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Theorem logtayl2 20506
Description: Power series expression for the logarithm. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
logtayl2.s  |-  S  =  ( 1 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )
Assertion
Ref Expression
logtayl2  |-  ( A  e.  S  ->  seq  1 (  +  , 
( k  e.  NN  |->  ( ( ( -u
1 ^ ( k  -  1 ) )  /  k )  x.  ( ( A  - 
1 ) ^ k
) ) ) )  ~~>  ( log `  A
) )
Distinct variable group:    A, k
Allowed substitution hint:    S( k)

Proof of Theorem logtayl2
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 10477 . . 3  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1z 10267 . . . 4  |-  1  e.  ZZ
32a1i 11 . . 3  |-  ( A  e.  S  ->  1  e.  ZZ )
4 neg1cn 10023 . . . 4  |-  -u 1  e.  CC
54a1i 11 . . 3  |-  ( A  e.  S  ->  -u 1  e.  CC )
6 ax-1cn 9004 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
7 logtayl2.s . . . . . . . . 9  |-  S  =  ( 1 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )
87eleq2i 2468 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  S  <->  A  e.  ( 1 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )
9 cnxmet 18760 . . . . . . . . 9  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )
10 1rp 10572 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  RR+
11 rpxr 10575 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  e.  RR+  ->  1  e. 
RR* )
1210, 11ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR*
13 elbl 18371 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  1  e.  CC  /\  1  e.  RR* )  ->  ( A  e.  ( 1 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  <->  ( A  e.  CC  /\  ( 1 ( abs  o.  -  ) A )  <  1
) ) )
149, 6, 12, 13mp3an 1279 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 1 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  <->  ( A  e.  CC  /\  ( 1 ( abs  o.  -  ) A )  <  1
) )
158, 14bitri 241 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  S  <->  ( A  e.  CC  /\  ( 1 ( abs  o.  -  ) A )  <  1
) )
1615simplbi 447 . . . . . 6  |-  ( A  e.  S  ->  A  e.  CC )
17 subcl 9261 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( 1  -  A
)  e.  CC )
186, 16, 17sylancr 645 . . . . 5  |-  ( A  e.  S  ->  (
1  -  A )  e.  CC )
19 eqid 2404 . . . . . . . 8  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
2019cnmetdval 18758 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( 1 ( abs 
o.  -  ) A
)  =  ( abs `  ( 1  -  A
) ) )
216, 16, 20sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( A  e.  S  ->  (
1 ( abs  o.  -  ) A )  =  ( abs `  (
1  -  A ) ) )
2215simprbi 451 . . . . . 6  |-  ( A  e.  S  ->  (
1 ( abs  o.  -  ) A )  <  1 )
2321, 22eqbrtrrd 4194 . . . . 5  |-  ( A  e.  S  ->  ( abs `  ( 1  -  A ) )  <  1 )
24 logtayl 20504 . . . . 5  |-  ( ( ( 1  -  A
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  -  A ) )  <  1 )  ->  seq  1 (  +  , 
( k  e.  NN  |->  ( ( ( 1  -  A ) ^
k )  /  k
) ) )  ~~>  -u ( log `  ( 1  -  ( 1  -  A
) ) ) )
2518, 23, 24syl2anc 643 . . . 4  |-  ( A  e.  S  ->  seq  1 (  +  , 
( k  e.  NN  |->  ( ( ( 1  -  A ) ^
k )  /  k
) ) )  ~~>  -u ( log `  ( 1  -  ( 1  -  A
) ) ) )
26 nncan 9286 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( 1  -  (
1  -  A ) )  =  A )
276, 16, 26sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( A  e.  S  ->  (
1  -  ( 1  -  A ) )  =  A )
2827fveq2d 5691 . . . . 5  |-  ( A  e.  S  ->  ( log `  ( 1  -  ( 1  -  A
) ) )  =  ( log `  A
) )
2928negeqd 9256 . . . 4  |-  ( A  e.  S  ->  -u ( log `  ( 1  -  ( 1  -  A
) ) )  = 
-u ( log `  A
) )
3025, 29breqtrd 4196 . . 3  |-  ( A  e.  S  ->  seq  1 (  +  , 
( k  e.  NN  |->  ( ( ( 1  -  A ) ^
k )  /  k
) ) )  ~~>  -u ( log `  A ) )
31 oveq2 6048 . . . . . . 7  |-  ( k  =  n  ->  (
( 1  -  A
) ^ k )  =  ( ( 1  -  A ) ^
n ) )
32 id 20 . . . . . . 7  |-  ( k  =  n  ->  k  =  n )
3331, 32oveq12d 6058 . . . . . 6  |-  ( k  =  n  ->  (
( ( 1  -  A ) ^ k
)  /  k )  =  ( ( ( 1  -  A ) ^ n )  /  n ) )
34 eqid 2404 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 1  -  A
) ^ k )  /  k ) )  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 1  -  A ) ^ k )  / 
k ) )
35 ovex 6065 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1  -  A
) ^ n )  /  n )  e. 
_V
3633, 34, 35fvmpt 5765 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( k  e.  NN  |->  ( ( ( 1  -  A ) ^
k )  /  k
) ) `  n
)  =  ( ( ( 1  -  A
) ^ n )  /  n ) )
3736adantl 453 . . . 4  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 1  -  A ) ^ k )  / 
k ) ) `  n )  =  ( ( ( 1  -  A ) ^ n
)  /  n ) )
38 nnnn0 10184 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  NN0 )
39 expcl 11354 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1  -  A
)  e.  CC  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  -  A ) ^ n
)  e.  CC )
4018, 38, 39syl2an 464 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 1  -  A ) ^ n
)  e.  CC )
41 nncn 9964 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  CC )
4241adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  CC )
43 nnne0 9988 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  n  =/=  0 )
4443adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  ->  n  =/=  0 )
4540, 42, 44divcld 9746 . . . 4  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( 1  -  A ) ^
n )  /  n
)  e.  CC )
4637, 45eqeltrd 2478 . . 3  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 1  -  A ) ^ k )  / 
k ) ) `  n )  e.  CC )
4740, 42, 44divnegd 9759 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  -> 
-u ( ( ( 1  -  A ) ^ n )  /  n )  =  (
-u ( ( 1  -  A ) ^
n )  /  n
) )
4845mulm1d 9441 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  ->  ( -u 1  x.  ( ( ( 1  -  A ) ^
n )  /  n
) )  =  -u ( ( ( 1  -  A ) ^
n )  /  n
) )
4938adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  NN0 )
50 expcl 11354 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
-u 1  e.  CC  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ n )  e.  CC )
514, 49, 50sylancr 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  ->  ( -u 1 ^ n )  e.  CC )
52 subcl 9261 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( A  -  1 )  e.  CC )
5316, 6, 52sylancl 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  S  ->  ( A  -  1 )  e.  CC )
54 expcl 11354 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  -  1 )  e.  CC  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( A  - 
1 ) ^ n
)  e.  CC )
5553, 38, 54syl2an 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( A  - 
1 ) ^ n
)  e.  CC )
5651, 55mulneg1d 9442 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  ->  ( -u ( -u
1 ^ n )  x.  ( ( A  -  1 ) ^
n ) )  = 
-u ( ( -u
1 ^ n )  x.  ( ( A  -  1 ) ^
n ) ) )
574a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  -> 
-u 1  e.  CC )
58 ax-1ne0 9015 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  =/=  0
596, 58negne0i 9331 . . . . . . . . . . . 12  |-  -u 1  =/=  0
6059a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  -> 
-u 1  =/=  0
)
61 nnz 10259 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  ZZ )
6261adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  ZZ )
6357, 60, 62expm1d 11488 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  ->  ( -u 1 ^ ( n  -  1 ) )  =  ( ( -u 1 ^ n )  /  -u 1
) )
646a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  ->  1  e.  CC )
6558a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  ->  1  =/=  0 )
6651, 64, 65divneg2d 9760 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  -> 
-u ( ( -u
1 ^ n )  /  1 )  =  ( ( -u 1 ^ n )  /  -u 1 ) )
6751div1d 9738 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( -u 1 ^ n )  / 
1 )  =  (
-u 1 ^ n
) )
6867negeqd 9256 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  -> 
-u ( ( -u
1 ^ n )  /  1 )  = 
-u ( -u 1 ^ n ) )
6963, 66, 683eqtr2d 2442 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  ->  ( -u 1 ^ ( n  -  1 ) )  =  -u ( -u 1 ^ n
) )
7069oveq1d 6055 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( -u 1 ^ ( n  - 
1 ) )  x.  ( ( A  - 
1 ) ^ n
) )  =  (
-u ( -u 1 ^ n )  x.  ( ( A  - 
1 ) ^ n
) ) )
7153mulm1d 9441 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  S  ->  ( -u 1  x.  ( A  -  1 ) )  =  -u ( A  - 
1 ) )
72 negsubdi2 9316 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  1  e.  CC )  -> 
-u ( A  - 
1 )  =  ( 1  -  A ) )
7316, 6, 72sylancl 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  S  ->  -u ( A  -  1 )  =  ( 1  -  A ) )
7471, 73eqtr2d 2437 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  S  ->  (
1  -  A )  =  ( -u 1  x.  ( A  -  1 ) ) )
7574oveq1d 6055 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  S  ->  (
( 1  -  A
) ^ n )  =  ( ( -u
1  x.  ( A  -  1 ) ) ^ n ) )
7675adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 1  -  A ) ^ n
)  =  ( (
-u 1  x.  ( A  -  1 ) ) ^ n ) )
77 mulexp 11374 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
-u 1  e.  CC  /\  ( A  -  1 )  e.  CC  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( -u 1  x.  ( A  -  1 ) ) ^ n
)  =  ( (
-u 1 ^ n
)  x.  ( ( A  -  1 ) ^ n ) ) )
784, 77mp3an1 1266 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  -  1 )  e.  CC  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( -u 1  x.  ( A  -  1 ) ) ^ n
)  =  ( (
-u 1 ^ n
)  x.  ( ( A  -  1 ) ^ n ) ) )
7953, 38, 78syl2an 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( -u 1  x.  ( A  -  1 ) ) ^ n
)  =  ( (
-u 1 ^ n
)  x.  ( ( A  -  1 ) ^ n ) ) )
8076, 79eqtrd 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 1  -  A ) ^ n
)  =  ( (
-u 1 ^ n
)  x.  ( ( A  -  1 ) ^ n ) ) )
8180negeqd 9256 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  -> 
-u ( ( 1  -  A ) ^
n )  =  -u ( ( -u 1 ^ n )  x.  ( ( A  - 
1 ) ^ n
) ) )
8256, 70, 813eqtr4d 2446 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( -u 1 ^ ( n  - 
1 ) )  x.  ( ( A  - 
1 ) ^ n
) )  =  -u ( ( 1  -  A ) ^ n
) )
8382oveq1d 6055 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( -u
1 ^ ( n  -  1 ) )  x.  ( ( A  -  1 ) ^
n ) )  /  n )  =  (
-u ( ( 1  -  A ) ^
n )  /  n
) )
8447, 48, 833eqtr4d 2446 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  ->  ( -u 1  x.  ( ( ( 1  -  A ) ^
n )  /  n
) )  =  ( ( ( -u 1 ^ ( n  - 
1 ) )  x.  ( ( A  - 
1 ) ^ n
) )  /  n
) )
85 nnm1nn0 10217 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  -  1 )  e.  NN0 )
8685adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  -  1 )  e.  NN0 )
87 expcl 11354 . . . . . . 7  |-  ( (
-u 1  e.  CC  /\  ( n  -  1 )  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( n  -  1 ) )  e.  CC )
884, 86, 87sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  ->  ( -u 1 ^ ( n  -  1 ) )  e.  CC )
8988, 55, 42, 44div23d 9783 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( -u
1 ^ ( n  -  1 ) )  x.  ( ( A  -  1 ) ^
n ) )  /  n )  =  ( ( ( -u 1 ^ ( n  - 
1 ) )  /  n )  x.  (
( A  -  1 ) ^ n ) ) )
9084, 89eqtr2d 2437 . . . 4  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( -u
1 ^ ( n  -  1 ) )  /  n )  x.  ( ( A  - 
1 ) ^ n
) )  =  (
-u 1  x.  (
( ( 1  -  A ) ^ n
)  /  n ) ) )
91 oveq1 6047 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  n  ->  (
k  -  1 )  =  ( n  - 
1 ) )
9291oveq2d 6056 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  n  ->  ( -u 1 ^ ( k  -  1 ) )  =  ( -u 1 ^ ( n  - 
1 ) ) )
9392, 32oveq12d 6058 . . . . . . 7  |-  ( k  =  n  ->  (
( -u 1 ^ (
k  -  1 ) )  /  k )  =  ( ( -u
1 ^ ( n  -  1 ) )  /  n ) )
94 oveq2 6048 . . . . . . 7  |-  ( k  =  n  ->  (
( A  -  1 ) ^ k )  =  ( ( A  -  1 ) ^
n ) )
9593, 94oveq12d 6058 . . . . . 6  |-  ( k  =  n  ->  (
( ( -u 1 ^ ( k  - 
1 ) )  / 
k )  x.  (
( A  -  1 ) ^ k ) )  =  ( ( ( -u 1 ^ ( n  -  1 ) )  /  n
