Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lpirlnr Structured version   Unicode version

Theorem lpirlnr 30994
 Description: Left principal ideal rings are left Noetherian. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
lpirlnr LPIR LNoeR

Proof of Theorem lpirlnr
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lpirring 17770 . 2 LPIR
2 eqid 2467 . . . . . . . 8 LPIdeal LPIdeal
3 eqid 2467 . . . . . . . 8 RSpan RSpan
4 eqid 2467 . . . . . . . 8
52, 3, 4islpidl 17764 . . . . . . 7 LPIdeal RSpan
61, 5syl 16 . . . . . 6 LPIR LPIdeal RSpan
76biimpa 484 . . . . 5 LPIR LPIdeal RSpan
8 snelpwi 4698 . . . . . . . . . 10
98adantl 466 . . . . . . . . 9 LPIR LPIdeal
10 snfi 7608 . . . . . . . . . 10
1110a1i 11 . . . . . . . . 9 LPIR LPIdeal
129, 11elind 3693 . . . . . . . 8 LPIR LPIdeal
13 eqid 2467 . . . . . . . 8 RSpan RSpan
14 fveq2 5872 . . . . . . . . . 10 RSpan RSpan
1514eqeq2d 2481 . . . . . . . . 9 RSpan RSpan RSpan RSpan
1615rspcev 3219 . . . . . . . 8 RSpan RSpan RSpan RSpan
1712, 13, 16sylancl 662 . . . . . . 7 LPIR LPIdeal RSpan RSpan
18 eqeq1 2471 . . . . . . . 8 RSpan RSpan RSpan RSpan
1918rexbidv 2978 . . . . . . 7 RSpan RSpan RSpan RSpan
2017, 19syl5ibrcom 222 . . . . . 6 LPIR LPIdeal RSpan RSpan
2120rexlimdva 2959 . . . . 5 LPIR LPIdeal RSpan RSpan
227, 21mpd 15 . . . 4 LPIR LPIdeal RSpan
2322ralrimiva 2881 . . 3 LPIR LPIdeal RSpan
24 eqid 2467 . . . . . 6 LIdeal LIdeal
252, 24islpir 17767 . . . . 5 LPIR LIdeal LPIdeal
2625simprbi 464 . . . 4 LPIR LIdeal LPIdeal
2726raleqdv 3069 . . 3 LPIR LIdeal RSpan LPIdeal RSpan
2823, 27mpbird 232 . 2 LPIR LIdeal RSpan
294, 24, 3islnr2 30991 . 2 LNoeR LIdeal RSpan
301, 28, 29sylanbrc 664 1 LPIR LNoeR
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1379   wcel 1767  wral 2817  wrex 2818   cin 3480  cpw 4016  csn 4033  cfv 5594  cfn 7528  cbs 14507  crg 17070  LIdealclidl 17687  RSpancrsp 17688  LPIdealclpidl 17759  LPIRclpir 17760  LNoeRclnr 30986 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-sca 14588  df-vsca 14589  df-ip 14590  df-0g 14714  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-grp 15929  df-minusg 15930  df-sbg 15931  df-subg 16070  df-mgp 17014  df-ur 17026  df-ring 17072  df-subrg 17298  df-lmod 17385  df-lss 17450  df-lsp 17489  df-sra 17689  df-rgmod 17690  df-lidl 17691  df-rsp 17692  df-lpidl 17761  df-lpir 17762  df-lfig 30942  df-lnm 30950  df-lnr 30987 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator