Theorem lplncmp 33198

Description: If two lattice planes are comparable, they are equal. (Contributed by NM, 24-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lplncmp.l	|- .<_ = ( le ` K )
lplncmp.p	|- P = ( LPlanes ` K )

Assertion

Ref	Expression
lplncmp	|- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> ( X .<_ Y <-> X = Y ) )

Proof of Theorem lplncmp

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1031	. . . 4 |- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> X e. P )
2		simp1 1030	. . . . 5 |- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> K e. HL )
3		eqid 2471	. . . . . . 7 |- ( Base ` K ) = ( Base ` K )
4		lplncmp.p	. . . . . . 7 |- P = ( LPlanes ` K )
5	3, 4	lplnbase 33170	. . . . . 6 |- ( X e. P -> X e. ( Base ` K ) )
6	5	3ad2ant2 1052	. . . . 5 |- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> X e. ( Base ` K ) )
7		eqid 2471	. . . . . 6 |- ( <o ` K ) = ( <o ` K )
8		eqid 2471	. . . . . 6 |- ( LLines ` K ) = ( LLines ` K )
9	3, 7, 8, 4	islpln4 33167	. . . . 5 |- ( ( K e. HL /\ X e. ( Base ` K ) ) -> ( X e. P <-> E. z e. ( LLines ` K ) z ( <o ` K ) X ) )
10	2, 6, 9	syl2anc 673	. . . 4 |- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> ( X e. P <-> E. z e. ( LLines ` K ) z ( <o ` K ) X ) )
11	1, 10	mpbid 215	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> E. z e. ( LLines ` K ) z ( <o ` K ) X )
12		simpr3 1038	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( z e. ( LLines ` K ) /\ z ( <o ` K ) X /\ X .<_ Y ) ) -> X .<_ Y )
13		hlpos 33002	. . . . . . . . 9 |- ( K e. HL -> K e. Poset )
14	13	3ad2ant1 1051	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> K e. Poset )
15	14	adantr 472	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( z e. ( LLines ` K ) /\ z ( <o ` K ) X /\ X .<_ Y ) ) -> K e. Poset )
16	6	adantr 472	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( z e. ( LLines ` K ) /\ z ( <o ` K ) X /\ X .<_ Y ) ) -> X e. ( Base ` K ) )
17		simpl3 1035	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( z e. ( LLines ` K ) /\ z ( <o ` K ) X /\ X .<_ Y ) ) -> Y e. P )
18	3, 4	lplnbase 33170	. . . . . . . 8 |- ( Y e. P -> Y e. ( Base ` K ) )
19	17, 18	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( z e. ( LLines ` K ) /\ z ( <o ` K ) X /\ X .<_ Y ) ) -> Y e. ( Base ` K ) )
20		simpr1 1036	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( z e. ( LLines ` K ) /\ z ( <o ` K ) X /\ X .<_ Y ) ) -> z e. ( LLines ` K ) )
21	3, 8	llnbase 33145	. . . . . . . 8 |- ( z e. ( LLines ` K ) -> z e. ( Base ` K ) )
22	20, 21	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( z e. ( LLines ` K ) /\ z ( <o ` K ) X /\ X .<_ Y ) ) -> z e. ( Base ` K ) )
23		simpr2 1037	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( z e. ( LLines ` K ) /\ z ( <o ` K ) X /\ X .<_ Y ) ) -> z ( <o ` K ) X )
24		simpl1 1033	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( z e. ( LLines ` K ) /\ z ( <o ` K ) X /\ X .<_ Y ) ) -> K e. HL )
25		lplncmp.l	. . . . . . . . . . 11 |- .<_ = ( le ` K )
26	3, 25, 7	cvrle 32915	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. HL /\ z e. ( Base ` K ) /\ X e. ( Base ` K ) ) /\ z ( <o ` K ) X ) -> z .<_ X )
27	24, 22, 16, 23, 26	syl31anc 1295	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( z e. ( LLines ` K ) /\ z ( <o ` K ) X /\ X .<_ Y ) ) -> z .<_ X )
28	3, 25	postr 16277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. Poset /\ ( z e. ( Base ` K ) /\ X e. ( Base ` K ) /\ Y e. ( Base ` K ) ) ) -> ( ( z .<_ X /\ X .<_ Y ) -> z .<_ Y ) )
29	15, 22, 16, 19, 28	syl13anc 1294	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( z e. ( LLines ` K ) /\ z ( <o ` K ) X /\ X .<_ Y ) ) -> ( ( z .<_ X /\ X .<_ Y ) -> z .<_ Y ) )
30	27, 12, 29	mp2and 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( z e. ( LLines ` K ) /\ z ( <o ` K ) X /\ X .<_ Y ) ) -> z .<_ Y )
31	25, 7, 8, 4	llncvrlpln2 33193	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ z e. ( LLines ` K ) /\ Y e. P ) /\ z .<_ Y ) -> z ( <o ` K ) Y )
32	24, 20, 17, 30, 31	syl31anc 1295	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( z e. ( LLines ` K ) /\ z ( <o ` K ) X /\ X .<_ Y ) ) -> z ( <o ` K ) Y )
33	3, 25, 7	cvrcmp 32920	. . . . . . 7 |- ( ( K e. Poset /\ ( X e. ( Base ` K ) /\ Y e. ( Base ` K ) /\ z e. ( Base ` K ) ) /\ ( z ( <o ` K ) X /\ z ( <o ` K ) Y ) ) -> ( X .<_ Y <-> X = Y ) )
34	15, 16, 19, 22, 23, 32, 33	syl132anc 1310	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( z e. ( LLines ` K ) /\ z ( <o ` K ) X /\ X .<_ Y ) ) -> ( X .<_ Y <-> X = Y ) )
35	12, 34	mpbid 215	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( z e. ( LLines ` K ) /\ z ( <o ` K ) X /\ X .<_ Y ) ) -> X = Y )
36	35	3exp2 1251	. . . 4 |- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> ( z e. ( LLines ` K ) -> ( z ( <o ` K ) X -> ( X .<_ Y -> X = Y ) ) ) )
37	36	rexlimdv 2870	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> ( E. z e. ( LLines ` K ) z ( <o ` K ) X -> ( X .<_ Y -> X = Y ) ) )
38	11, 37	mpd 15	. 2 |- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> ( X .<_ Y -> X = Y ) )
39	3, 25	posref 16274	. . . 4 |- ( ( K e. Poset /\ X e. ( Base ` K ) ) -> X .<_ X )
40	14, 6, 39	syl2anc 673	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> X .<_ X )
41		breq2 4399	. . 3 |- ( X = Y -> ( X .<_ X <-> X .<_ Y ) )
42	40, 41	syl5ibcom 228	. 2 |- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> ( X = Y -> X .<_ Y ) )
43	38, 42	impbid 195	1 |- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> ( X .<_ Y <-> X = Y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   e. wcel 1904   E.wrex 2757   class class class wbr 4395   ` cfv 5589   Basecbs 15199   lecple 15275   Posetcpo 16263   <o ccvr 32899   HLchlt 32987   LLinesclln 33127   LPlanesclpl 33128

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-preset 16251  df-poset 16269  df-plt 16282  df-lub 16298  df-glb 16299  df-join 16300  df-meet 16301  df-p0 16363  df-lat 16370  df-clat 16432  df-oposet 32813  df-ol 32815  df-oml 32816  df-covers 32903  df-ats 32904  df-atl 32935  df-cvlat 32959  df-hlat 32988  df-llines 33134  df-lplanes 33135

This theorem is referenced by:  lplnexllnN  33200  lplnnlt  33201  2llnjaN  33202  dalem-cly  33307  dalem44  33352