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Theorem logreclem 23014
Description: Symmetry of the natural logarithm range by negation. Lemma for logrec 23015. (Contributed by Saveliy Skresanov, 27-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
logreclem  |-  ( ( A  e.  ran  log  /\ 
-.  ( Im `  A )  =  pi )  ->  -u A  e. 
ran  log )

Proof of Theorem logreclem
StepHypRef Expression
1 logrncn 22814 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ran  log  ->  A  e.  CC )
21adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ran  log  /\ 
-.  -u pi  =  -u ( Im `  A ) )  ->  A  e.  CC )
32negcld 9929 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ran  log  /\ 
-.  -u pi  =  -u ( Im `  A ) )  ->  -u A  e.  CC )
4 ellogrn 22811 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  ran  log  <->  ( A  e.  CC  /\  -u pi  <  ( Im `  A
)  /\  ( Im `  A )  <_  pi ) )
54biimpi 194 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  ran  log  ->  ( A  e.  CC  /\  -u pi  <  ( Im
`  A )  /\  ( Im `  A )  <_  pi ) )
65simp3d 1010 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ran  log  ->  ( Im `  A )  <_  pi )
7 imcl 12923 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  RR )
8 pire 22716 . . . . . . . . . . . . 13  |-  pi  e.  RR
9 leneg 10067 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( Im `  A
)  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  -> 
( ( Im `  A )  <_  pi  <->  -u pi  <_  -u ( Im
`  A ) ) )
109biimpd 207 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Im `  A
)  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  -> 
( ( Im `  A )  <_  pi  -> 
-u pi  <_  -u (
Im `  A )
) )
117, 8, 10sylancl 662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( Im `  A
)  <_  pi  ->  -u pi  <_  -u ( Im `  A ) ) )
121, 6, 11sylc 60 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ran  log  ->  -u pi  <_  -u ( Im `  A ) )
138renegcli 9892 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -u pi  e.  RR
1413a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  CC  ->  -u pi  e.  RR )
157renegcld 9998 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  CC  ->  -u (
Im `  A )  e.  RR )
1614, 15leloed 9739 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u pi  <_  -u ( Im
`  A )  <->  ( -u pi  <  -u ( Im `  A )  \/  -u pi  =  -u ( Im `  A ) ) ) )
1716biimpd 207 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u pi  <_  -u ( Im
`  A )  -> 
( -u pi  <  -u (
Im `  A )  \/  -u pi  =  -u ( Im `  A ) ) ) )
181, 12, 17sylc 60 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ran  log  ->  (
-u pi  <  -u (
Im `  A )  \/  -u pi  =  -u ( Im `  A ) ) )
1918orcomd 388 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ran  log  ->  (
-u pi  =  -u ( Im `  A )  \/  -u pi  <  -u (
Im `  A )
) )
2019orcanai 911 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ran  log  /\ 
-.  -u pi  =  -u ( Im `  A ) )  ->  -u pi  <  -u ( Im `  A
) )
215simp2d 1009 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ran  log  ->  -u pi  <  ( Im `  A ) )
22 ltnegcon1 10065 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( pi  e.  RR  /\  ( Im `  A )  e.  RR )  -> 
( -u pi  <  (
Im `  A )  <->  -u ( Im `  A
)  <  pi )
)
2322biimpd 207 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( pi  e.  RR  /\  ( Im `  A )  e.  RR )  -> 
( -u pi  <  (
Im `  A )  -> 
-u ( Im `  A )  <  pi ) )
248, 7, 23sylancr 663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u pi  <  ( Im
`  A )  ->  -u ( Im `  A
)  <  pi )
)
251, 21, 24sylc 60 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ran  log  ->  -u ( Im `  A )  <  pi )
2625adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ran  log  /\ 
-.  -u pi  =  -u ( Im `  A ) )  ->  -u ( Im
`  A )  < 
pi )
27 ltle 9685 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
-u ( Im `  A )  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  ->  ( -u (
Im `  A )  <  pi  ->  -u ( Im
`  A )  <_  pi ) )
2815, 8, 27sylancl 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u ( Im `  A
)  <  pi  ->  -u ( Im `  A )  <_  pi ) )
291, 28syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ran  log  ->  (
-u ( Im `  A )  <  pi  -> 
-u ( Im `  A )  <_  pi ) )
3029adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ran  log  /\ 
-.  -u pi  =  -u ( Im `  A ) )  ->  ( -u (
Im `  A )  <  pi  ->  -u ( Im
`  A )  <_  pi ) )
3126, 30mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ran  log  /\ 
-.  -u pi  =  -u ( Im `  A ) )  ->  -u ( Im
`  A )  <_  pi )
32 imneg 12945 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  -u A )  =  -u ( Im `  A ) )
3332breq2d 4465 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u pi  <  ( Im
`  -u A )  <->  -u pi  <  -u ( Im `  A
) ) )
342, 33syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ran  log  /\ 
-.  -u pi  =  -u ( Im `  A ) )  ->  ( -u pi  <  ( Im `  -u A
)  <->  -u pi  <  -u (
Im `  A )
) )
3532breq1d 4463 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( Im `  -u A
)  <_  pi  <->  -u ( Im
`  A )  <_  pi ) )
362, 35syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ran  log  /\ 
-.  -u pi  =  -u ( Im `  A ) )  ->  ( (
Im `  -u A )  <_  pi  <->  -u ( Im
`  A )  <_  pi ) )
3734, 36anbi12d 710 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ran  log  /\ 
-.  -u pi  =  -u ( Im `  A ) )  ->  ( ( -u pi  <  ( Im
`  -u A )  /\  ( Im `  -u A
)  <_  pi )  <->  (
-u pi  <  -u (
Im `  A )  /\  -u ( Im `  A )  <_  pi ) ) )
3820, 31, 37mpbir2and 920 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ran  log  /\ 
-.  -u pi  =  -u ( Im `  A ) )  ->  ( -u pi  <  ( Im `  -u A
)  /\  ( Im `  -u A )  <_  pi ) )
39 3anass 977 . . . . . . 7  |-  ( (
-u A  e.  CC  /\  -u pi  <  ( Im
`  -u A )  /\  ( Im `  -u A
)  <_  pi )  <->  (
-u A  e.  CC  /\  ( -u pi  <  ( Im `  -u A
)  /\  ( Im `  -u A )  <_  pi ) ) )
403, 38, 39sylanbrc 664 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ran  log  /\ 
-.  -u pi  =  -u ( Im `  A ) )  ->  ( -u A  e.  CC  /\  -u pi  <  ( Im `  -u A
)  /\  ( Im `  -u A )  <_  pi ) )
41 ellogrn 22811 . . . . . 6  |-  ( -u A  e.  ran  log  <->  ( -u A  e.  CC  /\  -u pi  <  ( Im `  -u A
)  /\  ( Im `  -u A )  <_  pi ) )
4240, 41sylibr 212 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ran  log  /\ 
-.  -u pi  =  -u ( Im `  A ) )  ->  -u A  e. 
ran  log )
4342ex 434 . . . 4  |-  ( A  e.  ran  log  ->  ( -.  -u pi  =  -u ( Im `  A )  ->  -u A  e.  ran  log ) )
4443orrd 378 . . 3  |-  ( A  e.  ran  log  ->  (
-u pi  =  -u ( Im `  A )  \/  -u A  e.  ran  log ) )
45 recn 9594 . . . . . . . 8  |-  ( pi  e.  RR  ->  pi  e.  CC )
46 recn 9594 . . . . . . . 8  |-  ( ( Im `  A )  e.  RR  ->  (
Im `  A )  e.  CC )
4745, 46anim12i 566 . . . . . . 7  |-  ( ( pi  e.  RR  /\  ( Im `  A )  e.  RR )  -> 
( pi  e.  CC  /\  ( Im `  A
)  e.  CC ) )
488, 7, 47sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
pi  e.  CC  /\  ( Im `  A )  e.  CC ) )
491, 48syl 16 . . . . 5  |-  ( A  e.  ran  log  ->  ( pi  e.  CC  /\  ( Im `  A )  e.  CC ) )
50 neg11 9882 . . . . . 6  |-  ( ( pi  e.  CC  /\  ( Im `  A )  e.  CC )  -> 
( -u pi  =  -u ( Im `  A )  <-> 
pi  =  ( Im
`  A ) ) )
51 eqcom 2476 . . . . . 6  |-  ( pi  =  ( Im `  A )  <->  ( Im `  A )  =  pi )
5250, 51syl6bb 261 . . . . 5  |-  ( ( pi  e.  CC  /\  ( Im `  A )  e.  CC )  -> 
( -u pi  =  -u ( Im `  A )  <-> 
( Im `  A
)  =  pi ) )
5349, 52syl 16 . . . 4  |-  ( A  e.  ran  log  ->  (
-u pi  =  -u ( Im `  A )  <-> 
( Im `  A
)  =  pi ) )
5453orbi1d 702 . . 3  |-  ( A  e.  ran  log  ->  ( ( -u pi  =  -u ( Im `  A
)  \/  -u A  e.  ran  log )  <->  ( (
Im `  A )  =  pi  \/  -u A  e.  ran  log ) ) )
5544, 54mpbid 210 . 2  |-  ( A  e.  ran  log  ->  ( ( Im `  A
)  =  pi  \/  -u A  e.  ran  log ) )
5655orcanai 911 1  |-  ( ( A  e.  ran  log  /\ 
-.  ( Im `  A )  =  pi )  ->  -u A  e. 
ran  log )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   class class class wbr 4453   ran crn 5006   ` cfv 5594   CCcc 9502   RRcr 9503    < clt 9640    <_ cle 9641   -ucneg 9818   Imcim 12910   picpi 13680   logclog 22806
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582  ax-addf 9583  ax-mulf 9584
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-ixp 7482  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-fi 7883  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-cda 8560  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xneg 11330  df-xadd 11331  df-xmul 11332  df-ioo 11545  df-ioc 11546  df-ico 11547  df-icc 11548  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-fl 11909  df-mod 11977  df-seq 12088  df-exp 12147  df-fac 12334  df-bc 12361  df-hash 12386  df-shft 12879  df-cj 12911  df-re 12912  df-im 12913  df-sqrt 13047  df-abs 13048  df-limsup 13273  df-clim 13290  df-rlim 13291  df-sum 13488  df-ef 13681  df-sin 13683  df-cos 13684  df-pi 13686  df-struct 14508  df-ndx 14509  df-slot 14510  df-base 14511  df-sets 14512  df-ress 14513  df-plusg 14584  df-mulr 14585  df-starv 14586  df-sca 14587  df-vsca 14588  df-ip 14589  df-tset 14590  df-ple 14591  df-ds 14593  df-unif 14594  df-hom 14595  df-cco 14596  df-rest 14694  df-topn 14695  df-0g 14713  df-gsum 14714  df-topgen 14715  df-pt 14716  df-prds 14719  df-xrs 14773  df-qtop 14778  df-imas 14779  df-xps 14781  df-mre 14857  df-mrc 14858  df-acs 14860  df-mgm 15745  df-sgrp 15784  df-mnd 15794  df-submnd 15839  df-mulg 15931  df-cntz 16226  df-cmn 16671  df-psmet 18279  df-xmet 18280  df-met 18281  df-bl 18282  df-mopn 18283  df-fbas 18284  df-fg 18285  df-cnfld 18289  df-top 19266  df-bases 19268  df-topon 19269  df-topsp 19270  df-cld 19386  df-ntr 19387  df-cls 19388  df-nei 19465  df-lp 19503  df-perf 19504  df-cn 19594  df-cnp 19595  df-haus 19682  df-tx 19929  df-hmeo 20122  df-fil 20213  df-fm 20305  df-flim 20306  df-flf 20307  df-xms 20689  df-ms 20690  df-tms 20691  df-cncf 21248  df-limc 22136  df-dv 22137  df-log 22808
This theorem is referenced by:  logrec  23015
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