Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lplnbase Structured version   Unicode version

Theorem lplnbase 34998
Description: A lattice plane is a lattice element. (Contributed by NM, 17-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lplnbase.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
lplnbase.p  |-  P  =  ( LPlanes `  K )
Assertion
Ref Expression
lplnbase  |-  ( X  e.  P  ->  X  e.  B )

Proof of Theorem lplnbase
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0i 3775 . . . 4  |-  ( X  e.  P  ->  -.  P  =  (/) )
2 lplnbase.p . . . . 5  |-  P  =  ( LPlanes `  K )
32eqeq1i 2450 . . . 4  |-  ( P  =  (/)  <->  ( LPlanes `  K
)  =  (/) )
41, 3sylnib 304 . . 3  |-  ( X  e.  P  ->  -.  ( LPlanes `  K )  =  (/) )
5 fvprc 5850 . . 3  |-  ( -.  K  e.  _V  ->  (
LPlanes `  K )  =  (/) )
64, 5nsyl2 127 . 2  |-  ( X  e.  P  ->  K  e.  _V )
7 lplnbase.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  K
)
8 eqid 2443 . . . 4  |-  (  <o  `  K )  =  ( 
<o  `  K )
9 eqid 2443 . . . 4  |-  ( LLines `  K )  =  (
LLines `  K )
107, 8, 9, 2islpln 34994 . . 3  |-  ( K  e.  _V  ->  ( X  e.  P  <->  ( X  e.  B  /\  E. x  e.  ( LLines `  K )
x (  <o  `  K
) X ) ) )
1110simprbda 623 . 2  |-  ( ( K  e.  _V  /\  X  e.  P )  ->  X  e.  B )
126, 11mpancom 669 1  |-  ( X  e.  P  ->  X  e.  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1383    e. wcel 1804   E.wrex 2794   _Vcvv 3095   (/)c0 3770   class class class wbr 4437   ` cfv 5578   Basecbs 14509    <o ccvr 34727   LLinesclln 34955   LPlanesclpl 34956
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fv 5586  df-lplanes 34963
This theorem is referenced by:  islpln2  35000  llnmlplnN  35003  lplnnle2at  35005  lplnneat  35009  lplnnelln  35010  llncvrlpln2  35021  2lplnmN  35023  lplncmp  35026  lplnexatN  35027  lplnexllnN  35028  2llnjaN  35030  islvol3  35040  lvoli3  35041  lvolnle3at  35046  lplncvrlvol2  35079  lplncvrlvol  35080  lvolcmp  35081  2lplnm2N  35085  2lplnmj  35086  dalemyeb  35113  dalem10  35137  dalem16  35143  dalem44  35180  dalem55  35191
  Copyright terms: Public domain W3C validator