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Theorem logfaclbnd 22446
Description: A lower bound on the logarithm of a factorial. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
logfaclbnd  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( A  x.  ( ( log `  A )  -  2 ) )  <_  ( log `  ( ! `  ( |_ `  A ) ) ) )

Proof of Theorem logfaclbnd
Dummy variables  d  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpcn 10987 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  ->  A  e.  CC )
21times2d 10556 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( A  x.  2 )  =  ( A  +  A
) )
32oveq2d 6096 . . 3  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( A  x.  ( log `  A ) )  -  ( A  x.  2
) )  =  ( ( A  x.  ( log `  A ) )  -  ( A  +  A ) ) )
4 relogcl 21912 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( log `  A )  e.  RR )
54recnd 9400 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( log `  A )  e.  CC )
6 2cnd 10382 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  ->  2  e.  CC )
71, 5, 6subdid 9788 . . 3  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( A  x.  ( ( log `  A )  -  2 ) )  =  ( ( A  x.  ( log `  A ) )  -  ( A  x.  2 ) ) )
8 rpre 10985 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR+  ->  A  e.  RR )
98, 4remulcld 9402 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( A  x.  ( log `  A
) )  e.  RR )
109recnd 9400 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( A  x.  ( log `  A
) )  e.  CC )
1110, 1, 1subsub4d 9738 . . 3  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( ( A  x.  ( log `  A ) )  -  A )  -  A )  =  ( ( A  x.  ( log `  A ) )  -  ( A  +  A ) ) )
123, 7, 113eqtr4d 2475 . 2  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( A  x.  ( ( log `  A )  -  2 ) )  =  ( ( ( A  x.  ( log `  A ) )  -  A )  -  A ) )
139, 8resubcld 9764 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( A  x.  ( log `  A ) )  -  A )  e.  RR )
14 fzfid 11779 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  e. 
Fin )
15 fzfid 11779 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( 1 ... n )  e. 
Fin )
16 elfznn 11465 . . . . . . . 8  |-  ( d  e.  ( 1 ... n )  ->  d  e.  NN )
1716adantl 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... n ) )  ->  d  e.  NN )
1817nnrecred 10355 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( 1  /  d )  e.  RR )
1915, 18fsumrecl 13195 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... n
) ( 1  / 
d )  e.  RR )
2014, 19fsumrecl 13195 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  d
)  e.  RR )
21 rprege0 10993 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )
22 flge0nn0 11650 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( |_ `  A
)  e.  NN0 )
2321, 22syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( |_
`  A )  e. 
NN0 )
24 faccl 12045 . . . . . . . 8  |-  ( ( |_ `  A )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( |_ `  A ) )  e.  NN )
2523, 24syl 16 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ! `
 ( |_ `  A ) )  e.  NN )
2625nnrpd 11014 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ! `
 ( |_ `  A ) )  e.  RR+ )
2726relogcld 21957 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( log `  ( ! `  ( |_ `  A ) ) )  e.  RR )
2827, 8readdcld 9401 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( log `  ( ! `
 ( |_ `  A ) ) )  +  A )  e.  RR )
29 elfznn 11465 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) )  ->  d  e.  NN )
3029adantl 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  d  e.  NN )
3130nnrecred 10355 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( 1  /  d )  e.  RR )
3214, 31fsumrecl 13195 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR+  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  d
)  e.  RR )
338, 32remulcld 9402 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( A  x.  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( 1  /  d
) )  e.  RR )
34 reflcl 11630 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  e.  RR )
358, 34syl 16 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( |_
`  A )  e.  RR )
3633, 35resubcld 9764 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( A  x.  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  d
) )  -  ( |_ `  A ) )  e.  RR )
37 harmoniclbnd 22287 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( log `  A )  <_  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  d
) )
38 rpregt0 10992 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( A  e.  RR  /\  0  <  A ) )
39 lemul2 10170 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( log `  A
)  e.  RR  /\  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  d )  e.  RR  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <  A ) )  -> 
( ( log `  A
)  <_  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  d
)  <->  ( A  x.  ( log `  A ) )  <_  ( A  x.  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( 1  /  d
) ) ) )
404, 32, 38, 39syl3anc 1211 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( log `  A )  <_  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( 1  /  d
)  <->  ( A  x.  ( log `  A ) )  <_  ( A  x.  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( 1  /  d
) ) ) )
4137, 40mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( A  x.  ( log `  A
) )  <_  ( A  x.  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  d
) ) )
42 flle 11633 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  <_  A )
438, 42syl 16 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( |_
`  A )  <_  A )
449, 35, 33, 8, 41, 43le2subd 9946 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( A  x.  ( log `  A ) )  -  A )  <_  (
( A  x.  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  d ) )  -  ( |_
`  A ) ) )
4529nnrecred 10355 . . . . . . . . 9  |-  ( d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) )  ->  (
1  /  d )  e.  RR )
46 remulcl 9355 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( 1  /  d
)  e.  RR )  ->  ( A  x.  ( 1  /  d
) )  e.  RR )
478, 45, 46syl2an 474 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( A  x.  ( 1  /  d
) )  e.  RR )
48 peano2rem 9663 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  x.  ( 1  /  d ) )  e.  RR  ->  (
( A  x.  (
1  /  d ) )  -  1 )  e.  RR )
4947, 48syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( A  x.  ( 1  /  d ) )  -  1 )  e.  RR )
50 fzfid 11779 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( d ... ( |_ `  A
) )  e.  Fin )
5131adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  n  e.  ( d ... ( |_
`  A ) ) )  ->  ( 1  /  d )  e.  RR )
5250, 51fsumrecl 13195 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  sum_ n  e.  ( d ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  d
)  e.  RR )
538adantr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  A  e.  RR )
5453, 34syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( |_ `  A )  e.  RR )
55 peano2re 9530 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( |_ `  A )  e.  RR  ->  (
( |_ `  A
)  +  1 )  e.  RR )
5654, 55syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( |_ `  A )  +  1 )  e.  RR )
5730nnred 10325 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  d  e.  RR )
58 fllep1 11635 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  RR  ->  A  <_  ( ( |_ `  A )  +  1 ) )
598, 58syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  RR+  ->  A  <_ 
( ( |_ `  A )  +  1 ) )
6059adantr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  A  <_  ( ( |_ `  A
)  +  1 ) )
6153, 56, 57, 60lesub1dd 9943 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( A  -  d )  <_ 
( ( ( |_
`  A )  +  1 )  -  d
) )
6253, 57resubcld 9764 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( A  -  d )  e.  RR )
6356, 57resubcld 9764 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( (
( |_ `  A
)  +  1 )  -  d )  e.  RR )
6430nnrpd 11014 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  d  e.  RR+ )
6564rpreccld 11025 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( 1  /  d )  e.  RR+ )
6662, 63, 65lemul1d 11054 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( A  -  d )  <_  ( ( ( |_
`  A )  +  1 )  -  d
)  <->  ( ( A  -  d )  x.  ( 1  /  d
) )  <_  (
( ( ( |_
`  A )  +  1 )  -  d
)  x.  ( 1  /  d ) ) ) )
6761, 66mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( A  -  d )  x.  ( 1  /  d
) )  <_  (
( ( ( |_
`  A )  +  1 )  -  d
)  x.  ( 1  /  d ) ) )
681adantr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  A  e.  CC )
6930nncnd 10326 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  d  e.  CC )
7031recnd 9400 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( 1  /  d )  e.  CC )
7168, 69, 70subdird 9789 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( A  -  d )  x.  ( 1  /  d
) )  =  ( ( A  x.  (
1  /  d ) )  -  ( d  x.  ( 1  / 
d ) ) ) )
7230nnne0d 10354 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  d  =/=  0 )
7369, 72recidd 10090 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( d  x.  ( 1  /  d
) )  =  1 )
7473oveq2d 6096 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( A  x.  ( 1  /  d ) )  -  ( d  x.  ( 1  /  d
) ) )  =  ( ( A  x.  ( 1  /  d
) )  -  1 ) )
7571, 74eqtr2d 2466 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( A  x.  ( 1  /  d ) )  -  1 )  =  ( ( A  -  d )  x.  (
1  /  d ) ) )
