MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  logfacubnd Structured version   Unicode version

Theorem logfacubnd 22565
Description: A simple upper bound on the logarithm of a factorial. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
logfacubnd  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  ( log `  ( ! `  ( |_ `  A ) ) )  <_  ( A  x.  ( log `  A ) ) )

Proof of Theorem logfacubnd
StepHypRef Expression
1 rpre 11002 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR+  ->  A  e.  RR )
2 flge1nn 11672 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  -> 
( |_ `  A
)  e.  NN )
31, 2sylan 471 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  ( |_ `  A )  e.  NN )
43nnnn0d 10641 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  ( |_ `  A )  e. 
NN0 )
5 faccl 12066 . . . . 5  |-  ( ( |_ `  A )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( |_ `  A ) )  e.  NN )
64, 5syl 16 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  ( ! `  ( |_ `  A ) )  e.  NN )
76nnrpd 11031 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  ( ! `  ( |_ `  A ) )  e.  RR+ )
87relogcld 22077 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  ( log `  ( ! `  ( |_ `  A ) ) )  e.  RR )
91adantr 465 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  A  e.  RR )
10 reflcl 11651 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  e.  RR )
119, 10syl 16 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  ( |_ `  A )  e.  RR )
123nnrpd 11031 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  ( |_ `  A )  e.  RR+ )
1312relogcld 22077 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  ( log `  ( |_ `  A ) )  e.  RR )
1411, 13remulcld 9419 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  (
( |_ `  A
)  x.  ( log `  ( |_ `  A
) ) )  e.  RR )
15 relogcl 22032 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( log `  A )  e.  RR )
1615adantr 465 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  ( log `  A )  e.  RR )
179, 16remulcld 9419 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  ( A  x.  ( log `  A ) )  e.  RR )
18 facubnd 12081 . . . . 5  |-  ( ( |_ `  A )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( |_ `  A ) )  <_ 
( ( |_ `  A ) ^ ( |_ `  A ) ) )
194, 18syl 16 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  ( ! `  ( |_ `  A ) )  <_ 
( ( |_ `  A ) ^ ( |_ `  A ) ) )
203, 4nnexpcld 12034 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  (
( |_ `  A
) ^ ( |_
`  A ) )  e.  NN )
2120nnrpd 11031 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  (
( |_ `  A
) ^ ( |_
`  A ) )  e.  RR+ )
227, 21logled 22081 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  (
( ! `  ( |_ `  A ) )  <_  ( ( |_
`  A ) ^
( |_ `  A
) )  <->  ( log `  ( ! `  ( |_ `  A ) ) )  <_  ( log `  ( ( |_ `  A ) ^ ( |_ `  A ) ) ) ) )
2319, 22mpbid 210 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  ( log `  ( ! `  ( |_ `  A ) ) )  <_  ( log `  ( ( |_
`  A ) ^
( |_ `  A
) ) ) )
243nnzd 10751 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  ( |_ `  A )  e.  ZZ )
25 relogexp 22049 . . . 4  |-  ( ( ( |_ `  A
)  e.  RR+  /\  ( |_ `  A )  e.  ZZ )  ->  ( log `  ( ( |_
`  A ) ^
( |_ `  A
) ) )  =  ( ( |_ `  A )  x.  ( log `  ( |_ `  A ) ) ) )
2612, 24, 25syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  ( log `  ( ( |_
`  A ) ^
( |_ `  A
) ) )  =  ( ( |_ `  A )  x.  ( log `  ( |_ `  A ) ) ) )
2723, 26breqtrd 4321 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  ( log `  ( ! `  ( |_ `  A ) ) )  <_  (
( |_ `  A
)  x.  ( log `  ( |_ `  A
) ) ) )
28 flle 11654 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  <_  A )
299, 28syl 16 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  ( |_ `  A )  <_  A )
30 simpl 457 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  A  e.  RR+ )
3112, 30logled 22081 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  (
( |_ `  A
)  <_  A  <->  ( log `  ( |_ `  A
) )  <_  ( log `  A ) ) )
3229, 31mpbid 210 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  ( log `  ( |_ `  A ) )  <_ 
( log `  A
) )
3312rprege0d 11039 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  (
( |_ `  A
)  e.  RR  /\  0  <_  ( |_ `  A ) ) )
34 log1 22039 . . . . . 6  |-  ( log `  1 )  =  0
353nnge1d 10369 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  1  <_  ( |_ `  A
) )
36 1rp 11000 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR+
37 logleb 22057 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  RR+  /\  ( |_ `  A )  e.  RR+ )  ->  ( 1  <_  ( |_ `  A )  <->  ( log `  1 )  <_  ( log `  ( |_ `  A ) ) ) )
3836, 12, 37sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  (
1  <_  ( |_ `  A )  <->  ( log `  1 )  <_  ( log `  ( |_ `  A ) ) ) )
3935, 38mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  ( log `  1 )  <_ 
( log `  ( |_ `  A ) ) )
4034, 39syl5eqbrr 4331 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  0  <_  ( log `  ( |_ `  A ) ) )
4113, 40jca 532 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  (
( log `  ( |_ `  A ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( log `  ( |_ `  A ) ) ) )
42 lemul12a 10192 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( |_
`  A )  e.  RR  /\  0  <_ 
( |_ `  A
) )  /\  A  e.  RR )  /\  (
( ( log `  ( |_ `  A ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( log `  ( |_ `  A ) ) )  /\  ( log `  A )  e.  RR ) )  ->  (
( ( |_ `  A )  <_  A  /\  ( log `  ( |_ `  A ) )  <_  ( log `  A
) )  ->  (
( |_ `  A
)  x.  ( log `  ( |_ `  A
) ) )  <_ 
( A  x.  ( log `  A ) ) ) )
4333, 9, 41, 16, 42syl22anc 1219 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  (
( ( |_ `  A )  <_  A  /\  ( log `  ( |_ `  A ) )  <_  ( log `  A
) )  ->  (
( |_ `  A
)  x.  ( log `  ( |_ `  A
) ) )  <_ 
( A  x.  ( log `  A ) ) ) )
4429, 32, 43mp2and 679 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  (
( |_ `  A
)  x.  ( log `  ( |_ `  A
) ) )  <_ 
( A  x.  ( log `  A ) ) )
458, 14, 17, 27, 44letrd 9533 1  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  1  <_  A )  ->  ( log `  ( ! `  ( |_ `  A ) ) )  <_  ( A  x.  ( log `  A ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   class class class wbr 4297   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   RRcr 9286   0cc0 9287   1c1 9288    x. cmul 9292    <_ cle 9424   NNcn 10327   NN0cn0 10584   ZZcz 10651   RR+crp 10996   |_cfl 11645   ^cexp 11870   !cfa 12056   logclog 22011
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-inf2 7852  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-pre-sup 9365  ax-addf 9366  ax-mulf 9367
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-iin 4179  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-se 4685  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-isom 5432  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-of 6325  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-supp 6696  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-2o 6926  df-oadd 6929  df-er 7106  df-map 7221  df-pm 7222  df-ixp 7269  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-fsupp 7626  df-fi 7666  df-sup 7696  df-oi 7729  df-card 8114  df-cda 8342  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-4 10387  df-5 10388  df-6 10389  df-7 10390  df-8 10391  df-9 10392  df-10 10393  df-n0 10585  df-z 10652  df-dec 10761  df-uz 10867  df-q 10959  df-rp 10997  df-xneg 11094  df-xadd 11095  df-xmul 11096  df-ioo 11309  df-ioc 11310  df-ico 11311  df-icc 11312  df-fz 11443  df-fzo 11554  df-fl 11647  df-mod 11714  df-seq 11812  df-exp 11871  df-fac 12057  df-bc 12084  df-hash 12109  df-shft 12561  df-cj 12593  df-re 12594  df-im 12595  df-sqr 12729  df-abs 12730  df-limsup 12954  df-clim 12971  df-rlim 12972  df-sum 13169  df-ef 13358  df-sin 13360  df-cos 13361  df-pi 13363  df-struct 14181  df-ndx 14182  df-slot 14183  df-base 14184  df-sets 14185  df-ress 14186  df-plusg 14256  df-mulr 14257  df-starv 14258  df-sca 14259  df-vsca 14260  df-ip 14261  df-tset 14262  df-ple 14263  df-ds 14265  df-unif 14266  df-hom 14267  df-cco 14268  df-rest 14366  df-topn 14367  df-0g 14385  df-gsum 14386  df-topgen 14387  df-pt 14388  df-prds 14391  df-xrs 14445  df-qtop 14450  df-imas 14451  df-xps 14453  df-mre 14529  df-mrc 14530  df-acs 14532  df-mnd 15420  df-submnd 15470  df-mulg 15553  df-cntz 15840  df-cmn 16284  df-psmet 17814  df-xmet 17815  df-met 17816  df-bl 17817  df-mopn 17818  df-fbas 17819  df-fg 17820  df-cnfld 17824  df-top 18508  df-bases 18510  df-topon 18511  df-topsp 18512  df-cld 18628  df-ntr 18629  df-cls 18630  df-nei 18707  df-lp 18745  df-perf 18746  df-cn 18836  df-cnp 18837  df-haus 18924  df-tx 19140  df-hmeo 19333  df-fil 19424  df-fm 19516  df-flim 19517  df-flf 19518  df-xms 19900  df-ms 19901  df-tms 19902  df-cncf 20459  df-limc 21346  df-dv 21347  df-log 22013
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator