Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lplncvrlvol Structured version   Unicode version

Theorem lplncvrlvol 33177
Description: An element covering a lattice plane is a lattice volume and vice-versa. (Contributed by NM, 15-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lplncvrlvol.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
lplncvrlvol.c  |-  C  =  (  <o  `  K )
lplncvrlvol.p  |-  P  =  ( LPlanes `  K )
lplncvrlvol.v  |-  V  =  ( LVols `  K )
Assertion
Ref Expression
lplncvrlvol  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  ->  ( X  e.  P  <->  Y  e.  V
) )

Proof of Theorem lplncvrlvol
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll1 1027 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  X  e.  P )  ->  K  e.  HL )
2 simpll3 1029 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  X  e.  P )  ->  Y  e.  B )
3 simpr 461 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  X  e.  P )  ->  X  e.  P )
4 simplr 754 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  X  e.  P )  ->  X C Y )
5 lplncvrlvol.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  K
)
6 lplncvrlvol.c . . . 4  |-  C  =  (  <o  `  K )
7 lplncvrlvol.p . . . 4  |-  P  =  ( LPlanes `  K )
8 lplncvrlvol.v . . . 4  |-  V  =  ( LVols `  K )
95, 6, 7, 8lvoli 33136 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  P )  /\  X C Y )  ->  Y  e.  V
)
101, 2, 3, 4, 9syl31anc 1221 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  X  e.  P )  ->  Y  e.  V )
11 simpll1 1027 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  V )  ->  K  e.  HL )
12 simpll2 1028 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  V )  ->  X  e.  B )
13 hllat 32925 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
1411, 13syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  V )  ->  K  e.  Lat )
15 simpll3 1029 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  V )  ->  Y  e.  B )
16 eqid 2438 . . . . . . . 8  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
175, 16latref 15215 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Y  e.  B )  ->  Y ( le `  K ) Y )
1814, 15, 17syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  V )  ->  Y
( le `  K
) Y )
1911adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  V )  /\  Y  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  K  e.  HL )
20 simplr 754 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  V )  /\  Y  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  Y  e.  V )
21 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  V )  /\  Y  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  Y  e.  ( Atoms `  K )
)
22 eqid 2438 . . . . . . . . 9  |-  ( Atoms `  K )  =  (
Atoms `  K )
2316, 22, 8lvolnleat 33144 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  V  /\  Y  e.  ( Atoms `  K ) )  ->  -.  Y ( le `  K ) Y )
2419, 20, 21, 23syl3anc 1218 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  V )  /\  Y  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  -.  Y
( le `  K
) Y )
2524ex 434 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  V )  ->  ( Y  e.  ( Atoms `  K )  ->  -.  Y ( le `  K ) Y ) )
2618, 25mt2d 117 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  V )  ->  -.  Y  e.  ( Atoms `  K ) )
27 simplr 754 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  V )  ->  X C Y )
28 breq1 4290 . . . . . . . 8  |-  ( X  =  ( 0. `  K )  ->  ( X C Y  <->  ( 0. `  K ) C Y ) )
2927, 28syl5ibcom 220 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  =  ( 0. `  K )  ->  ( 0. `  K ) C Y ) )
30 eqid 2438 . . . . . . . . 9  |-  ( 0.
`  K )  =  ( 0. `  K
)
315, 30, 6, 22isat2 32849 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  B )  ->  ( Y  e.  (
Atoms `  K )  <->  ( 0. `  K ) C Y ) )
3211, 15, 31syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  V )  ->  ( Y  e.  ( Atoms `  K )  <->  ( 0. `  K ) C Y ) )
3329, 32sylibrd 234 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  =  ( 0. `  K )  ->  Y  e.  ( Atoms `  K )
) )
3433necon3bd 2640 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  V )  ->  ( -.  Y  e.  ( Atoms `  K )  ->  X  =/=  ( 0. `  K ) ) )
3526, 34mpd 15 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  V )  ->  X  =/=  ( 0. `  K
) )
36 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  ( LLines `  K )  =  (
LLines `  K )
3736, 8lvolnelln 33150 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  V )  ->  -.  Y  e.  (
LLines `  K ) )
3811, 37sylancom 667 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  V )  ->  -.  Y  e.  ( LLines `  K ) )
3911adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  V )  /\  X  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  K  e.  HL )
4015adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  V )  /\  X  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  Y  e.  B )
41 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  V )  /\  X  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  X  e.  ( Atoms `  K )
)
42 simpllr 758 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  V )  /\  X  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  X C Y )
435, 6, 22, 36llni 33069 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  X C Y )  ->  Y  e.  ( LLines `  K ) )
4439, 40, 41, 42, 43syl31anc 1221 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  V )  /\  X  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  Y  e.  ( LLines `  K )
)
4538, 44mtand 659 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  V )  ->  -.  X  e.  ( Atoms `  K ) )
467, 8lvolnelpln 33151 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  V )  ->  -.  Y  e.  P
)
4711, 46sylancom 667 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  V )  ->  -.  Y  e.  P )
485, 6, 36, 7llncvrlpln 33119 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  ->  ( X  e.  ( LLines `  K )  <->  Y  e.  P ) )
4948adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  e.  ( LLines `  K )  <->  Y  e.  P ) )
5047, 49mtbird 301 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  V )  ->  -.  X  e.  ( LLines `  K ) )
515, 16, 30, 22, 36, 7lplnle 33101 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  /\  ( X  =/=  ( 0. `  K
)  /\  -.  X  e.  ( Atoms `  K )  /\  -.  X  e.  (
LLines `  K ) ) )  ->  E. z  e.  P  z ( le `  K ) X )
5211, 12, 35, 45, 50, 51syl23anc 1225 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  V )  ->  E. z  e.  P  z ( le `  K ) X )
53 simpr3 996 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  ( Y  e.  V  /\  z  e.  P  /\  z ( le `  K ) X ) )  ->  z ( le `  K ) X )
54 simpll1 1027 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  ( Y  e.  V  /\  z  e.  P  /\  z ( le `  K ) X ) )  ->  K  e.  HL )
55 hlop 32924 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OP )
5654, 55syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  ( Y  e.  V  /\  z  e.  P  /\  z ( le `  K ) X ) )  ->  K  e.  OP )
57 simpr2 995 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  ( Y  e.  V  /\  z  e.  P  /\  z ( le `  K ) X ) )  ->  z  e.  P )
585, 7lplnbase 33095 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  P  ->  z  e.  B )
5957, 58syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  ( Y  e.  V  /\  z  e.  P  /\  z ( le `  K ) X ) )  ->  z  e.  B )
60 simpll2 1028 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  ( Y  e.  V  /\  z  e.  P  /\  z ( le `  K ) X ) )  ->  X  e.  B )
61 simpll3 1029 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  ( Y  e.  V  /\  z  e.  P  /\  z ( le `  K ) X ) )  ->  Y  e.  B )
62 simpr1 994 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  ( Y  e.  V  /\  z  e.  P  /\  z ( le `  K ) X ) )  ->  Y  e.  V )
635, 16, 6cvrle 32840 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  ->  X ( le
`  K ) Y )
6463adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  ( Y  e.  V  /\  z  e.  P  /\  z ( le `  K ) X ) )  ->  X ( le `  K ) Y )
65 hlpos 32927 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Poset )
6654, 65syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  ( Y  e.  V  /\  z  e.  P  /\  z ( le `  K ) X ) )  ->  K  e.  Poset
)
675, 16postr 15115 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  (
z  e.  B  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  ->  ( (
z ( le `  K ) X  /\  X ( le `  K ) Y )  ->  z ( le
`  K ) Y ) )
6866, 59, 60, 61, 67syl13anc 1220 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  ( Y  e.  V  /\  z  e.  P  /\  z ( le `  K ) X ) )  ->  ( (
z ( le `  K ) X  /\  X ( le `  K ) Y )  ->  z ( le
`  K ) Y ) )
6953, 64, 68mp2and 679 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  ( Y  e.  V  /\  z  e.  P  /\  z ( le `  K ) X ) )  ->  z ( le `  K ) Y )
7016, 6, 7, 8lplncvrlvol2 33176 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  z  e.  P  /\  Y  e.  V )  /\  z ( le `  K ) Y )  ->  z C Y )
7154, 57, 62, 69, 70syl31anc 1221 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  ( Y  e.  V  /\  z  e.  P  /\  z ( le `  K ) X ) )  ->  z C Y )
72 simplr 754 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  ( Y  e.  V  /\  z  e.  P  /\  z ( le `  K ) X ) )  ->  X C Y )
735, 16, 6cvrcmp2 32846 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  OP  /\  ( z  e.  B  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  ( z C Y  /\  X C Y ) )  -> 
( z ( le
`  K ) X  <-> 
z  =  X ) )
7456, 59, 60, 61, 71, 72, 73syl132anc 1236 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  ( Y  e.  V  /\  z  e.  P  /\  z ( le `  K ) X ) )  ->  ( z
( le `  K
) X  <->  z  =  X ) )
7553, 74mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  ( Y  e.  V  /\  z  e.  P  /\  z ( le `  K ) X ) )  ->  z  =  X )
7675, 57eqeltrrd 2513 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  ( Y  e.  V  /\  z  e.  P  /\  z ( le `  K ) X ) )  ->  X  e.  P )
77763exp2 1205 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  ->  ( Y  e.  V  ->  ( z  e.  P  ->  ( z ( le `  K
) X  ->  X  e.  P ) ) ) )
7877imp 429 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  V )  ->  (
z  e.  P  -> 
( z ( le
`  K ) X  ->  X  e.  P
) ) )
7978rexlimdv 2835 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  V )  ->  ( E. z  e.  P  z ( le `  K ) X  ->  X  e.  P )
)
8052, 79mpd 15 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  V )  ->  X  e.  P )
8110, 80impbida 828 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  ->  ( X  e.  P  <->  Y  e.  V
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2601   E.wrex 2711   class class class wbr 4287   ` cfv 5413   Basecbs 14166   lecple 14237   Posetcpo 15102   0.cp0 15199   Latclat 15207   OPcops 32734    <o ccvr 32824   Atomscatm 32825   HLchlt 32912   LLinesclln 33052   LPlanesclpl 33053   LVolsclvol 33054
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-id 4631  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-poset 15108  df-plt 15120  df-lub 15136  df-glb 15137  df-join 15138  df-meet 15139  df-p0 15201  df-lat 15208  df-clat 15270  df-oposet 32738  df-ol 32740  df-oml 32741  df-covers 32828  df-ats 32829  df-atl 32860  df-cvlat 32884  df-hlat 32913  df-llines 33059  df-lplanes 33060  df-lvols 33061
This theorem is referenced by:  2lplnmj  33183
  Copyright terms: Public domain W3C validator