Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lplnbase Structured version   Unicode version

Theorem lplnbase 35655
Description: A lattice plane is a lattice element. (Contributed by NM, 17-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lplnbase.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
lplnbase.p  |-  P  =  ( LPlanes `  K )
Assertion
Ref Expression
lplnbase  |-  ( X  e.  P  ->  X  e.  B )

Proof of Theorem lplnbase
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0i 3788 . . . 4  |-  ( X  e.  P  ->  -.  P  =  (/) )
2 lplnbase.p . . . . 5  |-  P  =  ( LPlanes `  K )
32eqeq1i 2461 . . . 4  |-  ( P  =  (/)  <->  ( LPlanes `  K
)  =  (/) )
41, 3sylnib 302 . . 3  |-  ( X  e.  P  ->  -.  ( LPlanes `  K )  =  (/) )
5 fvprc 5842 . . 3  |-  ( -.  K  e.  _V  ->  (
LPlanes `  K )  =  (/) )
64, 5nsyl2 127 . 2  |-  ( X  e.  P  ->  K  e.  _V )
7 lplnbase.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  K
)
8 eqid 2454 . . . 4  |-  (  <o  `  K )  =  ( 
<o  `  K )
9 eqid 2454 . . . 4  |-  ( LLines `  K )  =  (
LLines `  K )
107, 8, 9, 2islpln 35651 . . 3  |-  ( K  e.  _V  ->  ( X  e.  P  <->  ( X  e.  B  /\  E. x  e.  ( LLines `  K )
x (  <o  `  K
) X ) ) )
1110simprbda 621 . 2  |-  ( ( K  e.  _V  /\  X  e.  P )  ->  X  e.  B )
126, 11mpancom 667 1  |-  ( X  e.  P  ->  X  e.  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1398    e. wcel 1823   E.wrex 2805   _Vcvv 3106   (/)c0 3783   class class class wbr 4439   ` cfv 5570   Basecbs 14716    <o ccvr 35384   LLinesclln 35612   LPlanesclpl 35613
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fv 5578  df-lplanes 35620
This theorem is referenced by:  islpln2  35657  llnmlplnN  35660  lplnnle2at  35662  lplnneat  35666  lplnnelln  35667  llncvrlpln2  35678  2lplnmN  35680  lplncmp  35683  lplnexatN  35684  lplnexllnN  35685  2llnjaN  35687  islvol3  35697  lvoli3  35698  lvolnle3at  35703  lplncvrlvol2  35736  lplncvrlvol  35737  lvolcmp  35738  2lplnm2N  35742  2lplnmj  35743  dalemyeb  35770  dalem10  35794  dalem16  35800  dalem44  35837  dalem55  35848
  Copyright terms: Public domain W3C validator