76 fsumconst 13240 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( d ... ( |_ `  A ) )  e.  Fin  /\  (
1  /  d )  e.  CC )  ->  sum_ n  e.  ( d ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  d )  =  ( ( # `  ( d ... ( |_ `  A ) ) )  x.  ( 1  /  d ) ) )
7750, 70, 76syl2anc 654 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  sum_ n  e.  ( d ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  d
)  =  ( (
# `  ( d ... ( |_ `  A
) ) )  x.  ( 1  /  d
) ) )
78 elfzuz3 11437 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) )  ->  ( |_ `  A )  e.  ( ZZ>= `  d )
)
7978adantl 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( |_ `  A )  e.  (
ZZ>= `  d ) )
80 hashfz 12172 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( |_ `  A )  e.  ( ZZ>= `  d
)  ->  ( # `  (
d ... ( |_ `  A ) ) )  =  ( ( ( |_ `  A )  -  d )  +  1 ) )
8179, 80syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( # `  (
d ... ( |_ `  A ) ) )  =  ( ( ( |_ `  A )  -  d )  +  1 ) )
8235recnd 9400 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( |_
`  A )  e.  CC )
8382adantr 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( |_ `  A )  e.  CC )
84 1cnd 9390 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  1  e.  CC )
8583, 84, 69addsubd 9728 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( (
( |_ `  A
)  +  1 )  -  d )  =  ( ( ( |_
`  A )  -  d )  +  1 ) )
8681, 85eqtr4d 2468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( # `  (
d ... ( |_ `  A ) ) )  =  ( ( ( |_ `  A )  +  1 )  -  d ) )
8786oveq1d 6095 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( # `
 ( d ... ( |_ `  A
) ) )  x.  ( 1  /  d
) )  =  ( ( ( ( |_
`  A )  +  1 )  -  d
)  x.  ( 1  /  d ) ) )
8877, 87eqtrd 2465 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  sum_ n  e.  ( d ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  d
)  =  ( ( ( ( |_ `  A )  +  1 )  -  d )  x.  ( 1  / 
d ) ) )
8967, 75, 883brtr4d 4310 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( A  x.  ( 1  /  d ) )  -  1 )  <_  sum_ n  e.  ( d ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  d ) )
9014, 49, 52, 89fsumle 13245 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR+  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( A  x.  ( 1  /  d
) )  -  1 )  <_  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )
sum_ n  e.  (
d ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  d ) )
9114, 1, 70fsummulc2 13234 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( A  x.  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( 1  /  d
) )  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( A  x.  ( 1  /  d ) ) )
92 ax-1cn 9328 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  CC
93 fsumconst 13240 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1 ... ( |_ `  A ) )  e.  Fin  /\  1  e.  CC )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) 1  =  ( (
# `  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) )  x.  1 ) )
9414, 92, 93sylancl 655 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR+  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) 1  =  ( (
# `  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) )  x.  1 ) )
95 hashfz1 12101 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( |_ `  A )  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  =  ( |_
`  A ) )
9623, 95syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( # `  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  =  ( |_
`  A ) )
9796oveq1d 6095 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( (
# `  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) )  x.  1 )  =  ( ( |_ `  A
)  x.  1 ) )
9882mulid1d 9391 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( |_ `  A )  x.  1 )  =  ( |_ `  A
) )
9994, 97, 983eqtrrd 2470 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( |_
`  A )  = 
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) 1 )
10091, 99oveq12d 6098 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( A  x.  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  d
) )  -  ( |_ `  A ) )  =  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( A  x.  (
1  /  d ) )  -  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) 1 ) )
10147recnd 9400 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( A  x.  ( 1  /  d
) )  e.  CC )
10214, 101, 84fsumsub 13238 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR+  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( A  x.  ( 1  /  d
) )  -  1 )  =  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( A  x.  ( 1  /  d ) )  -  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) 1 ) )
103100, 102eqtr4d 2468 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( A  x.  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  d
) )  -  ( |_ `  A ) )  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( A  x.  ( 1  /  d
) )  -  1 ) )
104 eqid 2433 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ZZ>= ` 
1 )  =  (
ZZ>= `  1 )
105104uztrn2 10866 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( d  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  d )
)  ->  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
106105adantl 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  (
d  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  d )
) )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
107106biantrurd 505 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  (
d  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  d )
) )  ->  (
( |_ `  A
)  e.  ( ZZ>= `  n )  <->  ( n  e.  ( ZZ>= `  1 )  /\  ( |_ `  A
)  e.  ( ZZ>= `  n ) ) ) )
108 uzss 10869 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  d
)  ->  ( ZZ>= `  n )  C_  ( ZZ>=
`  d ) )
109108ad2antll 721 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  (
d  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  d )
) )  ->  ( ZZ>=
`  n )  C_  ( ZZ>= `  d )
)
110109sseld 3343 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  (
d  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  d )
) )  ->  (
( |_ `  A
)  e.  ( ZZ>= `  n )  ->  ( |_ `  A )  e.  ( ZZ>= `  d )
) )
111110pm4.71rd 628 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  (
d  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  d )
) )  ->  (
( |_ `  A
)  e.  ( ZZ>= `  n )  <->  ( ( |_ `  A )  e.  ( ZZ>= `  d )  /\  ( |_ `  A
)  e.  ( ZZ>= `  n ) ) ) )
112107, 111bitr3d 255 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  (
d  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  d )
) )  ->  (
( n  e.  (
ZZ>= `  1 )  /\  ( |_ `  A )  e.  ( ZZ>= `  n
) )  <->  ( ( |_ `  A )  e.  ( ZZ>= `  d )  /\  ( |_ `  A
)  e.  ( ZZ>= `  n ) ) ) )
113112pm5.32da 634 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( ( d  e.  (
ZZ>= `  1 )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  d ) )  /\  ( n  e.  ( ZZ>=
`  1 )  /\  ( |_ `  A )  e.  ( ZZ>= `  n
) ) )  <->  ( (
d  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  d )
)  /\  ( ( |_ `  A )  e.  ( ZZ>= `  d )  /\  ( |_ `  A
)  e.  ( ZZ>= `  n ) ) ) ) )
114 ancom 448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( n  e.  (
ZZ>= `  1 )  /\  ( |_ `  A )  e.  ( ZZ>= `  n
) )  /\  (
d  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  d )
) )  <->  ( (
d  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  d )
)  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  1 )  /\  ( |_ `  A
)  e.  ( ZZ>= `  n ) ) ) )
115 an4 813 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( d  e.  (
ZZ>= `  1 )  /\  ( |_ `  A )  e.  ( ZZ>= `  d
) )  /\  (
n  e.  ( ZZ>= `  d )  /\  ( |_ `  A )  e.  ( ZZ>= `  n )
) )  <->  ( (
d  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  d )
)  /\  ( ( |_ `  A )  e.  ( ZZ>= `  d )  /\  ( |_ `  A
)  e.  ( ZZ>= `  n ) ) ) )
116113, 114, 1153bitr4g 288 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( ( n  e.  (
ZZ>= `  1 )  /\  ( |_ `  A )  e.  ( ZZ>= `  n
) )  /\  (
d  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  d )
) )  <->  ( (
d  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  ( |_ `  A )  e.  ( ZZ>= `  d )
)  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  d )  /\  ( |_ `  A
)  e.  ( ZZ>= `  n ) ) ) ) )
117 elfzuzb 11434 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) )  <->  ( n  e.  ( ZZ>= `  1 )  /\  ( |_ `  A
)  e.  ( ZZ>= `  n ) ) )
118 elfzuzb 11434 . . . . . . . . 9  |-  ( d  e.  ( 1 ... n )  <->  ( d  e.  ( ZZ>= `  1 )  /\  n  e.  ( ZZ>=
`  d ) ) )
119117, 118anbi12i 690 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  d  e.  ( 1 ... n ) )  <-> 
( ( n  e.  ( ZZ>= `  1 )  /\  ( |_ `  A
)  e.  ( ZZ>= `  n ) )  /\  ( d  e.  (
ZZ>= `  1 )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  d ) ) ) )
120 elfzuzb 11434 . . . . . . . . 9  |-  ( d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) )  <->  ( d  e.  ( ZZ>= `  1 )  /\  ( |_ `  A
)  e.  ( ZZ>= `  d ) ) )
121 elfzuzb 11434 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( d ... ( |_ `  A
) )  <->  ( n  e.  ( ZZ>= `  d )  /\  ( |_ `  A
)  e.  ( ZZ>= `  n ) ) )
122120, 121anbi12i 690 . . . . . . . 8  |-  ( ( d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  n  e.  ( d ... ( |_ `  A
) ) )  <->  ( (
d  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  ( |_ `  A )  e.  ( ZZ>= `  d )
)  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  d )  /\  ( |_ `  A
)  e.  ( ZZ>= `  n ) ) ) )
