MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lpi0 Structured version   Unicode version

Theorem lpi0 18022
Description: The zero ideal is always principal. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lpival.p  |-  P  =  (LPIdeal `  R )
lpi0.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
Assertion
Ref Expression
lpi0  |-  ( R  e.  Ring  ->  {  .0.  }  e.  P )

Proof of Theorem lpi0
Dummy variable  g is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2457 . . . 4  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
2 lpi0.z . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
31, 2ring0cl 17347 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  .0.  e.  ( Base `  R )
)
4 eqid 2457 . . . . 5  |-  (RSpan `  R )  =  (RSpan `  R )
54, 2rsp0 18000 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( (RSpan `  R ) `  {  .0.  } )  =  {  .0.  } )
65eqcomd 2465 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  {  .0.  }  =  ( (RSpan `  R ) `  {  .0.  } ) )
7 sneq 4042 . . . . . 6  |-  ( g  =  .0.  ->  { g }  =  {  .0.  } )
87fveq2d 5876 . . . . 5  |-  ( g  =  .0.  ->  (
(RSpan `  R ) `  { g } )  =  ( (RSpan `  R ) `  {  .0.  } ) )
98eqeq2d 2471 . . . 4  |-  ( g  =  .0.  ->  ( {  .0.  }  =  ( (RSpan `  R ) `  { g } )  <->  {  .0.  }  =  ( (RSpan `  R ) `  {  .0.  } ) ) )
109rspcev 3210 . . 3  |-  ( (  .0.  e.  ( Base `  R )  /\  {  .0.  }  =  ( (RSpan `  R ) `  {  .0.  } ) )  ->  E. g  e.  ( Base `  R ) {  .0.  }  =  ( (RSpan `  R ) `  { g } ) )
113, 6, 10syl2anc 661 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  E. g  e.  ( Base `  R
) {  .0.  }  =  ( (RSpan `  R ) `  {
g } ) )
12 lpival.p . . 3  |-  P  =  (LPIdeal `  R )
1312, 4, 1islpidl 18021 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( {  .0.  }  e.  P  <->  E. g  e.  ( Base `  R ) {  .0.  }  =  ( (RSpan `  R ) `  {
g } ) ) )
1411, 13mpbird 232 1  |-  ( R  e.  Ring  ->  {  .0.  }  e.  P )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1395    e. wcel 1819   E.wrex 2808   {csn 4032   ` cfv 5594   Basecbs 14644   0gc0g 14857   Ringcrg 17325  RSpancrsp 17944  LPIdealclpidl 18016
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-0g 14859  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-grp 16184  df-subg 16325  df-mgp 17269  df-ur 17281  df-ring 17327  df-subrg 17554  df-lmod 17641  df-lss 17706  df-lsp 17745  df-sra 17945  df-rgmod 17946  df-rsp 17948  df-lpidl 18018
This theorem is referenced by:  drnglpir  18028  zringlpir  18639  zlpir  18644
  Copyright terms: Public domain W3C validator