `  K ) E. q  e.  ( Atoms `  K ) E. r  e.  ( Atoms `  K ) ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p (
join `  K )
q )  /\  X  =  ( ( p ( join `  K
) q ) (
join `  K )
r ) ) ) ) )
36 simp3rl 1030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  r  e.  (
Atoms `  K )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p ( join `  K
) q )  /\  X  =  ( (
p ( join `  K
) q ) (
join `  K )
r ) ) )  /\  ( ( t  e.  ( Atoms `  K
)  /\  u  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( v  e.  ( Atoms `  K )  /\  w  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  Y  =  ( ( ( t (
join `  K )
u ) ( join `  K ) v ) ( join `  K
) w ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( X C ( X ( join `  K
) s )  /\  ( X ( join `  K
) s )  .<_  Y ) ) )  ->  X C ( X ( join `  K
) s ) )
37 simp3rr 1031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  r  e.  (
Atoms `  K )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p ( join `  K
) q )  /\  X  =  ( (
p ( join `  K
) q ) (
join `  K )
r ) ) )  /\  ( ( t  e.  ( Atoms `  K
)  /\  u  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( v  e.  ( Atoms `  K )  /\  w  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  Y  =  ( ( ( t (
join `  K )
u ) ( join `  K ) v ) ( join `  K
) w ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( X C ( X ( join `  K
) s )  /\  ( X ( join `  K
) s )  .<_  Y ) ) )  ->  ( X (
join `  K )
s )  .<_  Y )
38 simp133 1094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  r  e.  (
Atoms `  K )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p ( join `  K
) q )  /\  X  =  ( (
p ( join `  K
) q ) (
join `  K )
r ) ) )  /\  ( ( t  e.  ( Atoms `  K
)  /\  u  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( v  e.  ( Atoms `  K )  /\  w  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  Y  =  ( ( ( t (
join `  K )
u ) ( join `  K ) v ) ( join `  K
) w ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( X C ( X ( join `  K
) s )  /\  ( X ( join `  K
) s )  .<_  Y ) ) )  ->  X  =  ( ( p ( join `  K ) q ) ( join `  K
) r ) )
3938oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  r  e.  (
Atoms `  K )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p ( join `  K
) q )  /\  X  =  ( (
p ( join `  K
) q ) (
join `  K )
r ) ) )  /\  ( ( t  e.  ( Atoms `  K
)  /\  u  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( v  e.  ( Atoms `  K )  /\  w  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  Y  =  ( ( ( t (
join `  K )
u ) ( join `  K ) v ) ( join `  K
) w ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( X C ( X ( join `  K
) s )  /\  ( X ( join `  K
) s )  .<_  Y ) ) )  ->  ( X (
join `  K )
s )  =  ( ( ( p (
join `  K )
q ) ( join `  K ) r ) ( join `  K
) s ) )
40 simp23 992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  r  e.  (
Atoms `  K )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p ( join `  K
) q )  /\  X  =  ( (
p ( join `  K
) q ) (
join `  K )
r ) ) )  /\  ( ( t  e.  ( Atoms `  K
)  /\  u  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( v  e.  ( Atoms `  K )  /\  w  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  Y  =  ( ( ( t (
join `  K )
u ) ( join `  K ) v ) ( join `  K
) w ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( X C ( X ( join `  K
) s )  /\  ( X ( join `  K
) s )  .<_  Y ) ) )  ->  Y  =  ( ( ( t (
join `  K )
u ) ( join `  K ) v ) ( join `  K
) w ) )
4137, 39, 403brtr3d 4201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  r  e.  (
Atoms `  K )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p ( join `  K
) q )  /\  X  =  ( (
p ( join `  K
) q ) (
join `  K )
r ) ) )  /\  ( ( t  e.  ( Atoms `  K
