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Theorem lpcls 19992
Description: The limit points of the closure of a subset are the same as the limit points of the set in a T1 space. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Dec-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
lpcls.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
lpcls  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  -> 
( ( limPt `  J
) `  ( ( cls `  J ) `  S ) )  =  ( ( limPt `  J
) `  S )
)

Proof of Theorem lpcls
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 t1top 19958 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  Fre  ->  J  e.  Top )
2 lpcls.1 . . . . . . . . . 10  |-  X  = 
U. J
32clsss3 19687 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( cls `  J
) `  S )  C_  X )
43ssdifssd 3638 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( ( cls `  J ) `  S
)  \  { x } )  C_  X
)
52clsss3 19687 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( ( ( cls `  J ) `  S
)  \  { x } )  C_  X
)  ->  ( ( cls `  J ) `  ( ( ( cls `  J ) `  S
)  \  { x } ) )  C_  X )
64, 5syldan 470 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( cls `  J
) `  ( (
( cls `  J
) `  S )  \  { x } ) )  C_  X )
71, 6sylan 471 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  -> 
( ( cls `  J
) `  ( (
( cls `  J
) `  S )  \  { x } ) )  C_  X )
87sseld 3498 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  -> 
( x  e.  ( ( cls `  J
) `  ( (
( cls `  J
) `  S )  \  { x } ) )  ->  x  e.  X ) )
9 ssdifss 3631 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S 
C_  X  ->  ( S  \  { x }
)  C_  X )
102clscld 19675 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( S  \  { x } )  C_  X
)  ->  ( ( cls `  J ) `  ( S  \  { x } ) )  e.  ( Clsd `  J
) )
111, 9, 10syl2an 477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  -> 
( ( cls `  J
) `  ( S  \  { x } ) )  e.  ( Clsd `  J ) )
1211adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  /\  x  e.  X
)  ->  ( ( cls `  J ) `  ( S  \  { x } ) )  e.  ( Clsd `  J
) )
132t1sncld 19954 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  x  e.  X )  ->  { x }  e.  ( Clsd `  J )
)
1413adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  /\  x  e.  X
)  ->  { x }  e.  ( Clsd `  J ) )
15 uncld 19669 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( { x }  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( ( cls `  J
) `  ( S  \  { x } ) )  e.  ( Clsd `  J ) )  -> 
( { x }  u.  ( ( cls `  J
) `  ( S  \  { x } ) ) )  e.  (
Clsd `  J )
)
1614, 12, 15syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  /\  x  e.  X
)  ->  ( {
x }  u.  (
( cls `  J
) `  ( S  \  { x } ) ) )  e.  (
Clsd `  J )
)
172sscls 19684 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( S  \  { x } )  C_  X
)  ->  ( S  \  { x } ) 
C_  ( ( cls `  J ) `  ( S  \  { x }
) ) )
181, 9, 17syl2an 477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  -> 
( S  \  {
x } )  C_  ( ( cls `  J
) `  ( S  \  { x } ) ) )
19 ssundif 3914 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S 
C_  ( { x }  u.  ( ( cls `  J ) `  ( S  \  { x } ) ) )  <-> 
( S  \  {
x } )  C_  ( ( cls `  J
) `  ( S  \  { x } ) ) )
2018, 19sylibr 212 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  ->  S  C_  ( { x }  u.  ( ( cls `  J ) `  ( S  \  { x } ) ) ) )
2120adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  /\  x  e.  X
)  ->  S  C_  ( { x }  u.  ( ( cls `  J
) `  ( S  \  { x } ) ) ) )
222clsss2 19700 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( { x }  u.  ( ( cls `  J
) `  ( S  \  { x } ) ) )  e.  (
Clsd `  J )  /\  S  C_  ( { x }  u.  (
( cls `  J
) `  ( S  \  { x } ) ) ) )  -> 
( ( cls `  J
) `  S )  C_  ( { x }  u.  ( ( cls `  J
) `  ( S  \  { x } ) ) ) )
2316, 21, 22syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  /\  x  e.  X
)  ->  ( ( cls `  J ) `  S )  C_  ( { x }  u.  ( ( cls `  J
) `  ( S  \  { x } ) ) ) )
24 ssundif 3914 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( cls `  J
) `  S )  C_  ( { x }  u.  ( ( cls `  J
) `  ( S  \  { x } ) ) )  <->  ( (
( cls `  J
) `  S )  \  { x } ) 
C_  ( ( cls `  J ) `  ( S  \  { x }
) ) )
2523, 24sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  /\  x  e.  X
)  ->  ( (
( cls `  J
) `  S )  \  { x } ) 
C_  ( ( cls `  J ) `  ( S  \  { x }
) ) )
262clsss2 19700 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( cls `  J
) `  ( S  \  { x } ) )  e.  ( Clsd `  J )  /\  (
( ( cls `  J
) `  S )  \  { x } ) 
C_  ( ( cls `  J ) `  ( S  \  { x }
) ) )  -> 
( ( cls `  J
) `  ( (
( cls `  J
) `  S )  \  { x } ) )  C_  ( ( cls `  J ) `  ( S  \  { x } ) ) )
2712, 25, 26syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  /\  x  e.  X
)  ->  ( ( cls `  J ) `  ( ( ( cls `  J ) `  S
)  \  { x } ) )  C_  ( ( cls `  J
) `  ( S  \  { x } ) ) )
2827sseld 3498 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  /\  x  e.  X
)  ->  ( x  e.  ( ( cls `  J
) `  ( (
( cls `  J
) `  S )  \  { x } ) )  ->  x  e.  ( ( cls `  J
) `  ( S  \  { x } ) ) ) )
2928ex 434 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  -> 
( x  e.  X  ->  ( x  e.  ( ( cls `  J
) `  ( (
( cls `  J
) `  S )  \  { x } ) )  ->  x  e.  ( ( cls `  J
) `  ( S  \  { x } ) ) ) ) )
3029com23 78 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  -> 
( x  e.  ( ( cls `  J
) `  ( (
( cls `  J
) `  S )  \  { x } ) )  ->  ( x  e.  X  ->  x  e.  ( ( cls `  J
) `  ( S  \  { x } ) ) ) ) )
318, 30mpdd 40 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  -> 
( x  e.  ( ( cls `  J
) `  ( (
( cls `  J
) `  S )  \  { x } ) )  ->  x  e.  ( ( cls `  J
) `  ( S  \  { x } ) ) ) )
321adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  ->  J  e.  Top )
331, 3sylan 471 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  -> 
( ( cls `  J
) `  S )  C_  X )
3433ssdifssd 3638 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  -> 
( ( ( cls `  J ) `  S
)  \  { x } )  C_  X
)
352sscls 19684 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  ->  S  C_  ( ( cls `  J ) `  S
) )
361, 35sylan 471 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  ->  S  C_  ( ( cls `  J ) `  S
) )
3736ssdifd 3636 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  -> 
( S  \  {
x } )  C_  ( ( ( cls `  J ) `  S
)  \  { x } ) )
382clsss 19682 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( ( ( cls `  J ) `  S
)  \  { x } )  C_  X  /\  ( S  \  {
x } )  C_  ( ( ( cls `  J ) `  S
)  \  { x } ) )  -> 
( ( cls `  J
) `  ( S  \  { x } ) )  C_  ( ( cls `  J ) `  ( ( ( cls `  J ) `  S
)  \  { x } ) ) )
3932, 34, 37, 38syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  -> 
( ( cls `  J
) `  ( S  \  { x } ) )  C_  ( ( cls `  J ) `  ( ( ( cls `  J ) `  S
)  \  { x } ) ) )
4039sseld 3498 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  -> 
( x  e.  ( ( cls `  J
) `  ( S  \  { x } ) )  ->  x  e.  ( ( cls `  J
) `  ( (
( cls `  J
) `  S )  \  { x } ) ) ) )
4131, 40impbid 191 . . 3  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  -> 
( x  e.  ( ( cls `  J
) `  ( (
( cls `  J
) `  S )  \  { x } ) )  <->  x  e.  (
( cls `  J
) `  ( S  \  { x } ) ) ) )
422islp 19768 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( ( cls `  J
) `  S )  C_  X )  ->  (
x  e.  ( (
limPt `  J ) `  ( ( cls `  J
) `  S )
)  <->  x  e.  (
( cls `  J
) `  ( (
( cls `  J
) `  S )  \  { x } ) ) ) )
433, 42syldan 470 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( x  e.  ( ( limPt `  J ) `  ( ( cls `  J
) `  S )
)  <->  x  e.  (
( cls `  J
) `  ( (
( cls `  J
) `  S )  \  { x } ) ) ) )
441, 43sylan 471 . . 3  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  -> 
( x  e.  ( ( limPt `  J ) `  ( ( cls `  J
) `  S )
)  <->  x  e.  (
( cls `  J
) `  ( (
( cls `  J
) `  S )  \  { x } ) ) ) )
452islp 19768 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( x  e.  ( ( limPt `  J ) `  S )  <->  x  e.  ( ( cls `  J
) `  ( S  \  { x } ) ) ) )
461, 45sylan 471 . . 3  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  -> 
( x  e.  ( ( limPt `  J ) `  S )  <->  x  e.  ( ( cls `  J
) `  ( S  \  { x } ) ) ) )
4741, 44, 463bitr4d 285 . 2  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  -> 
( x  e.  ( ( limPt `  J ) `  ( ( cls `  J
) `  S )
)  <->  x  e.  (
( limPt `  J ) `  S ) ) )
4847eqrdv 2454 1  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  S  C_  X )  -> 
( ( limPt `  J
) `  ( ( cls `  J ) `  S ) )  =  ( ( limPt `  J
) `  S )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819    \ cdif 3468    u. cun 3469    C_ wss 3471   {csn 4032   U.cuni 4251   ` cfv 5594   Topctop 19521   Clsdccld 19644   clsccl 19646   limPtclp 19762   Frect1 19935
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-top 19526  df-cld 19647  df-cls 19649  df-lp 19764  df-t1 19942
This theorem is referenced by:  perfcls  19993
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