)  x.  ( ( A  -  1 ) ^ n ) ) )
96 eqid 2404 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( -u 1 ^ ( k  -  1 ) )  /  k
)  x.  ( ( A  -  1 ) ^ k ) ) )  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( -u 1 ^ ( k  -  1 ) )  /  k
)  x.  ( ( A  -  1 ) ^ k ) ) )
97 ovex 6065 . . . . . 6  |-  ( ( ( -u 1 ^ ( n  -  1 ) )  /  n
)  x.  ( ( A  -  1 ) ^ n ) )  e.  _V
9895, 96, 97fvmpt 5765 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( k  e.  NN  |->  ( ( ( -u
1 ^ ( k  -  1 ) )  /  k )  x.  ( ( A  - 
1 ) ^ k
) ) ) `  n )  =  ( ( ( -u 1 ^ ( n  - 
1 ) )  /  n )  x.  (
( A  -  1 ) ^ n ) ) )
9998adantl 453 . . . 4  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( (
-u 1 ^ (
k  -  1 ) )  /  k )  x.  ( ( A  -  1 ) ^
k ) ) ) `
 n )  =  ( ( ( -u
1 ^ ( n  -  1 ) )  /  n )  x.  ( ( A  - 
1 ) ^ n
) ) )
10037oveq2d 6056 . . . 4  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  ->  ( -u 1  x.  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 1  -  A ) ^ k )  / 
k ) ) `  n ) )  =  ( -u 1  x.  ( ( ( 1  -  A ) ^
n )  /  n
) ) )
10190, 99, 1003eqtr4d 2446 . . 3  |-  ( ( A  e.  S  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( (
-u 1 ^ (
k  -  1 ) )  /  k )  x.  ( ( A  -  1 ) ^
k ) ) ) `
 n )  =  ( -u 1  x.  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 1  -  A ) ^ k )  / 
k ) ) `  n ) ) )
1021, 3, 5, 30, 46, 101isermulc2 12406 . 2  |-  ( A  e.  S  ->  seq  1 (  +  , 
( k  e.  NN  |->  ( ( ( -u
1 ^ ( k  -  1 ) )  /  k )  x.  ( ( A  - 
1 ) ^ k
) ) ) )  ~~>  ( -u 1  x.  -u ( log `  A
) ) )
1037dvlog2lem 20496 . . . . . . . 8  |-  S  C_  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) )
104103sseli 3304 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  S  ->  A  e.  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) ) )
105 eqid 2404 . . . . . . . 8  |-  ( CC 
\  (  -oo (,] 0 ) )  =  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) )
106105logdmn0 20484 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( CC  \ 
(  -oo (,] 0 ) )  ->  A  =/=  0 )
107104, 106syl 16 . . . . . 6  |-  ( A  e.  S  ->  A  =/=  0 )
10816, 107logcld 20421 . . . . 5  |-  ( A  e.  S  ->  ( log `  A )  e.  CC )
109108negcld 9354 . . . 4  |-  ( A  e.  S  ->  -u ( log `  A )  e.  CC )
110109mulm1d 9441 . . 3  |-  ( A  e.  S  ->  ( -u 1  x.  -u ( log `  A ) )  =  -u -u ( log `  A
) )
111108negnegd 9358 . . 3  |-  ( A  e.  S  ->  -u -u ( log `  A )  =  ( log `  A
) )
112110, 111eqtrd 2436 . 2  |-  ( A  e.  S  ->  ( -u 1  x.  -u ( log `  A ) )  =  ( log `  A
) )
113102, 112breqtrd 4196 1  |-  ( A  e.  S  ->  seq  1 (  +  , 
( k  e.  NN  |->  ( ( ( -u
1 ^ ( k  -  1 ) )  /  k )  x.  ( ( A  - 
1 ) ^ k
) ) ) )  ~~>  ( log `  A
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567    \ cdif 3277   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226    o. ccom 4841   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951    -oocmnf 9074   RR*cxr 9075    < clt 9076    - cmin 9247   -ucneg 9248    / cdiv 9633   NNcn 9956   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   RR+crp 10568   (,]cioc 10873    seq cseq 11278   ^cexp 11337   abscabs 11994    ~~> cli 12233   * Metcxmt 16641   ballcbl 16643   logclog 20405
This theorem is referenced by:  stirlinglem5  27694
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ioc 10877  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-bc 11549  df-hash 11574  df-shft 11837  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-ef 12625  df-sin 12627  df-cos 12628  df-tan 12629  df-pi 12630  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-cmp 17404  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861  df-limc 19706  df-dv 19707  df-ulm 20246  df-log 20407
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