Theorem lplncmp 32559

Description: If two lattice planes are comparable, they are equal. (Contributed by NM, 24-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lplncmp.l	|- .<_ = ( le ` K )
lplncmp.p	|- P = ( LPlanes ` K )

Assertion

Ref	Expression
lplncmp	|- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> ( X .<_ Y <-> X = Y ) )

Proof of Theorem lplncmp

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 998	. . . 4 |- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> X e. P )
2		simp1 997	. . . . 5 |- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> K e. HL )
3		eqid 2402	. . . . . . 7 |- ( Base ` K ) = ( Base ` K )
4		lplncmp.p	. . . . . . 7 |- P = ( LPlanes ` K )
5	3, 4	lplnbase 32531	. . . . . 6 |- ( X e. P -> X e. ( Base ` K ) )
6	5	3ad2ant2 1019	. . . . 5 |- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> X e. ( Base ` K ) )
7		eqid 2402	. . . . . 6 |- ( <o ` K ) = ( <o ` K )
8		eqid 2402	. . . . . 6 |- ( LLines ` K ) = ( LLines ` K )
9	3, 7, 8, 4	islpln4 32528	. . . . 5 |- ( ( K e. HL /\ X e. ( Base ` K ) ) -> ( X e. P <-> E. z e. ( LLines ` K ) z ( <o ` K ) X ) )
10	2, 6, 9	syl2anc 659	. . . 4 |- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> ( X e. P <-> E. z e. ( LLines ` K ) z ( <o ` K ) X ) )
11	1, 10	mpbid 210	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> E. z e. ( LLines ` K ) z ( <o ` K ) X )
12		simpr3 1005	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( z e. ( LLines ` K ) /\ z ( <o ` K ) X /\ X .<_ Y ) ) -> X .<_ Y )
13		hlpos 32363	. . . . . . . . 9 |- ( K e. HL -> K e. Poset )
14	13	3ad2ant1 1018	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> K e. Poset )
15	14	adantr 463	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( z e. ( LLines ` K ) /\ z ( <o ` K ) X /\ X .<_ Y ) ) -> K e. Poset )
16	6	adantr 463	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( z e. ( LLines ` K ) /\ z ( <o ` K ) X /\ X .<_ Y ) ) -> X e. ( Base ` K ) )
17		simpl3 1002	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( z e. ( LLines ` K ) /\ z ( <o ` K ) X /\ X .<_ Y ) ) -> Y e. P )
18	3, 4	lplnbase 32531	. . . . . . . 8 |- ( Y e. P -> Y e. ( Base ` K ) )
19	17, 18	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( z e. ( LLines ` K ) /\ z ( <o ` K ) X /\ X .<_ Y ) ) -> Y e. ( Base ` K ) )
20		simpr1 1003	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( z e. ( LLines ` K ) /\ z ( <o ` K ) X /\ X .<_ Y ) ) -> z e. ( LLines ` K ) )
21	3, 8	llnbase 32506	. . . . . . . 8 |- ( z e. ( LLines ` K ) -> z e. ( Base ` K ) )
22	20, 21	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( z e. ( LLines ` K ) /\ z ( <o ` K ) X /\ X .<_ Y ) ) -> z e. ( Base ` K ) )
23		simpr2 1004	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( z e. ( LLines ` K ) /\ z ( <o ` K ) X /\ X .<_ Y ) ) -> z ( <o ` K ) X )
24		simpl1 1000	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( z e. ( LLines ` K ) /\ z ( <o ` K ) X /\ X .<_ Y ) ) -> K e. HL )
25		lplncmp.l	. . . . . . . . . . 11 |- .<_ = ( le ` K )
26	3, 25, 7	cvrle 32276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. HL /\ z e. ( Base ` K ) /\ X e. ( Base ` K ) ) /\ z ( <o ` K ) X ) -> z .<_ X )
27	24, 22, 16, 23, 26	syl31anc 1233	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( z e. ( LLines ` K ) /\ z ( <o ` K ) X /\ X .<_ Y ) ) -> z .<_ X )
28	3, 25	postr 15905	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. Poset /\ ( z e. ( Base ` K ) /\ X e. ( Base ` K ) /\ Y e. ( Base ` K ) ) ) -> ( ( z .<_ X /\ X .<_ Y ) -> z .<_ Y ) )
29	15, 22, 16, 19, 28	syl13anc 1232	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( z e. ( LLines ` K ) /\ z ( <o ` K ) X /\ X .<_ Y ) ) -> ( ( z .<_ X /\ X .<_ Y ) -> z .<_ Y ) )
30	27, 12, 29	mp2and 677	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( z e. ( LLines ` K ) /\ z ( <o ` K ) X /\ X .<_ Y ) ) -> z .<_ Y )
31	25, 7, 8, 4	llncvrlpln2 32554	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ z e. ( LLines ` K ) /\ Y e. P ) /\ z .<_ Y ) -> z ( <o ` K ) Y )
32	24, 20, 17, 30, 31	syl31anc 1233	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( z e. ( LLines ` K ) /\ z ( <o ` K ) X /\ X .<_ Y ) ) -> z ( <o ` K ) Y )
33	3, 25, 7	cvrcmp 32281	. . . . . . 7 |- ( ( K e. Poset /\ ( X e. ( Base ` K ) /\ Y e. ( Base ` K ) /\ z e. ( Base ` K ) ) /\ ( z ( <o ` K ) X /\ z ( <o ` K ) Y ) ) -> ( X .<_ Y <-> X = Y ) )
34	15, 16, 19, 22, 23, 32, 33	syl132anc 1248	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( z e. ( LLines ` K ) /\ z ( <o ` K ) X /\ X .<_ Y ) ) -> ( X .<_ Y <-> X = Y ) )
35	12, 34	mpbid 210	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( z e. ( LLines ` K ) /\ z ( <o ` K ) X /\ X .<_ Y ) ) -> X = Y )
36	35	3exp2 1215	. . . 4 |- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> ( z e. ( LLines ` K ) -> ( z ( <o ` K ) X -> ( X .<_ Y -> X = Y ) ) ) )
37	36	rexlimdv 2893	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> ( E. z e. ( LLines ` K ) z ( <o ` K ) X -> ( X .<_ Y -> X = Y ) ) )
38	11, 37	mpd 15	. 2 |- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> ( X .<_ Y -> X = Y ) )
39	3, 25	posref 15902	. . . 4 |- ( ( K e. Poset /\ X e. ( Base ` K ) ) -> X .<_ X )
40	14, 6, 39	syl2anc 659	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> X .<_ X )
41		breq2 4398	. . 3 |- ( X = Y -> ( X .<_ X <-> X .<_ Y ) )
42	40, 41	syl5ibcom 220	. 2 |- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> ( X = Y -> X .<_ Y ) )
43	38, 42	impbid 191	1 |- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> ( X .<_ Y <-> X = Y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   /\ w3a 974   = wceq 1405   e. wcel 1842   E.wrex 2754   class class class wbr 4394   ` cfv 5568   Basecbs 14839   lecple 14914   Posetcpo 15891   <o ccvr 32260   HLchlt 32348   LLinesclln 32488   LPlanesclpl 32489

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-id 4737  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-preset 15879  df-poset 15897  df-plt 15910  df-lub 15926  df-glb 15927  df-join 15928  df-meet 15929  df-p0 15991  df-lat 15998  df-clat 16060  df-oposet 32174  df-ol 32176  df-oml 32177  df-covers 32264  df-ats 32265  df-atl 32296  df-cvlat 32320  df-hlat 32349  df-llines 32495  df-lplanes 32496

This theorem is referenced by:  lplnexllnN  32561  lplnnlt  32562  2llnjaN  32563  dalem-cly  32668  dalem44  32713