Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lplnbase Structured version   Unicode version

Theorem lplnbase 33176
Description: A lattice plane is a lattice element. (Contributed by NM, 17-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lplnbase.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
lplnbase.p  |-  P  =  ( LPlanes `  K )
Assertion
Ref Expression
lplnbase  |-  ( X  e.  P  ->  X  e.  B )

Proof of Theorem lplnbase
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0i 3641 . . . 4  |-  ( X  e.  P  ->  -.  P  =  (/) )
2 lplnbase.p . . . . 5  |-  P  =  ( LPlanes `  K )
32eqeq1i 2449 . . . 4  |-  ( P  =  (/)  <->  ( LPlanes `  K
)  =  (/) )
41, 3sylnib 304 . . 3  |-  ( X  e.  P  ->  -.  ( LPlanes `  K )  =  (/) )
5 fvprc 5684 . . 3  |-  ( -.  K  e.  _V  ->  (
LPlanes `  K )  =  (/) )
64, 5nsyl2 127 . 2  |-  ( X  e.  P  ->  K  e.  _V )
7 lplnbase.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  K
)
8 eqid 2442 . . . 4  |-  (  <o  `  K )  =  ( 
<o  `  K )
9 eqid 2442 . . . 4  |-  ( LLines `  K )  =  (
LLines `  K )
107, 8, 9, 2islpln 33172 . . 3  |-  ( K  e.  _V  ->  ( X  e.  P  <->  ( X  e.  B  /\  E. x  e.  ( LLines `  K )
x (  <o  `  K
) X ) ) )
1110simprbda 623 . 2  |-  ( ( K  e.  _V  /\  X  e.  P )  ->  X  e.  B )
126, 11mpancom 669 1  |-  ( X  e.  P  ->  X  e.  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756   E.wrex 2715   _Vcvv 2971   (/)c0 3636   class class class wbr 4291   ` cfv 5417   Basecbs 14173    <o ccvr 32905   LLinesclln 33133   LPlanesclpl 33134
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-ral 2719  df-rex 2720  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-nul 3637  df-if 3791  df-sn 3877  df-pr 3879  df-op 3883  df-uni 4091  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-id 4635  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fv 5425  df-lplanes 33141
This theorem is referenced by:  islpln2  33178  llnmlplnN  33181  lplnnle2at  33183  lplnneat  33187  lplnnelln  33188  llncvrlpln2  33199  2lplnmN  33201  lplncmp  33204  lplnexatN  33205  lplnexllnN  33206  2llnjaN  33208  islvol3  33218  lvoli3  33219  lvolnle3at  33224  lplncvrlvol2  33257  lplncvrlvol  33258  lvolcmp  33259  2lplnm2N  33263  2lplnmj  33264  dalemyeb  33291  dalem10  33315  dalem16  33321  dalem44  33358  dalem55  33369
  Copyright terms: Public domain W3C validator