MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  logleb Structured version   Unicode version

Theorem logleb 22713
Description: Natural logarithm preserves  <_. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
logleb  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( A  <_  B  <->  ( log `  A )  <_  ( log `  B ) ) )

Proof of Theorem logleb
StepHypRef Expression
1 logltb 22709 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR+  /\  A  e.  RR+ )  ->  ( B  <  A  <->  ( log `  B )  <  ( log `  A ) ) )
21ancoms 453 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( B  <  A  <->  ( log `  B )  <  ( log `  A ) ) )
32notbid 294 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( -.  B  <  A  <->  -.  ( log `  B )  < 
( log `  A
) ) )
4 rpre 11222 . . 3  |-  ( A  e.  RR+  ->  A  e.  RR )
5 rpre 11222 . . 3  |-  ( B  e.  RR+  ->  B  e.  RR )
6 lenlt 9659 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  <->  -.  B  <  A ) )
74, 5, 6syl2an 477 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( A  <_  B  <->  -.  B  <  A ) )
8 relogcl 22688 . . 3  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( log `  A )  e.  RR )
9 relogcl 22688 . . 3  |-  ( B  e.  RR+  ->  ( log `  B )  e.  RR )
10 lenlt 9659 . . 3  |-  ( ( ( log `  A
)  e.  RR  /\  ( log `  B )  e.  RR )  -> 
( ( log `  A
)  <_  ( log `  B )  <->  -.  ( log `  B )  < 
( log `  A
) ) )
118, 9, 10syl2an 477 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  (
( log `  A
)  <_  ( log `  B )  <->  -.  ( log `  B )  < 
( log `  A
) ) )
123, 7, 113bitr4d 285 1  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( A  <_  B  <->  ( log `  A )  <_  ( log `  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1767   class class class wbr 4447   ` cfv 5586   RRcr 9487    < clt 9624    <_ cle 9625   RR+crp 11216   logclog 22667
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566  ax-addf 9567  ax-mulf 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6899  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-ixp 7467  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fsupp 7826  df-fi 7867  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-xneg 11314  df-xadd 11315  df-xmul 11316  df-ioo 11529  df-ioc 11530  df-ico 11531  df-icc 11532  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-fl 11893  df-mod 11960  df-seq 12071  df-exp 12130  df-fac 12316  df-bc 12343  df-hash 12368  df-shft 12857  df-cj 12889  df-re 12890  df-im 12891  df-sqrt 13025  df-abs 13026  df-limsup 13250  df-clim 13267  df-rlim 13268  df-sum 13465  df-ef 13658  df-sin 13660  df-cos 13661  df-pi 13663  df-struct 14485  df-ndx 14486  df-slot 14487  df-base 14488  df-sets 14489  df-ress 14490  df-plusg 14561  df-mulr 14562  df-starv 14563  df-sca 14564  df-vsca 14565  df-ip 14566  df-tset 14567  df-ple 14568  df-ds 14570  df-unif 14571  df-hom 14572  df-cco 14573  df-rest 14671  df-topn 14672  df-0g 14690  df-gsum 14691  df-topgen 14692  df-pt 14693  df-prds 14696  df-xrs 14750  df-qtop 14755  df-imas 14756  df-xps 14758  df-mre 14834  df-mrc 14835  df-acs 14837  df-mnd 15725  df-submnd 15775  df-mulg 15858  df-cntz 16147  df-cmn 16593  df-psmet 18179  df-xmet 18180  df-met 18181  df-bl 18182  df-mopn 18183  df-fbas 18184  df-fg 18185  df-cnfld 18189  df-top 19163  df-bases 19165  df-topon 19166  df-topsp 19167  df-cld 19283  df-ntr 19284  df-cls 19285  df-nei 19362  df-lp 19400  df-perf 19401  df-cn 19491  df-cnp 19492  df-haus 19579  df-tx 19795  df-hmeo 19988  df-fil 20079  df-fm 20171  df-flim 20172  df-flf 20173  df-xms 20555  df-ms 20556  df-tms 20557  df-cncf 21114  df-limc 22002  df-dv 22003  df-log 22669
This theorem is referenced by:  logge0  22715  logled  22737  harmonicbnd3  23062  harmonicbnd4  23065  vmalelog  23205  logfacubnd  23221  logfacbnd3  23223  logfacrlim  23224  logexprlim  23225  rpvmasumlem  23397  dchrvmasumiflem1  23411  dchrisum0fno1  23421  dchrisum0re  23423  dirith2  23438  mulog2sumlem1  23444  mulog2sumlem2  23445  log2sumbnd  23454  selberg2lem  23460  chpdifbndlem1  23463  chpdifbndlem2  23464  logdivbnd  23466  selberg3lem1  23467  pntpbnd1a  23495  pntlemn  23510  pntlemj  23513  pntlemk  23516  reglogleb  30430
  Copyright terms: Public domain W3C validator