)  /\  u  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( v  e.  ( Atoms `  K )  /\  w  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  Y  =  ( ( ( t (
join `  K )
u ) ( join `  K ) v ) ( join `  K
) w ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( X C ( X ( join `  K
) s )  /\  ( X ( join `  K
) s )  .<_  Y ) ) )  ->  ( ( ( p ( join `  K
) q ) (
join `  K )
r ) ( join `  K ) s ) 
.<_  ( ( ( t ( join `  K
) u ) (
join `  K )
v ) ( join `  K ) w ) )
42 simp11 987 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  r  e.  (
Atoms `  K )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p ( join `  K
) q )  /\  X  =  ( (
p ( join `  K
) q ) (
join `  K )
r ) ) )  /\  ( ( t  e.  ( Atoms `  K
)  /\  u  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( v  e.  ( Atoms `  K )  /\  w  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  Y  =  ( ( ( t (
join `  K )
u ) ( join `  K ) v ) ( join `  K
) w ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( X C ( X ( join `  K
) s )  /\  ( X ( join `  K
) s )  .<_  Y ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) ) )
43 simp12 988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  r  e.  (
Atoms `  K )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p ( join `  K
) q )  /\  X  =  ( (
p ( join `  K
) q ) (
join `  K )
r ) ) )  /\  ( ( t  e.  ( Atoms `  K
)  /\  u  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( v  e.  ( Atoms `  K )  /\  w  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  Y  =  ( ( ( t (
join `  K )
u ) ( join `  K ) v ) ( join `  K
) w ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( X C ( X ( join `  K
) s )  /\  ( X ( join `  K
) s )  .<_  Y ) ) )  ->  r  e.  (
Atoms `  K ) )
44 simp3l 985 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  r  e.  (
Atoms `  K )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p ( join `  K
) q )  /\  X  =  ( (
p ( join `  K
) q ) (
join `  K )
r ) ) )  /\  ( ( t  e.  ( Atoms `  K
)  /\  u  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( v  e.  ( Atoms `  K )  /\  w  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  Y  =  ( ( ( t (
join `  K )
u ) ( join `  K ) v ) ( join `  K
) w ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( X C ( X ( join `  K
) s )  /\  ( X ( join `  K
) s )  .<_  Y ) ) )  ->  s  e.  (
Atoms `  K ) )
45 simp21l 1074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  r  e.  (
Atoms `  K )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p ( join `  K
) q )  /\  X  =  ( (
p ( join `  K
) q ) (
join `  K )
r ) ) )  /\  ( ( t  e.  ( Atoms `  K
)  /\  u  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( v  e.  ( Atoms `  K )  /\  w  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  Y  =  ( ( ( t (
join `  K )
u ) ( join `  K ) v ) ( join `  K
) w ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( X C ( X ( join `  K
) s )  /\  ( X ( join `  K
) s )  .<_  Y ) ) )  ->  t  e.  (
Atoms `  K ) )
4643, 44, 453jca 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  r  e.  (
Atoms `  K )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p ( join `  K
) q )  /\  X  =  ( (
p ( join `  K
) q ) (
join `  K )
r ) ) )  /\  ( ( t  e.  ( Atoms `  K
)  /\  u  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( v  e.  ( Atoms `  K )  /\  w  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  Y  =  ( ( ( t (
join `  K )
u ) ( join `  K ) v ) ( join `  K
) w ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( X C ( X ( join `  K
) s )  /\  ( X ( join `  K
) s )  .<_  Y ) ) )  ->  ( r  e.  ( Atoms `  K )  /\  s  e.  ( Atoms `  K )  /\  t  e.  ( Atoms `  K ) ) )
47 simp21r 1075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  r  e.  (
Atoms `  K )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p ( join `  K
) q )  /\  X  =  ( (
p ( join `  K
) q ) (
join `  K )
r ) ) )  /\  ( ( t  e.  ( Atoms `  K
)  /\  u  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( v  e.  ( Atoms `  K )  /\  w  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  Y  =  ( ( ( t (
join `  K )
u ) ( join `  K ) v ) ( join `  K
) w ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( X C ( X ( join `  K
) s )  /\  ( X ( join `  K
) s )  .<_  Y ) ) )  ->  u  e.  (
Atoms `  K ) )
48 simp22l 1076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  r  e.  (
Atoms `  K )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p ( join `  K
) q )  /\  X  =  ( (
p ( join `  K
) q ) (
join `  K )
r ) ) )  /\  ( ( t  e.  ( Atoms `  K
)  /\  u  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( v  e.  ( Atoms `  K )  /\  w  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  Y  =  ( ( ( t (
join `  K )
u ) ( join `  K ) v ) ( join `  K
) w ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( X C ( X ( join `  K
) s )  /\  ( X ( join `  K
) s )  .<_  Y ) ) )  ->  v  e.  (
Atoms `  K ) )
49 simp22r 1077 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  r  e.  (
Atoms `  K )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p ( join `  K
) q )  /\  X  =  ( (
p ( join `  K
) q ) (
join `  K )
r ) ) )  /\  ( ( t  e.  ( Atoms `  K
)  /\  u  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( v  e.  ( Atoms `  K )  /\  w  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  Y  =  ( ( ( t (
join `  K )
u ) ( join `  K ) v ) ( join `  K
) w ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( X C ( X ( join `  K
) s )  /\  ( X ( join `  K
) s )  .<_  Y ) ) )  ->  w  e.  (
Atoms `  K ) )
5047, 48, 493jca 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  r  e.  (
Atoms `  K )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p ( join `  K
) q )  /\  X  =  ( (
p ( join `  K
) q ) (
join `  K )
r ) ) )  /\  ( ( t  e.  ( Atoms `  K
)  /\  u  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( v  e.  ( Atoms `  K )  /\  w  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  Y  =  ( ( ( t (
join `  K )
u ) ( join `  K ) v ) ( join `  K
) w ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( X C ( X ( join `  K
) s )  /\  ( X ( join `  K
) s )  .<_  Y ) ) )  ->  ( u  e.  ( Atoms `  K )  /\  v  e.  ( Atoms `  K )  /\  w  e.  ( Atoms `  K ) ) )
51 simp131 1092 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  r  e.  (
Atoms `  K )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p ( join `  K
) q )  /\  X  =  ( (
p ( join `  K
) q ) (
join `  K )
r ) ) )  /\  ( ( t  e.  ( Atoms `  K
)  /\  u  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( v  e.  ( Atoms `  K )  /\  w  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  Y  =  ( ( ( t (
join `  K )
u ) ( join `  K ) v ) ( join `  K
) w ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( X C ( X ( join `  K
) s )  /\  ( X ( join `  K
) s )  .<_  Y ) ) )  ->  p  =/=  q
)
52 simp132 1093 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  r  e.  (
Atoms `  K )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p ( join `  K
) q )  /\  X  =  ( (
p ( join `  K
) q ) (
join `  K )
r ) ) )  /\  ( ( t  e.  ( Atoms `  K
)  /\  u  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( v  e.  ( Atoms `  K )  /\  w  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  Y  =  ( ( ( t (
join `  K )
u ) ( join `  K ) v ) ( join `  K
) w ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( X C ( X ( join `  K
) s )  /\  ( X ( join `  K
) s )  .<_  Y ) ) )  ->  -.  r  .<_  ( p ( join `  K
) q ) )
5336, 38, 393brtr3d 4201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  r  e.  (
Atoms `  K )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p ( join `  K
