MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lpi0 Structured version   Unicode version

Theorem lpi0 17334
Description: The zero ideal is always principal. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lpival.p  |-  P  =  (LPIdeal `  R )
lpi0.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
Assertion
Ref Expression
lpi0  |-  ( R  e.  Ring  ->  {  .0.  }  e.  P )

Proof of Theorem lpi0
Dummy variable  g is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2443 . . . 4  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
2 lpi0.z . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
31, 2rng0cl 16671 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  .0.  e.  ( Base `  R )
)
4 eqid 2443 . . . . 5  |-  (RSpan `  R )  =  (RSpan `  R )
54, 2rsp0 17312 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( (RSpan `  R ) `  {  .0.  } )  =  {  .0.  } )
65eqcomd 2448 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  {  .0.  }  =  ( (RSpan `  R ) `  {  .0.  } ) )
7 sneq 3892 . . . . . 6  |-  ( g  =  .0.  ->  { g }  =  {  .0.  } )
87fveq2d 5700 . . . . 5  |-  ( g  =  .0.  ->  (
(RSpan `  R ) `  { g } )  =  ( (RSpan `  R ) `  {  .0.  } ) )
98eqeq2d 2454 . . . 4  |-  ( g  =  .0.  ->  ( {  .0.  }  =  ( (RSpan `  R ) `  { g } )  <->  {  .0.  }  =  ( (RSpan `  R ) `  {  .0.  } ) ) )
109rspcev 3078 . . 3  |-  ( (  .0.  e.  ( Base `  R )  /\  {  .0.  }  =  ( (RSpan `  R ) `  {  .0.  } ) )  ->  E. g  e.  ( Base `  R ) {  .0.  }  =  ( (RSpan `  R ) `  { g } ) )
113, 6, 10syl2anc 661 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  E. g  e.  ( Base `  R
) {  .0.  }  =  ( (RSpan `  R ) `  {
g } ) )
12 lpival.p . . 3  |-  P  =  (LPIdeal `  R )
1312, 4, 1islpidl 17333 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( {  .0.  }  e.  P  <->  E. g  e.  ( Base `  R ) {  .0.  }  =  ( (RSpan `  R ) `  {
g } ) ) )
1411, 13mpbird 232 1  |-  ( R  e.  Ring  ->  {  .0.  }  e.  P )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756   E.wrex 2721   {csn 3882   ` cfv 5423   Basecbs 14179   0gc0g 14383   Ringcrg 16650  RSpancrsp 17257  LPIdealclpidl 17328
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-er 7106  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-4 10387  df-5 10388  df-6 10389  df-7 10390  df-8 10391  df-ndx 14182  df-slot 14183  df-base 14184  df-sets 14185  df-ress 14186  df-plusg 14256  df-mulr 14257  df-sca 14259  df-vsca 14260  df-ip 14261  df-0g 14385  df-mnd 15420  df-grp 15550  df-subg 15683  df-mgp 16597  df-ur 16609  df-rng 16652  df-subrg 16868  df-lmod 16955  df-lss 17019  df-lsp 17058  df-sra 17258  df-rgmod 17259  df-rsp 17261  df-lpidl 17330
This theorem is referenced by:  drnglpir  17340  zringlpir  17911  zlpir  17916
  Copyright terms: Public domain W3C validator