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Theorem logimul 23575
Description: Multiplying a number by  _i increases the logarithm of the number by  _i pi  / 
2. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
logimul  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  ( log `  ( _i  x.  A ) )  =  ( ( log `  A
)  +  ( _i  x.  ( pi  / 
2 ) ) ) )

Proof of Theorem logimul
StepHypRef Expression
1 logcl 23530 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( log `  A
)  e.  CC )
213adant3 1029 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  ( log `  A )  e.  CC )
3 ax-icn 9603 . . . . . 6  |-  _i  e.  CC
4 halfpire 23431 . . . . . . 7  |-  ( pi 
/  2 )  e.  RR
54recni 9660 . . . . . 6  |-  ( pi 
/  2 )  e.  CC
63, 5mulcli 9653 . . . . 5  |-  ( _i  x.  ( pi  / 
2 ) )  e.  CC
7 efadd 14160 . . . . 5  |-  ( ( ( log `  A
)  e.  CC  /\  ( _i  x.  (
pi  /  2 ) )  e.  CC )  ->  ( exp `  (
( log `  A
)  +  ( _i  x.  ( pi  / 
2 ) ) ) )  =  ( ( exp `  ( log `  A ) )  x.  ( exp `  (
_i  x.  ( pi  /  2 ) ) ) ) )
82, 6, 7sylancl 669 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  ( exp `  ( ( log `  A )  +  ( _i  x.  ( pi 
/  2 ) ) ) )  =  ( ( exp `  ( log `  A ) )  x.  ( exp `  (
_i  x.  ( pi  /  2 ) ) ) ) )
9 eflog 23538 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( exp `  ( log `  A ) )  =  A )
1093adant3 1029 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  ( exp `  ( log `  A
) )  =  A )
11 efhalfpi 23438 . . . . . 6  |-  ( exp `  ( _i  x.  (
pi  /  2 ) ) )  =  _i
1211a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  ( exp `  ( _i  x.  ( pi  /  2
) ) )  =  _i )
1310, 12oveq12d 6313 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
( exp `  ( log `  A ) )  x.  ( exp `  (
_i  x.  ( pi  /  2 ) ) ) )  =  ( A  x.  _i ) )
14 simp1 1009 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  A  e.  CC )
15 mulcom 9630 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  _i  e.  CC )  -> 
( A  x.  _i )  =  ( _i  x.  A ) )
1614, 3, 15sylancl 669 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  ( A  x.  _i )  =  ( _i  x.  A ) )
178, 13, 163eqtrd 2491 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  ( exp `  ( ( log `  A )  +  ( _i  x.  ( pi 
/  2 ) ) ) )  =  ( _i  x.  A ) )
1817fveq2d 5874 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  ( log `  ( exp `  (
( log `  A
)  +  ( _i  x.  ( pi  / 
2 ) ) ) ) )  =  ( log `  ( _i  x.  A ) ) )
19 addcl 9626 . . . . 5  |-  ( ( ( log `  A
)  e.  CC  /\  ( _i  x.  (
pi  /  2 ) )  e.  CC )  ->  ( ( log `  A )  +  ( _i  x.  ( pi 
/  2 ) ) )  e.  CC )
202, 6, 19sylancl 669 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
( log `  A
)  +  ( _i  x.  ( pi  / 
2 ) ) )  e.  CC )
21 pire 23425 . . . . . . . 8  |-  pi  e.  RR
2221renegcli 9940 . . . . . . 7  |-  -u pi  e.  RR
2322a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  -u pi  e.  RR )
242imcld 13270 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( log `  A ) )  e.  RR )
25 readdcl 9627 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR  /\  (
pi  /  2 )  e.  RR )  -> 
( ( Im `  ( log `  A ) )  +  ( pi 
/  2 ) )  e.  RR )
2624, 4, 25sylancl 669 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
( Im `  ( log `  A ) )  +  ( pi  / 
2 ) )  e.  RR )
27 logimcl 23531 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( -u pi  <  (
Im `  ( log `  A ) )  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  <_  pi ) )
28273adant3 1029 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  ( -u pi  <  ( Im
`  ( log `  A
) )  /\  (
Im `  ( log `  A ) )  <_  pi ) )
2928simpld 461 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  -u pi  <  ( Im `  ( log `  A ) ) )
30 pirp 23428 . . . . . . . 8  |-  pi  e.  RR+
31 rphalfcl 11334 . . . . . . . 8  |-  ( pi  e.  RR+  ->  ( pi 
/  2 )  e.  RR+ )
3230, 31ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( pi 
/  2 )  e.  RR+
33 ltaddrp 11343 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR  /\  (
pi  /  2 )  e.  RR+ )  ->  (
Im `  ( log `  A ) )  < 
( ( Im `  ( log `  A ) )  +  ( pi 
/  2 ) ) )
3424, 32, 33sylancl 669 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( log `  A ) )  < 
( ( Im `  ( log `  A ) )  +  ( pi 
/  2 ) ) )
3523, 24, 26, 29, 34lttrd 9801 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  -u pi  <  ( ( Im `  ( log `  A ) )  +  ( pi 
/  2 ) ) )
36 imadd 13209 . . . . . . 7  |-  ( ( ( log `  A
)  e.  CC  /\  ( _i  x.  (
pi  /  2 ) )  e.  CC )  ->  ( Im `  ( ( log `  A
)  +  ( _i  x.  ( pi  / 
2 ) ) ) )  =  ( ( Im `  ( log `  A ) )  +  ( Im `  (
_i  x.  ( pi  /  2 ) ) ) ) )
372, 6, 36sylancl 669 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( ( log `  A )  +  ( _i  x.  (
pi  /  2 ) ) ) )  =  ( ( Im `  ( log `  A ) )  +  ( Im
`  ( _i  x.  ( pi  /  2
) ) ) ) )
38 reim 13184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( pi  /  2 )  e.  CC  ->  (
Re `  ( pi  /  2 ) )  =  ( Im `  (
_i  x.  ( pi  /  2 ) ) ) )
395, 38ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( Re
`  ( pi  / 
2 ) )  =  ( Im `  (
_i  x.  ( pi  /  2 ) ) )
40 rere 13197 . . . . . . . . 9  |-  ( ( pi  /  2 )  e.  RR  ->  (
Re `  ( pi  /  2 ) )  =  ( pi  /  2
) )
414, 40ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( Re
`  ( pi  / 
2 ) )  =  ( pi  /  2
)
4239, 41eqtr3i 2477 . . . . . . 7  |-  ( Im
`  ( _i  x.  ( pi  /  2
) ) )  =  ( pi  /  2
)
4342oveq2i 6306 . . . . . 6  |-  ( ( Im `  ( log `  A ) )  +  ( Im `  (
_i  x.  ( pi  /  2 ) ) ) )  =  ( ( Im `  ( log `  A ) )  +  ( pi  /  2
) )
4437, 43syl6eq 2503 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( ( log `  A )  +  ( _i  x.  (
pi  /  2 ) ) ) )  =  ( ( Im `  ( log `  A ) )  +  ( pi 
/  2 ) ) )
4535, 44breqtrrd 4432 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  -u pi  <  ( Im `  (
( log `  A
)  +  ( _i  x.  ( pi  / 
2 ) ) ) ) )
46 argrege0 23572 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( log `  A ) )  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) ) )
474renegcli 9940 . . . . . . . . . 10  |-  -u (
pi  /  2 )  e.  RR
4847, 4elicc2i 11707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Im `  ( log `  A ) )  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) )  <->  ( (
Im `  ( log `  A ) )  e.  RR  /\  -u (
pi  /  2 )  <_  ( Im `  ( log `  A ) )  /\  ( Im
`  ( log `  A
) )  <_  (
pi  /  2 ) ) )
4948simp3bi 1026 . . . . . . . 8  |-  ( ( Im `  ( log `  A ) )  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) )  ->  (
Im `  ( log `  A ) )  <_ 
( pi  /  2
) )
5046, 49syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( log `  A ) )  <_ 
( pi  /  2
) )
5121recni 9660 . . . . . . . 8  |-  pi  e.  CC
52 pidiv2halves 23434 . . . . . . . 8  |-  ( ( pi  /  2 )  +  ( pi  / 
2 ) )  =  pi
5351, 5, 5, 52subaddrii 9969 . . . . . . 7  |-  ( pi 
-  ( pi  / 
2 ) )  =  ( pi  /  2
)
5450, 53syl6breqr 4446 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( log `  A ) )  <_ 
( pi  -  (
pi  /  2 ) ) )
554a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
pi  /  2 )  e.  RR )
5621a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  pi  e.  RR )
57 leaddsub 10097 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR  /\  (
pi  /  2 )  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  ->  (
( ( Im `  ( log `  A ) )  +  ( pi 
/  2 ) )  <_  pi  <->  ( Im `  ( log `  A
) )  <_  (
pi  -  ( pi  /  2 ) ) ) )
5824, 55, 56, 57syl3anc 1269 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
( ( Im `  ( log `  A ) )  +  ( pi 
/  2 ) )  <_  pi  <->  ( Im `  ( log `  A
) )  <_  (
pi  -  ( pi  /  2 ) ) ) )
5954, 58mpbird 236 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
( Im `  ( log `  A ) )  +  ( pi  / 
2 ) )  <_  pi )
6044, 59eqbrtrd 4426 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
Im `  ( ( log `  A )  +  ( _i  x.  (
pi  /  2 ) ) ) )  <_  pi )
61 ellogrn 23521 . . . 4  |-  ( ( ( log `  A
)  +  ( _i  x.  ( pi  / 
2 ) ) )  e.  ran  log  <->  ( (
( log `  A
)  +  ( _i  x.  ( pi  / 
2 ) ) )  e.  CC  /\  -u pi  <  ( Im `  (
( log `  A
)  +  ( _i  x.  ( pi  / 
2 ) ) ) )  /\  ( Im
`  ( ( log `  A )  +  ( _i  x.  ( pi 
/  2 ) ) ) )  <_  pi ) )
6220, 45, 60, 61syl3anbrc 1193 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  (
( log `  A
)  +  ( _i  x.  ( pi  / 
2 ) ) )  e.  ran  log )
63 logef 23543 . . 3  |-  ( ( ( log `  A
)  +  ( _i  x.  ( pi  / 
2 ) ) )  e.  ran  log  ->  ( log `  ( exp `  ( ( log `  A
)  +  ( _i  x.  ( pi  / 
2 ) ) ) ) )  =  ( ( log `  A
)  +  ( _i  x.  ( pi  / 
2 ) ) ) )
6462, 63syl 17 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  ( log `  ( exp `  (
( log `  A
)  +  ( _i  x.  ( pi  / 
2 ) ) ) ) )  =  ( ( log `  A
)  +  ( _i  x.  ( pi  / 
2 ) ) ) )
6518, 64eqtr3d 2489 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  0  <_  ( Re `  A
) )  ->  ( log `  ( _i  x.  A ) )  =  ( ( log `  A
)  +  ( _i  x.  ( pi  / 
2 ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 986    = wceq 1446    e. wcel 1889    =/= wne 2624   class class class wbr 4405   ran crn 4838   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   CCcc 9542   RRcr 9543   0cc0 9544   _ici 9546    + caddc 9547    x. cmul 9549    < clt 9680    <_ cle 9681    - cmin 9865   -ucneg 9866    / cdiv 10276   2c2 10666   RR+crp 11309   [,]cicc 11645   Recre 13172   Imcim 13173   expce 14126   picpi 14131   logclog 23516
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-inf2 8151  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621  ax-pre-sup 9622  ax-addf 9623  ax-mulf 9624
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-fal 1452  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-iin 4284  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-se 4797  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-isom 5594  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6536  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-supp 6920  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-2o 7188  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-pm 7480  df-ixp 7528  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-fsupp 7889  df-fi 7930  df-sup 7961  df-inf 7962  df-oi 8030  df-card 8378  df-cda 8603  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-7 10680  df-8 10681  df-9 10682  df-10 10683  df-n0 10877  df-z 10945  df-dec 11059  df-uz 11167  df-q 11272  df-rp 11310  df-xneg 11416  df-xadd 11417  df-xmul 11418  df-ioo 11646  df-ioc 11647  df-ico 11648  df-icc 11649  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-fl 12035  df-mod 12104  df-seq 12221  df-exp 12280  df-fac 12467  df-bc 12495  df-hash 12523  df-shft 13142  df-cj 13174  df-re 13175  df-im 13176  df-sqrt 13310  df-abs 13311  df-limsup 13538  df-clim 13564  df-rlim 13565  df-sum 13765  df-ef 14133  df-sin 14135  df-cos 14136  df-pi 14138  df-struct 15135  df-ndx 15136  df-slot 15137  df-base 15138  df-sets 15139  df-ress 15140  df-plusg 15215  df-mulr 15216  df-starv 15217  df-sca 15218  df-vsca 15219  df-ip 15220  df-tset 15221  df-ple 15222  df-ds 15224  df-unif 15225  df-hom 15226  df-cco 15227  df-rest 15333  df-topn 15334  df-0g 15352  df-gsum 15353  df-topgen 15354  df-pt 15355  df-prds 15358  df-xrs 15412  df-qtop 15418  df-imas 15419  df-xps 15422  df-mre 15504  df-mrc 15505  df-acs 15507  df-mgm 16500  df-sgrp 16539  df-mnd 16549  df-submnd 16595  df-mulg 16688  df-cntz 16983  df-cmn 17444  df-psmet 18974  df-xmet 18975  df-met 18976  df-bl 18977  df-mopn 18978  df-fbas 18979  df-fg 18980  df-cnfld 18983  df-top 19933  df-bases 19934  df-topon 19935  df-topsp 19936  df-cld 20046  df-ntr 20047  df-cls 20048  df-nei 20126  df-lp 20164  df-perf 20165  df-cn 20255  df-cnp 20256  df-haus 20343  df-tx 20589  df-hmeo 20782  df-fil 20873  df-fm 20965  df-flim 20966  df-flf 20967  df-xms 21347  df-ms 21348  df-tms 21349  df-cncf 21922  df-limc 22833  df-dv 22834  df-log 23518
This theorem is referenced by:  atanlogsublem  23853
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