MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  logfac Structured version   Unicode version

Theorem logfac 22008
Description: The logarithm of a factorial can be expressed as a finite sum of logs. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
logfac  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( log `  ( ! `  N
) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( log `  k ) )
Distinct variable group:    k, N

Proof of Theorem logfac
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elnn0 10577 . 2  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  NN  \/  N  =  0 ) )
2 rpmulcl 11008 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  ->  (
k  x.  n )  e.  RR+ )
32adantl 463 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( k  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )
)  ->  ( k  x.  n )  e.  RR+ )
4 vex 2973 . . . . . . 7  |-  k  e. 
_V
5 fvi 5745 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  _V  ->  (  _I  `  k )  =  k )
64, 5ax-mp 5 . . . . . 6  |-  (  _I 
`  k )  =  k
7 elfznn 11474 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  k  e.  NN )
87adantl 463 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  k  e.  NN )
98nnrpd 11022 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  k  e.  RR+ )
106, 9syl5eqel 2525 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  (  _I  `  k )  e.  RR+ )
11 elnnuz 10893 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  <->  N  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
1211biimpi 194 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
13 relogmul 21999 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  ->  ( log `  ( k  x.  n ) )  =  ( ( log `  k
)  +  ( log `  n ) ) )
1413adantl 463 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( k  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )
)  ->  ( log `  ( k  x.  n
) )  =  ( ( log `  k
)  +  ( log `  n ) ) )
156fveq2i 5691 . . . . . 6  |-  ( log `  (  _I  `  k
) )  =  ( log `  k )
1615a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( log `  (  _I  `  k ) )  =  ( log `  k
) )
173, 10, 12, 14, 16seqhomo 11849 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  (  seq 1
(  x.  ,  _I  ) `  N )
)  =  (  seq 1 (  +  ,  log ) `  N ) )
18 facnn 12049 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  N )  =  (  seq 1
(  x.  ,  _I  ) `  N )
)
1918fveq2d 5692 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  ( ! `  N ) )  =  ( log `  (  seq 1 (  x.  ,  _I  ) `  N ) ) )
20 eqidd 2442 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( log `  k
)  =  ( log `  k ) )
21 relogcl 21986 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  RR+  ->  ( log `  k )  e.  RR )
229, 21syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( log `  k
)  e.  RR )
2322recnd 9408 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( log `  k
)  e.  CC )
2420, 12, 23fsumser 13203 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( log `  k
)  =  (  seq 1 (  +  ,  log ) `  N ) )
2517, 19, 243eqtr4d 2483 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  ( ! `  N ) )  = 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( log `  k
) )
26 log1 21993 . . . . 5  |-  ( log `  1 )  =  0
27 sum0 13194 . . . . 5  |-  sum_ k  e.  (/)  ( log `  k
)  =  0
2826, 27eqtr4i 2464 . . . 4  |-  ( log `  1 )  = 
sum_ k  e.  (/)  ( log `  k )
29 fveq2 5688 . . . . . 6  |-  ( N  =  0  ->  ( ! `  N )  =  ( ! ` 
0 ) )
30 fac0 12050 . . . . . 6  |-  ( ! `
 0 )  =  1
3129, 30syl6eq 2489 . . . . 5  |-  ( N  =  0  ->  ( ! `  N )  =  1 )
3231fveq2d 5692 . . . 4  |-  ( N  =  0  ->  ( log `  ( ! `  N ) )  =  ( log `  1
) )
33 oveq2 6098 . . . . . 6  |-  ( N  =  0  ->  (
1 ... N )  =  ( 1 ... 0
) )
34 fz10 11466 . . . . . 6  |-  ( 1 ... 0 )  =  (/)
3533, 34syl6eq 2489 . . . . 5  |-  ( N  =  0  ->  (
1 ... N )  =  (/) )
3635sumeq1d 13174 . . . 4  |-  ( N  =  0  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( log `  k
)  =  sum_ k  e.  (/)  ( log `  k
) )
3728, 32, 363eqtr4a 2499 . . 3  |-  ( N  =  0  ->  ( log `  ( ! `  N ) )  = 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( log `  k
) )
3825, 37jaoi 379 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  \/  N  =  0 )  ->  ( log `  ( ! `  N )
)  =  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( log `  k
) )
391, 38sylbi 195 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( log `  ( ! `  N
) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( log `  k ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761   _Vcvv 2970   (/)c0 3634    _I cid 4627   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   RRcr 9277   0cc0 9278   1c1 9279    + caddc 9281    x. cmul 9283   NNcn 10318   NN0cn0 10575   ZZ>=cuz 10857   RR+crp 10987   ...cfz 11433    seqcseq 11802   !cfa 12047   sum_csu 13159   logclog 21965
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356  ax-addf 9357  ax-mulf 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-pm 7213  df-ixp 7260  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fsupp 7617  df-fi 7657  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-cda 8333  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-z 10643  df-dec 10752  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-xneg 11085  df-xadd 11086  df-xmul 11087  df-ioo 11300  df-ioc 11301  df-ico 11302  df-icc 11303  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-fl 11638  df-mod 11705  df-seq 11803  df-exp 11862  df-fac 12048  df-bc 12075  df-hash 12100  df-shft 12552  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-limsup 12945  df-clim 12962  df-rlim 12963  df-sum 13160  df-ef 13349  df-sin 13351  df-cos 13352  df-pi 13354  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-starv 14249  df-sca 14250  df-vsca 14251  df-ip 14252  df-tset 14253  df-ple 14254  df-ds 14256  df-unif 14257  df-hom 14258  df-cco 14259  df-rest 14357  df-topn 14358  df-0g 14376  df-gsum 14377  df-topgen 14378  df-pt 14379  df-prds 14382  df-xrs 14436  df-qtop 14441  df-imas 14442  df-xps 14444  df-mre 14520  df-mrc 14521  df-acs 14523  df-mnd 15411  df-submnd 15461  df-mulg 15541  df-cntz 15828  df-cmn 16272  df-psmet 17768  df-xmet 17769  df-met 17770  df-bl 17771  df-mopn 17772  df-fbas 17773  df-fg 17774  df-cnfld 17778  df-top 18462  df-bases 18464  df-topon 18465  df-topsp 18466  df-cld 18582  df-ntr 18583  df-cls 18584  df-nei 18661  df-lp 18699  df-perf 18700  df-cn 18790  df-cnp 18791  df-haus 18878  df-tx 19094  df-hmeo 19287  df-fil 19378  df-fm 19470  df-flim 19471  df-flf 19472  df-xms 19854  df-ms 19855  df-tms 19856  df-cncf 20413  df-limc 21300  df-dv 21301  df-log 21967
This theorem is referenced by:  birthdaylem2  22305  logfac2  22515  logfaclbnd  22520  logfacbnd3  22521
  Copyright terms: Public domain W3C validator