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Theorem logimul 23125
Description: Multiplying a number by  _i increases the logarithm of the number by  _i pi  / 
2. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
logimul  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  ( log `  ( _i  x.  A ) )  =  ( ( log `  A
)  +  ( _i  x.  ( pi  / 
2 ) ) ) )

Proof of Theorem logimul
StepHypRef Expression
1 logcl 23082 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( log `  A
)  e.  CC )
213adant3 1016 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  ( log `  A )  e.  CC )
3 ax-icn 9568 . . . . . 6  |-  _i  e.  CC
4 halfpire 22983 . . . . . . 7  |-  ( pi 
/  2 )  e.  RR
54recni 9625 . . . . . 6  |-  ( pi 
/  2 )  e.  CC
63, 5mulcli 9618 . . . . 5  |-  ( _i  x.  ( pi  / 
2 ) )  e.  CC
7 efadd 13841 . . . . 5  |-  ( ( ( log `  A
)  e.  CC  /\  ( _i  x.  (
pi  /  2 ) )  e.  CC )  ->  ( exp `  (
( log `  A
)  +  ( _i  x.  ( pi  / 
2 ) ) ) )  =  ( ( exp `  ( log `  A ) )  x.  ( exp `  (
_i  x.  ( pi  /  2 ) ) ) ) )
82, 6, 7sylancl 662 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  ( exp `  ( ( log `  A )  +  ( _i  x.  ( pi 
/  2 ) ) ) )  =  ( ( exp `  ( log `  A ) )  x.  ( exp `  (
_i  x.  ( pi  /  2 ) ) ) ) )
9 eflog 23090 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( exp `  ( log `  A ) )  =  A )
1093adant3 1016 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  ( exp `  ( log `  A
) )  =  A )
11 efhalfpi 22990 . . . . . 6  |-  ( exp `  ( _i  x.  (
pi  /  2 ) ) )  =  _i
1211a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  ( exp `  ( _i  x.  ( pi  /  2
) ) )  =  _i )
1310, 12oveq12d 6314 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
( exp `  ( log `  A ) )  x.  ( exp `  (
_i  x.  ( pi  /  2 ) ) ) )  =  ( A  x.  _i ) )
14 simp1 996 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  A  e.  CC )
15 mulcom 9595 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  _i  e.  CC )  -> 
( A  x.  _i )  =  ( _i  x.  A ) )
1614, 3, 15sylancl 662 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  ( A  x.  _i )  =  ( _i  x.  A ) )
178, 13, 163eqtrd 2502 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  ( exp `  ( ( log `  A )  +  ( _i  x.  ( pi 
/  2 ) ) ) )  =  ( _i  x.  A ) )
1817fveq2d 5876 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  ( log `  ( exp `  (
( log `  A
)  +  ( _i  x.  ( pi  / 
2 ) ) ) ) )  =  ( log `  ( _i  x.  A ) ) )
19 addcl 9591 . . . . 5  |-  ( ( ( log `  A
)  e.  CC  /\  ( _i  x.  (
pi  /  2 ) )  e.  CC )  ->  ( ( log `  A )  +  ( _i  x.  ( pi 
/  2 ) ) )  e.  CC )
202, 6, 19sylancl 662 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
( log `  A
)  +  ( _i  x.  ( pi  / 
2 ) ) )  e.  CC )
21 pire 22977 . . . . . . . 8  |-  pi  e.  RR
2221renegcli 9899 . . . . . . 7  |-  -u pi  e.  RR
2322a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  -u pi  e.  RR )
242imcld 13040 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( log `  A ) )  e.  RR )
25 readdcl 9592 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR  /\  (
pi  /  2 )  e.  RR )  -> 
( ( Im `  ( log `  A ) )  +  ( pi 
/  2 ) )  e.  RR )
2624, 4, 25sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
( Im `  ( log `  A ) )  +  ( pi  / 
2 ) )  e.  RR )
27 logimcl 23083 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( -u pi  <  (
Im `  ( log `  A ) )  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  <_  pi ) )
28273adant3 1016 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  ( -u pi  <  ( Im
`  ( log `  A
) )  /\  (
Im `  ( log `  A ) )  <_  pi ) )
2928simpld 459 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  -u pi  <  ( Im `  ( log `  A ) ) )
30 pirp 22980 . . . . . . . 8  |-  pi  e.  RR+
31 rphalfcl 11269 . . . . . . . 8  |-  ( pi  e.  RR+  ->  ( pi 
/  2 )  e.  RR+ )
3230, 31ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( pi 
/  2 )  e.  RR+
33 ltaddrp 11277 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR  /\  (
pi  /  2 )  e.  RR+ )  ->  (
Im `  ( log `  A ) )  < 
( ( Im `  ( log `  A ) )  +  ( pi 
/  2 ) ) )
3424, 32, 33sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( log `  A ) )  < 
( ( Im `  ( log `  A ) )  +  ( pi 
/  2 ) ) )
3523, 24, 26, 29, 34lttrd 9760 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  -u pi  <  ( ( Im `  ( log `  A ) )  +  ( pi 
/  2 ) ) )
36 imadd 12979 . . . . . . 7  |-  ( ( ( log `  A
)  e.  CC  /\  ( _i  x.  (
pi  /  2 ) )  e.  CC )  ->  ( Im `  ( ( log `  A
)  +  ( _i  x.  ( pi  / 
2 ) ) ) )  =  ( ( Im `  ( log `  A ) )  +  ( Im `  (
_i  x.  ( pi  /  2 ) ) ) ) )
372, 6, 36sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( ( log `  A )  +  ( _i  x.  (
pi  /  2 ) ) ) )  =  ( ( Im `  ( log `  A ) )  +  ( Im
`  ( _i  x.  ( pi  /  2
) ) ) ) )
38 reim 12954 . . . . . . . . 9  |-  ( ( pi  /  2 )  e.  CC  ->  (
Re `  ( pi  /  2 ) )  =  ( Im `  (
_i  x.  ( pi  /  2 ) ) ) )
395, 38ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( Re
`  ( pi  / 
2 ) )  =  ( Im `  (
_i  x.  ( pi  /  2 ) ) )
40 rere 12967 . . . . . . . . 9  |-  ( ( pi  /  2 )  e.  RR  ->  (
Re `  ( pi  /  2 ) )  =  ( pi  /  2
) )
414, 40ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( Re
`  ( pi  / 
2 ) )  =  ( pi  /  2
)
4239, 41eqtr3i 2488 . . . . . . 7  |-  ( Im
`  ( _i  x.  ( pi  /  2
) ) )  =  ( pi  /  2
)
4342oveq2i 6307 . . . . . 6  |-  ( ( Im `  ( log `  A ) )  +  ( Im `  (
_i  x.  ( pi  /  2 ) ) ) )  =  ( ( Im `  ( log `  A ) )  +  ( pi  /  2
) )
4437, 43syl6eq 2514 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( ( log `  A )  +  ( _i  x.  (
pi  /  2 ) ) ) )  =  ( ( Im `  ( log `  A ) )  +  ( pi 
/  2 ) ) )
4535, 44breqtrrd 4482 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  -u pi  <  ( Im `  (
( log `  A
)  +  ( _i  x.  ( pi  / 
2 ) ) ) ) )
46 argrege0 23122 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( log `  A ) )  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) ) )
474renegcli 9899 . . . . . . . . . 10  |-  -u (
pi  /  2 )  e.  RR
4847, 4elicc2i 11615 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Im `  ( log `  A ) )  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) )  <->  ( (
Im `  ( log `  A ) )  e.  RR  /\  -u (
pi  /  2 )  <_  ( Im `  ( log `  A ) )  /\  ( Im
`  ( log `  A
) )  <_  (
pi  /  2 ) ) )
4948simp3bi 1013 . . . . . . . 8  |-  ( ( Im `  ( log `  A ) )  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) )  ->  (
Im `  ( log `  A ) )  <_ 
( pi  /  2
) )
5046, 49syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( log `  A ) )  <_ 
( pi  /  2
) )
5121recni 9625 . . . . . . . 8  |-  pi  e.  CC
52 pidiv2halves 22986 . . . . . . . 8  |-  ( ( pi  /  2 )  +  ( pi  / 
2 ) )  =  pi
5351, 5, 5, 52subaddrii 9928 . . . . . . 7  |-  ( pi 
-  ( pi  / 
2 ) )  =  ( pi  /  2
)
5450, 53syl6breqr 4496 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( log `  A ) )  <_ 
( pi  -  (
pi  /  2 ) ) )
554a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
pi  /  2 )  e.  RR )
5621a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  pi  e.  RR )
