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Theorem lpcls 19070
Description: The limit points of the closure of a subset are the same as the limit points of the set in a T1 space. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Dec-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
lpcls.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
lpcls  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  -> 
( ( limPt `  J
) `  ( ( cls `  J ) `  S ) )  =  ( ( limPt `  J
) `  S )
)

Proof of Theorem lpcls
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 t1top 19036 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  Fre  ->  J  e.  Top )
2 lpcls.1 . . . . . . . . . 10  |-  X  = 
U. J
32clsss3 18765 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( cls `  J
) `  S )  C_  X )
43ssdifssd 3578 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( ( cls `  J ) `  S
)  \  { x } )  C_  X
)
52clsss3 18765 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( ( ( cls `  J ) `  S
)  \  { x } )  C_  X
)  ->  ( ( cls `  J ) `  ( ( ( cls `  J ) `  S
)  \  { x } ) )  C_  X )
64, 5syldan 470 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( cls `  J
) `  ( (
( cls `  J
) `  S )  \  { x } ) )  C_  X )
71, 6sylan 471 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  -> 
( ( cls `  J
) `  ( (
( cls `  J
) `  S )  \  { x } ) )  C_  X )
87sseld 3439 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  -> 
( x  e.  ( ( cls `  J
) `  ( (
( cls `  J
) `  S )  \  { x } ) )  ->  x  e.  X ) )
9 ssdifss 3571 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S 
C_  X  ->  ( S  \  { x }
)  C_  X )
102clscld 18753 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( S  \  { x } )  C_  X
)  ->  ( ( cls `  J ) `  ( S  \  { x } ) )  e.  ( Clsd `  J
) )
111, 9, 10syl2an 477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  -> 
( ( cls `  J
) `  ( S  \  { x } ) )  e.  ( Clsd `  J ) )
1211adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  /\  x  e.  X
)  ->  ( ( cls `  J ) `  ( S  \  { x } ) )  e.  ( Clsd `  J
) )
132t1sncld 19032 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  x  e.  X )  ->  { x }  e.  ( Clsd `  J )
)
1413adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  /\  x  e.  X
)  ->  { x }  e.  ( Clsd `  J ) )
15 uncld 18747 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( { x }  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( ( cls `  J
) `  ( S  \  { x } ) )  e.  ( Clsd `  J ) )  -> 
( { x }  u.  ( ( cls `  J
) `  ( S  \  { x } ) ) )  e.  (
Clsd `  J )
)
1614, 12, 15syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  /\  x  e.  X
)  ->  ( {
x }  u.  (
( cls `  J
) `  ( S  \  { x } ) ) )  e.  (
Clsd `  J )
)
172sscls 18762 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( S  \  { x } )  C_  X
)  ->  ( S  \  { x } ) 
C_  ( ( cls `  J ) `  ( S  \  { x }
) ) )
181, 9, 17syl2an 477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  -> 
( S  \  {
x } )  C_  ( ( cls `  J
) `  ( S  \  { x } ) ) )
19 ssundif 3846 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S 
C_  ( { x }  u.  ( ( cls `  J ) `  ( S  \  { x } ) ) )  <-> 
( S  \  {
x } )  C_  ( ( cls `  J
) `  ( S  \  { x } ) ) )
2018, 19sylibr 212 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  ->  S  C_  ( { x }  u.  ( ( cls `  J ) `  ( S  \  { x } ) ) ) )
2120adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  /\  x  e.  X
)  ->  S  C_  ( { x }  u.  ( ( cls `  J
) `  ( S  \  { x } ) ) ) )
222clsss2 18778 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( { x }  u.  ( ( cls `  J
) `  ( S  \  { x } ) ) )  e.  (
Clsd `  J )  /\  S  C_  ( { x }  u.  (
( cls `  J
) `  ( S  \  { x } ) ) ) )  -> 
( ( cls `  J
) `  S )  C_  ( { x }  u.  ( ( cls `  J
) `  ( S  \  { x } ) ) ) )
2316, 21, 22syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  /\  x  e.  X
)  ->  ( ( cls `  J ) `  S )  C_  ( { x }  u.  ( ( cls `  J
) `  ( S  \  { x } ) ) ) )
24 ssundif 3846 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( cls `  J
) `  S )  C_  ( { x }  u.  ( ( cls `  J
) `  ( S  \  { x } ) ) )  <->  ( (
( cls `  J
) `  S )  \  { x } ) 
C_  ( ( cls `  J ) `  ( S  \  { x }
) ) )
2523, 24sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  /\  x  e.  X
)  ->  ( (
( cls `  J
) `  S )  \  { x } ) 
C_  ( ( cls `  J ) `  ( S  \  { x }
) ) )
262clsss2 18778 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( cls `  J
) `  ( S  \  { x } ) )  e.  ( Clsd `  J )  /\  (
( ( cls `  J
) `  S )  \  { x } ) 
C_  ( ( cls `  J ) `  ( S  \  { x }
) ) )  -> 
( ( cls `  J
) `  ( (
( cls `  J
) `  S )  \  { x } ) )  C_  ( ( cls `  J ) `  ( S  \  { x } ) ) )
2712, 25, 26syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  /\  x  e.  X
)  ->  ( ( cls `  J ) `  ( ( ( cls `  J ) `  S
)  \  { x } ) )  C_  ( ( cls `  J
) `  ( S  \  { x } ) ) )
