MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  logfac Structured version   Unicode version

Theorem logfac 22177
Description: The logarithm of a factorial can be expressed as a finite sum of logs. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
logfac  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( log `  ( ! `  N
) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( log `  k ) )
Distinct variable group:    k, N

Proof of Theorem logfac
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elnn0 10687 . 2  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  NN  \/  N  =  0 ) )
2 rpmulcl 11118 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  ->  (
k  x.  n )  e.  RR+ )
32adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( k  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )
)  ->  ( k  x.  n )  e.  RR+ )
4 vex 3075 . . . . . . 7  |-  k  e. 
_V
5 fvi 5852 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  _V  ->  (  _I  `  k )  =  k )
64, 5ax-mp 5 . . . . . 6  |-  (  _I 
`  k )  =  k
7 elfznn 11590 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  k  e.  NN )
87adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  k  e.  NN )
98nnrpd 11132 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  k  e.  RR+ )
106, 9syl5eqel 2544 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  (  _I  `  k )  e.  RR+ )
11 elnnuz 11003 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  <->  N  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
1211biimpi 194 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
13 relogmul 22168 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  ->  ( log `  ( k  x.  n ) )  =  ( ( log `  k
)  +  ( log `  n ) ) )
1413adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( k  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )
)  ->  ( log `  ( k  x.  n
) )  =  ( ( log `  k
)  +  ( log `  n ) ) )
156fveq2i 5797 . . . . . 6  |-  ( log `  (  _I  `  k
) )  =  ( log `  k )
1615a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( log `  (  _I  `  k ) )  =  ( log `  k
) )
173, 10, 12, 14, 16seqhomo 11965 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  (  seq 1
(  x.  ,  _I  ) `  N )
)  =  (  seq 1 (  +  ,  log ) `  N ) )
18 facnn 12165 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  N )  =  (  seq 1
(  x.  ,  _I  ) `  N )
)
1918fveq2d 5798 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  ( ! `  N ) )  =  ( log `  (  seq 1 (  x.  ,  _I  ) `  N ) ) )
20 eqidd 2453 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( log `  k
)  =  ( log `  k ) )
21 relogcl 22155 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  RR+  ->  ( log `  k )  e.  RR )
229, 21syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( log `  k
)  e.  RR )
2322recnd 9518 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( log `  k
)  e.  CC )
2420, 12, 23fsumser 13320 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( log `  k
)  =  (  seq 1 (  +  ,  log ) `  N ) )
2517, 19, 243eqtr4d 2503 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  ( ! `  N ) )  = 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( log `  k
) )
26 log1 22162 . . . . 5  |-  ( log `  1 )  =  0
27 sum0 13311 . . . . 5  |-  sum_ k  e.  (/)  ( log `  k
)  =  0
2826, 27eqtr4i 2484 . . . 4  |-  ( log `  1 )  = 
sum_ k  e.  (/)  ( log `  k )
29 fveq2 5794 . . . . . 6  |-  ( N  =  0  ->  ( ! `  N )  =  ( ! ` 
0 ) )
30 fac0 12166 . . . . . 6  |-  ( ! `
 0 )  =  1
3129, 30syl6eq 2509 . . . . 5  |-  ( N  =  0  ->  ( ! `  N )  =  1 )
3231fveq2d 5798 . . . 4  |-  ( N  =  0  ->  ( log `  ( ! `  N ) )  =  ( log `  1
) )
33 oveq2 6203 . . . . . 6  |-  ( N  =  0  ->  (
1 ... N )  =  ( 1 ... 0
) )
34 fz10 11582 . . . . . 6  |-  ( 1 ... 0 )  =  (/)
3533, 34syl6eq 2509 . . . . 5  |-  ( N  =  0  ->  (
1 ... N )  =  (/) )
3635sumeq1d 13291 . . . 4  |-  ( N  =  0  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( log `  k
)  =  sum_ k  e.  (/)  ( log `  k
) )
3728, 32, 363eqtr4a 2519 . . 3  |-  ( N  =  0  ->  ( log `  ( ! `  N ) )  = 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( log `  k
) )
3825, 37jaoi 379 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  \/  N  =  0 )  ->  ( log `  ( ! `  N )
)  =  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( log `  k
) )
391, 38sylbi 195 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( log `  ( ! `  N
) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( log `  k ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3072   (/)c0 3740    _I cid 4734   ` cfv 5521  (class class class)co 6195   RRcr 9387   0cc0 9388   1c1 9389    + caddc 9391    x. cmul 9393   NNcn 10428   NN0cn0 10685   ZZ>=cuz 10967   RR+crp 11097   ...cfz 11549    seqcseq 11918   !cfa 12163   sum_csu 13276   logclog 22134
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-inf2 7953  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-pre-mulgt0 9465  ax-pre-sup 9466  ax-addf 9467  ax-mulf 9468
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rmo 2804  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-int 4232  df-iun 4276  df-iin 4277  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-isom 5530  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-of 6425  df-om 6582  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-supp 6796  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-1o 7025  df-2o 7026  df-oadd 7029  df-er 7206  df-map 7321  df-pm 7322  df-ixp 7369  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-fin 7419  df-fsupp 7727  df-fi 7767  df-sup 7797  df-oi 7830  df-card 8215  df-cda 8443  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-sub 9703  df-neg 9704  df-div 10100  df-nn 10429  df-2 10486  df-3 10487  df-4 10488  df-5 10489  df-6 10490  df-7 10491  df-8 10492  df-9 10493  df-10 10494  df-n0 10686  df-z 10753  df-dec 10862  df-uz 10968  df-q 11060  df-rp 11098  df-xneg 11195  df-xadd 11196  df-xmul 11197  df-ioo 11410  df-ioc 11411  df-ico 11412  df-icc 11413  df-fz 11550  df-fzo 11661  df-fl 11754  df-mod 11821  df-seq 11919  df-exp 11978  df-fac 12164  df-bc 12191  df-hash 12216  df-shft 12669  df-cj 12701  df-re 12702  df-im 12703  df-sqr 12837  df-abs 12838  df-limsup 13062  df-clim 13079  df-rlim 13080  df-sum 13277  df-ef 13466  df-sin 13468  df-cos 13469  df-pi 13471  df-struct 14289  df-ndx 14290  df-slot 14291  df-base 14292  df-sets 14293  df-ress 14294  df-plusg 14365  df-mulr 14366  df-starv 14367  df-sca 14368  df-vsca 14369  df-ip 14370  df-tset 14371  df-ple 14372  df-ds 14374  df-unif 14375  df-hom 14376  df-cco 14377  df-rest 14475  df-topn 14476  df-0g 14494  df-gsum 14495  df-topgen 14496  df-pt 14497  df-prds 14500  df-xrs 14554  df-qtop 14559  df-imas 14560  df-xps 14562  df-mre 14638  df-mrc 14639  df-acs 14641  df-mnd 15529  df-submnd 15579  df-mulg 15662  df-cntz 15949  df-cmn 16395  df-psmet 17929  df-xmet 17930  df-met 17931  df-bl 17932  df-mopn 17933  df-fbas 17934  df-fg 17935  df-cnfld 17939  df-top 18630  df-bases 18632  df-topon 18633  df-topsp 18634  df-cld 18750  df-ntr 18751  df-cls 18752  df-nei 18829  df-lp 18867  df-perf 18868  df-cn 18958  df-cnp 18959  df-haus 19046  df-tx 19262  df-hmeo 19455  df-fil 19546  df-fm 19638  df-flim 19639  df-flf 19640  df-xms 20022  df-ms 20023  df-tms 20024  df-cncf 20581  df-limc 21469  df-dv 21470  df-log 22136
This theorem is referenced by:  birthdaylem2  22474  logfac2  22684  logfaclbnd  22689  logfacbnd3  22690
  Copyright terms: Public domain W3C validator