MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  logleb Structured version   Unicode version

Theorem logleb 23174
Description: Natural logarithm preserves  <_. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
logleb  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( A  <_  B  <->  ( log `  A )  <_  ( log `  B ) ) )

Proof of Theorem logleb
StepHypRef Expression
1 logltb 23171 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR+  /\  A  e.  RR+ )  ->  ( B  <  A  <->  ( log `  B )  <  ( log `  A ) ) )
21ancoms 451 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( B  <  A  <->  ( log `  B )  <  ( log `  A ) ) )
32notbid 292 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( -.  B  <  A  <->  -.  ( log `  B )  < 
( log `  A
) ) )
4 rpre 11189 . . 3  |-  ( A  e.  RR+  ->  A  e.  RR )
5 rpre 11189 . . 3  |-  ( B  e.  RR+  ->  B  e.  RR )
6 lenlt 9614 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  <->  -.  B  <  A ) )
74, 5, 6syl2an 475 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( A  <_  B  <->  -.  B  <  A ) )
8 relogcl 23147 . . 3  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( log `  A )  e.  RR )
9 relogcl 23147 . . 3  |-  ( B  e.  RR+  ->  ( log `  B )  e.  RR )
10 lenlt 9614 . . 3  |-  ( ( ( log `  A
)  e.  RR  /\  ( log `  B )  e.  RR )  -> 
( ( log `  A
)  <_  ( log `  B )  <->  -.  ( log `  B )  < 
( log `  A
) ) )
118, 9, 10syl2an 475 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  (
( log `  A
)  <_  ( log `  B )  <->  -.  ( log `  B )  < 
( log `  A
) ) )
123, 7, 113bitr4d 285 1  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( A  <_  B  <->  ( log `  A )  <_  ( log `  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    e. wcel 1842   class class class wbr 4394   ` cfv 5525   RRcr 9441    < clt 9578    <_ cle 9579   RR+crp 11183   logclog 23126
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-inf2 8011  ax-cnex 9498  ax-resscn 9499  ax-1cn 9500  ax-icn 9501  ax-addcl 9502  ax-addrcl 9503  ax-mulcl 9504  ax-mulrcl 9505  ax-mulcom 9506  ax-addass 9507  ax-mulass 9508  ax-distr 9509  ax-i2m1 9510  ax-1ne0 9511  ax-1rid 9512  ax-rnegex 9513  ax-rrecex 9514  ax-cnre 9515  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517  ax-pre-ltadd 9518  ax-pre-mulgt0 9519  ax-pre-sup 9520  ax-addf 9521  ax-mulf 9522
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-iin 4273  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-se 4782  df-we 4783  df-ord 4824  df-on 4825  df-lim 4826  df-suc 4827  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-isom 5534  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-of 6477  df-om 6639  df-1st 6738  df-2nd 6739  df-supp 6857  df-recs 6999  df-rdg 7033  df-1o 7087  df-2o 7088  df-oadd 7091  df-er 7268  df-map 7379  df-pm 7380  df-ixp 7428  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-fin 7478  df-fsupp 7784  df-fi 7825  df-sup 7855  df-oi 7889  df-card 8272  df-cda 8500  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-xr 9582  df-ltxr 9583  df-le 9584  df-sub 9763  df-neg 9764  df-div 10168  df-nn 10497  df-2 10555  df-3 10556  df-4 10557  df-5 10558  df-6 10559  df-7 10560  df-8 10561  df-9 10562  df-10 10563  df-n0 10757  df-z 10826  df-dec 10940  df-uz 11046  df-q 11146  df-rp 11184  df-xneg 11289  df-xadd 11290  df-xmul 11291  df-ioo 11504  df-ioc 11505  df-ico 11506  df-icc 11507  df-fz 11644  df-fzo 11768  df-fl 11879  df-mod 11948  df-seq 12062  df-exp 12121  df-fac 12308  df-bc 12335  df-hash 12360  df-shft 12956  df-cj 12988  df-re 12989  df-im 12990  df-sqrt 13124  df-abs 13125  df-limsup 13350  df-clim 13367  df-rlim 13368  df-sum 13565  df-ef 13904  df-sin 13906  df-cos 13907  df-pi 13909  df-struct 14735  df-ndx 14736  df-slot 14737  df-base 14738  df-sets 14739  df-ress 14740  df-plusg 14814  df-mulr 14815  df-starv 14816  df-sca 14817  df-vsca 14818  df-ip 14819  df-tset 14820  df-ple 14821  df-ds 14823  df-unif 14824  df-hom 14825  df-cco 14826  df-rest 14929  df-topn 14930  df-0g 14948  df-gsum 14949  df-topgen 14950  df-pt 14951  df-prds 14954  df-xrs 15008  df-qtop 15013  df-imas 15014  df-xps 15016  df-mre 15092  df-mrc 15093  df-acs 15095  df-mgm 16088  df-sgrp 16127  df-mnd 16137  df-submnd 16183  df-mulg 16276  df-cntz 16571  df-cmn 17016  df-psmet 18623  df-xmet 18624  df-met 18625  df-bl 18626  df-mopn 18627  df-fbas 18628  df-fg 18629  df-cnfld 18633  df-top 19583  df-bases 19585  df-topon 19586  df-topsp 19587  df-cld 19704  df-ntr 19705  df-cls 19706  df-nei 19784  df-lp 19822  df-perf 19823  df-cn 19913  df-cnp 19914  df-haus 20001  df-tx 20247  df-hmeo 20440  df-fil 20531  df-fm 20623  df-flim 20624  df-flf 20625  df-xms 21007  df-ms 21008  df-tms 21009  df-cncf 21566  df-limc 22454  df-dv 22455  df-log 23128
This theorem is referenced by:  logge0  23176  logled  23198  logbleb  23342  harmonicbnd3  23555  harmonicbnd4  23558  vmalelog  23753  logfacubnd  23769  logfacbnd3  23771  logfacrlim  23772  logexprlim  23773  rpvmasumlem  23945  dchrvmasumiflem1  23959  dchrisum0fno1  23969  dchrisum0re  23971  dirith2  23986  mulog2sumlem1  23992  mulog2sumlem2  23993  log2sumbnd  24002  selberg2lem  24008  chpdifbndlem1  24011  chpdifbndlem2  24012  logdivbnd  24014  selberg3lem1  24015  pntpbnd1a  24043  pntlemn  24058  pntlemj  24061  pntlemk  24064  reglogleb  35170
  Copyright terms: Public domain W3C validator