Theorem lplncmp 33121

Description: If two lattice planes are comparable, they are equal. (Contributed by NM, 24-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lplncmp.l	|- .<_ = ( le ` K )
lplncmp.p	|- P = ( LPlanes ` K )

Assertion

Ref	Expression
lplncmp	|- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> ( X .<_ Y <-> X = Y ) )

Proof of Theorem lplncmp

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1008	. . . 4 |- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> X e. P )
2		simp1 1007	. . . . 5 |- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> K e. HL )
3		eqid 2450	. . . . . . 7 |- ( Base ` K ) = ( Base ` K )
4		lplncmp.p	. . . . . . 7 |- P = ( LPlanes ` K )
5	3, 4	lplnbase 33093	. . . . . 6 |- ( X e. P -> X e. ( Base ` K ) )
6	5	3ad2ant2 1029	. . . . 5 |- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> X e. ( Base ` K ) )
7		eqid 2450	. . . . . 6 |- ( <o ` K ) = ( <o ` K )
8		eqid 2450	. . . . . 6 |- ( LLines ` K ) = ( LLines ` K )
9	3, 7, 8, 4	islpln4 33090	. . . . 5 |- ( ( K e. HL /\ X e. ( Base ` K ) ) -> ( X e. P <-> E. z e. ( LLines ` K ) z ( <o ` K ) X ) )
10	2, 6, 9	syl2anc 666	. . . 4 |- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> ( X e. P <-> E. z e. ( LLines ` K ) z ( <o ` K ) X ) )
11	1, 10	mpbid 214	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> E. z e. ( LLines ` K ) z ( <o ` K ) X )
12		simpr3 1015	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( z e. ( LLines ` K ) /\ z ( <o ` K ) X /\ X .<_ Y ) ) -> X .<_ Y )
13		hlpos 32925	. . . . . . . . 9 |- ( K e. HL -> K e. Poset )
14	13	3ad2ant1 1028	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> K e. Poset )
15	14	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( z e. ( LLines ` K ) /\ z ( <o ` K ) X /\ X .<_ Y ) ) -> K e. Poset )
16	6	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( z e. ( LLines ` K ) /\ z ( <o ` K ) X /\ X .<_ Y ) ) -> X e. ( Base ` K ) )
17		simpl3 1012	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( z e. ( LLines ` K ) /\ z ( <o ` K ) X /\ X .<_ Y ) ) -> Y e. P )
18	3, 4	lplnbase 33093	. . . . . . . 8 |- ( Y e. P -> Y e. ( Base ` K ) )
19	17, 18	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( z e. ( LLines ` K ) /\ z ( <o ` K ) X /\ X .<_ Y ) ) -> Y e. ( Base ` K ) )
20		simpr1 1013	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( z e. ( LLines ` K ) /\ z ( <o ` K ) X /\ X .<_ Y ) ) -> z e. ( LLines ` K ) )
21	3, 8	llnbase 33068	. . . . . . . 8 |- ( z e. ( LLines ` K ) -> z e. ( Base ` K ) )
22	20, 21	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( z e. ( LLines ` K ) /\ z ( <o ` K ) X /\ X .<_ Y ) ) -> z e. ( Base ` K ) )
23		simpr2 1014	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( z e. ( LLines ` K ) /\ z ( <o ` K ) X /\ X .<_ Y ) ) -> z ( <o ` K ) X )
24		simpl1 1010	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( z e. ( LLines ` K ) /\ z ( <o ` K ) X /\ X .<_ Y ) ) -> K e. HL )
25		lplncmp.l	. . . . . . . . . . 11 |- .<_ = ( le ` K )
26	3, 25, 7	cvrle 32838	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. HL /\ z e. ( Base ` K ) /\ X e. ( Base ` K ) ) /\ z ( <o ` K ) X ) -> z .<_ X )
