MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  logfac Structured version   Unicode version

Theorem logfac 23172
Description: The logarithm of a factorial can be expressed as a finite sum of logs. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
logfac  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( log `  ( ! `  N
) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( log `  k ) )
Distinct variable group:    k, N

Proof of Theorem logfac
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elnn0 10758 . 2  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  NN  \/  N  =  0 ) )
2 rpmulcl 11205 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  ->  (
k  x.  n )  e.  RR+ )
32adantl 464 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( k  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )
)  ->  ( k  x.  n )  e.  RR+ )
4 vex 3061 . . . . . . 7  |-  k  e. 
_V
5 fvi 5862 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  _V  ->  (  _I  `  k )  =  k )
64, 5ax-mp 5 . . . . . 6  |-  (  _I 
`  k )  =  k
7 elfznn 11685 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  k  e.  NN )
87adantl 464 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  k  e.  NN )
98nnrpd 11220 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  k  e.  RR+ )
106, 9syl5eqel 2494 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  (  _I  `  k )  e.  RR+ )
11 elnnuz 11081 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  <->  N  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
1211biimpi 194 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
13 relogmul 23163 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  ->  ( log `  ( k  x.  n ) )  =  ( ( log `  k
)  +  ( log `  n ) ) )
1413adantl 464 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( k  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )
)  ->  ( log `  ( k  x.  n
) )  =  ( ( log `  k
)  +  ( log `  n ) ) )
156fveq2i 5808 . . . . . 6  |-  ( log `  (  _I  `  k
) )  =  ( log `  k )
1615a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( log `  (  _I  `  k ) )  =  ( log `  k
) )
173, 10, 12, 14, 16seqhomo 12108 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  (  seq 1
(  x.  ,  _I  ) `  N )
)  =  (  seq 1 (  +  ,  log ) `  N ) )
18 facnn 12309 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  N )  =  (  seq 1
(  x.  ,  _I  ) `  N )
)
1918fveq2d 5809 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  ( ! `  N ) )  =  ( log `  (  seq 1 (  x.  ,  _I  ) `  N ) ) )
20 eqidd 2403 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( log `  k
)  =  ( log `  k ) )
21 relogcl 23147 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  RR+  ->  ( log `  k )  e.  RR )
229, 21syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( log `  k
)  e.  RR )
2322recnd 9572 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( log `  k
)  e.  CC )
2420, 12, 23fsumser 13608 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( log `  k
)  =  (  seq 1 (  +  ,  log ) `  N ) )
2517, 19, 243eqtr4d 2453 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  ( ! `  N ) )  = 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( log `  k
) )
26 log1 23157 . . . . 5  |-  ( log `  1 )  =  0
27 sum0 13599 . . . . 5  |-  sum_ k  e.  (/)  ( log `  k
)  =  0
2826, 27eqtr4i 2434 . . . 4  |-  ( log `  1 )  = 
sum_ k  e.  (/)  ( log `  k )
29 fveq2 5805 . . . . . 6  |-  ( N  =  0  ->  ( ! `  N )  =  ( ! ` 
0 ) )
30 fac0 12310 . . . . . 6  |-  ( ! `
 0 )  =  1
3129, 30syl6eq 2459 . . . . 5  |-  ( N  =  0  ->  ( ! `  N )  =  1 )
3231fveq2d 5809 . . . 4  |-  ( N  =  0  ->  ( log `  ( ! `  N ) )  =  ( log `  1
) )
33 oveq2 6242 . . . . . 6  |-  ( N  =  0  ->  (
1 ... N )  =  ( 1 ... 0
) )
34 fz10 11677 . . . . . 6  |-  ( 1 ... 0 )  =  (/)
3533, 34syl6eq 2459 . . . . 5  |-  ( N  =  0  ->  (
1 ... N )  =  (/) )
3635sumeq1d 13579 . . . 4  |-  ( N  =  0  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( log `  k
)  =  sum_ k  e.  (/)  ( log `  k
) )
3728, 32, 363eqtr4a 2469 . . 3  |-  ( N  =  0  ->  ( log `  ( ! `  N ) )  = 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( log `  k
) )
3825, 37jaoi 377 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  \/  N  =  0 )  ->  ( log `  ( ! `  N )
)  =  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( log `  k
) )
391, 38sylbi 195 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( log `  ( ! `  N
) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( log `  k ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 366    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   _Vcvv 3058   (/)c0 3737    _I cid 4732   ` cfv 5525  (class class class)co 6234   RRcr 9441   0cc0 9442   1c1 9443    + caddc 9445    x. cmul 9447   NNcn 10496   NN0cn0 10756   ZZ>=cuz 11045   RR+crp 11183   ...cfz 11643    seqcseq 12061   !cfa 12307   sum_csu 13564   logclog 23126
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-inf2 8011  ax-cnex 9498  ax-resscn 9499  ax-1cn 9500  ax-icn 9501  ax-addcl 9502  ax-addrcl 9503  ax-mulcl 9504  ax-mulrcl 9505  ax-mulcom 9506  ax-addass 9507  ax-mulass 9508  ax-distr 9509  ax-i2m1 9510  ax-1ne0 9511  ax-1rid 9512  ax-rnegex 9513  ax-rrecex 9514  ax-cnre 9515  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517  ax-pre-ltadd 9518  ax-pre-mulgt0 9519  ax-pre-sup 9520  ax-addf 9521  ax-mulf 9522
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-iin 4273  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-se 4782  df-we 4783  df-ord 4824  df-on 4825  df-lim 4826  df-suc 4827  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-isom 5534  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-of 6477  df-om 6639  df-1st 6738  df-2nd 6739  df-supp 6857  df-recs 6999  df-rdg 7033  df-1o 7087  df-2o 7088  df-oadd 7091  df-er 7268  df-map 7379  df-pm 7380  df-ixp 7428  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-fin 7478  df-fsupp 7784  df-fi 7825  df-sup 7855  df-oi 7889  df-card 8272  df-cda 8500  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-xr 9582  df-ltxr 9583  df-le 9584  df-sub 9763  df-neg 9764  df-div 10168  df-nn 10497  df-2 10555  df-3 10556  df-4 10557  df-5 10558  df-6 10559  df-7 10560  df-8 10561  df-9 10562  df-10 10563  df-n0 10757  df-z 10826  df-dec 10940  df-uz 11046  df-q 11146  df-rp 11184  df-xneg 11289  df-xadd 11290  df-xmul 11291  df-ioo 11504  df-ioc 11505  df-ico 11506  df-icc 11507  df-fz 11644  df-fzo 11768  df-fl 11879  df-mod 11948  df-seq 12062  df-exp 12121  df-fac 12308  df-bc 12335  df-hash 12360  df-shft 12956  df-cj 12988  df-re 12989  df-im 12990  df-sqrt 13124  df-abs 13125  df-limsup 13350  df-clim 13367  df-rlim 13368  df-sum 13565  df-ef 13904  df-sin 13906  df-cos 13907  df-pi 13909  df-struct 14735  df-ndx 14736  df-slot 14737  df-base 14738  df-sets 14739  df-ress 14740  df-plusg 14814  df-mulr 14815  df-starv 14816  df-sca 14817  df-vsca 14818  df-ip 14819  df-tset 14820  df-ple 14821  df-ds 14823  df-unif 14824  df-hom 14825  df-cco 14826  df-rest 14929  df-topn 14930  df-0g 14948  df-gsum 14949  df-topgen 14950  df-pt 14951  df-prds 14954  df-xrs 15008  df-qtop 15013  df-imas 15014  df-xps 15016  df-mre 15092  df-mrc 15093  df-acs 15095  df-mgm 16088  df-sgrp 16127  df-mnd 16137  df-submnd 16183  df-mulg 16276  df-cntz 16571  df-cmn 17016  df-psmet 18623  df-xmet 18624  df-met 18625  df-bl 18626  df-mopn 18627  df-fbas 18628  df-fg 18629  df-cnfld 18633  df-top 19583  df-bases 19585  df-topon 19586  df-topsp 19587  df-cld 19704  df-ntr 19705  df-cls 19706  df-nei 19784  df-lp 19822  df-perf 19823  df-cn 19913  df-cnp 19914  df-haus 20001  df-tx 20247  df-hmeo 20440  df-fil 20531  df-fm 20623  df-flim 20624  df-flf 20625  df-xms 21007  df-ms 21008  df-tms 21009  df-cncf 21566  df-limc 22454  df-dv 22455  df-log 23128
This theorem is referenced by:  birthdaylem2  23500  logfac2  23765  logfaclbnd  23770  logfacbnd3  23771
  Copyright terms: Public domain W3C validator