Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lplnbase Structured version   Unicode version

Theorem lplnbase 34207
Description: A lattice plane is a lattice element. (Contributed by NM, 17-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lplnbase.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
lplnbase.p  |-  P  =  ( LPlanes `  K )
Assertion
Ref Expression
lplnbase  |-  ( X  e.  P  ->  X  e.  B )

Proof of Theorem lplnbase
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0i 3785 . . . 4  |-  ( X  e.  P  ->  -.  P  =  (/) )
2 lplnbase.p . . . . 5  |-  P  =  ( LPlanes `  K )
32eqeq1i 2469 . . . 4  |-  ( P  =  (/)  <->  ( LPlanes `  K
)  =  (/) )
41, 3sylnib 304 . . 3  |-  ( X  e.  P  ->  -.  ( LPlanes `  K )  =  (/) )
5 fvprc 5853 . . 3  |-  ( -.  K  e.  _V  ->  (
LPlanes `  K )  =  (/) )
64, 5nsyl2 127 . 2  |-  ( X  e.  P  ->  K  e.  _V )
7 lplnbase.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  K
)
8 eqid 2462 . . . 4  |-  (  <o  `  K )  =  ( 
<o  `  K )
9 eqid 2462 . . . 4  |-  ( LLines `  K )  =  (
LLines `  K )
107, 8, 9, 2islpln 34203 . . 3  |-  ( K  e.  _V  ->  ( X  e.  P  <->  ( X  e.  B  /\  E. x  e.  ( LLines `  K )
x (  <o  `  K
) X ) ) )
1110simprbda 623 . 2  |-  ( ( K  e.  _V  /\  X  e.  P )  ->  X  e.  B )
126, 11mpancom 669 1  |-  ( X  e.  P  ->  X  e.  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1374    e. wcel 1762   E.wrex 2810   _Vcvv 3108   (/)c0 3780   class class class wbr 4442   ` cfv 5581   Basecbs 14481    <o ccvr 33936   LLinesclln 34164   LPlanesclpl 34165
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-ral 2814  df-rex 2815  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3781  df-if 3935  df-sn 4023  df-pr 4025  df-op 4029  df-uni 4241  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-id 4790  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fv 5589  df-lplanes 34172
This theorem is referenced by:  islpln2  34209  llnmlplnN  34212  lplnnle2at  34214  lplnneat  34218  lplnnelln  34219  llncvrlpln2  34230  2lplnmN  34232  lplncmp  34235  lplnexatN  34236  lplnexllnN  34237  2llnjaN  34239  islvol3  34249  lvoli3  34250  lvolnle3at  34255  lplncvrlvol2  34288  lplncvrlvol  34289  lvolcmp  34290  2lplnm2N  34294  2lplnmj  34295  dalemyeb  34322  dalem10  34346  dalem16  34352  dalem44  34389  dalem55  34400
  Copyright terms: Public domain W3C validator