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Theorem lplncmp 32559
Description: If two lattice planes are comparable, they are equal. (Contributed by NM, 24-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lplncmp.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
lplncmp.p  |-  P  =  ( LPlanes `  K )
Assertion
Ref Expression
lplncmp  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  ->  ( X  .<_  Y  <->  X  =  Y ) )

Proof of Theorem lplncmp
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 998 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  ->  X  e.  P )
2 simp1 997 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  ->  K  e.  HL )
3 eqid 2402 . . . . . . 7  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
4 lplncmp.p . . . . . . 7  |-  P  =  ( LPlanes `  K )
53, 4lplnbase 32531 . . . . . 6  |-  ( X  e.  P  ->  X  e.  ( Base `  K
) )
653ad2ant2 1019 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  ->  X  e.  ( Base `  K ) )
7 eqid 2402 . . . . . 6  |-  (  <o  `  K )  =  ( 
<o  `  K )
8 eqid 2402 . . . . . 6  |-  ( LLines `  K )  =  (
LLines `  K )
93, 7, 8, 4islpln4 32528 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  ( Base `  K ) )  -> 
( X  e.  P  <->  E. z  e.  ( LLines `  K ) z ( 
<o  `  K ) X ) )
102, 6, 9syl2anc 659 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  ->  ( X  e.  P  <->  E. z  e.  ( LLines `  K ) z ( 
<o  `  K ) X ) )
111, 10mpbid 210 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  ->  E. z  e.  (
LLines `  K ) z (  <o  `  K ) X )
12 simpr3 1005 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  /\  ( z  e.  (
LLines `  K )  /\  z (  <o  `  K
) X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  X  .<_  Y )
13 hlpos 32363 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Poset )
14133ad2ant1 1018 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  ->  K  e.  Poset )
1514adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  /\  ( z  e.  (
LLines `  K )  /\  z (  <o  `  K
) X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  K  e.  Poset )
166adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  /\  ( z  e.  (
LLines `  K )  /\  z (  <o  `  K
) X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  X  e.  ( Base `  K ) )
17 simpl3 1002 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  /\  ( z  e.  (
LLines `  K )  /\  z (  <o  `  K
) X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  Y  e.  P )
183, 4lplnbase 32531 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  P  ->  Y  e.  ( Base `  K
) )
1917, 18syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  /\  ( z  e.  (
LLines `  K )  /\  z (  <o  `  K
) X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  Y  e.  ( Base `  K ) )
20 simpr1 1003 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  /\  ( z  e.  (
LLines `  K )  /\  z (  <o  `  K
) X  /\  X  .<_  Y ) )  -> 
z  e.  ( LLines `  K ) )
213, 8llnbase 32506 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( LLines `  K
)  ->  z  e.  ( Base `  K )
)
2220, 21syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  /\  ( z  e.  (
LLines `  K )  /\  z (  <o  `  K
) X  /\  X  .<_  Y ) )  -> 
z  e.  ( Base `  K ) )
23 simpr2 1004 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  /\  ( z  e.  (
LLines `  K )  /\  z (  <o  `  K
) X  /\  X  .<_  Y ) )  -> 
z (  <o  `  K
) X )
24 simpl1 1000 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  /\  ( z  e.  (
LLines `  K )  /\  z (  <o  `  K
) X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  K  e.  HL )
25 lplncmp.l . . . . . . . . . . 11  |-  .<_  =  ( le `  K )
263, 25, 7cvrle 32276 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  z  e.  ( Base `  K )  /\  X  e.  ( Base `  K
) )  /\  z
(  <o  `  K ) X )  ->  z  .<_  X )
2724, 22, 16, 23, 26syl31anc 1233 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  /\  ( z  e.  (
LLines `  K )  /\  z (  <o  `  K
) X  /\  X  .<_  Y ) )  -> 
z  .<_  X )
283, 25postr 15905 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  (
z  e.  ( Base `  K )  /\  X  e.  ( Base `  K
)  /\  Y  e.  ( Base `  K )
) )  ->  (
( z  .<_  X  /\  X  .<_  Y )  -> 
z  .<_  Y ) )
2915, 22, 16, 19, 28syl13anc 1232 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  /\  ( z  e.  (
LLines `  K )  /\  z (  <o  `  K
) X  /\  X  .<_  Y ) )  -> 
( ( z  .<_  X  /\  X  .<_  Y )  ->  z  .<_  Y ) )
3027, 12, 29mp2and 677 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  /\  ( z  e.  (
LLines `  K )  /\  z (  <o  `  K
) X  /\  X  .<_  Y ) )  -> 
z  .<_  Y )
3125, 7, 8, 4llncvrlpln2 32554 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  z  e.  ( LLines `  K )  /\  Y  e.  P )  /\  z  .<_  Y )  ->  z
(  <o  `  K ) Y )
3224, 20, 17, 30, 31syl31anc 1233 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  /\  ( z  e.  (
LLines `  K )  /\  z (  <o  `  K
) X  /\  X  .<_  Y ) )  -> 
z (  <o  `  K
) Y )
333, 25, 7cvrcmp 32281 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  ( Base `  K )  /\  Y  e.  ( Base `  K
)  /\  z  e.  ( Base `  K )
)  /\  ( z
(  <o  `  K ) X  /\  z (  <o  `  K ) Y ) )  ->  ( X  .<_  Y  <->  X  =  Y
) )
3415, 16, 19, 22, 23, 32, 33syl132anc 1248 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  /\  ( z  e.  (
LLines `  K )  /\  z (  <o  `  K
) X  /\  X  .<_  Y ) )  -> 
( X  .<_  Y  <->  X  =  Y ) )
3512, 34mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  /\  ( z  e.  (
LLines `  K )  /\  z (  <o  `  K
) X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  X  =  Y )
36353exp2 1215 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  ->  ( z  e.  (
LLines `  K )  -> 
( z (  <o  `  K ) X  -> 
( X  .<_  Y  ->  X  =  Y )
) ) )
3736rexlimdv 2893 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  ->  ( E. z  e.  ( LLines `  K )
z (  <o  `  K
) X  ->  ( X  .<_  Y  ->  X  =  Y ) ) )
3811, 37mpd 15 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  ->  ( X  .<_  Y  ->  X  =  Y )
)
393, 25posref 15902 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  ( Base `  K
) )  ->  X  .<_  X )
4014, 6, 39syl2anc 659 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  ->  X  .<_  X )
41 breq2 4398 . . 3  |-  ( X  =  Y  ->  ( X  .<_  X  <->  X  .<_  Y ) )
4240, 41syl5ibcom 220 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  ->  ( X  =  Y  ->  X  .<_  Y ) )
4338, 42impbid 191 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  ->  ( X  .<_  Y  <->  X  =  Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842   E.wrex 2754   class class class wbr 4394   ` cfv 5568   Basecbs 14839   lecple 14914   Posetcpo 15891    <o ccvr 32260   HLchlt 32348   LLinesclln 32488   LPlanesclpl 32489
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-id 4737  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-preset 15879  df-poset 15897  df-plt 15910  df-lub 15926  df-glb 15927  df-join 15928  df-meet 15929  df-p0 15991  df-lat 15998  df-clat 16060  df-oposet 32174  df-ol 32176  df-oml 32177  df-covers 32264  df-ats 32265  df-atl 32296  df-cvlat 32320  df-hlat 32349  df-llines 32495  df-lplanes 32496
This theorem is referenced by:  lplnexllnN  32561  lplnnlt  32562  2llnjaN  32563  dalem-cly  32668  dalem44  32713
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