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Theorem logneg2 22190
Description: The logarithm of the negative of a number with positive imaginary part is  _i  x.  pi less than the original. (Compare logneg 22162.) (Contributed by Mario Carneiro, 3-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
logneg2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( log `  -u A
)  =  ( ( log `  A )  -  ( _i  x.  pi ) ) )

Proof of Theorem logneg2
StepHypRef Expression
1 imcl 12711 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  RR )
2 gt0ne0 9908 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Im `  A
)  e.  RR  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( Im `  A
)  =/=  0 )
31, 2sylan 471 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( Im `  A
)  =/=  0 )
4 fveq2 5792 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  0  ->  (
Im `  A )  =  ( Im ` 
0 ) )
5 im0 12753 . . . . . . . . 9  |-  ( Im
`  0 )  =  0
64, 5syl6eq 2508 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  0  ->  (
Im `  A )  =  0 )
76necon3i 2688 . . . . . . 7  |-  ( ( Im `  A )  =/=  0  ->  A  =/=  0 )
83, 7syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  A  =/=  0 )
9 logcl 22146 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( log `  A
)  e.  CC )
108, 9syldan 470 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( log `  A
)  e.  CC )
11 ax-icn 9445 . . . . . 6  |-  _i  e.  CC
12 picn 22048 . . . . . 6  |-  pi  e.  CC
1311, 12mulcli 9495 . . . . 5  |-  ( _i  x.  pi )  e.  CC
14 efsub 13495 . . . . 5  |-  ( ( ( log `  A
)  e.  CC  /\  ( _i  x.  pi )  e.  CC )  ->  ( exp `  (
( log `  A
)  -  ( _i  x.  pi ) ) )  =  ( ( exp `  ( log `  A ) )  / 
( exp `  (
_i  x.  pi )
) ) )
1510, 13, 14sylancl 662 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( exp `  (
( log `  A
)  -  ( _i  x.  pi ) ) )  =  ( ( exp `  ( log `  A ) )  / 
( exp `  (
_i  x.  pi )
) ) )
16 eflog 22154 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( exp `  ( log `  A ) )  =  A )
178, 16syldan 470 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( exp `  ( log `  A ) )  =  A )
18 efipi 22061 . . . . . 6  |-  ( exp `  ( _i  x.  pi ) )  =  -u
1
1918a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( exp `  (
_i  x.  pi )
)  =  -u 1
)
2017, 19oveq12d 6211 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( ( exp `  ( log `  A ) )  /  ( exp `  (
_i  x.  pi )
) )  =  ( A  /  -u 1
) )
21 ax-1cn 9444 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
22 ax-1ne0 9455 . . . . . . 7  |-  1  =/=  0
23 divneg2 10159 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  1  =/=  0 )  ->  -u ( A  /  1 )  =  ( A  /  -u 1
) )
2421, 22, 23mp3an23 1307 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  -u ( A  /  1 )  =  ( A  /  -u 1
) )
25 div1 10127 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  /  1 )  =  A )
2625negeqd 9708 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  -u ( A  /  1 )  = 
-u A )
2724, 26eqtr3d 2494 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  /  -u 1 )  = 
-u A )
2827adantr 465 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( A  /  -u 1
)  =  -u A
)
2915, 20, 283eqtrd 2496 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( exp `  (
( log `  A
)  -  ( _i  x.  pi ) ) )  =  -u A
)
3029fveq2d 5796 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( log `  ( exp `  ( ( log `  A )  -  (
_i  x.  pi )
) ) )  =  ( log `  -u A
) )
31 subcl 9713 . . . . 5  |-  ( ( ( log `  A
)  e.  CC  /\  ( _i  x.  pi )  e.  CC )  ->  ( ( log `  A
)  -  ( _i  x.  pi ) )  e.  CC )
3210, 13, 31sylancl 662 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( ( log `  A
)  -  ( _i  x.  pi ) )  e.  CC )
33 argimgt0 22187 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( Im `  ( log `  A ) )  e.  ( 0 (,) pi ) )
34 eliooord 11459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Im `  ( log `  A ) )  e.  ( 0 (,) pi )  ->  ( 0  < 
( Im `  ( log `  A ) )  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  <  pi ) )
3533, 34syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( 0  <  (
Im `  ( log `  A ) )  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  < 
pi ) )
3635simpld 459 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
0  <  ( Im `  ( log `  A
) ) )
37 imcl 12711 . . . . . . . . 9  |-  ( ( log `  A )  e.  CC  ->  (
Im `  ( log `  A ) )  e.  RR )
3810, 37syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR )
39 pire 22047 . . . . . . . . 9  |-  pi  e.  RR
4039renegcli 9774 . . . . . . . 8  |-  -u pi  e.  RR
41 ltaddpos2 9934 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR  /\  -u pi  e.  RR )  ->  (
0  <  ( Im `  ( log `  A
) )  <->  -u pi  <  ( ( Im `  ( log `  A ) )  +  -u pi ) ) )
4238, 40, 41sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( 0  <  (
Im `  ( log `  A ) )  <->  -u pi  <  ( ( Im `  ( log `  A ) )  +  -u pi ) ) )
4336, 42mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  -u pi  <  ( ( Im `  ( log `  A ) )  + 
-u pi ) )
4438recnd 9516 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( Im `  ( log `  A ) )  e.  CC )
45 negsub 9761 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Im `  ( log `  A ) )  e.  CC  /\  pi  e.  CC )  ->  (
( Im `  ( log `  A ) )  +  -u pi )  =  ( ( Im `  ( log `  A ) )  -  pi ) )
4644, 12, 45sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( ( Im `  ( log `  A ) )  +  -u pi )  =  ( (
Im `  ( log `  A ) )  -  pi ) )
4743, 46breqtrd 4417 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  -u pi  <  ( ( Im `  ( log `  A ) )  -  pi ) )
48 imsub 12735 . . . . . . 7  |-  ( ( ( log `  A
)  e.  CC  /\  ( _i  x.  pi )  e.  CC )  ->  ( Im `  (
( log `  A
)  -  ( _i  x.  pi ) ) )  =  ( ( Im `  ( log `  A ) )  -  ( Im `  ( _i  x.  pi ) ) ) )
4910, 13, 48sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( Im `  (
( log `  A
)  -  ( _i  x.  pi ) ) )  =  ( ( Im `  ( log `  A ) )  -  ( Im `  ( _i  x.  pi ) ) ) )
50 reim 12709 . . . . . . . . 9  |-  ( pi  e.  CC  ->  (
Re `  pi )  =  ( Im `  ( _i  x.  pi ) ) )
5112, 50ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( Re
`  pi )  =  ( Im `  (
_i  x.  pi )
)
52 rere 12722 . . . . . . . . 9  |-  ( pi  e.  RR  ->  (
Re `  pi )  =  pi )
5339, 52ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( Re
`  pi )  =  pi
5451, 53eqtr3i 2482 . . . . . . 7  |-  ( Im
`  ( _i  x.  pi ) )  =  pi
5554oveq2i 6204 . . . . . 6  |-  ( ( Im `  ( log `  A ) )  -  ( Im `  ( _i  x.  pi ) ) )  =  ( ( Im `  ( log `  A ) )  -  pi )
5649, 55syl6eq 2508 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( Im `  (
( log `  A
)  -  ( _i  x.  pi ) ) )  =  ( ( Im `  ( log `  A ) )  -  pi ) )
5747, 56breqtrrd 4419 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  -u pi  <  ( Im
`  ( ( log `  A )  -  (
_i  x.  pi )
) ) )
58 resubcl 9777 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  ->  (
( Im `  ( log `  A ) )  -  pi )  e.  RR )
5938, 39, 58sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( ( Im `  ( log `  A ) )  -  pi )  e.  RR )
6039a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  ->  pi  e.  RR )
61 0re 9490 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
62 pipos 22049 . . . . . . . 8  |-  0  <  pi
6361, 39, 62ltleii 9601 . . . . . . 7  |-  0  <_  pi
64 subge02 9959 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  ->  (
0  <_  pi  <->  ( (
Im `  ( log `  A ) )  -  pi )  <_  ( Im
`  ( log `  A
) ) ) )
6538, 39, 64sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( 0  <_  pi  <->  ( ( Im `  ( log `  A ) )  -  pi )  <_ 
( Im `  ( log `  A ) ) ) )
6663, 65mpbii 211 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( ( Im `  ( log `  A ) )  -  pi )  <_  ( Im `  ( log `  A ) ) )
67 logimcl 22147 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( -u pi  <  (
Im `  ( log `  A ) )  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  <_  pi ) )
688, 67syldan 470 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( -u pi  <  (
Im `  ( log `  A ) )  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  <_  pi ) )
6968simprd 463 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( Im `  ( log `  A ) )  <_  pi )
7059, 38, 60, 66, 69letrd 9632 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( ( Im `  ( log `  A ) )  -  pi )  <_  pi )
7156, 70eqbrtrd 4413 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( Im `  (
( log `  A
)  -  ( _i  x.  pi ) ) )  <_  pi )
72 ellogrn 22137 . . . 4  |-  ( ( ( log `  A
)  -  ( _i  x.  pi ) )  e.  ran  log  <->  ( (
( log `  A
)  -  ( _i  x.  pi ) )  e.  CC  /\  -u pi  <  ( Im `  (
( log `  A
)  -  ( _i  x.  pi ) ) )  /\  ( Im
`  ( ( log `  A )  -  (
_i  x.  pi )
) )  <_  pi ) )
7332, 57, 71, 72syl3anbrc 1172 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( ( log `  A
)  -  ( _i  x.  pi ) )  e.  ran  log )
74 logef 22156 . . 3  |-  ( ( ( log `  A
)  -  ( _i  x.  pi ) )  e.  ran  log  ->  ( log `  ( exp `  ( ( log `  A
)  -  ( _i  x.  pi ) ) ) )  =  ( ( log `  A
)  -  ( _i  x.  pi ) ) )
7573, 74syl 16 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( log `  ( exp `  ( ( log `  A )  -  (
_i  x.  pi )
) ) )  =  ( ( log `  A
)  -  ( _i  x.  pi ) ) )
7630, 75eqtr3d 2494 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  <  ( Im `  A ) )  -> 
( log `  -u A
)  =  ( ( log `  A )  -  ( _i  x.  pi ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2644   class class class wbr 4393   ran crn 4942   ` cfv 5519  (class class class)co 6193   CCcc 9384   RRcr 9385   0cc0 9386   1c1 9387   _ici 9388    + caddc 9389    x. cmul 9391    < clt 9522    <_ cle 9523    - cmin 9699   -ucneg 9700    / cdiv 10097   (,)cioo 11404   Recre 12697   Imcim 12698   expce 13458   picpi 13463   logclog 22132
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-inf2 7951  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463  ax-pre-sup 9464  ax-addf 9465  ax-mulf 9466
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-int 4230  df-iun 4274  df-iin 4275  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-se 4781  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-isom 5528  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-of 6423  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-supp 6794  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-1o 7023  df-2o 7024  df-oadd 7027  df-er 7204  df-map 7319  df-pm 7320  df-ixp 7367  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-fin 7417  df-fsupp 7725  df-fi 7765  df-sup 7795  df-oi 7828  df-card 8213  df-cda 8441  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-div 10098  df-nn 10427  df-2 10484  df-3 10485  df-4 10486  df-5 10487  df-6 10488  df-7 10489  df-8 10490  df-9 10491  df-10 10492  df-n0 10684  df-z 10751  df-dec 10860  df-uz 10966  df-q 11058  df-rp 11096  df-xneg 11193  df-xadd 11194  df-xmul 11195  df-ioo 11408  df-ioc 11409  df-ico 11410  df-icc 11411  df-fz 11548  df-fzo 11659  df-fl 11752  df-mod 11819  df-seq 11917  df-exp 11976  df-fac 12162  df-bc 12189  df-hash 12214  df-shft 12667  df-cj 12699  df-re 12700  df-im 12701  df-sqr 12835  df-abs 12836  df-limsup 13060  df-clim 13077  df-rlim 13078  df-sum 13275  df-ef 13464  df-sin 13466  df-cos 13467  df-pi 13469  df-struct 14287  df-ndx 14288  df-slot 14289  df-base 14290  df-sets 14291  df-ress 14292  df-plusg 14362  df-mulr 14363  df-starv 14364  df-sca 14365  df-vsca 14366  df-ip 14367  df-tset 14368  df-ple 14369  df-ds 14371  df-unif 14372  df-hom 14373  df-cco 14374  df-rest 14472  df-topn 14473  df-0g 14491  df-gsum 14492  df-topgen 14493  df-pt 14494  df-prds 14497  df-xrs 14551  df-qtop 14556  df-imas 14557  df-xps 14559  df-mre 14635  df-mrc 14636  df-acs 14638  df-mnd 15526  df-submnd 15576  df-mulg 15659  df-cntz 15946  df-cmn 16392  df-psmet 17927  df-xmet 17928  df-met 17929  df-bl 17930  df-mopn 17931  df-fbas 17932  df-fg 17933  df-cnfld 17937  df-top 18628  df-bases 18630  df-topon 18631  df-topsp 18632  df-cld 18748  df-ntr 18749  df-cls 18750  df-nei 18827  df-lp 18865  df-perf 18866  df-cn 18956  df-cnp 18957  df-haus 19044  df-tx 19260  df-hmeo 19453  df-fil 19544  df-fm 19636  df-flim 19637  df-flf 19638  df-xms 20020  df-ms 20021  df-tms 20022  df-cncf 20579  df-limc 21467  df-dv 21468  df-log 22134
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