57 leaddsub 10049 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR  /\  (
pi  /  2 )  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  ->  (
( ( Im `  ( log `  A ) )  +  ( pi 
/  2 ) )  <_  pi  <->  ( Im `  ( log `  A
) )  <_  (
pi  -  ( pi  /  2 ) ) ) )
5824, 55, 56, 57syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
( ( Im `  ( log `  A ) )  +  ( pi 
/  2 ) )  <_  pi  <->  ( Im `  ( log `  A
) )  <_  (
pi  -  ( pi  /  2 ) ) ) )
5954, 58mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
( Im `  ( log `  A ) )  +  ( pi  / 
2 ) )  <_  pi )
6044, 59eqbrtrd 4476 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( ( log `  A )  +  ( _i  x.  (
pi  /  2 ) ) ) )  <_  pi )
61 ellogrn 23073 . . . 4  |-  ( ( ( log `  A
)  +  ( _i  x.  ( pi  / 
2 ) ) )  e.  ran  log  <->  ( (
( log `  A
)  +  ( _i  x.  ( pi  / 
2 ) ) )  e.  CC  /\  -u pi  <  ( Im `  (
( log `  A
)  +  ( _i  x.  ( pi  / 
2 ) ) ) )  /\  ( Im
`  ( ( log `  A )  +  ( _i  x.  ( pi 
/  2 ) ) ) )  <_  pi ) )
6220, 45, 60, 61syl3anbrc 1180 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
( log `  A
)  +  ( _i  x.  ( pi  / 
2 ) ) )  e.  ran  log )
63 logef 23092 . . 3  |-  ( ( ( log `  A
)  +  ( _i  x.  ( pi  / 
2 ) ) )  e.  ran  log  ->  ( log `  ( exp `  ( ( log `  A
)  +  ( _i  x.  ( pi  / 
2 ) ) ) ) )  =  ( ( log `  A
)  +  ( _i  x.  ( pi  / 
2 ) ) ) )
6462, 63syl 16 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  ( log `  ( exp `  (
( log `  A
)  +  ( _i  x.  ( pi  / 
2 ) ) ) ) )  =  ( ( log `  A
)  +  ( _i  x.  ( pi  / 
2 ) ) ) )
6518, 64eqtr3d 2500 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  ( log `  ( _i  x.  A ) )  =  ( ( log `  A
)  +  ( _i  x.  ( pi  / 
2 ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   class class class wbr 4456   ran crn 5009   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   _ici 9511    + caddc 9512    x. cmul 9514    < clt 9645    <_ cle 9646    - cmin 9824   -ucneg 9825    / cdiv 10227   2c2 10606   RR+crp 11245   [,]cicc 11557   Recre 12942   Imcim 12943   expce 13809   picpi 13814   logclog 23068
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ioc 11559  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-fl 11932  df-mod 12000  df-seq 12111  df-exp 12170  df-fac 12357  df-bc 12384  df-hash 12409  df-shft 12912  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-limsup 13306  df-clim 13323  df-rlim 13324  df-sum 13521  df-ef 13815  df-sin 13817  df-cos 13818  df-pi 13820  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-starv 14727  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-unif 14735  df-hom 14736  df-cco 14737  df-rest 14840  df-topn 14841  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-topgen 14861  df-pt 14862  df-prds 14865  df-xrs 14919  df-qtop 14924  df-imas 14925  df-xps 14927  df-mre 15003  df-mrc 15004  df-acs 15006  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-submnd 16094  df-mulg 16187  df-cntz 16482  df-cmn 16927  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-fbas 18543  df-fg 18544  df-cnfld 18548  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-topsp 19530  df-cld 19647  df-ntr 19648  df-cls 19649  df-nei 19726  df-lp 19764  df-perf 19765  df-cn 19855  df-cnp 19856  df-haus 19943  df-tx 20189  df-hmeo 20382  df-fil 20473  df-fm 20565  df-flim 20566  df-flf 20567  df-xms 20949  df-ms 20950  df-tms 20951  df-cncf 21508  df-limc 22396  df-dv 22397  df-log 23070
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