MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  logfaclbnd Structured version   Unicode version

Theorem logfaclbnd 22583
Description: A lower bound on the logarithm of a factorial. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
logfaclbnd  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( A  x.  ( ( log `  A )  -  2 ) )  <_  ( log `  ( ! `  ( |_ `  A ) ) ) )

Proof of Theorem logfaclbnd
Dummy variables  d  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpcn 11020 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  ->  A  e.  CC )
21times2d 10589 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( A  x.  2 )  =  ( A  +  A
) )
32oveq2d 6128 . . 3  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( A  x.  ( log `  A ) )  -  ( A  x.  2
) )  =  ( ( A  x.  ( log `  A ) )  -  ( A  +  A ) ) )
4 relogcl 22049 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( log `  A )  e.  RR )
54recnd 9433 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( log `  A )  e.  CC )
6 2cnd 10415 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  ->  2  e.  CC )
71, 5, 6subdid 9821 . . 3  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( A  x.  ( ( log `  A )  -  2 ) )  =  ( ( A  x.  ( log `  A ) )  -  ( A  x.  2 ) ) )
8 rpre 11018 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR+  ->  A  e.  RR )
98, 4remulcld 9435 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( A  x.  ( log `  A
) )  e.  RR )
109recnd 9433 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( A  x.  ( log `  A
) )  e.  CC )
1110, 1, 1subsub4d 9771 . . 3  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( ( A  x.  ( log `  A ) )  -  A )  -  A )  =  ( ( A  x.  ( log `  A ) )  -  ( A  +  A ) ) )
123, 7, 113eqtr4d 2485 . 2  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( A  x.  ( ( log `  A )  -  2 ) )  =  ( ( ( A  x.  ( log `  A ) )  -  A )  -  A ) )
139, 8resubcld 9797 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( A  x.  ( log `  A ) )  -  A )  e.  RR )
14 fzfid 11816 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  e. 
Fin )
15 fzfid 11816 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( 1 ... n )  e. 
Fin )
16 elfznn 11499 . . . . . . . 8  |-  ( d  e.  ( 1 ... n )  ->  d  e.  NN )
1716adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... n ) )  ->  d  e.  NN )
1817nnrecred 10388 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( 1  /  d )  e.  RR )
1915, 18fsumrecl 13232 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... n
) ( 1  / 
d )  e.  RR )
2014, 19fsumrecl 13232 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  d
)  e.  RR )
21 rprege0 11026 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )
22 flge0nn0 11687 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( |_ `  A
)  e.  NN0 )
2321, 22syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( |_
`  A )  e. 
NN0 )
24 faccl 12082 . . . . . . . 8  |-  ( ( |_ `  A )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( |_ `  A ) )  e.  NN )
2523, 24syl 16 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ! `
 ( |_ `  A ) )  e.  NN )
2625nnrpd 11047 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ! `
 ( |_ `  A ) )  e.  RR+ )
2726relogcld 22094 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( log `  ( ! `  ( |_ `  A ) ) )  e.  RR )
2827, 8readdcld 9434 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( log `  ( ! `
 ( |_ `  A ) ) )  +  A )  e.  RR )
29 elfznn 11499 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) )  ->  d  e.  NN )
3029adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  d  e.  NN )
3130nnrecred 10388 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( 1  /  d )  e.  RR )
3214, 31fsumrecl 13232 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR+  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  d
)  e.  RR )
338, 32remulcld 9435 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( A  x.  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( 1  /  d
) )  e.  RR )
34 reflcl 11667 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  e.  RR )
358, 34syl 16 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( |_
`  A )  e.  RR )
3633, 35resubcld 9797 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( A  x.  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  d
) )  -  ( |_ `  A ) )  e.  RR )
37 harmoniclbnd 22424 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( log `  A )  <_  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  d
) )
38 rpregt0 11025 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( A  e.  RR  /\  0  <  A ) )
39 lemul2 10203 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( log `  A
