MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  logfacubnd Structured version   Unicode version

Theorem logfacubnd 24012
Description: A simple upper bound on the logarithm of a factorial. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
logfacubnd  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  ( log `  ( ! `  ( |_ `  A ) ) )  <_  ( A  x.  ( log `  A ) ) )

Proof of Theorem logfacubnd
StepHypRef Expression
1 rpre 11308 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR+  ->  A  e.  RR )
2 flge1nn 12052 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  -> 
( |_ `  A
)  e.  NN )
31, 2sylan 473 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  ( |_ `  A )  e.  NN )
43nnnn0d 10925 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  ( |_ `  A )  e. 
NN0 )
5 faccl 12466 . . . . 5  |-  ( ( |_ `  A )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( |_ `  A ) )  e.  NN )
64, 5syl 17 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  ( ! `  ( |_ `  A ) )  e.  NN )
76nnrpd 11339 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  ( ! `  ( |_ `  A ) )  e.  RR+ )
87relogcld 23437 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  ( log `  ( ! `  ( |_ `  A ) ) )  e.  RR )
91adantr 466 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  A  e.  RR )
10 reflcl 12029 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  e.  RR )
119, 10syl 17 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  ( |_ `  A )  e.  RR )
123nnrpd 11339 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  ( |_ `  A )  e.  RR+ )
1312relogcld 23437 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  ( log `  ( |_ `  A ) )  e.  RR )
1411, 13remulcld 9670 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  (
( |_ `  A
)  x.  ( log `  ( |_ `  A
) ) )  e.  RR )
15 relogcl 23390 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( log `  A )  e.  RR )
1615adantr 466 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  ( log `  A )  e.  RR )
179, 16remulcld 9670 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  ( A  x.  ( log `  A ) )  e.  RR )
18 facubnd 12482 . . . . 5  |-  ( ( |_ `  A )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( |_ `  A ) )  <_ 
( ( |_ `  A ) ^ ( |_ `  A ) ) )
194, 18syl 17 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  ( ! `  ( |_ `  A ) )  <_ 
( ( |_ `  A ) ^ ( |_ `  A ) ) )
203, 4nnexpcld 12434 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  (
( |_ `  A
) ^ ( |_
`  A ) )  e.  NN )
2120nnrpd 11339 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  (
( |_ `  A
) ^ ( |_
`  A ) )  e.  RR+ )
227, 21logled 23441 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  (
( ! `  ( |_ `  A ) )  <_  ( ( |_
`  A ) ^
( |_ `  A
) )  <->  ( log `  ( ! `  ( |_ `  A ) ) )  <_  ( log `  ( ( |_ `  A ) ^ ( |_ `  A ) ) ) ) )
2319, 22mpbid 213 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  ( log `  ( ! `  ( |_ `  A ) ) )  <_  ( log `  ( ( |_
`  A ) ^
( |_ `  A
) ) ) )
243nnzd 11039 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  ( |_ `  A )  e.  ZZ )
25 relogexp 23410 . . . 4  |-  ( ( ( |_ `  A
)  e.  RR+  /\  ( |_ `  A )  e.  ZZ )  ->  ( log `  ( ( |_
`  A ) ^
( |_ `  A
) ) )  =  ( ( |_ `  A )  x.  ( log `  ( |_ `  A ) ) ) )
2612, 24, 25syl2anc 665 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  ( log `  ( ( |_
`  A ) ^
( |_ `  A
) ) )  =  ( ( |_ `  A )  x.  ( log `  ( |_ `  A ) ) ) )
2723, 26breqtrd 4450 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  ( log `  ( ! `  ( |_ `  A ) ) )  <_  (
( |_ `  A
)  x.  ( log `  ( |_ `  A
) ) ) )
28 flle 12032 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  <_  A )
299, 28syl 17 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  ( |_ `  A )  <_  A )
30 simpl 458 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  A  e.  RR+ )
3112, 30logled 23441 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  (
( |_ `  A
)  <_  A  <->  ( log `  ( |_ `  A
) )  <_  ( log `  A ) ) )
3229, 31mpbid 213 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  ( log `  ( |_ `  A ) )  <_ 
( log `  A
) )
3312rprege0d 11348 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  (
( |_ `  A
)  e.  RR  /\  0  <_  ( |_ `  A ) ) )
34 log1 23400 . . . . . 6  |-  ( log `  1 )  =  0
353nnge1d 10652 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  1  <_  ( |_ `  A
) )
36 1rp 11306 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR+
37 logleb 23417 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  RR+  /\  ( |_ `  A )  e.  RR+ )  ->  ( 1  <_  ( |_ `  A )  <->  ( log `  1 )  <_  ( log `  ( |_ `  A ) ) ) )
3836, 12, 37sylancr 667 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  (
1  <_  ( |_ `  A )  <->  ( log `  1 )  <_  ( log `  ( |_ `  A ) ) ) )
3935, 38mpbid 213 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  ( log `  1 )  <_ 
( log `  ( |_ `  A ) ) )
4034, 39syl5eqbrr 4460 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  0  <_  ( log `  ( |_ `  A ) ) )
4113, 40jca 534 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  (
( log `  ( |_ `  A ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( log `  ( |_ `  A ) ) ) )
42 lemul12a 10462 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( |_
`  A )  e.  RR  /\  0  <_ 
( |_ `  A
) )  /\  A  e.  RR )  /\  (
( ( log `  ( |_ `  A ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( log `  ( |_ `  A ) ) )  /\  ( log `  A )  e.  RR ) )  ->  (
( ( |_ `  A )  <_  A  /\  ( log `  ( |_ `  A ) )  <_  ( log `  A
) )  ->  (
( |_ `  A
)  x.  ( log `  ( |_ `  A
) ) )  <_ 
( A  x.  ( log `  A ) ) ) )
4333, 9, 41, 16, 42syl22anc 1265 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  (
( ( |_ `  A )  <_  A  /\  ( log `  ( |_ `  A ) )  <_  ( log `  A
) )  ->  (
( |_ `  A
)  x.  ( log `  ( |_ `  A
) ) )  <_ 
( A  x.  ( log `  A ) ) ) )
4429, 32, 43mp2and 683 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  (
( |_ `  A
)  x.  ( log `  ( |_ `  A
) ) )  <_ 
( A  x.  ( log `  A ) ) )
458, 14, 17, 27, 44letrd 9791 1  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  ( log `  ( ! `  ( |_ `  A ) ) )  <_  ( A  x.  ( log `  A ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870   class class class wbr 4426   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   RRcr 9537   0cc0 9538   1c1 9539    x. cmul 9543    <_ cle 9675   NNcn 10609   NN0cn0 10869   ZZcz 10937   RR+crp 11302   |_cfl 12023   ^cexp 12269   !cfa 12456   logclog 23369
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616  ax-addf 9617  ax-mulf 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-pm 7483  df-ixp 7531  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-fi 7931  df-sup 7962  df-inf 7963  df-oi 8025  df-card 8372  df-cda 8596  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-fl 12025  df-mod 12094  df-seq 12211  df-exp 12270  df-fac 12457  df-bc 12485  df-hash 12513  df-shft 13109  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-limsup 13504  df-clim 13530  df-rlim 13531  df-sum 13731  df-ef 14099  df-sin 14101  df-cos 14102  df-pi 14104  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-starv 15167  df-sca 15168  df-vsca 15169  df-ip 15170  df-tset 15171  df-ple 15172  df-ds 15174  df-unif 15175  df-hom 15176  df-cco 15177  df-rest 15280  df-topn 15281  df-0g 15299  df-gsum 15300  df-topgen 15301  df-pt 15302  df-prds 15305  df-xrs 15359  df-qtop 15364  df-imas 15365  df-xps 15367  df-mre 15443  df-mrc 15444  df-acs 15446  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-submnd 16534  df-mulg 16627  df-cntz 16922  df-cmn 17367  df-psmet 18897  df-xmet 18898  df-met 18899  df-bl 18900  df-mopn 18901  df-fbas 18902  df-fg 18903  df-cnfld 18906  df-top 19852  df-bases 19853  df-topon 19854  df-topsp 19855  df-cld 19965  df-ntr 19966  df-cls 19967  df-nei 20045  df-lp 20083  df-perf 20084  df-cn 20174  df-cnp 20175  df-haus 20262  df-tx 20508  df-hmeo 20701  df-fil 20792  df-fm 20884  df-flim 20885  df-flf 20886  df-xms 21266  df-ms 21267  df-tms 21268  df-cncf 21806  df-limc 22698  df-dv 22699  df-log 23371
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator