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Theorem logfacrlim 20961
Description: Combine the estimates logfacubnd 20958 and logfaclbnd 20959, to get  log ( x ! )  =  x log x  +  O
( x ). Equation 9.2.9 of [Shapiro], p. 329. This is a weak form of the even stronger statement,  log ( x ! )  =  x log x  -  x  +  O ( log x
). (Contributed by Mario Carneiro, 16-Apr-2016.) (Revised by Mario Carneiro, 21-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
logfacrlim  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( ( log `  x )  -  ( ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) )  ~~> r  1

Proof of Theorem logfacrlim
StepHypRef Expression
1 1re 9046 . . . 4  |-  1  e.  RR
21a1i 11 . . 3  |-  (  T. 
->  1  e.  RR )
3 ax-1cn 9004 . . . 4  |-  1  e.  CC
43a1i 11 . . 3  |-  (  T. 
->  1  e.  CC )
5 relogcl 20426 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( log `  x )  e.  RR )
65adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( log `  x )  e.  RR )
76recnd 9070 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( log `  x )  e.  CC )
83a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  1  e.  CC )
9 rpcnne0 10585 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
109adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
11 divdir 9657 . . . . . . 7  |-  ( ( ( log `  x
)  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  (
x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )  ->  ( ( ( log `  x )  +  1 )  /  x )  =  ( ( ( log `  x
)  /  x )  +  ( 1  /  x ) ) )
127, 8, 10, 11syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ( log `  x
)  +  1 )  /  x )  =  ( ( ( log `  x )  /  x
)  +  ( 1  /  x ) ) )
1312mpteq2dva 4255 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( ( log `  x )  +  1 )  /  x ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( ( log `  x
)  /  x )  +  ( 1  /  x ) ) ) )
14 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR+ )
156, 14rerpdivcld 10631 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( log `  x )  /  x )  e.  RR )
16 rpreccl 10591 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( 1  /  x )  e.  RR+ )
1716adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1  /  x )  e.  RR+ )
1817rpred 10604 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1  /  x )  e.  RR )
1910simpld 446 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  CC )
2019cxp1d 20550 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x  ^ c  1 )  =  x )
2120oveq2d 6056 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( log `  x )  /  ( x  ^ c  1 ) )  =  ( ( log `  x )  /  x
) )
2221mpteq2dva 4255 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( log `  x
)  /  ( x  ^ c  1 ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( log `  x )  /  x ) ) )
23 1rp 10572 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR+
24 cxploglim 20769 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  RR+  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( log `  x )  /  ( x  ^ c  1 ) ) )  ~~> r  0 )
2523, 24mp1i 12 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( log `  x
)  /  ( x  ^ c  1 ) ) )  ~~> r  0 )
2622, 25eqbrtrrd 4194 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( log `  x
)  /  x ) )  ~~> r  0 )
27 divrcnv 12587 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  CC  ->  (
x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) )  ~~> r  0 )
283, 27mp1i 12 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x
) )  ~~> r  0 )
2915, 18, 26, 28rlimadd 12391 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( ( log `  x )  /  x
)  +  ( 1  /  x ) ) )  ~~> r  ( 0  +  0 ) )
3013, 29eqbrtrd 4192 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( ( log `  x )  +  1 )  /  x ) )  ~~> r  ( 0  +  0 ) )
31 00id 9197 . . . 4  |-  ( 0  +  0 )  =  0
3230, 31syl6breq 4211 . . 3  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( ( log `  x )  +  1 )  /  x ) )  ~~> r  0 )
33 peano2re 9195 . . . . . 6  |-  ( ( log `  x )  e.  RR  ->  (
( log `  x
)  +  1 )  e.  RR )
346, 33syl 16 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( log `  x )  +  1 )  e.  RR )
3534, 14rerpdivcld 10631 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ( log `  x
)  +  1 )  /  x )  e.  RR )
3635recnd 9070 . . 3  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ( log `  x
)  +  1 )  /  x )  e.  CC )
37 rprege0 10582 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
3837adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
39 flge0nn0 11180 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  -> 
( |_ `  x
)  e.  NN0 )
40 faccl 11531 . . . . . . . . 9  |-  ( ( |_ `  x )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( |_ `  x ) )  e.  NN )
4138, 39, 403syl 19 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ! `
 ( |_ `  x ) )  e.  NN )
4241nnrpd 10603 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ! `
 ( |_ `  x ) )  e.  RR+ )
43 relogcl 20426 . . . . . . 7  |-  ( ( ! `  ( |_
`  x ) )  e.  RR+  ->  ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  e.  RR )
4442, 43syl 16 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  e.  RR )
4544, 14rerpdivcld 10631 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( log `  ( ! `
 ( |_ `  x ) ) )  /  x )  e.  RR )
4645recnd 9070 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( log `  ( ! `
 ( |_ `  x ) ) )  /  x )  e.  CC )
477, 46subcld 9367 . . 3  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( log `  x )  -  ( ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) )  e.  CC )
48 logfacbnd3 20960 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  ( abs `  ( ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  -  ( x  x.  ( ( log `  x )  -  1 ) ) ) )  <_  ( ( log `  x )  +  1 ) )
4948adantl 453 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( abs `  (
( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  -  ( x  x.  ( ( log `  x
)  -  1 ) ) ) )  <_ 
( ( log `  x
)  +  1 ) )
5044recnd 9070 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  e.  CC )
5150adantrr 698 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  e.  CC )
529ad2antrl 709 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
5352simpld 446 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  x  e.  CC )
547adantrr 698 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( log `  x
)  e.  CC )
55 subcl 9261 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( log `  x
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( log `  x
)  -  1 )  e.  CC )
5654, 3, 55sylancl 644 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( ( log `  x
)  -  1 )  e.  CC )
5753, 56mulcld 9064 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( x  x.  (
( log `  x
)  -  1 ) )  e.  CC )
5851, 57subcld 9367 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  -  ( x  x.  ( ( log `  x
)  -  1 ) ) )  e.  CC )
5958abscld 12193 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( abs `  (
( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  -  ( x  x.  ( ( log `  x
)  -  1 ) ) ) )  e.  RR )
606adantrr 698 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( log `  x
)  e.  RR )
6160, 33syl 16 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( ( log `  x
)  +  1 )  e.  RR )
62 rpregt0 10581 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <  x ) )
6362ad2antrl 709 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( x  e.  RR  /\  0  <  x ) )
64 lediv1 9831 . . . . . 6  |-  ( ( ( abs `  (
( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  -  ( x  x.  ( ( log `  x
)  -  1 ) ) ) )  e.  RR  /\  ( ( log `  x )  +  1 )  e.  RR  /\  ( x  e.  RR  /\  0  <  x ) )  -> 
( ( abs `  (
( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  -  ( x  x.  ( ( log `  x
)  -  1 ) ) ) )  <_ 
( ( log `  x
)  +  1 )  <-> 
( ( abs `  (
( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  -  ( x  x.  ( ( log `  x
)  -  1 ) ) ) )  /  x )  <_  (
( ( log `  x
)  +  1 )  /  x ) ) )
6559, 61, 63, 64syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( ( abs `  (
( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  -  ( x  x.  ( ( log `  x
)  -  1 ) ) ) )  <_ 
( ( log `  x
)  +  1 )  <-> 
( ( abs `  (
( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  -  ( x  x.  ( ( log `  x
)  -  1 ) ) ) )  /  x )  <_  (
( ( log `  x
)  +  1 )  /  x ) ) )
6649, 65mpbid 202 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( ( abs `  (
( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  -  ( x  x.  ( ( log `  x
)  -  1 ) ) ) )  /  x )  <_  (
( ( log `  x
)  +  1 )  /  x ) )
6752simprd 450 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  x  =/=  0 )
6856, 53, 67divcan3d 9751 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( ( x  x.  ( ( log `  x
)  -  1 ) )  /  x )  =  ( ( log `  x )  -  1 ) )
6968oveq1d 6055 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( ( ( x  x.  ( ( log `  x )  -  1 ) )  /  x
)  -  ( ( log `  ( ! `
 ( |_ `  x ) ) )  /  x ) )  =  ( ( ( log `  x )  -  1 )  -  ( ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) )
70 divsubdir 9666 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  x.  (
( log `  x
)  -  1 ) )  e.  CC  /\  ( log `  ( ! `
 ( |_ `  x ) ) )  e.  CC  /\  (
x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )  ->  ( ( ( x  x.  ( ( log `  x )  -  1 ) )  -  ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) ) )  /  x )  =  ( ( ( x  x.  ( ( log `  x )  -  1 ) )  /  x )  -  ( ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) )
7157, 51, 52, 70syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( ( ( x  x.  ( ( log `  x )  -  1 ) )  -  ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) ) )  /  x )  =  ( ( ( x  x.  ( ( log `  x
)  -  1 ) )  /  x )  -  ( ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) )
7246adantrr 698 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x )  e.  CC )
733a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
1  e.  CC )
7454, 72, 73sub32d 9399 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( ( ( log `  x )  -  (
( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) )  -  1 )  =  ( ( ( log `  x )  -  1 )  -  ( ( log `  ( ! `
 ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) )
7569, 71, 743eqtr4rd 2447 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( ( ( log `  x )  -  (
( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) )  -  1 )  =  ( ( ( x  x.  ( ( log `  x )  -  1 ) )  -  ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) ) )  /  x ) )
7675fveq2d 5691 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( abs `  (
( ( log `  x
)  -  ( ( log `  ( ! `
 ( |_ `  x ) ) )  /  x ) )  -  1 ) )  =  ( abs `  (
( ( x  x.  ( ( log `  x
)  -  1 ) )  -  ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) ) )  /  x
) ) )
7757, 51subcld 9367 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( ( x  x.  ( ( log `  x
)  -  1 ) )  -  ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) ) )  e.  CC )
7877, 53, 67absdivd 12212 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( abs `  (
( ( x  x.  ( ( log `  x
)  -  1 ) )  -  ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) ) )  /  x
) )  =  ( ( abs `  (
( x  x.  (
( log `  x
)  -  1 ) )  -  ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) ) ) )  / 
( abs `  x
) ) )
7957, 51abssubd 12210 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( abs `  (
( x  x.  (
( log `  x
)  -  1 ) )  -  ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) ) ) )  =  ( abs `  (
( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  -  ( x  x.  ( ( log `  x
)  -  1 ) ) ) ) )
8037ad2antrl 709 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( x  e.  RR  /\  0  <_  x )
)
81 absid 12056 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  -> 
( abs `  x
)  =  x )
8280, 81syl 16 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( abs `  x
)  =  x )
8379, 82oveq12d 6058 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( ( abs `  (
( x  x.  (
( log `  x
)  -  1 ) )  -  ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) ) ) )  / 
( abs `  x
) )  =  ( ( abs `  (
( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  -  ( x  x.  ( ( log `  x
)  -  1 ) ) ) )  /  x ) )
8476, 78, 833eqtrd 2440 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( abs `  (
( ( log `  x
)  -  ( ( log `  ( ! `
 ( |_ `  x ) ) )  /  x ) )  -  1 ) )  =  ( ( abs `  ( ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  -  ( x  x.  ( ( log `  x
)  -  1 ) ) ) )  /  x ) )
8536adantrr 698 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( ( ( log `  x )  +  1 )  /  x )  e.  CC )
8685subid1d 9356 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( ( ( ( log `  x )  +  1 )  /  x )  -  0 )  =  ( ( ( log `  x
)  +  1 )  /  x ) )
8786fveq2d 5691 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( abs `  (
( ( ( log `  x )  +  1 )  /  x )  -  0 ) )  =  ( abs `  (
( ( log `  x
)  +  1 )  /  x ) ) )
88 log1 20433 . . . . . . . . 9  |-  ( log `  1 )  =  0
89 simprr 734 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
1  <_  x )
9014adantrr 698 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  x  e.  RR+ )
91 logleb 20451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  ->  (
1  <_  x  <->  ( log `  1 )  <_  ( log `  x ) ) )
9223, 90, 91sylancr 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( 1  <_  x  <->  ( log `  1 )  <_  ( log `  x
) ) )
9389, 92mpbid 202 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( log `  1
)  <_  ( log `  x ) )
9488, 93syl5eqbrr 4206 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
0  <_  ( log `  x ) )
9560, 94ge0p1rpd 10630 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( ( log `  x
)  +  1 )  e.  RR+ )
9695, 90rpdivcld 10621 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( ( ( log `  x )  +  1 )  /  x )  e.  RR+ )
97 rprege0 10582 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( log `  x
)  +  1 )  /  x )  e.  RR+  ->  ( ( ( ( log `  x
)  +  1 )  /  x )  e.  RR  /\  0  <_ 
( ( ( log `  x )  +  1 )  /  x ) ) )
98 absid 12056 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( log `  x )  +  1 )  /  x )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( ( log `  x )  +  1 )  /  x ) )  ->  ( abs `  ( ( ( log `  x )  +  1 )  /  x ) )  =  ( ( ( log `  x
)  +  1 )  /  x ) )
9996, 97, 983syl 19 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( abs `  (
( ( log `  x
)  +  1 )  /  x ) )  =  ( ( ( log `  x )  +  1 )  /  x ) )
10087, 99eqtrd 2436 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( abs `  (
( ( ( log `  x )  +  1 )  /  x )  -  0 ) )  =  ( ( ( log `  x )  +  1 )  /  x ) )
10166, 84, 1003brtr4d 4202 . . 3  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( abs `  (
( ( log `  x
)  -  ( ( log `  ( ! `
 ( |_ `  x ) ) )  /  x ) )  -  1 ) )  <_  ( abs `  (
( ( ( log `  x )  +  1 )  /  x )  -  0 ) ) )
1022, 4, 32, 36, 47, 101rlimsqzlem 12397 . 2  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( log `  x
)  -  ( ( log `  ( ! `
 ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) )  ~~> r  1 )
103102trud 1329 1  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( ( log `  x )  -  ( ( log `  ( ! `  ( |_ `  x ) ) )  /  x ) ) )  ~~> r  1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    /\ wa 359    T. wtru 1322    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951    < clt 9076    <_ cle 9077    - cmin 9247    / cdiv 9633   NNcn 9956   NN0cn0 10177   RR+crp 10568   |_cfl 11156   !cfa 11521   abscabs 11994    ~~> r crli 12234   logclog 20405    ^ c ccxp 20406
This theorem is referenced by:  vmadivsum  21129
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ioc 10877  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-bc 11549  df-hash 11574  df-shft 11837  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-ef 12625  df-sin 12627  df-cos 12628  df-pi 12630  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-cmp 17404  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861  df-limc 19706  df-dv 19707  df-log 20407  df-cxp 20408
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