)  e.  RR  /\  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  d )  e.  RR  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <  A ) )  -> 
( ( log `  A
)  <_  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  d
)  <->  ( A  x.  ( log `  A ) )  <_  ( A  x.  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( 1  /  d
) ) ) )
404, 32, 38, 39syl3anc 1218 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( log `  A )  <_  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( 1  /  d
)  <->  ( A  x.  ( log `  A ) )  <_  ( A  x.  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( 1  /  d
) ) ) )
4137, 40mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( A  x.  ( log `  A
) )  <_  ( A  x.  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  d
) ) )
42 flle 11670 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  <_  A )
438, 42syl 16 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( |_
`  A )  <_  A )
449, 35, 33, 8, 41, 43le2subd 9979 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( A  x.  ( log `  A ) )  -  A )  <_  (
( A  x.  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  d ) )  -  ( |_
`  A ) ) )
4529nnrecred 10388 . . . . . . . . 9  |-  ( d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) )  ->  (
1  /  d )  e.  RR )
46 remulcl 9388 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( 1  /  d
)  e.  RR )  ->  ( A  x.  ( 1  /  d
) )  e.  RR )
478, 45, 46syl2an 477 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( A  x.  ( 1  /  d
) )  e.  RR )
48 peano2rem 9696 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  x.  ( 1  /  d ) )  e.  RR  ->  (
( A  x.  (
1  /  d ) )  -  1 )  e.  RR )
4947, 48syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( A  x.  ( 1  /  d ) )  -  1 )  e.  RR )
50 fzfid 11816 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( d ... ( |_ `  A
) )  e.  Fin )
5131adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  n  e.  ( d ... ( |_
`  A ) ) )  ->  ( 1  /  d )  e.  RR )
5250, 51fsumrecl 13232 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  sum_ n  e.  ( d ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  d
)  e.  RR )
538adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  A  e.  RR )
5453, 34syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( |_ `  A )  e.  RR )
55 peano2re 9563 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( |_ `  A )  e.  RR  ->  (
( |_ `  A
)  +  1 )  e.  RR )
5654, 55syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( |_ `  A )  +  1 )  e.  RR )
5730nnred 10358 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  d  e.  RR )
58 fllep1 11672 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  RR  ->  A  <_  ( ( |_ `  A )  +  1 ) )
598, 58syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  RR+  ->  A  <_ 
( ( |_ `  A )  +  1 ) )
6059adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  A  <_  ( ( |_ `  A
)  +  1 ) )
6153, 56, 57, 60lesub1dd 9976 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( A  -  d )  <_ 
( ( ( |_
`  A )  +  1 )  -  d
) )
6253, 57resubcld 9797 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( A  -  d )  e.  RR )
6356, 57resubcld 9797 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( (
( |_ `  A
)  +  1 )  -  d )  e.  RR )
6430nnrpd 11047 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  d  e.  RR+ )
6564rpreccld 11058 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( 1  /  d )  e.  RR+ )
6662, 63, 65lemul1d 11087 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( A  -  d )  <_  ( ( ( |_
`  A )  +  1 )  -  d
)  <->  ( ( A  -  d )  x.  ( 1  /  d
) )  <_  (
( ( ( |_
`  A )  +  1 )  -  d
)  x.  ( 1  /  d ) ) ) )
6761, 66mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( A  -  d )  x.  ( 1  /  d
) )  <_  (
( ( ( |_
`  A )  +  1 )  -  d
)  x.  ( 1  /  d ) ) )
681adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  A  e.  CC )
6930nncnd 10359 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  d  e.  CC )
7031recnd 9433 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( 1  /  d )  e.  CC )
7168, 69, 70subdird 9822 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( A  -  d )  x.  ( 1  /  d
) )  =  ( ( A  x.  (
1  /  d ) )  -  ( d  x.  ( 1  / 
d ) ) ) )
7230nnne0d 10387 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  d  =/=  0 )
7369, 72recidd 10123 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( d  x.  ( 1  /  d
) )  =  1 )
7473oveq2d 6128 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( A  x.  ( 1  /  d ) )  -  ( d  x.  ( 1  /  d
) ) )  =  ( ( A  x.  ( 1  /  d
) )  -  1 ) )
7571, 74eqtr2d 2476 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( A  x.  ( 1  /  d ) )  -  1 )  =  ( ( A  -  d )  x.  (
1  /  d ) ) )
76 fsumconst 13278 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( d ... ( |_ `  A ) )  e.  Fin  /\  (
1  /  d )  e.  CC )  ->  sum_ n  e.  ( d ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  d )  =  ( ( # `  ( d ... ( |_ `  A ) ) )  x.  ( 1  /  d ) ) )
7750, 70, 76syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  sum_ n  e.  ( d ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  d
)  =  ( (
# `  ( d ... ( |_ `  A
) ) )  x.  ( 1  /  d
) ) )
78 elfzuz3 11471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) )  ->  ( |_ `  A )  e.  ( ZZ>= `  d )
)
7978adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( |_ `  A )  e.  (
ZZ>= `  d ) )
80 hashfz 12209 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( |_ `  A )  e.  ( ZZ>= `  d
)  ->  ( # `  (
d ... ( |_ `  A ) ) )  =  ( ( ( |_ `  A )  -  d )  +  1 ) )
8179, 80syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( # `  (
d ... ( |_ `  A ) ) )  =  ( ( ( |_ `  A )  -  d )  +  1 ) )
8235recnd 9433 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( |_
`  A )  e.  CC )
8382adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( |_ `  A )  e.  CC )
84 1cnd 9423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  1  e.  CC )
8583, 84, 69addsubd 9761 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( (
( |_ `  A
)  +  1 )  -  d )  =  ( ( ( |_
`  A )  -  d )  +  1 ) )
8681, 85eqtr4d 2478 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( # `  (
d ... ( |_ `  A ) ) )  =  ( ( ( |_ `  A )  +  1 )  -  d ) )
8786oveq1d 6127 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( # `
 ( d ... ( |_ `  A
) ) )  x.  ( 1  /  d
) )  =  ( ( ( ( |_
`  A )  +  1 )  -  d
)  x.  ( 1  /  d ) ) )
8877, 87eqtrd 2475 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  sum_ n  e.  ( d ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  d
)  =  ( ( ( ( |_ `  A )  +  1 )  -  d )  x.  ( 1  / 
d ) ) )
8967, 75, 883brtr4d 4343 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( A  x.  ( 1  /  d ) )  -  1 )  <_  sum_ n  e.  ( d ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  d ) )
9014, 49, 52, 89fsumle 13283 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR+  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( A  x.  ( 1  /  d
) )  -  1 )  <_  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )
sum_ n  e.  (
d ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  d ) )
9114, 1, 70fsummulc2 13272 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( A  x.  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( 1  /  d
) )  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( A  x.  ( 1  /  d ) ) )
92 ax-1cn 9361 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  CC
93 fsumconst 13278 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1 ... ( |_ `  A ) )  e.  Fin  /\  1  e.  CC )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) 1  =  ( (
# `  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) )  x.  1 ) )
9414, 92, 93sylancl 662 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR+  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) 1  =  ( (
# `  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) )  x.  1 ) )
95 hashfz1 12138 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( |_ `  A )  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  =  ( |_
`  A ) )
9623, 95syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( # `  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  =  ( |_
`  A ) )
9796oveq1d 6127 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( (
# `  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) )  x.  1 )  =  ( ( |_ `  A
)  x.  1 ) )
9882mulid1d 9424 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( |_ `  A )  x.  1 )  =  ( |_ `  A
) )
9994, 97, 983eqtrrd 2480 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( |_
`  A )  = 
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) 1 )
10091, 99oveq12d 6130 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( A  x.  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  d
) )  -  ( |_ `  A ) )  =  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( A  x.  (
1  /  d ) )  -  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) 1 ) )
10147recnd 9433 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( A  x.  ( 1  /  d
) )  e.  CC )
10214, 101, 84fsumsub 13276 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR+  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( A  x.  ( 1  /  d
) )  -  1 )  =  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( A  x.  ( 1  /  d ) )  -  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) 1 ) )
103100, 102eqtr4d 2478 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( A  x.  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  d
) )  -  ( |_ `  A ) )  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( A  x.  ( 1  /  d
) )  -  1 ) )
104 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ZZ>= ` 
1 )  =  (
ZZ>= `  1 )
105104uztrn2 10899 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( d  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  d )
)  ->  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
106105adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  (
d  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  d )
) )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
107106biantrurd 508 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  (
d  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  d )
) )  ->  (
( |_ `  A
)  e.  ( ZZ>= `  n )  <->  ( n  e.  ( ZZ>= `  1 )  /\  ( |_ `  A
)  e.  ( ZZ>= `  n ) ) ) )
108 uzss 10902 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  d
)  ->  ( ZZ>= `  n )  C_  ( ZZ>=
`  d ) )
109108ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  (
d  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  d )
) )  ->  ( ZZ>=
`  n )  C_  ( ZZ>= `  d )
)
110109sseld 3376 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  (
d  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  d )
) )  ->  (
( |_ `  A
)  e.  ( ZZ>= `  n )  ->  ( |_ `  A )  e.  ( ZZ>= `  d )
) )
111110pm4.71rd 635 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  (
d  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  d )
) )  ->  (
( |_ `  A
)  e.  ( ZZ>= `  n )  <->  ( ( |_ `  A )  e.  ( ZZ>= `  d )  /\  ( |_ `  A
)  e.  ( ZZ>= `  n ) ) ) )
112107, 111bitr3d 255 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  (
d  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  d )
) )  ->  (
( n  e.  (
ZZ>= `  1 )  /\  ( |_ `  A )  e.  ( ZZ>= `  n
) )  <->  ( ( |_ `  A )  e.  ( ZZ>= `  d )  /\  ( |_ `  A
)  e.  ( ZZ>= `  n ) ) ) )
113112pm5.32da 641 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( ( d  e.  (
ZZ>= `  1 )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  d ) )  /\  ( n  e.  ( ZZ>=
`  1 )  /\  ( |_ `  A )  e.  ( ZZ>= `  n
) ) )  <->  ( (
d  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  d )
)  /\  ( ( |_ `  A )  e.  ( ZZ>= `  d )  /\  ( |_ `  A
)  e.  ( ZZ>= `  n ) ) ) ) )
114 ancom 450 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( n  e.  (
ZZ>= `  1 )  /\  ( |_ `  A )  e.  ( ZZ>= `  n
) )  /\  (
d  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  d )
) )  <->  ( (
d  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  d )
)  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  1 )  /\  ( |_ `  A
)  e.  ( ZZ>= `  n ) ) ) )
115 an4 820 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( d  e.  (
ZZ>= `  1 )  /\  ( |_ `  A )  e.  ( ZZ>= `  d
) )  /\  (
n  e.  ( ZZ>= `  d )  /\  ( |_ `  A )  e.  ( ZZ>= `  n )
) )  <->  ( (
d  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  d )
)  /\  ( ( |_ `  A )  e.  ( ZZ>= `  d )  /\  ( |_ `  A
)  e.  ( ZZ>= `  n ) ) ) )
116113, 114, 1153bitr4g 288 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( ( n  e.  (
ZZ>= `  1 )  /\  ( |_ `  A )  e.  ( ZZ>= `  n
) )  /\  (
d  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  d )
) )  <->  ( (
d  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  ( |_ `  A )  e.  ( ZZ>= `  d )
)  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  d )  /\  ( |_ `  A
)  e.  ( ZZ>= `  n ) ) ) ) )
117 elfzuzb 11468 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) )  <->  ( n  e.  ( ZZ>= `  1 )  /\  ( |_ `  A
)  e.  ( ZZ>= `  n ) ) )
118 elfzuzb 11468 . . . . . . . . 9  |-  ( d  e.  ( 1 ... n )  <->  ( d  e.  ( ZZ>= `  1 )  /\  n  e.  ( ZZ>=
`  d ) ) )
119117, 118anbi12i 697 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  d  e.  ( 1 ... n ) )  <-> 
( ( n  e.  ( ZZ>= `  1 )  /\  ( |_ `  A
)  e.  ( ZZ>= `  n ) )  /\  ( d  e.  (
ZZ>= `  1 )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  d ) ) ) )
120 elfzuzb 11468 . . . . . . . . 9  |-  ( d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) )  <->  ( d  e.  ( ZZ>= `  1 )  /\  ( |_ `  A
)  e.  ( ZZ>= `  d ) ) )
121 elfzuzb 11468 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( d ... ( |_ `  A
) )  <->  ( n  e.  ( ZZ>= `  d )  /\  ( |_ `  A
)  e.  ( ZZ>= `  n ) ) )
122120, 121anbi12i 697 . . . . . . . 8  |-  ( ( d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  n  e.  ( d ... ( |_ `  A
) ) )  <->  ( (
d  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  ( |_ `  A )  e.  ( ZZ>= `  d )
)  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  d )  /\  ( |_ `  A
)  e.  ( ZZ>= `  n ) ) ) )
123116, 119, 1223bitr4g 288 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  d  e.  ( 1 ... n ) )  <-> 
( d  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) )  /\  n  e.  ( d ... ( |_
`  A ) ) ) ) )
12418recnd 9433 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( 1  /  d )  e.  CC )
125124anasss 647 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  (
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  d  e.  ( 1 ... n ) ) )  ->  ( 1  /  d )  e.  CC )
12614, 14, 15, 123, 125fsumcom2 13262 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR+  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  d
)  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )
sum_ n  e.  (
d ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  d ) )
12790, 103, 1263brtr4d 4343 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( A  x.  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  d
) )  -  ( |_ `  A ) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  d
) )
12813, 36, 20, 44, 127letrd 9549 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( A  x.  ( log `  A ) )  -  A )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  d
) )
12927, 35readdcld 9434 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( log `  ( ! `
 ( |_ `  A ) ) )  +  ( |_ `  A ) )  e.  RR )
130 elfznn 11499 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) )  ->  n  e.  NN )
131130adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  n  e.  NN )
132131nnrpd 11047 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  n  e.  RR+ )
133132relogcld 22094 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( log `  n )  e.  RR )
134 peano2re 9563 . . . . . . . 8  |-  ( ( log `  n )  e.  RR  ->  (
( log `  n
)  +  1 )  e.  RR )
135133, 134syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( log `  n )  +  1 )  e.  RR )
136 nnz 10689 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  ZZ )
137 flid 11678 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ZZ  ->  ( |_ `  n )  =  n )
138136, 137syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  ( |_ `  n )  =  n )
139138oveq2d 6128 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
1 ... ( |_ `  n ) )  =  ( 1 ... n
) )
140139sumeq1d 13199 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  n ) ) ( 1  /  d
)  =  sum_ d  e.  ( 1 ... n
) ( 1  / 
d ) )
141 nnre 10350 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR )
142 nnge1 10369 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  1  <_  n )
143 harmonicubnd 22425 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  RR  /\  1  <_  n )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  n ) ) ( 1  /  d )  <_  ( ( log `  n )  +  1 ) )
144141, 142, 143syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  n ) ) ( 1  /  d
)  <_  ( ( log `  n )  +  1 ) )
145140, 144eqbrtrrd 4335 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... n
) ( 1  / 
d )  <_  (
( log `  n
)  +  1 ) )
146131, 145syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... n
) ( 1  / 
d )  <_  (
( log `  n
)  +  1 ) )
14714, 19, 135, 146fsumle 13283 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR+  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  d
)  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( log `  n
)  +  1 ) )
148133recnd 9433 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( log `  n )  e.  CC )
149 1cnd 9423 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  1  e.  CC )
15014, 148, 149fsumadd 13236 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR+  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( log `  n
)  +  1 )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( log `  n
)  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) 1 ) )
151 logfac 22071 . . . . . . . . 9  |-  ( ( |_ `  A )  e.  NN0  ->  ( log `  ( ! `  ( |_ `  A ) ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( log `  n
) )
15223, 151syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( log `  ( ! `  ( |_ `  A ) ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( log `  n
) )
153 fsumconst 13278 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1 ... ( |_ `  A ) )  e.  Fin  /\  1  e.  CC )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) 1  =  ( (
# `  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) )  x.  1 ) )
15414, 92, 153sylancl 662 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR+  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) 1  =  ( (
# `  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) )  x.  1 ) )
155154, 97, 983eqtrrd 2480 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( |_
`  A )  = 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) 1 )
156152, 155oveq12d 6130 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( log `  ( ! `
 ( |_ `  A ) ) )  +  ( |_ `  A ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( log `  n
)  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) 1 ) )
157150, 156eqtr4d 2478 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR+  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( log `  n
)  +  1 )  =  ( ( log `  ( ! `  ( |_ `  A ) ) )  +  ( |_
`  A ) ) )
158147, 157breqtrd 4337 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  d
)  <_  ( ( log `  ( ! `  ( |_ `  A ) ) )  +  ( |_ `  A ) ) )
15935, 8, 27, 43leadd2dd 9975 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( log `  ( ! `
 ( |_ `  A ) ) )  +  ( |_ `  A ) )  <_ 
( ( log `  ( ! `  ( |_ `  A ) ) )  +  A ) )
16020, 129, 28, 158, 159letrd 9549 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  d
)  <_  ( ( log `  ( ! `  ( |_ `  A ) ) )  +  A
) )
16113, 20, 28, 128, 160letrd 9549 . . 3  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( A  x.  ( log `  A ) )  -  A )  <_  (
( log `  ( ! `  ( |_ `  A ) ) )  +  A ) )
16213, 8, 27lesubaddd 9957 . . 3  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( ( ( A  x.  ( log `  A ) )  -  A )  -  A )  <_ 
( log `  ( ! `  ( |_ `  A ) ) )  <-> 
( ( A  x.  ( log `  A ) )  -  A )  <_  ( ( log `  ( ! `  ( |_ `  A ) ) )  +  A ) ) )
163161, 162mpbird 232 . 2  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( ( A  x.  ( log `  A ) )  -  A )  -  A )  <_  ( log `  ( ! `  ( |_ `  A ) ) ) )
16412, 163eqbrtrd 4333 1  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( A  x.  ( ( log `  A )  -  2 ) )  <_  ( log `  ( ! `  ( |_ `  A ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    C_ wss 3349   class class class wbr 4313   ` cfv 5439  (class class class)co 6112   Fincfn 7331   CCcc 9301   RRcr 9302   0cc0 9303   1c1 9304    + caddc 9306    x. cmul 9308    < clt 9439    <_ cle 9440    - cmin 9616    / cdiv 10014   NNcn 10343   2c2 10392   NN0cn0 10600   ZZcz 10667   ZZ>=cuz 10882   RR+crp 11012   ...cfz 11458   |_cfl 11661   !cfa 12072   #chash 12124   sum_csu 13184   logclog 22028
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-inf2 7868  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380  ax-pre-sup 9381  ax-addf 9382  ax-mulf 9383
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-iin 4195  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-se 4701  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-isom 5448  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-of 6341  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-supp 6712  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-1o 6941  df-2o 6942  df-oadd 6945  df-er 7122  df-map 7237  df-pm 7238  df-ixp 7285  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-fin 7335  df-fsupp 7642  df-fi 7682  df-sup 7712  df-oi 7745  df-card 8130  df-cda 8358  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-div 10015  df-nn 10344  df-2 10401  df-3 10402  df-4 10403  df-5 10404  df-6 10405  df-7 10406  df-8 10407  df-9 10408  df-10 10409  df-n0 10601  df-z 10668  df-dec 10777  df-uz 10883  df-q 10975  df-rp 11013  df-xneg 11110  df-xadd 11111  df-xmul 11112  df-ioo 11325  df-ioc 11326  df-ico 11327  df-icc 11328  df-fz 11459  df-fzo 11570  df-fl 11663  df-mod 11730  df-seq 11828  df-exp 11887  df-fac 12073  df-bc 12100  df-hash 12125  df-shft 12577  df-cj 12609  df-re 12610  df-im 12611  df-sqr 12745  df-abs 12746  df-limsup 12970  df-clim 12987  df-rlim 12988  df-sum 13185  df-ef 13374  df-e 13375  df-sin 13376  df-cos 13377  df-pi 13379  df-struct 14197  df-ndx 14198  df-slot 14199  df-base 14200  df-sets 14201  df-ress 14202  df-plusg 14272  df-mulr 14273  df-starv 14274  df-sca 14275  df-vsca 14276  df-ip 14277  df-tset 14278  df-ple 14279  df-ds 14281  df-unif 14282  df-hom 14283  df-cco 14284  df-rest 14382  df-topn 14383  df-0g 14401  df-gsum 14402  df-topgen 14403  df-pt 14404  df-prds 14407  df-xrs 14461  df-qtop 14466  df-imas 14467  df-xps 14469  df-mre 14545  df-mrc 14546  df-acs 14548  df-mnd 15436  df-submnd 15486  df-mulg 15569  df-cntz 15856  df-cmn 16300  df-psmet 17831  df-xmet 17832  df-met 17833  df-bl 17834  df-mopn 17835  df-fbas 17836  df-fg 17837  df-cnfld 17841  df-top 18525  df-bases 18527  df-topon 18528  df-topsp 18529  df-cld 18645  df-ntr 18646  df-cls 18647  df-nei 18724  df-lp 18762  df-perf 18763  df-cn 18853  df-cnp 18854  df-haus 18941  df-tx 19157  df-hmeo 19350  df-fil 19441  df-fm 19533  df-flim 19534  df-flf 19535  df-xms 19917  df-ms 19918  df-tms 19919  df-cncf 20476  df-limc 21363  df-dv 21364  df-log 22030  df-em 22408
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator