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Theorem logfaclbnd 23253
Description: A lower bound on the logarithm of a factorial. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
logfaclbnd  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( A  x.  ( ( log `  A )  -  2 ) )  <_  ( log `  ( ! `  ( |_ `  A ) ) ) )

Proof of Theorem logfaclbnd
Dummy variables  d  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpcn 11228 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  ->  A  e.  CC )
21times2d 10782 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( A  x.  2 )  =  ( A  +  A
) )
32oveq2d 6300 . . 3  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( A  x.  ( log `  A ) )  -  ( A  x.  2
) )  =  ( ( A  x.  ( log `  A ) )  -  ( A  +  A ) ) )
4 relogcl 22719 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( log `  A )  e.  RR )
54recnd 9622 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( log `  A )  e.  CC )
6 2cnd 10608 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  ->  2  e.  CC )
71, 5, 6subdid 10012 . . 3  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( A  x.  ( ( log `  A )  -  2 ) )  =  ( ( A  x.  ( log `  A ) )  -  ( A  x.  2 ) ) )
8 rpre 11226 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR+  ->  A  e.  RR )
98, 4remulcld 9624 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( A  x.  ( log `  A
) )  e.  RR )
109recnd 9622 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( A  x.  ( log `  A
) )  e.  CC )
1110, 1, 1subsub4d 9961 . . 3  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( ( A  x.  ( log `  A ) )  -  A )  -  A )  =  ( ( A  x.  ( log `  A ) )  -  ( A  +  A ) ) )
123, 7, 113eqtr4d 2518 . 2  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( A  x.  ( ( log `  A )  -  2 ) )  =  ( ( ( A  x.  ( log `  A ) )  -  A )  -  A ) )
139, 8resubcld 9987 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( A  x.  ( log `  A ) )  -  A )  e.  RR )
14 fzfid 12051 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  e. 
Fin )
15 fzfid 12051 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( 1 ... n )  e. 
Fin )
16 elfznn 11714 . . . . . . . 8  |-  ( d  e.  ( 1 ... n )  ->  d  e.  NN )
1716adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... n ) )  ->  d  e.  NN )
1817nnrecred 10581 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( 1  /  d )  e.  RR )
1915, 18fsumrecl 13519 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... n
) ( 1  / 
d )  e.  RR )
2014, 19fsumrecl 13519 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  d
)  e.  RR )
21 rprege0 11234 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )
22 flge0nn0 11922 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( |_ `  A
)  e.  NN0 )
2321, 22syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( |_
`  A )  e. 
NN0 )
24 faccl 12331 . . . . . . . 8  |-  ( ( |_ `  A )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( |_ `  A ) )  e.  NN )
2523, 24syl 16 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ! `
 ( |_ `  A ) )  e.  NN )
2625nnrpd 11255 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ! `
 ( |_ `  A ) )  e.  RR+ )
2726relogcld 22764 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( log `  ( ! `  ( |_ `  A ) ) )  e.  RR )
2827, 8readdcld 9623 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( log `  ( ! `
 ( |_ `  A ) ) )  +  A )  e.  RR )
29 elfznn 11714 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) )  ->  d  e.  NN )
3029adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  d  e.  NN )
3130nnrecred 10581 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( 1  /  d )  e.  RR )
3214, 31fsumrecl 13519 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR+  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  d
)  e.  RR )
338, 32remulcld 9624 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( A  x.  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( 1  /  d
) )  e.  RR )
34 reflcl 11901 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  e.  RR )
358, 34syl 16 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( |_
`  A )  e.  RR )
3633, 35resubcld 9987 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( A  x.  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  d
) )  -  ( |_ `  A ) )  e.  RR )
37 harmoniclbnd 23094 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( log `  A )  <_  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  d
) )
38 rpregt0 11233 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( A  e.  RR  /\  0  <  A ) )
39 lemul2 10395 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( log `  A
)  e.  RR  /\  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  d )  e.  RR  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <  A ) )  -> 
( ( log `  A
)  <_  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  d
)  <->  ( A  x.  ( log `  A ) )  <_  ( A  x.  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( 1  /  d
) ) ) )
404, 32, 38, 39syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( log `  A )  <_  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( 1  /  d
)  <->  ( A  x.  ( log `  A ) )  <_  ( A  x.  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( 1  /  d
) ) ) )
4137, 40mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( A  x.  ( log `  A
) )  <_  ( A  x.  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  d
) ) )
42 flle 11904 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  <_  A )
438, 42syl 16 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( |_
`  A )  <_  A )
449, 35, 33, 8, 41, 43le2subd 10171 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( A  x.  ( log `  A ) )  -  A )  <_  (
( A  x.  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  d ) )  -  ( |_
`  A ) ) )
4529nnrecred 10581 . . . . . . . . 9  |-  ( d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) )  ->  (
1  /  d )  e.  RR )
46 remulcl 9577 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( 1  /  d
)  e.  RR )  ->  ( A  x.  ( 1  /  d
) )  e.  RR )
478, 45, 46syl2an 477 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( A  x.  ( 1  /  d
) )  e.  RR )
48 peano2rem 9886 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  x.  ( 1  /  d ) )  e.  RR  ->  (
( A  x.  (
1  /  d ) )  -  1 )  e.  RR )
4947, 48syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( A  x.  ( 1  /  d ) )  -  1 )  e.  RR )
50 fzfid 12051 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( d ... ( |_ `  A
) )  e.  Fin )
5131adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  n  e.  ( d ... ( |_
`  A ) ) )  ->  ( 1  /  d )  e.  RR )
5250, 51fsumrecl 13519 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  sum_ n  e.  ( d ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  d
)  e.  RR )
538adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  A  e.  RR )
5453, 34syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( |_ `  A )  e.  RR )
55 peano2re 9752 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( |_ `  A )  e.  RR  ->  (
( |_ `  A
)  +  1 )  e.  RR )
5654, 55syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( |_ `  A )  +  1 )  e.  RR )
5730nnred 10551 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  d  e.  RR )
58 fllep1 11906 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  RR  ->  A  <_  ( ( |_ `  A )  +  1 ) )
598, 58syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  RR+  ->  A  <_ 
( ( |_ `  A )  +  1 ) )
6059adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  A  <_  ( ( |_ `  A
)  +  1 ) )
6153, 56, 57, 60lesub1dd 10168 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( A  -  d )  <_ 
( ( ( |_
`  A )  +  1 )  -  d
) )
6253, 57resubcld 9987 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( A  -  d )  e.  RR )
6356, 57resubcld 9987 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( (
( |_ `  A
)  +  1 )  -  d )  e.  RR )
6430nnrpd 11255 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  d  e.  RR+ )
6564rpreccld 11266 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( 1  /  d )  e.  RR+ )
6662, 63, 65lemul1d 11295 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( A  -  d )  <_  ( ( ( |_
`  A )  +  1 )  -  d
)  <->  ( ( A  -  d )  x.  ( 1  /  d
) )  <_  (
( ( ( |_
`  A )  +  1 )  -  d
)  x.  ( 1  /  d ) ) ) )
6761, 66mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( A  -  d )  x.  ( 1  /  d
) )  <_  (
( ( ( |_
`  A )  +  1 )  -  d
)  x.  ( 1  /  d ) ) )
681adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  A  e.  CC )
6930nncnd 10552 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  d  e.  CC )
7031recnd 9622 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( 1  /  d )  e.  CC )
7168, 69, 70subdird 10013 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( A  -  d )  x.  ( 1  /  d
) )  =  ( ( A  x.  (
1  /  d ) )  -  ( d  x.  ( 1  / 
d ) ) ) )
7230nnne0d 10580 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  d  =/=  0 )
7369, 72recidd 10315 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( d  x.  ( 1  /  d
) )  =  1 )
7473oveq2d 6300 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( A  x.  ( 1  /  d ) )  -  ( d  x.  ( 1  /  d
) ) )  =  ( ( A  x.  ( 1  /  d
) )  -  1 ) )
7571, 74eqtr2d 2509 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( A  x.  ( 1  /  d ) )  -  1 )  =  ( ( A  -  d )  x.  (
1  /  d ) ) )
76 fsumconst 13568 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( d ... ( |_ `  A ) )  e.  Fin  /\  (
1  /  d )  e.  CC )  ->  sum_ n  e.  ( d ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  d )  =  ( ( # `  ( d ... ( |_ `  A ) ) )  x.  ( 1  /  d ) ) )
7750, 70, 76syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  sum_ n  e.  ( d ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  d
)  =  ( (
# `  ( d ... ( |_ `  A
) ) )  x.  ( 1  /  d
) ) )
78 elfzuz3 11685 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) )  ->  ( |_ `  A )  e.  ( ZZ>= `  d )
)
7978adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( |_ `  A )  e.  (
ZZ>= `  d ) )
80 hashfz 12450 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( |_ `  A )  e.  ( ZZ>= `  d
)  ->  ( # `  (
d ... ( |_ `  A ) ) )  =  ( ( ( |_ `  A )  -  d )  +  1 ) )
8179, 80syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( # `  (
d ... ( |_ `  A ) ) )  =  ( ( ( |_ `  A )  -  d )  +  1 ) )
8235recnd 9622 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( |_
`  A )  e.  CC )
8382adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( |_ `  A )  e.  CC )
84 1cnd 9612 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  1  e.  CC )
8583, 84, 69addsubd 9951 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( (
( |_ `  A
)  +  1 )  -  d )  =  ( ( ( |_
`  A )  -  d )  +  1 ) )
8681, 85eqtr4d 2511 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( # `  (
d ... ( |_ `  A ) ) )  =  ( ( ( |_ `  A )  +  1 )  -  d ) )
8786oveq1d 6299 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( # `
 ( d ... ( |_ `  A
) ) )  x.  ( 1  /  d
) )  =  ( ( ( ( |_
`  A )  +  1 )  -  d
)  x.  ( 1  /  d ) ) )
8877, 87eqtrd 2508 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  sum_ n  e.  ( d ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  d
)  =  ( ( ( ( |_ `  A )  +  1 )  -  d )  x.  ( 1  / 
d ) ) )
8967, 75, 883brtr4d 4477 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( A  x.  ( 1  /  d ) )  -  1 )  <_  sum_ n  e.  ( d ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  d ) )
9014, 49, 52, 89fsumle 13576 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR+  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( A  x.  ( 1  /  d
) )  -  1 )  <_  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )
sum_ n  e.  (
d ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  d ) )
9114, 1, 70fsummulc2 13562 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( A  x.  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( 1  /  d
) )  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( A  x.  ( 1  /  d ) ) )
92 ax-1cn 9550 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  CC
93 fsumconst 13568 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1 ... ( |_ `  A ) )  e.  Fin  /\  1  e.  CC )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) 1  =  ( (
# `  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) )  x.  1 ) )
9414, 92, 93sylancl 662 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR+  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) 1  =  ( (
# `  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) )  x.  1 ) )
95 hashfz1 12387 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( |_ `  A )  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  =  ( |_
`  A ) )
9623, 95syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( # `  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  =  ( |_
`  A ) )
9796oveq1d 6299 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( (
# `  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) )  x.  1 )  =  ( ( |_ `  A
)  x.  1 ) )
9882mulid1d 9613 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( |_ `  A )  x.  1 )  =  ( |_ `  A
) )
9994, 97, 983eqtrrd 2513 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( |_
`  A )  = 
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) 1 )
10091, 99oveq12d 6302 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( A  x.  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  d
) )  -  ( |_ `  A ) )  =  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( A  x.  (
1  /  d ) )  -  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) 1 ) )
10147recnd 9622 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( A  x.  ( 1  /  d
) )  e.  CC )
10214, 101, 84fsumsub 13566 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR+  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( A  x.  ( 1  /  d
) )  -  1 )  =  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( A  x.  ( 1  /  d ) )  -  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) 1 ) )
103100, 102eqtr4d 2511 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( A  x.  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  d
) )  -  ( |_ `  A ) )  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( A  x.  ( 1  /  d
) )  -  1 ) )
104 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ZZ>= ` 
1 )  =  (
ZZ>= `  1 )
105104uztrn2 11099 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( d  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  d )
)  ->  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
106105adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  (
d  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  d )
) )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
107106biantrurd 508 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  (
d  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  d )
) )  ->  (
( |_ `  A
)  e.  ( ZZ>= `  n )  <->  ( n  e.  ( ZZ>= `  1 )  /\  ( |_ `  A
)  e.  ( ZZ>= `  n ) ) ) )
108 uzss 11102 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  d
)  ->  ( ZZ>= `  n )  C_  ( ZZ>=
`  d ) )
109108ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  (
d  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  d )
) )  ->  ( ZZ>=
`  n )  C_  ( ZZ>= `  d )
)
110109sseld 3503 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  (
d  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  d )
) )  ->  (
( |_ `  A
)  e.  ( ZZ>= `  n )  ->  ( |_ `  A )  e.  ( ZZ>= `  d )
) )
111110pm4.71rd 635 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  (
d  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  d )
) )  ->  (
( |_ `  A
)  e.  ( ZZ>= `  n )  <->  ( ( |_ `  A )  e.  ( ZZ>= `  d )  /\  ( |_ `  A
)  e.  ( ZZ>= `  n ) ) ) )
112107, 111bitr3d 255 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  (
d  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  d )
) )  ->  (
( n  e.  (
ZZ>= `  1 )  /\  ( |_ `  A )  e.  ( ZZ>= `  n
) )  <->  ( ( |_ `  A )  e.  ( ZZ>= `  d )  /\  ( |_ `  A
)  e.  ( ZZ>= `  n ) ) ) )
113112pm5.32da 641 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( ( d  e.  (
ZZ>= `  1 )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  d ) )  /\  ( n  e.  ( ZZ>=
`  1 )  /\  ( |_ `  A )  e.  ( ZZ>= `  n
) ) )  <->  ( (
d  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  d )
)  /\  ( ( |_ `  A )  e.  ( ZZ>= `  d )  /\  ( |_ `  A
)  e.  ( ZZ>= `  n ) ) ) ) )
114 ancom 450 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( n  e.  (
ZZ>= `  1 )  /\  ( |_ `  A )  e.  ( ZZ>= `  n
) )  /\  (
d  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  d )
) )  <->  ( (
d  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  d )
)  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  1 )  /\  ( |_ `  A
)  e.  ( ZZ>= `  n ) ) ) )
115 an4 822 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( d  e.  (
ZZ>= `  1 )  /\  ( |_ `  A )  e.  ( ZZ>= `  d
) )  /\  (
n  e.  ( ZZ>= `  d )  /\  ( |_ `  A )  e.  ( ZZ>= `  n )
) )  <->  ( (
d  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  d )
)  /\  ( ( |_ `  A )  e.  ( ZZ>= `  d )  /\  ( |_ `  A
)  e.  ( ZZ>= `  n ) ) ) )
116113, 114, 1153bitr4g 288 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( ( n  e.  (
ZZ>= `  1 )  /\  ( |_ `  A )  e.  ( ZZ>= `  n
) )  /\  (
d  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  d )
) )  <->  ( (
d  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  ( |_ `  A )  e.  ( ZZ>= `  d )
)  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  d )  /\  ( |_ `  A
)  e.  ( ZZ>= `  n ) ) ) ) )
117 elfzuzb 11682 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) )  <->  ( n  e.  ( ZZ>= `  1 )  /\  ( |_ `  A
)  e.  ( ZZ>= `  n ) ) )
118 elfzuzb 11682 . . . . . . . . 9  |-  ( d  e.  ( 1 ... n )  <->  ( d  e.  ( ZZ>= `  1 )  /\  n  e.  ( ZZ>=
`  d ) ) )
119117, 118anbi12i 697 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  d  e.  ( 1 ... n ) )  <-> 
( ( n  e.  ( ZZ>= `  1 )  /\  ( |_ `  A
)  e.  ( ZZ>= `  n ) )  /\  ( d  e.  (
ZZ>= `  1 )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  d ) ) ) )
120 elfzuzb 11682 . . . . . . . . 9  |-  ( d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) )  <->  ( d  e.  ( ZZ>= `  1 )  /\  ( |_ `  A
)  e.  ( ZZ>= `  d ) ) )
121 elfzuzb 11682 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( d ... ( |_ `  A
) )  <->  ( n  e.  ( ZZ>= `  d )  /\  ( |_ `  A
)  e.  ( ZZ>= `  n ) ) )
122120, 121anbi12i 697 . . . . . . . 8  |-  ( ( d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  n  e.  ( d ... ( |_ `  A
) ) )  <->  ( (
d  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  ( |_ `  A )  e.  ( ZZ>= `  d )
)  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  d )  /\  ( |_ `  A
)  e.  ( ZZ>= `  n ) ) ) )
123116, 119, 1223bitr4g 288 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  d  e.  ( 1 ... n ) )  <-> 
( d  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) )  /\  n  e.  ( d ... ( |_
`  A ) ) ) ) )
12418recnd 9622 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( 1  /  d )  e.  CC )
125124anasss 647 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  (
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  d  e.  ( 1 ... n ) ) )  ->  ( 1  /  d )  e.  CC )
12614, 14, 15, 123, 125fsumcom2 13552 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR+  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  d
)  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )
sum_ n  e.  (
d ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  d ) )
12790, 103, 1263brtr4d 4477 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( A  x.  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  d
) )  -  ( |_ `  A ) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  d
) )
12813, 36, 20, 44, 127letrd 9738 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( A  x.  ( log `  A ) )  -  A )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  d
) )
12927, 35readdcld 9623 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( log `  ( ! `
 ( |_ `  A ) ) )  +  ( |_ `  A ) )  e.  RR )
130 elfznn 11714 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) )  ->  n  e.  NN )
131130adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  n  e.  NN )
132131nnrpd 11255 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  n  e.  RR+ )
133132relogcld 22764 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( log `  n )  e.  RR )
134 peano2re 9752 . . . . . . . 8  |-  ( ( log `  n )  e.  RR  ->  (
( log `  n
)  +  1 )  e.  RR )
135133, 134syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( log `  n )  +  1 )  e.  RR )
136 nnz 10886 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  ZZ )
137 flid 11913 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ZZ  ->  ( |_ `  n )  =  n )
138136, 137syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  ( |_ `  n )  =  n )
139138oveq2d 6300 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
1 ... ( |_ `  n ) )  =  ( 1 ... n
) )
140139sumeq1d 13486 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  n ) ) ( 1  /  d
)  =  sum_ d  e.  ( 1 ... n
) ( 1  / 
d ) )
141 nnre 10543 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR )
142 nnge1 10562 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  1  <_  n )
143 harmonicubnd 23095 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  RR  /\  1  <_  n )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  n ) ) ( 1  /  d )  <_  ( ( log `  n )  +  1 ) )
144141, 142, 143syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  n ) ) ( 1  /  d
)  <_  ( ( log `  n )  +  1 ) )
145140, 144eqbrtrrd 4469 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... n
) ( 1  / 
d )  <_  (
( log `  n
)  +  1 ) )
146131, 145syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... n
) ( 1  / 
d )  <_  (
( log `  n
)  +  1 ) )
14714, 19, 135, 146fsumle 13576 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR+  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  d
)  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( log `  n
)  +  1 ) )
148133recnd 9622 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( log `  n )  e.  CC )
149 1cnd 9612 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  1  e.  CC )
15014, 148, 149fsumadd 13524 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR+  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( log `  n
)  +  1 )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( log `  n
)  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) 1 ) )
151 logfac 22741 . . . . . . . . 9  |-  ( ( |_ `  A )  e.  NN0  ->  ( log `  ( ! `  ( |_ `  A ) ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( log `  n
) )
15223, 151syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( log `  ( ! `  ( |_ `  A ) ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( log `  n
) )
153 fsumconst 13568 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1 ... ( |_ `  A ) )  e.  Fin  /\  1  e.  CC )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) 1  =  ( (
# `  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) )  x.  1 ) )
15414, 92, 153sylancl 662 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR+  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) 1  =  ( (
# `  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) )  x.  1 ) )
155154, 97, 983eqtrrd 2513 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( |_
`  A )  = 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) 1 )
156152, 155oveq12d 6302 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( log `  ( ! `
 ( |_ `  A ) ) )  +  ( |_ `  A ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( log `  n
)  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) 1 ) )
157150, 156eqtr4d 2511 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR+  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( log `  n
)  +  1 )  =  ( ( log `  ( ! `  ( |_ `  A ) ) )  +  ( |_
`  A ) ) )
158147, 157breqtrd 4471 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  d
)  <_  ( ( log `  ( ! `  ( |_ `  A ) ) )  +  ( |_ `  A ) ) )
15935, 8, 27, 43leadd2dd 10167 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( log `  ( ! `
 ( |_ `  A ) ) )  +  ( |_ `  A ) )  <_ 
( ( log `  ( ! `  ( |_ `  A ) ) )  +  A ) )
16020, 129, 28, 158, 159letrd 9738 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  d
)  <_  ( ( log `  ( ! `  ( |_ `  A ) ) )  +  A
) )
16113, 20, 28, 128, 160letrd 9738 . . 3  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( A  x.  ( log `  A ) )  -  A )  <_  (
( log `  ( ! `  ( |_ `  A ) ) )  +  A ) )
16213, 8, 27lesubaddd 10149 . . 3  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( ( ( A  x.  ( log `  A ) )  -  A )  -  A )  <_ 
( log `  ( ! `  ( |_ `  A ) ) )  <-> 
( ( A  x.  ( log `  A ) )  -  A )  <_  ( ( log `  ( ! `  ( |_ `  A ) ) )  +  A ) ) )
163161, 162mpbird 232 . 2  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( ( A  x.  ( log `  A ) )  -  A )  -  A )  <_  ( log `  ( ! `  ( |_ `  A ) ) ) )
16412, 163eqbrtrd 4467 1  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( A  x.  ( ( log `  A )  -  2 ) )  <_  ( log `  ( ! `  ( |_ `  A ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    C_ wss 3476   class class class wbr 4447   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   Fincfn 7516   CCcc 9490   RRcr 9491   0cc0 9492   1c1 9493    + caddc 9495    x. cmul 9497    < clt 9628    <_ cle 9629    - cmin 9805    / cdiv 10206   NNcn 10536   2c2 10585   NN0cn0 10795   ZZcz 10864   ZZ>=cuz 11082   RR+crp 11220   ...cfz 11672   |_cfl 11895   !cfa 12321   #chash 12373   sum_csu 13471   logclog 22698
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570  ax-addf 9571  ax-mulf 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-of 6524  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-pm 7423  df-ixp 7470  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7830  df-fi 7871  df-sup 7901  df-oi 7935  df-card 8320  df-cda 8548  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-5 10597  df-6 10598  df-7 10599  df-8 10600  df-9 10601  df-10 10602  df-n0 10796  df-z 10865  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11183  df-rp 11221  df-xneg 11318  df-xadd 11319  df-xmul 11320  df-ioo 11533  df-ioc 11534  df-ico 11535  df-icc 11536  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-fl 11897  df-mod 11965  df-seq 12076  df-exp 12135  df-fac 12322  df-bc 12349  df-hash 12374  df-shft 12863  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032  df-limsup 13257  df-clim 13274  df-rlim 13275  df-sum 13472  df-ef 13665  df-e 13666  df-sin 13667  df-cos 13668  df-pi 13670  df-struct 14492  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-ress 14497  df-plusg 14568  df-mulr 14569  df-starv 14570  df-sca 14571  df-vsca 14572  df-ip 14573  df-tset 14574  df-ple 14575  df-ds 14577  df-unif 14578  df-hom 14579  df-cco 14580  df-rest 14678  df-topn 14679  df-0g 14697  df-gsum 14698  df-topgen 14699  df-pt 14700  df-prds 14703  df-xrs 14757  df-qtop 14762  df-imas 14763  df-xps 14765  df-mre 14841  df-mrc 14842  df-acs 14844  df-mnd 15732  df-submnd 15787  df-mulg 15870  df-cntz 16160  df-cmn 16606  df-psmet 18210  df-xmet 18211  df-met 18212  df-bl 18213  df-mopn 18214  df-fbas 18215  df-fg 18216  df-cnfld 18220  df-top 19194  df-bases 19196  df-topon 19197  df-topsp 19198  df-cld 19314  df-ntr 19315  df-cls 19316  df-nei 19393  df-lp 19431  df-perf 19432  df-cn 19522  df-cnp 19523  df-haus 19610  df-tx 19826  df-hmeo 20019  df-fil 20110  df-fm 20202  df-flim 20203  df-flf 20204  df-xms 20586  df-ms 20587  df-tms 20588  df-cncf 21145  df-limc 22033  df-dv 22034  df-log 22700  df-em 23078
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