) q )  /\  X  =  ( (
p ( join `  K
) q ) (
join `  K )
r ) ) )  /\  ( ( t  e.  ( Atoms `  K
)  /\  u  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( v  e.  ( Atoms `  K )  /\  w  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  Y  =  ( ( ( t (
join `  K )
u ) ( join `  K ) v ) ( join `  K
) w ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( X C ( X ( join `  K
) s )  /\  ( X ( join `  K
) s )  .<_  Y ) ) )  ->  ( ( p ( join `  K
) q ) (
join `  K )
r ) C ( ( ( p (
join `  K )
q ) ( join `  K ) r ) ( join `  K
) s ) )
54 simp111 1086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  r  e.  (
Atoms `  K )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p ( join `  K
) q )  /\  X  =  ( (
p ( join `  K
) q ) (
join `  K )
r ) ) )  /\  ( ( t  e.  ( Atoms `  K
)  /\  u  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( v  e.  ( Atoms `  K )  /\  w  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  Y  =  ( ( ( t (
join `  K )
u ) ( join `  K ) v ) ( join `  K
) w ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( X C ( X ( join `  K
) s )  /\  ( X ( join `  K
) s )  .<_  Y ) ) )  ->  K  e.  HL )
55 hllat 29846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
5654, 55syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  r  e.  (
Atoms `  K )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p ( join `  K
) q )  /\  X  =  ( (
p ( join `  K
) q ) (
join `  K )
r ) ) )  /\  ( ( t  e.  ( Atoms `  K
)  /\  u  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( v  e.  ( Atoms `  K )  /\  w  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  Y  =  ( ( ( t (
join `  K )
u ) ( join `  K ) v ) ( join `  K
) w ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( X C ( X ( join `  K
) s )  /\  ( X ( join `  K
) s )  .<_  Y ) ) )  ->  K  e.  Lat )
5720, 27, 29hlatjcl 29849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( p
( join `  K )
q )  e.  (
Base `  K )
)
5842, 57syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  r  e.  (
Atoms `  K )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p ( join `  K
) q )  /\  X  =  ( (
p ( join `  K
) q ) (
join `  K )
r ) ) )  /\  ( ( t  e.  ( Atoms `  K
)  /\  u  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( v  e.  ( Atoms `  K )  /\  w  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  Y  =  ( ( ( t (
join `  K )
u ) ( join `  K ) v ) ( join `  K
) w ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( X C ( X ( join `  K
) s )  /\  ( X ( join `  K
) s )  .<_  Y ) ) )  ->  ( p (
join `  K )
q )  e.  (
Base `  K )
)
5920, 29atbase 29772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( r  e.  ( Atoms `  K
)  ->  r  e.  ( Base `  K )
)
6043, 59syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  r  e.  (
Atoms `  K )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p ( join `  K
) q )  /\  X  =  ( (
p ( join `  K
) q ) (
join `  K )
r ) ) )  /\  ( ( t  e.  ( Atoms `  K
)  /\  u  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( v  e.  ( Atoms `  K )  /\  w  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  Y  =  ( ( ( t (
join `  K )
u ) ( join `  K ) v ) ( join `  K
) w ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( X C ( X ( join `  K
) s )  /\  ( X ( join `  K
) s )  .<_  Y ) ) )  ->  r  e.  (
Base `  K )
)
6120, 27latjcl 14434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( p ( join `  K ) q )  e.  ( Base `  K
)  /\  r  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( (
p ( join `  K
) q ) (
join `  K )
r )  e.  (
Base `  K )
)
6256, 58, 60, 61syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  r  e.  (
Atoms `  K )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p ( join `  K
) q )  /\  X  =  ( (
p ( join `  K
) q ) (
join `  K )
r ) ) )  /\  ( ( t  e.  ( Atoms `  K
)  /\  u  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( v  e.  ( Atoms `  K )  /\  w  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  Y  =  ( ( ( t (
join `  K )
u ) ( join `  K ) v ) ( join `  K
) w ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( X C ( X ( join `  K
) s )  /\  ( X ( join `  K
) s )  .<_  Y ) ) )  ->  ( ( p ( join `  K
) q ) (
join `  K )
r )  e.  (
Base `  K )
)
6320, 13, 27, 28, 29cvr1 29892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( ( p (
join `  K )
q ) ( join `  K ) r )  e.  ( Base `  K
)  /\  s  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( -.  s  .<_  ( ( p ( join `  K
) q ) (
join `  K )
r )  <->  ( (
p ( join `  K
) q ) (
join `  K )
r ) C ( ( ( p (
join `  K )
q ) ( join `  K ) r ) ( join `  K
) s ) ) )
6454, 62, 44, 63syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  r  e.  (
Atoms `  K )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p ( join `  K
) q )  /\  X  =  ( (
p ( join `  K
) q ) (
join `  K )
r ) ) )  /\  ( ( t  e.  ( Atoms `  K
)  /\  u  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( v  e.  ( Atoms `  K )  /\  w  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  Y  =  ( ( ( t (
join `  K )
u ) ( join `  K ) v ) ( join `  K
) w ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( X C ( X ( join `  K
) s )  /\  ( X ( join `  K
) s )  .<_  Y ) ) )  ->  ( -.  s  .<_  ( ( p (
join `  K )
q ) ( join `  K ) r )  <-> 
( ( p (
join `  K )
q ) ( join `  K ) r ) C ( ( ( p ( join `  K
) q ) (
join `  K )
r ) ( join `  K ) s ) ) )
6553, 64mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  r  e.  (
Atoms `  K )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p ( join `  K
) q )  /\  X  =  ( (
p ( join `  K
) q ) (
join `  K )
r ) ) )  /\  ( ( t  e.  ( Atoms `  K
)  /\  u  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( v  e.  ( Atoms `  K )  /\  w  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  Y  =  ( ( ( t (
join `  K )
u ) ( join `  K ) v ) ( join `  K
) w ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( X C ( X ( join `  K
) s )  /\  ( X ( join `  K
) s )  .<_  Y ) ) )  ->  -.  s  .<_  ( ( p ( join `  K ) q ) ( join `  K
) r ) )
6613, 27, 294at2 30096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( r  e.  ( Atoms `  K )  /\  s  e.  ( Atoms `  K )  /\  t  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( u  e.  ( Atoms `  K )  /\  v  e.  ( Atoms `  K )  /\  w  e.  ( Atoms `  K )
) )  /\  (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p ( join `  K
) q )  /\  -.  s  .<_  ( ( p ( join `  K
) q ) (
join `  K )
r ) ) )  ->  ( ( ( ( p ( join `  K ) q ) ( join `  K
) r ) (
join `  K )
s )  .<_  ( ( ( t ( join `  K ) u ) ( join `  K
) v ) (
join `  K )
w )  <->  ( (
( p ( join `  K ) q ) ( join `  K
) r ) (
join `  K )
s )  =  ( ( ( t (
join `  K )
u ) ( join `  K ) v ) ( join `  K
) w ) ) )
6742, 46, 50, 51, 52, 65, 66syl33anc 1199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  r  e.  (
Atoms `  K )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p ( join `  K
) q )  /\  X  =  ( (
p ( join `  K
) q ) (
join `  K )
r ) ) )  /\  ( ( t  e.  ( Atoms `  K
)  /\  u  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( v  e.  ( Atoms `  K )  /\  w  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  Y  =  ( ( ( t (
join `  K )
u ) ( join `  K ) v ) ( join `  K
) w ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( X C ( X ( join `  K
) s )  /\  ( X ( join `  K
) s )  .<_  Y ) ) )  ->  ( ( ( ( p ( join `  K ) q ) ( join `  K
) r ) (
join `  K )
s )  .<_  ( ( ( t ( join `  K ) u ) ( join `  K
) v ) (
join `  K )
w )  <->  ( (
( p ( join `  K ) q ) ( join `  K
) r ) (
join `  K )
s )  =  ( ( ( t (
join `  K )
u ) ( join `  K ) v ) ( join `  K
) w ) ) )
6841, 67mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  r  e.  (
Atoms `  K )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p ( join `  K
) q )  /\  X  =  ( (
p ( join `  K
) q ) (
join `  K )
r ) ) )  /\  ( ( t  e.  ( Atoms `  K
)  /\  u  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( v  e.  ( Atoms `  K )  /\  w  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  Y  =  ( ( ( t (
join `  K )
u ) ( join `  K ) v ) ( join `  K
) w ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( X C ( X ( join `  K
) s )  /\  ( X ( join `  K
) s )  .<_  Y ) ) )  ->  ( ( ( p ( join `  K
) q ) (
join `  K )
r ) ( join `  K ) s )  =  ( ( ( t ( join `  K
) u ) (
join `  K )
v ) ( join `  K ) w ) )
6968, 39, 403eqtr4d 2446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  r  e.  (
Atoms `  K )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p ( join `  K
) q )  /\  X  =  ( (
p ( join `  K
) q ) (
join `  K )
r ) ) )  /\  ( ( t  e.  ( Atoms `  K
)  /\  u  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( v  e.  ( Atoms `  K )  /\  w  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  Y  =  ( ( ( t (
join `  K )
u ) ( join `  K ) v ) ( join `  K
) w ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( X C ( X ( join `  K
) s )  /\  ( X ( join `  K
) s )  .<_  Y ) ) )  ->  ( X (
join `  K )
s )  =  Y )
7036, 69breqtrd 4196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  r  e.  (
Atoms `  K )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p ( join `  K
) q )  /\  X  =  ( (
p ( join `  K
) q ) (
join `  K )
r ) ) )  /\  ( ( t  e.  ( Atoms `  K
)  /\  u  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( v  e.  ( Atoms `  K )  /\  w  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  Y  =  ( ( ( t (
join `  K )
u ) ( join `  K ) v ) ( join `  K
) w ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( X C ( X ( join `  K
) s )  /\  ( X ( join `  K
) s )  .<_  Y ) ) )  ->  X C Y )
71703exp 1152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  r  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p ( join `  K
) q )  /\  X  =  ( (
p ( join `  K
) q ) (
join `  K )
r ) ) )  ->  ( ( ( t  e.  ( Atoms `  K )  /\  u  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( v  e.  ( Atoms `  K )  /\  w  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  Y  =  ( ( ( t (
join `  K )
u ) ( join `  K ) v ) ( join `  K
) w ) )  ->  ( ( s  e.  ( Atoms `  K
)  /\  ( X C ( X (
join `  K )
s )  /\  ( X ( join `  K
) s )  .<_  Y ) )  ->  X C Y ) ) )
7271exp4a 590 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  r  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p ( join `  K
) q )  /\  X  =  ( (
p ( join `  K
) q ) (
join `  K )
r ) ) )  ->  ( ( ( t  e.  ( Atoms `  K )  /\  u  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( v  e.  ( Atoms `  K )  /\  w  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  Y  =  ( ( ( t (
join `  K )
u ) ( join `  K ) v ) ( join `  K
) w ) )  ->  ( s  e.  ( Atoms `  K )  ->  ( ( X C ( X ( join `  K ) s )  /\  ( X (
join `  K )
s )  .<_  Y )  ->  X C Y ) ) ) )
73723expd 1170 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  r  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p ( join `  K
) q )  /\  X  =  ( (
p ( join `  K
) q ) (
join `  K )
r ) ) )  ->  ( ( t  e.  ( Atoms `  K
)  /\  u  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( (
v  e.  ( Atoms `  K )  /\  w  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( Y  =  ( ( ( t ( join `  K
) u ) (
join `  K )
v ) ( join `  K ) w )  ->  ( s  e.  ( Atoms `  K )  ->  ( ( X C ( X ( join `  K ) s )  /\  ( X (
join `  K )
s )  .<_  Y )  ->  X C Y ) ) ) ) ) )
7473rexlimdv3a 2792 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( E. r  e.  ( Atoms `  K ) ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p (
join `  K )
q )  /\  X  =  ( ( p ( join `  K
) q ) (
join `  K )
r ) )  -> 
( ( t  e.  ( Atoms `  K )  /\  u  e.  ( Atoms `  K ) )  ->  ( ( v  e.  ( Atoms `  K
)  /\  w  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( Y  =  ( ( ( t ( join `  K
) u ) (
join `  K )
v ) ( join `  K ) w )  ->  ( s  e.  ( Atoms `  K )  ->  ( ( X C ( X ( join `  K ) s )  /\  ( X (
join `  K )
s )  .<_  Y )  ->  X C Y ) ) ) ) ) ) )
75743expib 1156 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  HL  ->  (
( p  e.  (
Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  -> 
( E. r  e.  ( Atoms `  K )
( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p ( join `  K
) q )  /\  X  =  ( (
p ( join `  K
) q ) (
join `  K )
r ) )  -> 
( ( t  e.  ( Atoms `  K )  /\  u  e.  ( Atoms `  K ) )  ->  ( ( v  e.  ( Atoms `  K
)  /\  w  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( Y  =  ( ( ( t ( join `  K
) u ) (
join `  K )
v ) ( join `  K ) w )  ->  ( s  e.  ( Atoms `  K )  ->  ( ( X C ( X ( join `  K ) s )  /\  ( X (
join `  K )
s )  .<_  Y )  ->  X C Y ) ) ) ) ) ) ) )
7675rexlimdvv 2796 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  HL  ->  ( E. p  e.  ( Atoms `  K ) E. q  e.  ( Atoms `  K ) E. r  e.  ( Atoms `  K )
( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p ( join `  K
) q )  /\  X  =  ( (
p ( join `  K
) q ) (
join `  K )
r ) )  -> 
( ( t  e.  ( Atoms `  K )  /\  u  e.  ( Atoms `  K ) )  ->  ( ( v  e.  ( Atoms `  K
)  /\  w  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( Y  =  ( ( ( t ( join `  K
) u ) (
join `  K )
v ) ( join `  K ) w )  ->  ( s  e.  ( Atoms `  K )  ->  ( ( X C ( X ( join `  K ) s )  /\  ( X (
join `  K )
s )  .<_  Y )  ->  X C Y ) ) ) ) ) ) )
7776adantld 454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  HL  ->  (
( X  e.  (
Base `  K )  /\  E. p  e.  (
Atoms `  K ) E. q  e.  ( Atoms `  K ) E. r  e.  ( Atoms `  K )
( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p ( join `  K
) q )  /\  X  =  ( (
p ( join `  K
) q ) (
join `  K )
r ) ) )  ->  ( ( t  e.  ( Atoms `  K
)  /\  u  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( (
v  e.  ( Atoms `  K )  /\  w  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( Y  =  ( ( ( t ( join `  K
) u ) (
join `  K )
v ) ( join `  K ) w )  ->  ( s  e.  ( Atoms `  K )  ->  ( ( X C ( X ( join `  K ) s )  /\  ( X (
join `  K )
s )  .<_  Y )  ->  X C Y ) ) ) ) ) ) )
7835, 77sylbid 207 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  HL  ->  ( X  e.  P  ->  ( ( t  e.  (
Atoms `  K )  /\  u  e.  ( Atoms `  K ) )  -> 
( ( v  e.  ( Atoms `  K )  /\  w  e.  ( Atoms `  K ) )  ->  ( Y  =  ( ( ( t ( join `  K
) u ) (
join `  K )
v ) ( join `  K ) w )  ->  ( s  e.  ( Atoms `  K )  ->  ( ( X C ( X ( join `  K ) s )  /\  ( X (
join `  K )
s )  .<_  Y )  ->  X C Y ) ) ) ) ) ) )
7978imp31 422 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P )  /\  ( t  e.  ( Atoms `  K )  /\  u  e.  ( Atoms `  K ) ) )  ->  ( (
v  e.  ( Atoms `  K )  /\  w  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( Y  =  ( ( ( t ( join `  K
) u ) (
join `  K )
v ) ( join `  K ) w )  ->  ( s  e.  ( Atoms `  K )  ->  ( ( X C ( X ( join `  K ) s )  /\  ( X (
join `  K )
s )  .<_  Y )  ->  X C Y ) ) ) ) )
8034, 79syl7 65 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P )  /\  ( t  e.  ( Atoms `  K )  /\  u  e.  ( Atoms `  K ) ) )  ->  ( (
v  e.  ( Atoms `  K )  /\  w  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( (
( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t ( join `  K
) u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t ( join `  K
) u ) (
join `  K )
v ) )  /\  Y  =  ( (
( t ( join `  K ) u ) ( join `  K
) v ) (
join `  K )
w ) )  -> 
( s  e.  (
Atoms `  K )  -> 
( ( X C ( X ( join `  K ) s )  /\  ( X (
join `  K )
s )  .<_  Y )  ->  X C Y ) ) ) ) )
8180rexlimdvv 2796 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P )  /\  ( t  e.  ( Atoms `  K )  /\  u  e.  ( Atoms `  K ) ) )  ->  ( E. v  e.  ( Atoms `  K ) E. w  e.  ( Atoms `  K )
( ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t ( join `  K ) u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t ( join `  K ) u ) ( join `  K
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join `  K )
u ) ( join `  K ) v ) ( join `  K
) w ) )  ->  ( s  e.  ( Atoms `  K )  ->  ( ( X C ( X ( join `  K ) s )  /\  ( X (
join `  K )
s )  .<_  Y )  ->  X C Y ) ) ) )
8281rexlimdvva 2797 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P )  ->  ( E. t  e.  ( Atoms `  K ) E. u  e.  ( Atoms `  K ) E. v  e.  ( Atoms `  K ) E. w  e.  ( Atoms `  K )
( ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t ( join `  K ) u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t ( join `  K ) u ) ( join `  K
) v ) )  /\  Y  =  ( ( ( t (
join `  K )
u ) ( join `  K ) v ) ( join `  K
) w ) )  ->  ( s  e.  ( Atoms `  K )  ->  ( ( X C ( X ( join `  K ) s )  /\  ( X (
join `  K )
s )  .<_  Y )  ->  X C Y ) ) ) )
8382adantld 454 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P )  ->  ( ( Y  e.  ( Base `  K
)  /\  E. t  e.  ( Atoms `  K ) E. u  e.  ( Atoms `  K ) E. v  e.  ( Atoms `  K ) E. w  e.  ( Atoms `  K )
( ( t  =/=  u  /\  -.  v  .<_  ( t ( join `  K ) u )  /\  -.  w  .<_  ( ( t ( join `  K ) u ) ( join `  K
) v ) )  /\  Y  =  ( ( ( t (
join `  K )
u ) ( join `  K ) v ) ( join `  K
) w ) ) )  ->  ( s  e.  ( Atoms `  K )  ->  ( ( X C ( X ( join `  K ) s )  /\  ( X (
join `  K )
s )  .<_  Y )  ->  X C Y ) ) ) )
8433, 83sylbid 207 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P )  ->  ( Y  e.  V  ->  ( s  e.  (
Atoms `  K )  -> 
( ( X C ( X ( join `  K ) s )  /\  ( X (
join `  K )
s )  .<_  Y )  ->  X C Y ) ) ) )
85843impia 1150 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  V )  ->  ( s  e.  (
Atoms `  K )  -> 
( ( X C ( X ( join `  K ) s )  /\  ( X (
join `  K )
s )  .<_  Y )  ->  X C Y ) ) )
8685rexlimdv 2789 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  V )  ->  ( E. s  e.  ( Atoms `  K )
( X C ( X ( join `  K
) s )  /\  ( X ( join `  K
) s )  .<_  Y )  ->  X C Y ) )
8786imp 419 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  V )  /\  E. s  e.  (
Atoms `  K ) ( X C ( X ( join `  K
) s )  /\  ( X ( join `  K
) s )  .<_  Y ) )  ->  X C Y )
8831, 87syldan 457 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  V )  /\  X ( lt `  K ) Y )  ->  X C Y )
8917, 88syldan 457 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  V )  /\  X  .<_  Y )  ->  X C Y )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   E.wrex 2667   class class class wbr 4172   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Basecbs 13424   lecple 13491   ltcplt 14353   joincjn 14356   Latclat 14429    <o ccvr 29745   Atomscatm 29746   HLchlt 29833   LPlanesclpl 29974   LVolsclvol 29975
This theorem is referenced by:  lplncvrlvol  30098  lvolcmp  30099  2lplnm2N  30103  2lplnmj  30104
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-undef 6502  df-riota 6508  df-poset 14358  df-plt 14370  df-lub 14386  df-glb 14387  df-join 14388  df-meet 14389  df-p0 14423  df-lat 14430  df-clat 14492  df-oposet 29659  df-ol 29661  df-oml 29662  df-covers 29749  df-ats 29750  df-atl 29781  df-cvlat 29805  df-hlat 29834  df-llines 29980  df-lplanes 29981  df-lvols 29982
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