Theorem lplncmp 34358

Description: If two lattice planes are comparable, they are equal. (Contributed by NM, 24-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lplncmp.l	|- .<_ = ( le ` K )
lplncmp.p	|- P = ( LPlanes ` K )

Assertion

Ref	Expression
lplncmp	|- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> ( X .<_ Y <-> X = Y ) )

Proof of Theorem lplncmp

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 997	. . . 4 |- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> X e. P )
2		simp1 996	. . . . 5 |- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> K e. HL )
3		eqid 2467	. . . . . . 7 |- ( Base ` K ) = ( Base ` K )
4		lplncmp.p	. . . . . . 7 |- P = ( LPlanes ` K )
5	3, 4	lplnbase 34330	. . . . . 6 |- ( X e. P -> X e. ( Base ` K ) )
6	5	3ad2ant2 1018	. . . . 5 |- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> X e. ( Base ` K ) )
7		eqid 2467	. . . . . 6 |- ( <o ` K ) = ( <o ` K )
8		eqid 2467	. . . . . 6 |- ( LLines ` K ) = ( LLines ` K )
9	3, 7, 8, 4	islpln4 34327	. . . . 5 |- ( ( K e. HL /\ X e. ( Base ` K ) ) -> ( X e. P <-> E. z e. ( LLines ` K ) z ( <o ` K ) X ) )
10	2, 6, 9	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> ( X e. P <-> E. z e. ( LLines ` K ) z ( <o ` K ) X ) )
11	1, 10	mpbid 210	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> E. z e. ( LLines ` K ) z ( <o ` K ) X )
12		simpr3 1004	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( z e. ( LLines ` K ) /\ z ( <o ` K ) X /\ X .<_ Y ) ) -> X .<_ Y )
13		hlpos 34162	. . . . . . . . 9 |- ( K e. HL -> K e. Poset )
14	13	3ad2ant1 1017	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> K e. Poset )
15	14	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( z e. ( LLines ` K ) /\ z ( <o ` K ) X /\ X .<_ Y ) ) -> K e. Poset )
16	6	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( z e. ( LLines ` K ) /\ z ( <o ` K ) X /\ X .<_ Y ) ) -> X e. ( Base ` K ) )
17		simpl3 1001	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( z e. ( LLines ` K ) /\ z ( <o ` K ) X /\ X .<_ Y ) ) -> Y e. P )
18	3, 4	lplnbase 34330	. . . . . . . 8 |- ( Y e. P -> Y e. ( Base ` K ) )
19	17, 18	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( z e. ( LLines ` K ) /\ z ( <o ` K ) X /\ X .<_ Y ) ) -> Y e. ( Base ` K ) )
20		simpr1 1002	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( z e. ( LLines ` K ) /\ z ( <o ` K ) X /\ X .<_ Y ) ) -> z e. ( LLines ` K ) )
21	3, 8	llnbase 34305	. . . . . . . 8 |- ( z e. ( LLines ` K ) -> z e. ( Base ` K ) )
22	20, 21	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( z e. ( LLines ` K ) /\ z ( <o ` K ) X /\ X .<_ Y ) ) -> z e. ( Base ` K ) )
23		simpr2 1003	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( z e. ( LLines ` K ) /\ z ( <o ` K ) X /\ X .<_ Y ) ) -> z ( <o ` K ) X )
24		simpl1 999	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( z e. ( LLines ` K ) /\ z ( <o ` K ) X /\ X .<_ Y ) ) -> K e. HL )
25		lplncmp.l	. . . . . . . . . . 11 |- .<_ = ( le ` K )
26	3, 25, 7	cvrle 34075	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. HL /\ z e. ( Base ` K ) /\ X e. ( Base ` K ) ) /\ z ( <o ` K ) X ) -> z .<_ X )
27	24, 22, 16, 23, 26	syl31anc 1231	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( z e. ( LLines ` K ) /\ z ( <o ` K ) X /\ X .<_ Y ) ) -> z .<_ X )
28	3, 25	postr 15436	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. Poset /\ ( z e. ( Base ` K ) /\ X e. ( Base ` K ) /\ Y e. ( Base ` K ) ) ) -> ( ( z .<_ X /\ X .<_ Y ) -> z .<_ Y ) )
29	15, 22, 16, 19, 28	syl13anc 1230	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( z e. ( LLines ` K ) /\ z ( <o ` K ) X /\ X .<_ Y ) ) -> ( ( z .<_ X /\ X .<_ Y ) -> z .<_ Y ) )
30	27, 12, 29	mp2and 679	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( z e. ( LLines ` K ) /\ z ( <o ` K ) X /\ X .<_ Y ) ) -> z .<_ Y )
31	25, 7, 8, 4	llncvrlpln2 34353	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ z e. ( LLines ` K ) /\ Y e. P ) /\ z .<_ Y ) -> z ( <o ` K ) Y )
32	24, 20, 17, 30, 31	syl31anc 1231	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( z e. ( LLines ` K ) /\ z ( <o ` K ) X /\ X .<_ Y ) ) -> z ( <o ` K ) Y )
33	3, 25, 7	cvrcmp 34080	. . . . . . 7 |- ( ( K e. Poset /\ ( X e. ( Base ` K ) /\ Y e. ( Base ` K ) /\ z e. ( Base ` K ) ) /\ ( z ( <o ` K ) X /\ z ( <o ` K ) Y ) ) -> ( X .<_ Y <-> X = Y ) )
34	15, 16, 19, 22, 23, 32, 33	syl132anc 1246	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( z e. ( LLines ` K ) /\ z ( <o ` K ) X /\ X .<_ Y ) ) -> ( X .<_ Y <-> X = Y ) )
35	12, 34	mpbid 210	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( z e. ( LLines ` K ) /\ z ( <o ` K ) X /\ X .<_ Y ) ) -> X = Y )
36	35	3exp2 1214	. . . 4 |- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> ( z e. ( LLines ` K ) -> ( z ( <o ` K ) X -> ( X .<_ Y -> X = Y ) ) ) )
37	36	rexlimdv 2953	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> ( E. z e. ( LLines ` K ) z ( <o ` K ) X -> ( X .<_ Y -> X = Y ) ) )
38	11, 37	mpd 15	. 2 |- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> ( X .<_ Y -> X = Y ) )
39	3, 25	posref 15434	. . . 4 |- ( ( K e. Poset /\ X e. ( Base ` K ) ) -> X .<_ X )
40	14, 6, 39	syl2anc 661	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> X .<_ X )
41		breq2 4451	. . 3 |- ( X = Y -> ( X .<_ X <-> X .<_ Y ) )
42	40, 41	syl5ibcom 220	. 2 |- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> ( X = Y -> X .<_ Y ) )
43	38, 42	impbid 191	1 |- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> ( X .<_ Y <-> X = Y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   e. wcel 1767   E.wrex 2815   class class class wbr 4447   ` cfv 5586   Basecbs 14486   lecple 14558   Posetcpo 15423   <o ccvr 34059   HLchlt 34147   LLinesclln 34287   LPlanesclpl 34288

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-poset 15429  df-plt 15441  df-lub 15457  df-glb 15458  df-join 15459  df-meet 15460  df-p0 15522  df-lat 15529  df-clat 15591  df-oposet 33973  df-ol 33975  df-oml 33976  df-covers 34063  df-ats 34064  df-atl 34095  df-cvlat 34119  df-hlat 34148  df-llines 34294  df-lplanes 34295

This theorem is referenced by:  lplnexllnN  34360  lplnnlt  34361  2llnjaN  34362  dalem-cly  34467  dalem44  34512