MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lpigen Structured version   Unicode version

Theorem lpigen 17883
Description: An ideal is principal iff it contains an element which right-divides all elements. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lpigen.u  |-  U  =  (LIdeal `  R )
lpigen.p  |-  P  =  (LPIdeal `  R )
lpigen.d  |-  .||  =  (
||r `  R )
Assertion
Ref Expression
lpigen  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U )  ->  (
I  e.  P  <->  E. x  e.  I  A. y  e.  I  x  .||  y ) )
Distinct variable groups:    x, R, y    x, I, y    x, U, y    x, P, y   
x,  .|| , y

Proof of Theorem lpigen
StepHypRef Expression
1 lpigen.p . . . 4  |-  P  =  (LPIdeal `  R )
2 eqid 2443 . . . 4  |-  (RSpan `  R )  =  (RSpan `  R )
3 eqid 2443 . . . 4  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
41, 2, 3islpidl 17873 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( I  e.  P  <->  E. x  e.  ( Base `  R
) I  =  ( (RSpan `  R ) `  { x } ) ) )
54adantr 465 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U )  ->  (
I  e.  P  <->  E. x  e.  ( Base `  R
) I  =  ( (RSpan `  R ) `  { x } ) ) )
6 lpigen.u . . . . 5  |-  U  =  (LIdeal `  R )
7 lpigen.d . . . . 5  |-  .||  =  (
||r `  R )
83, 6, 2, 7lidldvgen 17882 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  x  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
I  =  ( (RSpan `  R ) `  {
x } )  <->  ( x  e.  I  /\  A. y  e.  I  x  .||  y ) ) )
983expa 1197 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U )  /\  x  e.  (
Base `  R )
)  ->  ( I  =  ( (RSpan `  R ) `  {
x } )  <->  ( x  e.  I  /\  A. y  e.  I  x  .||  y ) ) )
109rexbidva 2951 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U )  ->  ( E. x  e.  ( Base `  R ) I  =  ( (RSpan `  R ) `  {
x } )  <->  E. x  e.  ( Base `  R
) ( x  e.  I  /\  A. y  e.  I  x  .||  y ) ) )
11 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( Base `  R )  /\  (
x  e.  I  /\  A. y  e.  I  x 
.||  y ) )  ->  ( x  e.  I  /\  A. y  e.  I  x  .||  y ) )
123, 6lidlssOLD 17836 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U )  ->  I  C_  ( Base `  R
) )
1312sseld 3488 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U )  ->  (
x  e.  I  ->  x  e.  ( Base `  R ) ) )
1413adantrd 468 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U )  ->  (
( x  e.  I  /\  A. y  e.  I  x  .||  y )  ->  x  e.  ( Base `  R ) ) )
1514ancrd 554 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U )  ->  (
( x  e.  I  /\  A. y  e.  I  x  .||  y )  -> 
( x  e.  (
Base `  R )  /\  ( x  e.  I  /\  A. y  e.  I  x  .||  y ) ) ) )
1611, 15impbid2 204 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U )  ->  (
( x  e.  (
Base `  R )  /\  ( x  e.  I  /\  A. y  e.  I  x  .||  y ) )  <-> 
( x  e.  I  /\  A. y  e.  I  x  .||  y ) ) )
1716rexbidv2 2950 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U )  ->  ( E. x  e.  ( Base `  R ) ( x  e.  I  /\  A. y  e.  I  x 
.||  y )  <->  E. x  e.  I  A. y  e.  I  x  .||  y ) )
185, 10, 173bitrd 279 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U )  ->  (
I  e.  P  <->  E. x  e.  I  A. y  e.  I  x  .||  y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804   A.wral 2793   E.wrex 2794   {csn 4014   class class class wbr 4437   ` cfv 5578   Basecbs 14614   Ringcrg 17177   ||rcdsr 17266  LIdealclidl 17795  RSpancrsp 17796  LPIdealclpidl 17868
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-4 10603  df-5 10604  df-6 10605  df-7 10606  df-8 10607  df-ndx 14617  df-slot 14618  df-base 14619  df-sets 14620  df-ress 14621  df-plusg 14692  df-mulr 14693  df-sca 14695  df-vsca 14696  df-ip 14697  df-0g 14821  df-mgm 15851  df-sgrp 15890  df-mnd 15900  df-grp 16036  df-minusg 16037  df-sbg 16038  df-subg 16177  df-mgp 17121  df-ur 17133  df-ring 17179  df-dvdsr 17269  df-subrg 17406  df-lmod 17493  df-lss 17558  df-lsp 17597  df-sra 17797  df-rgmod 17798  df-lidl 17799  df-rsp 17800  df-lpidl 17870
This theorem is referenced by:  zringlpir  18490  zlpir  18495
  Copyright terms: Public domain W3C validator