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Theorem lplncvrlvol 35753
Description: An element covering a lattice plane is a lattice volume and vice-versa. (Contributed by NM, 15-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lplncvrlvol.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
lplncvrlvol.c  |-  C  =  (  <o  `  K )
lplncvrlvol.p  |-  P  =  ( LPlanes `  K )
lplncvrlvol.v  |-  V  =  ( LVols `  K )
Assertion
Ref Expression
lplncvrlvol  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  ->  ( X  e.  P  <->  Y  e.  V
) )

Proof of Theorem lplncvrlvol
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll1 1033 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  X  e.  P )  ->  K  e.  HL )
2 simpll3 1035 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  X  e.  P )  ->  Y  e.  B )
3 simpr 459 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  X  e.  P )  ->  X  e.  P )
4 simplr 753 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  X  e.  P )  ->  X C Y )
5 lplncvrlvol.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  K
)
6 lplncvrlvol.c . . . 4  |-  C  =  (  <o  `  K )
7 lplncvrlvol.p . . . 4  |-  P  =  ( LPlanes `  K )
8 lplncvrlvol.v . . . 4  |-  V  =  ( LVols `  K )
95, 6, 7, 8lvoli 35712 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  P )  /\  X C Y )  ->  Y  e.  V
)
101, 2, 3, 4, 9syl31anc 1229 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  X  e.  P )  ->  Y  e.  V )
11 simpll1 1033 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  V )  ->  K  e.  HL )
12 simpll2 1034 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  V )  ->  X  e.  B )
13 hllat 35501 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
1411, 13syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  V )  ->  K  e.  Lat )
15 simpll3 1035 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  V )  ->  Y  e.  B )
16 eqid 2382 . . . . . . . 8  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
175, 16latref 15800 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Y  e.  B )  ->  Y ( le `  K ) Y )
1814, 15, 17syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  V )  ->  Y
( le `  K
) Y )
1911adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  V )  /\  Y  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  K  e.  HL )
20 simplr 753 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  V )  /\  Y  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  Y  e.  V )
21 simpr 459 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  V )  /\  Y  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  Y  e.  ( Atoms `  K )
)
22 eqid 2382 . . . . . . . . 9  |-  ( Atoms `  K )  =  (
Atoms `  K )
2316, 22, 8lvolnleat 35720 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  V  /\  Y  e.  ( Atoms `  K ) )  ->  -.  Y ( le `  K ) Y )
2419, 20, 21, 23syl3anc 1226 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  V )  /\  Y  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  -.  Y
( le `  K
) Y )
2524ex 432 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  V )  ->  ( Y  e.  ( Atoms `  K )  ->  -.  Y ( le `  K ) Y ) )
2618, 25mt2d 117 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  V )  ->  -.  Y  e.  ( Atoms `  K ) )
27 simplr 753 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  V )  ->  X C Y )
28 breq1 4370 . . . . . . . 8  |-  ( X  =  ( 0. `  K )  ->  ( X C Y  <->  ( 0. `  K ) C Y ) )
2927, 28syl5ibcom 220 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  =  ( 0. `  K )  ->  ( 0. `  K ) C Y ) )
30 eqid 2382 . . . . . . . . 9  |-  ( 0.
`  K )  =  ( 0. `  K
)
315, 30, 6, 22isat2 35425 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  B )  ->  ( Y  e.  (
Atoms `  K )  <->  ( 0. `  K ) C Y ) )
3211, 15, 31syl2anc 659 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  V )  ->  ( Y  e.  ( Atoms `  K )  <->  ( 0. `  K ) C Y ) )
3329, 32sylibrd 234 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  =  ( 0. `  K )  ->  Y  e.  ( Atoms `  K )
) )
3433necon3bd 2594 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  V )  ->  ( -.  Y  e.  ( Atoms `  K )  ->  X  =/=  ( 0. `  K ) ) )
3526, 34mpd 15 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  V )  ->  X  =/=  ( 0. `  K
) )
36 eqid 2382 . . . . . . 7  |-  ( LLines `  K )  =  (
LLines `  K )
3736, 8lvolnelln 35726 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  V )  ->  -.  Y  e.  (
LLines `  K ) )
3811, 37sylancom 665 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  V )  ->  -.  Y  e.  ( LLines `  K ) )
3911adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  V )  /\  X  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  K  e.  HL )
4015adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  V )  /\  X  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  Y  e.  B )
41 simpr 459 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  V )  /\  X  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  X  e.  ( Atoms `  K )
)
42 simpllr 758 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  V )  /\  X  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  X C Y )
435, 6, 22, 36llni 35645 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  X C Y )  ->  Y  e.  ( LLines `  K ) )
4439, 40, 41, 42, 43syl31anc 1229 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  V )  /\  X  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  Y  e.  ( LLines `  K )
)
4538, 44mtand 657 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  V )  ->  -.  X  e.  ( Atoms `  K ) )
467, 8lvolnelpln 35727 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  V )  ->  -.  Y  e.  P
)
4711, 46sylancom 665 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  V )  ->  -.  Y  e.  P )
485, 6, 36, 7llncvrlpln 35695 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  ->  ( X  e.  ( LLines `  K )  <->  Y  e.  P ) )
4948adantr 463 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  e.  ( LLines `  K )  <->  Y  e.  P ) )
5047, 49mtbird 299 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  V )  ->  -.  X  e.  ( LLines `  K ) )
515, 16, 30, 22, 36, 7lplnle 35677 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  /\  ( X  =/=  ( 0. `  K
)  /\  -.  X  e.  ( Atoms `  K )  /\  -.  X  e.  (
LLines `  K ) ) )  ->  E. z  e.  P  z ( le `  K ) X )
5211, 12, 35, 45, 50, 51syl23anc 1233 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  V )  ->  E. z  e.  P  z ( le `  K ) X )
53 simpr3 1002 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  ( Y  e.  V  /\  z  e.  P  /\  z ( le `  K ) X ) )  ->  z ( le `  K ) X )
54 simpll1 1033 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  ( Y  e.  V  /\  z  e.  P  /\  z ( le `  K ) X ) )  ->  K  e.  HL )
55 hlop 35500 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OP )
5654, 55syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  ( Y  e.  V  /\  z  e.  P  /\  z ( le `  K ) X ) )  ->  K  e.  OP )
57 simpr2 1001 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  ( Y  e.  V  /\  z  e.  P  /\  z ( le `  K ) X ) )  ->  z  e.  P )
585, 7lplnbase 35671 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  P  ->  z  e.  B )
5957, 58syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  ( Y  e.  V  /\  z  e.  P  /\  z ( le `  K ) X ) )  ->  z  e.  B )
60 simpll2 1034 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  ( Y  e.  V  /\  z  e.  P  /\  z ( le `  K ) X ) )  ->  X  e.  B )
61 simpll3 1035 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  ( Y  e.  V  /\  z  e.  P  /\  z ( le `  K ) X ) )  ->  Y  e.  B )
62 simpr1 1000 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  ( Y  e.  V  /\  z  e.  P  /\  z ( le `  K ) X ) )  ->  Y  e.  V )
635, 16, 6cvrle 35416 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  ->  X ( le
`  K ) Y )
6463adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  ( Y  e.  V  /\  z  e.  P  /\  z ( le `  K ) X ) )  ->  X ( le `  K ) Y )
65 hlpos 35503 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Poset )
6654, 65syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  ( Y  e.  V  /\  z  e.  P  /\  z ( le `  K ) X ) )  ->  K  e.  Poset
)
675, 16postr 15700 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  (
z  e.  B  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  ->  ( (
z ( le `  K ) X  /\  X ( le `  K ) Y )  ->  z ( le
`  K ) Y ) )
6866, 59, 60, 61, 67syl13anc 1228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  ( Y  e.  V  /\  z  e.  P  /\  z ( le `  K ) X ) )  ->  ( (
z ( le `  K ) X  /\  X ( le `  K ) Y )  ->  z ( le
`  K ) Y ) )
6953, 64, 68mp2and 677 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  ( Y  e.  V  /\  z  e.  P  /\  z ( le `  K ) X ) )  ->  z ( le `  K ) Y )
7016, 6, 7, 8lplncvrlvol2 35752 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  z  e.  P  /\  Y  e.  V )  /\  z ( le `  K ) Y )  ->  z C Y )
7154, 57, 62, 69, 70syl31anc 1229 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  ( Y  e.  V  /\  z  e.  P  /\  z ( le `  K ) X ) )  ->  z C Y )
72 simplr 753 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  ( Y  e.  V  /\  z  e.  P  /\  z ( le `  K ) X ) )  ->  X C Y )
735, 16, 6cvrcmp2 35422 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  OP  /\  ( z  e.  B  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  ( z C Y  /\  X C Y ) )  -> 
( z ( le
`  K ) X  <-> 
z  =  X ) )
7456, 59, 60, 61, 71, 72, 73syl132anc 1244 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  ( Y  e.  V  /\  z  e.  P  /\  z ( le `  K ) X ) )  ->  ( z
( le `  K
) X  <->  z  =  X ) )
7553, 74mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  ( Y  e.  V  /\  z  e.  P  /\  z ( le `  K ) X ) )  ->  z  =  X )
7675, 57eqeltrrd 2471 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  ( Y  e.  V  /\  z  e.  P  /\  z ( le `  K ) X ) )  ->  X  e.  P )
77763exp2 1212 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  ->  ( Y  e.  V  ->  ( z  e.  P  ->  ( z ( le `  K
) X  ->  X  e.  P ) ) ) )
7877imp 427 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  V )  ->  (
z  e.  P  -> 
( z ( le
`  K ) X  ->  X  e.  P
) ) )
7978rexlimdv 2872 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  V )  ->  ( E. z  e.  P  z ( le `  K ) X  ->  X  e.  P )
)
8052, 79mpd 15 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  V )  ->  X  e.  P )
8110, 80impbida 830 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  ->  ( X  e.  P  <->  Y  e.  V
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1399    e. wcel 1826    =/= wne 2577   E.wrex 2733   class class class wbr 4367   ` cfv 5496   Basecbs 14634   lecple 14709   Posetcpo 15686   0.cp0 15784   Latclat 15792   OPcops 35310    <o ccvr 35400   Atomscatm 35401   HLchlt 35488   LLinesclln 35628   LPlanesclpl 35629   LVolsclvol 35630
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-op 3951  df-uni 4164  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-id 4709  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-preset 15674  df-poset 15692  df-plt 15705  df-lub 15721  df-glb 15722  df-join 15723  df-meet 15724  df-p0 15786  df-lat 15793  df-clat 15855  df-oposet 35314  df-ol 35316  df-oml 35317  df-covers 35404  df-ats 35405  df-atl 35436  df-cvlat 35460  df-hlat 35489  df-llines 35635  df-lplanes 35636  df-lvols 35637
This theorem is referenced by:  2lplnmj  35759
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