123116, 119, 1223bitr4g 288 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  d  e.  ( 1 ... n ) )  <-> 
( d  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) )  /\  n  e.  ( d ... ( |_
`  A ) ) ) ) )
12418recnd 9400 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( 1  /  d )  e.  CC )
125124anasss 640 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  (
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  d  e.  ( 1 ... n ) ) )  ->  ( 1  /  d )  e.  CC )
12614, 14, 15, 123, 125fsumcom2 13225 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR+  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  d
)  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )
sum_ n  e.  (
d ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  d ) )
12790, 103, 1263brtr4d 4310 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( A  x.  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  d
) )  -  ( |_ `  A ) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  d
) )
12813, 36, 20, 44, 127letrd 9516 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( A  x.  ( log `  A ) )  -  A )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  d
) )
12927, 35readdcld 9401 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( log `  ( ! `
 ( |_ `  A ) ) )  +  ( |_ `  A ) )  e.  RR )
130 elfznn 11465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) )  ->  n  e.  NN )
131130adantl 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  n  e.  NN )
132131nnrpd 11014 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  n  e.  RR+ )
133132relogcld 21957 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( log `  n )  e.  RR )
134 peano2re 9530 . . . . . . . 8  |-  ( ( log `  n )  e.  RR  ->  (
( log `  n
)  +  1 )  e.  RR )
135133, 134syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( log `  n )  +  1 )  e.  RR )
136 nnz 10656 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  ZZ )
137 flid 11641 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ZZ  ->  ( |_ `  n )  =  n )
138136, 137syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  ( |_ `  n )  =  n )
139138oveq2d 6096 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
1 ... ( |_ `  n ) )  =  ( 1 ... n
) )
140139sumeq1d 13162 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  n ) ) ( 1  /  d
)  =  sum_ d  e.  ( 1 ... n
) ( 1  / 
d ) )
141 nnre 10317 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR )
142 nnge1 10336 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  1  <_  n )
143 harmonicubnd 22288 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  RR  /\  1  <_  n )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  n ) ) ( 1  /  d )  <_  ( ( log `  n )  +  1 ) )
144141, 142, 143syl2anc 654 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  n ) ) ( 1  /  d
)  <_  ( ( log `  n )  +  1 ) )
145140, 144eqbrtrrd 4302 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... n
) ( 1  / 
d )  <_  (
( log `  n
)  +  1 ) )
146131, 145syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... n
) ( 1  / 
d )  <_  (
( log `  n
)  +  1 ) )
14714, 19, 135, 146fsumle 13245 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR+  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  d
)  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( log `  n
)  +  1 ) )
148133recnd 9400 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( log `  n )  e.  CC )
149 1cnd 9390 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  1  e.  CC )
15014, 148, 149fsumadd 13199 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR+  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( log `  n
)  +  1 )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( log `  n
)  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) 1 ) )
151 logfac 21934 . . . . . . . . 9  |-  ( ( |_ `  A )  e.  NN0  ->  ( log `  ( ! `  ( |_ `  A ) ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( log `  n
) )
15223, 151syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( log `  ( ! `  ( |_ `  A ) ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( log `  n
) )
153 fsumconst 13240 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1 ... ( |_ `  A ) )  e.  Fin  /\  1  e.  CC )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) 1  =  ( (
# `  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) )  x.  1 ) )
15414, 92, 153sylancl 655 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR+  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) 1  =  ( (
# `  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) )  x.  1 ) )
155154, 97, 983eqtrrd 2470 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( |_
`  A )  = 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) 1 )
156152, 155oveq12d 6098 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( log `  ( ! `
 ( |_ `  A ) ) )  +  ( |_ `  A ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( log `  n
)  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) 1 ) )
157150, 156eqtr4d 2468 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR+  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( log `  n
)  +  1 )  =  ( ( log `  ( ! `  ( |_ `  A ) ) )  +  ( |_
`  A ) ) )
158147, 157breqtrd 4304 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  d
)  <_  ( ( log `  ( ! `  ( |_ `  A ) ) )  +  ( |_ `  A ) ) )
15935, 8, 27, 43leadd2dd 9942 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( log `  ( ! `
 ( |_ `  A ) ) )  +  ( |_ `  A ) )  <_ 
( ( log `  ( ! `  ( |_ `  A ) ) )  +  A ) )
16020, 129, 28, 158, 159letrd 9516 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  d
)  <_  ( ( log `  ( ! `  ( |_ `  A ) ) )  +  A
) )
16113, 20, 28, 128, 160letrd 9516 . . 3  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( A  x.  ( log `  A ) )  -  A )  <_  (
( log `  ( ! `  ( |_ `  A ) ) )  +  A ) )
16213, 8, 27lesubaddd 9924 . . 3  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( ( ( A  x.  ( log `  A ) )  -  A )  -  A )  <_ 
( log `  ( ! `  ( |_ `  A ) ) )  <-> 
( ( A  x.  ( log `  A ) )  -  A )  <_  ( ( log `  ( ! `  ( |_ `  A ) ) )  +  A ) ) )
163161, 162mpbird 232 . 2  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( ( A  x.  ( log `  A ) )  -  A )  -  A )  <_  ( log `  ( ! `  ( |_ `  A ) ) ) )
16412, 163eqbrtrd 4300 1  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( A  x.  ( ( log `  A )  -  2 ) )  <_  ( log `  ( ! `  ( |_ `  A ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1362    e. wcel 1755    C_ wss 3316   class class class wbr 4280   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   Fincfn 7298   CCcc 9268   RRcr 9269   0cc0 9270   1c1 9271    + caddc 9273    x. cmul 9275    < clt 9406    <_ cle 9407    - cmin 9583    / cdiv 9981   NNcn 10310   2c2 10359   NN0cn0 10567   ZZcz 10634   ZZ>=cuz 10849   RR+crp 10979   ...cfz 11424   |_cfl 11624   !cfa 12035   #chash 12087   sum_csu 13147   logclog 21891
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-inf2 7835  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347  ax-pre-sup 9348  ax-addf 9349  ax-mulf 9350
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-fal 1368  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-iin 4162  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-se 4667  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-isom 5415  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-of 6309  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-supp 6680  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-2o 6909  df-oadd 6912  df-er 7089  df-map 7204  df-pm 7205  df-ixp 7252  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-fsupp 7609  df-fi 7649  df-sup 7679  df-oi 7712  df-card 8097  df-cda 8325  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-div 9982  df-nn 10311  df-2 10368  df-3 10369  df-4 10370  df-5 10371  df-6 10372  df-7 10373  df-8 10374  df-9 10375  df-10 10376  df-n0 10568  df-z 10635  df-dec 10744  df-uz 10850  df-q 10942  df-rp 10980  df-xneg 11077  df-xadd 11078  df-xmul 11079  df-ioo 11292  df-ioc 11293  df-ico 11294  df-icc 11295  df-fz 11425  df-fzo 11533  df-fl 11626  df-mod 11693  df-seq 11791  df-exp 11850  df-fac 12036  df-bc 12063  df-hash 12088  df-shft 12540  df-cj 12572  df-re 12573  df-im 12574  df-sqr 12708  df-abs 12709  df-limsup 12933  df-clim 12950  df-rlim 12951  df-sum 13148  df-ef 13336  df-e 13337  df-sin 13338  df-cos 13339  df-pi 13341  df-struct 14159  df-ndx 14160  df-slot 14161  df-base 14162  df-sets 14163  df-ress 14164  df-plusg 14234  df-mulr 14235  df-starv 14236  df-sca 14237  df-vsca 14238  df-ip 14239  df-tset 14240  df-ple 14241  df-ds 14243  df-unif 14244  df-hom 14245  df-cco 14246  df-rest 14344  df-topn 14345  df-0g 14363  df-gsum 14364  df-topgen 14365  df-pt 14366  df-prds 14369  df-xrs 14423  df-qtop 14428  df-imas 14429  df-xps 14431  df-mre 14507  df-mrc 14508  df-acs 14510  df-mnd 15398  df-submnd 15448  df-mulg 15528  df-cntz 15815  df-cmn 16259  df-psmet 17653  df-xmet 17654  df-met 17655  df-bl 17656  df-mopn 17657  df-fbas 17658  df-fg 17659  df-cnfld 17663  df-top 18345  df-bases 18347  df-topon 18348  df-topsp 18349  df-cld 18465  df-ntr 18466  df-cls 18467  df-nei 18544  df-lp 18582  df-perf 18583  df-cn 18673  df-cnp 18674  df-haus 18761  df-tx 18977  df-hmeo 19170  df-fil 19261  df-fm 19353  df-flim 19354  df-flf 19355  df-xms 19737  df-ms 19738  df-tms 19739  df-cncf 20296  df-limc 21183  df-dv 21184  df-log 21893  df-em 22271
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