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Theorem lpcls 20372
Description: The limit points of the closure of a subset are the same as the limit points of the set in a T1 space. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Dec-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
lpcls.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
lpcls  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  -> 
( ( limPt `  J
) `  ( ( cls `  J ) `  S ) )  =  ( ( limPt `  J
) `  S )
)

Proof of Theorem lpcls
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 t1top 20338 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  Fre  ->  J  e.  Top )
2 lpcls.1 . . . . . . . . . 10  |-  X  = 
U. J
32clsss3 20066 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( cls `  J
) `  S )  C_  X )
43ssdifssd 3604 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( ( cls `  J ) `  S
)  \  { x } )  C_  X
)
52clsss3 20066 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( ( ( cls `  J ) `  S
)  \  { x } )  C_  X
)  ->  ( ( cls `  J ) `  ( ( ( cls `  J ) `  S
)  \  { x } ) )  C_  X )
64, 5syldan 473 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( cls `  J
) `  ( (
( cls `  J
) `  S )  \  { x } ) )  C_  X )
71, 6sylan 474 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  -> 
( ( cls `  J
) `  ( (
( cls `  J
) `  S )  \  { x } ) )  C_  X )
87sseld 3464 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  -> 
( x  e.  ( ( cls `  J
) `  ( (
( cls `  J
) `  S )  \  { x } ) )  ->  x  e.  X ) )
9 ssdifss 3597 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S 
C_  X  ->  ( S  \  { x }
)  C_  X )
102clscld 20054 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( S  \  { x } )  C_  X
)  ->  ( ( cls `  J ) `  ( S  \  { x } ) )  e.  ( Clsd `  J
) )
111, 9, 10syl2an 480 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  -> 
( ( cls `  J
) `  ( S  \  { x } ) )  e.  ( Clsd `  J ) )
1211adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  /\  x  e.  X
)  ->  ( ( cls `  J ) `  ( S  \  { x } ) )  e.  ( Clsd `  J
) )
132t1sncld 20334 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  x  e.  X )  ->  { x }  e.  ( Clsd `  J )
)
1413adantlr 720 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  /\  x  e.  X
)  ->  { x }  e.  ( Clsd `  J ) )
15 uncld 20048 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( { x }  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( ( cls `  J
) `  ( S  \  { x } ) )  e.  ( Clsd `  J ) )  -> 
( { x }  u.  ( ( cls `  J
) `  ( S  \  { x } ) ) )  e.  (
Clsd `  J )
)
1614, 12, 15syl2anc 666 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  /\  x  e.  X
)  ->  ( {
x }  u.  (
( cls `  J
) `  ( S  \  { x } ) ) )  e.  (
Clsd `  J )
)
172sscls 20063 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( S  \  { x } )  C_  X
)  ->  ( S  \  { x } ) 
C_  ( ( cls `  J ) `  ( S  \  { x }
) ) )
181, 9, 17syl2an 480 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  -> 
( S  \  {
x } )  C_  ( ( cls `  J
) `  ( S  \  { x } ) ) )
19 ssundif 3880 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S 
C_  ( { x }  u.  ( ( cls `  J ) `  ( S  \  { x } ) ) )  <-> 
( S  \  {
x } )  C_  ( ( cls `  J
) `  ( S  \  { x } ) ) )
2018, 19sylibr 216 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  ->  S  C_  ( { x }  u.  ( ( cls `  J ) `  ( S  \  { x } ) ) ) )
2120adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  /\  x  e.  X
)  ->  S  C_  ( { x }  u.  ( ( cls `  J
) `  ( S  \  { x } ) ) ) )
222clsss2 20080 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( { x }  u.  ( ( cls `  J
) `  ( S  \  { x } ) ) )  e.  (
Clsd `  J )  /\  S  C_  ( { x }  u.  (
( cls `  J
) `  ( S  \  { x } ) ) ) )  -> 
( ( cls `  J
) `  S )  C_  ( { x }  u.  ( ( cls `  J
) `  ( S  \  { x } ) ) ) )
2316, 21, 22syl2anc 666 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  /\  x  e.  X
)  ->  ( ( cls `  J ) `  S )  C_  ( { x }  u.  ( ( cls `  J
) `  ( S  \  { x } ) ) ) )
24 ssundif 3880 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( cls `  J
) `  S )  C_  ( { x }  u.  ( ( cls `  J
) `  ( S  \  { x } ) ) )  <->  ( (
( cls `  J
) `  S )  \  { x } ) 
C_  ( ( cls `  J ) `  ( S  \  { x }
) ) )
2523, 24sylib 200 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  /\  x  e.  X
)  ->  ( (
( cls `  J
) `  S )  \  { x } ) 
C_  ( ( cls `  J ) `  ( S  \  { x }
) ) )
262clsss2 20080 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( cls `  J
) `  ( S  \  { x } ) )  e.  ( Clsd `  J )  /\  (
( ( cls `  J
) `  S )  \  { x } ) 
C_  ( ( cls `  J ) `  ( S  \  { x }
) ) )  -> 
( ( cls `  J
) `  ( (
( cls `  J
) `  S )  \  { x } ) )  C_  ( ( cls `  J ) `  ( S  \  { x } ) ) )
2712, 25, 26syl2anc 666 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  /\  x  e.  X
)  ->  ( ( cls `  J ) `  ( ( ( cls `  J ) `  S
)  \  { x } ) )  C_  ( ( cls `  J
) `  ( S  \  { x } ) ) )
2827sseld 3464 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  /\  x  e.  X
)  ->  ( x  e.  ( ( cls `  J
) `  ( (
( cls `  J
) `  S )  \  { x } ) )  ->  x  e.  ( ( cls `  J
) `  ( S  \  { x } ) ) ) )
2928ex 436 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  -> 
( x  e.  X  ->  ( x  e.  ( ( cls `  J
) `  ( (
( cls `  J
) `  S )  \  { x } ) )  ->  x  e.  ( ( cls `  J
) `  ( S  \  { x } ) ) ) ) )
3029com23 82 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  -> 
( x  e.  ( ( cls `  J
) `  ( (
( cls `  J
) `  S )  \  { x } ) )  ->  ( x  e.  X  ->  x  e.  ( ( cls `  J
) `  ( S  \  { x } ) ) ) ) )
318, 30mpdd 42 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  -> 
( x  e.  ( ( cls `  J
) `  ( (
( cls `  J
) `  S )  \  { x } ) )  ->  x  e.  ( ( cls `  J
) `  ( S  \  { x } ) ) ) )
321adantr 467 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  ->  J  e.  Top )
331, 3sylan 474 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  -> 
( ( cls `  J
) `  S )  C_  X )
3433ssdifssd 3604 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  -> 
( ( ( cls `  J ) `  S
)  \  { x } )  C_  X
)
352sscls 20063 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  ->  S  C_  ( ( cls `  J ) `  S
) )
361, 35sylan 474 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  ->  S  C_  ( ( cls `  J ) `  S
) )
3736ssdifd 3602 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  -> 
( S  \  {
x } )  C_  ( ( ( cls `  J ) `  S
)  \  { x } ) )
382clsss 20061 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( ( ( cls `  J ) `  S
)  \  { x } )  C_  X  /\  ( S  \  {
x } )  C_  ( ( ( cls `  J ) `  S
)  \  { x } ) )  -> 
( ( cls `  J
) `  ( S  \  { x } ) )  C_  ( ( cls `  J ) `  ( ( ( cls `  J ) `  S
)  \  { x } ) ) )
3932, 34, 37, 38syl3anc 1265 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  -> 
( ( cls `  J
) `  ( S  \  { x } ) )  C_  ( ( cls `  J ) `  ( ( ( cls `  J ) `  S
)  \  { x } ) ) )
4039sseld 3464 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  -> 
( x  e.  ( ( cls `  J
) `  ( S  \  { x } ) )  ->  x  e.  ( ( cls `  J
) `  ( (
( cls `  J
) `  S )  \  { x } ) ) ) )
4131, 40impbid 194 . . 3  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  -> 
( x  e.  ( ( cls `  J
) `  ( (
( cls `  J
) `  S )  \  { x } ) )  <->  x  e.  (
( cls `  J
) `  ( S  \  { x } ) ) ) )
422islp 20148 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( ( cls `  J
) `  S )  C_  X )  ->  (
x  e.  ( (
limPt `  J ) `  ( ( cls `  J
) `  S )
)  <->  x  e.  (
( cls `  J
) `  ( (
( cls `  J
) `  S )  \  { x } ) ) ) )
433, 42syldan 473 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( x  e.  ( ( limPt `  J ) `  ( ( cls `  J
) `  S )
)  <->  x  e.  (
( cls `  J
) `  ( (
( cls `  J
) `  S )  \  { x } ) ) ) )
441, 43sylan 474 . . 3  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  -> 
( x  e.  ( ( limPt `  J ) `  ( ( cls `  J
) `  S )
)  <->  x  e.  (
( cls `  J
) `  ( (
( cls `  J
) `  S )  \  { x } ) ) ) )
452islp 20148 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( x  e.  ( ( limPt `  J ) `  S )  <->  x  e.  ( ( cls `  J
) `  ( S  \  { x } ) ) ) )
461, 45sylan 474 . . 3  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  -> 
( x  e.  ( ( limPt `  J ) `  S )  <->  x  e.  ( ( cls `  J
) `  ( S  \  { x } ) ) ) )
4741, 44, 463bitr4d 289 . 2  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  -> 
( x  e.  ( ( limPt `  J ) `  ( ( cls `  J
) `  S )
)  <->  x  e.  (
( limPt `  J ) `  S ) ) )
4847eqrdv 2420 1  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  -> 
( ( limPt `  J
) `  ( ( cls `  J ) `  S ) )  =  ( ( limPt `  J
) `  S )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1438    e. wcel 1869    \ cdif 3434    u. cun 3435    C_ wss 3437   {csn 3997   U.cuni 4217   ` cfv 5599   Topctop 19909   Clsdccld 20023   clsccl 20025   limPtclp 20142   Frect1 20315
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-op 4004  df-uni 4218  df-int 4254  df-iun 4299  df-iin 4300  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-id 4766  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-top 19913  df-cld 20026  df-cls 20028  df-lp 20144  df-t1 20322
This theorem is referenced by:  perfcls  20373
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