2827sseld 3439 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  /\  x  e.  X
)  ->  ( x  e.  ( ( cls `  J
) `  ( (
( cls `  J
) `  S )  \  { x } ) )  ->  x  e.  ( ( cls `  J
) `  ( S  \  { x } ) ) ) )
2928ex 434 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  -> 
( x  e.  X  ->  ( x  e.  ( ( cls `  J
) `  ( (
( cls `  J
) `  S )  \  { x } ) )  ->  x  e.  ( ( cls `  J
) `  ( S  \  { x } ) ) ) ) )
3029com23 78 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  -> 
( x  e.  ( ( cls `  J
) `  ( (
( cls `  J
) `  S )  \  { x } ) )  ->  ( x  e.  X  ->  x  e.  ( ( cls `  J
) `  ( S  \  { x } ) ) ) ) )
318, 30mpdd 40 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  -> 
( x  e.  ( ( cls `  J
) `  ( (
( cls `  J
) `  S )  \  { x } ) )  ->  x  e.  ( ( cls `  J
) `  ( S  \  { x } ) ) ) )
321adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  ->  J  e.  Top )
331, 3sylan 471 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  -> 
( ( cls `  J
) `  S )  C_  X )
3433ssdifssd 3578 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  -> 
( ( ( cls `  J ) `  S
)  \  { x } )  C_  X
)
352sscls 18762 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  ->  S  C_  ( ( cls `  J ) `  S
) )
361, 35sylan 471 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  ->  S  C_  ( ( cls `  J ) `  S
) )
3736ssdifd 3576 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  -> 
( S  \  {
x } )  C_  ( ( ( cls `  J ) `  S
)  \  { x } ) )
382clsss 18760 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( ( ( cls `  J ) `  S
)  \  { x } )  C_  X  /\  ( S  \  {
x } )  C_  ( ( ( cls `  J ) `  S
)  \  { x } ) )  -> 
( ( cls `  J
) `  ( S  \  { x } ) )  C_  ( ( cls `  J ) `  ( ( ( cls `  J ) `  S
)  \  { x } ) ) )
3932, 34, 37, 38syl3anc 1219 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  -> 
( ( cls `  J
) `  ( S  \  { x } ) )  C_  ( ( cls `  J ) `  ( ( ( cls `  J ) `  S
)  \  { x } ) ) )
4039sseld 3439 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  -> 
( x  e.  ( ( cls `  J
) `  ( S  \  { x } ) )  ->  x  e.  ( ( cls `  J
) `  ( (
( cls `  J
) `  S )  \  { x } ) ) ) )
4131, 40impbid 191 . . 3  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  -> 
( x  e.  ( ( cls `  J
) `  ( (
( cls `  J
) `  S )  \  { x } ) )  <->  x  e.  (
( cls `  J
) `  ( S  \  { x } ) ) ) )
422islp 18846 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( ( cls `  J
) `  S )  C_  X )  ->  (
x  e.  ( (
limPt `  J ) `  ( ( cls `  J
) `  S )
)  <->  x  e.  (
( cls `  J
) `  ( (
( cls `  J
) `  S )  \  { x } ) ) ) )
433, 42syldan 470 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( x  e.  ( ( limPt `  J ) `  ( ( cls `  J
) `  S )
)  <->  x  e.  (
( cls `  J
) `  ( (
( cls `  J
) `  S )  \  { x } ) ) ) )
441, 43sylan 471 . . 3  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  -> 
( x  e.  ( ( limPt `  J ) `  ( ( cls `  J
) `  S )
)  <->  x  e.  (
( cls `  J
) `  ( (
( cls `  J
) `  S )  \  { x } ) ) ) )
452islp 18846 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( x  e.  ( ( limPt `  J ) `  S )  <->  x  e.  ( ( cls `  J
) `  ( S  \  { x } ) ) ) )
461, 45sylan 471 . . 3  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  -> 
( x  e.  ( ( limPt `  J ) `  S )  <->  x  e.  ( ( cls `  J
) `  ( S  \  { x } ) ) ) )
4741, 44, 463bitr4d 285 . 2  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  -> 
( x  e.  ( ( limPt `  J ) `  ( ( cls `  J
) `  S )
)  <->  x  e.  (
( limPt `  J ) `  S ) ) )
4847eqrdv 2447 1  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  -> 
( ( limPt `  J
) `  ( ( cls `  J ) `  S ) )  =  ( ( limPt `  J
) `  S )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1757    \ cdif 3409    u. cun 3410    C_ wss 3412   {csn 3961   U.cuni 4175   ` cfv 5502   Topctop 18600   Clsdccld 18722   clsccl 18724   limPtclp 18840   Frect1 19013
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2429  ax-rep 4487  ax-sep 4497  ax-nul 4505  ax-pow 4554  ax-pr 4615  ax-un 6458
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1702  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2436  df-cleq 2442  df-clel 2445  df-nfc 2598  df-ne 2643  df-ral 2797  df-rex 2798  df-reu 2799  df-rab 2801  df-v 3056  df-sbc 3271  df-csb 3373  df-dif 3415  df-un 3417  df-in 3419  df-ss 3426  df-nul 3722  df-if 3876  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-op 3968  df-uni 4176  df-int 4213  df-iun 4257  df-iin 4258  df-br 4377  df-opab 4435  df-mpt 4436  df-id 4720  df-xp 4930  df-rel 4931  df-cnv 4932  df-co 4933  df-dm 4934  df-rn 4935  df-res 4936  df-ima 4937  df-iota 5465  df-fun 5504  df-fn 5505  df-f 5506  df-f1 5507  df-fo 5508  df-f1o 5509  df-fv 5510  df-top 18605  df-cld 18725  df-cls 18727  df-lp 18842  df-t1 19020
This theorem is referenced by:  perfcls  19071
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