27	24, 22, 16, 23, 26	syl31anc 1270	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( z e. ( LLines ` K ) /\ z ( <o ` K ) X /\ X .<_ Y ) ) -> z .<_ X )
28	3, 25	postr 16192	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. Poset /\ ( z e. ( Base ` K ) /\ X e. ( Base ` K ) /\ Y e. ( Base ` K ) ) ) -> ( ( z .<_ X /\ X .<_ Y ) -> z .<_ Y ) )
29	15, 22, 16, 19, 28	syl13anc 1269	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( z e. ( LLines ` K ) /\ z ( <o ` K ) X /\ X .<_ Y ) ) -> ( ( z .<_ X /\ X .<_ Y ) -> z .<_ Y ) )
30	27, 12, 29	mp2and 684	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( z e. ( LLines ` K ) /\ z ( <o ` K ) X /\ X .<_ Y ) ) -> z .<_ Y )
31	25, 7, 8, 4	llncvrlpln2 33116	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ z e. ( LLines ` K ) /\ Y e. P ) /\ z .<_ Y ) -> z ( <o ` K ) Y )
32	24, 20, 17, 30, 31	syl31anc 1270	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( z e. ( LLines ` K ) /\ z ( <o ` K ) X /\ X .<_ Y ) ) -> z ( <o ` K ) Y )
33	3, 25, 7	cvrcmp 32843	. . . . . . 7 |- ( ( K e. Poset /\ ( X e. ( Base ` K ) /\ Y e. ( Base ` K ) /\ z e. ( Base ` K ) ) /\ ( z ( <o ` K ) X /\ z ( <o ` K ) Y ) ) -> ( X .<_ Y <-> X = Y ) )
34	15, 16, 19, 22, 23, 32, 33	syl132anc 1285	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( z e. ( LLines ` K ) /\ z ( <o ` K ) X /\ X .<_ Y ) ) -> ( X .<_ Y <-> X = Y ) )
35	12, 34	mpbid 214	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( z e. ( LLines ` K ) /\ z ( <o ` K ) X /\ X .<_ Y ) ) -> X = Y )
36	35	3exp2 1226	. . . 4 |- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> ( z e. ( LLines ` K ) -> ( z ( <o ` K ) X -> ( X .<_ Y -> X = Y ) ) ) )
37	36	rexlimdv 2876	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> ( E. z e. ( LLines ` K ) z ( <o ` K ) X -> ( X .<_ Y -> X = Y ) ) )
38	11, 37	mpd 15	. 2 |- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> ( X .<_ Y -> X = Y ) )
39	3, 25	posref 16189	. . . 4 |- ( ( K e. Poset /\ X e. ( Base ` K ) ) -> X .<_ X )
40	14, 6, 39	syl2anc 666	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> X .<_ X )
41		breq2 4405	. . 3 |- ( X = Y -> ( X .<_ X <-> X .<_ Y ) )
42	40, 41	syl5ibcom 224	. 2 |- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> ( X = Y -> X .<_ Y ) )
43	38, 42	impbid 194	1 |- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> ( X .<_ Y <-> X = Y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   /\ w3a 984   = wceq 1443   e. wcel 1886   E.wrex 2737   class class class wbr 4401   ` cfv 5581   Basecbs 15114   lecple 15190   Posetcpo 16178   <o ccvr 32822   HLchlt 32910   LLinesclln 33050   LPlanesclpl 33051

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-op 3974  df-uni 4198  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-id 4748  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-preset 16166  df-poset 16184  df-plt 16197  df-lub 16213  df-glb 16214  df-join 16215  df-meet 16216  df-p0 16278  df-lat 16285  df-clat 16347  df-oposet 32736  df-ol 32738  df-oml 32739  df-covers 32826  df-ats 32827  df-atl 32858  df-cvlat 32882  df-hlat 32911  df-llines 33057  df-lplanes 33058

This theorem is referenced by:  lplnexllnN  33123  lplnnlt  33124  2llnjaN  33125  dalem-cly  33230  dalem44  33275