Theorem logf1o2 22903

Description: The logarithm maps its continuous domain bijectively onto the set of numbers with imaginary part -u pi < Im ( z ) < pi. The negative reals are mapped to the numbers with imaginary part equal to pi. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
logcn.d	|- D = ( CC \ ( -oo (,] 0 ) )

Assertion

Ref	Expression
logf1o2	|- ( log |` D ) : D -1-1-onto-> ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )

Proof of Theorem logf1o2

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		logf1o 22824	. . . 4 |- log : ( CC \ { 0 } ) -1-1-onto-> ran log
2		f1of1 5805	. . . 4 |- ( log : ( CC \ { 0 } ) -1-1-onto-> ran log -> log : ( CC \ { 0 } ) -1-1-> ran log )
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 |- log : ( CC \ { 0 } ) -1-1-> ran log
4		logcn.d	. . . 4 |- D = ( CC \ ( -oo (,] 0 ) )
5	4	logdmss 22895	. . 3 |- D C_ ( CC \ { 0 } )
6		f1ores 5820	. . 3 |- ( ( log : ( CC \ { 0 } ) -1-1-> ran log /\ D C_ ( CC \ { 0 } ) ) -> ( log |` D ) : D -1-1-onto-> ( log " D ) )
7	3, 5, 6	mp2an 672	. 2 |- ( log |` D ) : D -1-1-onto-> ( log " D )
8		f1ofun 5808	. . . . . . 7 |- ( log : ( CC \ { 0 } ) -1-1-onto-> ran log -> Fun log )
9	1, 8	ax-mp 5	. . . . . 6 |- Fun log
10		f1of 5806	. . . . . . . . 9 |- ( log : ( CC \ { 0 } ) -1-1-onto-> ran log -> log : ( CC \ { 0 } ) --> ran log )
11	1, 10	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- log : ( CC \ { 0 } ) --> ran log
12	11	fdmi 5726	. . . . . . 7 |- dom log = ( CC \ { 0 } )
13	5, 12	sseqtr4i 3522	. . . . . 6 |- D C_ dom log
14		funimass4 5909	. . . . . 6 |- ( ( Fun log /\ D C_ dom log ) -> ( ( log " D ) C_ ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) <-> A. x e. D ( log ` x ) e. ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) ) )
15	9, 13, 14	mp2an 672	. . . . 5 |- ( ( log " D ) C_ ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) <-> A. x e. D ( log ` x ) e. ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) )
16	4	ellogdm 22892	. . . . . . . 8 |- ( x e. D <-> ( x e. CC /\ ( x e. RR -> x e. RR+ ) ) )
17	16	simplbi 460	. . . . . . 7 |- ( x e. D -> x e. CC )
18	4	logdmn0 22893	. . . . . . 7 |- ( x e. D -> x =/= 0 )
19	17, 18	logcld 22830	. . . . . 6 |- ( x e. D -> ( log ` x ) e. CC )
20	19	imcld 13007	. . . . . . 7 |- ( x e. D -> ( Im ` ( log ` x ) ) e. RR )
21	17, 18	logimcld 22831	. . . . . . . 8 |- ( x e. D -> ( -u pi < ( Im ` ( log ` x ) ) /\ ( Im ` ( log ` x ) ) <_ pi ) )
22	21	simpld 459	. . . . . . 7 |- ( x e. D -> -u pi < ( Im ` ( log ` x ) ) )
23	4	logdmnrp 22894	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. D -> -. -u x e. RR+ )
24		lognegb 22846	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. CC /\ x =/= 0 ) -> ( -u x e. RR+ <-> ( Im ` ( log ` x ) ) = pi ) )
25	17, 18, 24	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. D -> ( -u x e. RR+ <-> ( Im ` ( log ` x ) ) = pi ) )
26	25	necon3bbid 2690	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. D -> ( -. -u x e. RR+ <-> ( Im ` ( log ` x ) ) =/= pi ) )
27	23, 26	mpbid 210	. . . . . . . . 9 |- ( x e. D -> ( Im ` ( log ` x ) ) =/= pi )
28	27	necomd 2714	. . . . . . . 8 |- ( x e. D -> pi =/= ( Im ` ( log ` x ) ) )
29		pire 22723	. . . . . . . . . 10 |- pi e. RR
30	29	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( x e. D -> pi e. RR )
31	21	simprd 463	. . . . . . . . 9 |- ( x e. D -> ( Im ` ( log ` x ) ) <_ pi )
32	20, 30, 31	leltned 9739	. . . . . . . 8 |- ( x e. D -> ( ( Im ` ( log ` x ) ) < pi <-> pi =/= ( Im ` ( log ` x ) ) ) )
33	28, 32	mpbird 232	. . . . . . 7 |- ( x e. D -> ( Im ` ( log ` x ) ) < pi )
34	29	renegcli 9885	. . . . . . . . 9 |- -u pi e. RR
35	34	rexri 9649	. . . . . . . 8 |- -u pi e. RR*
36	29	rexri 9649	. . . . . . . 8 |- pi e. RR*
37		elioo2 11579	. . . . . . . 8 |- ( ( -u pi e. RR* /\ pi e. RR* ) -> ( ( Im ` ( log ` x ) ) e. ( -u pi (,) pi ) <-> ( ( Im ` ( log ` x ) ) e. RR /\ -u pi < ( Im ` ( log ` x ) ) /\ ( Im ` ( log ` x ) ) < pi ) ) )
38	35, 36, 37	mp2an 672	. . . . . . 7 |- ( ( Im ` ( log ` x ) ) e. ( -u pi (,) pi ) <-> ( ( Im ` ( log ` x ) ) e. RR /\ -u pi < ( Im ` ( log ` x ) ) /\ ( Im ` ( log ` x ) ) < pi ) )
39	20, 22, 33, 38	syl3anbrc 1181	. . . . . 6 |- ( x e. D -> ( Im ` ( log ` x ) ) e. ( -u pi (,) pi ) )
40		imf 12925	. . . . . . 7 |- Im : CC --> RR
41		ffn 5721	. . . . . . 7 |- ( Im : CC --> RR -> Im Fn CC )
42		elpreima 5992	. . . . . . 7 |- ( Im Fn CC -> ( ( log ` x ) e. ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) <-> ( ( log ` x ) e. CC /\ ( Im ` ( log ` x ) ) e. ( -u pi (,) pi ) ) ) )
43	40, 41, 42	mp2b 10	. . . . . 6 |- ( ( log ` x ) e. ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) <-> ( ( log ` x ) e. CC /\ ( Im ` ( log ` x ) ) e. ( -u pi (,) pi ) ) )
44	19, 39, 43	sylanbrc 664	. . . . 5 |- ( x e. D -> ( log ` x ) e. ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) )
45	15, 44	mprgbir 2807	. . . 4 |- ( log " D ) C_ ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )
46		elpreima 5992	. . . . . . 7 |- ( Im Fn CC -> ( x e. ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) <-> ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) ) )
47	40, 41, 46	mp2b 10	. . . . . 6 |- ( x e. ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) <-> ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) )
48		simpl 457	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) -> x e. CC )
49		eliooord 11593	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) -> ( -u pi < ( Im ` x ) /\ ( Im ` x ) < pi ) )
50	49	adantl 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) -> ( -u pi < ( Im ` x ) /\ ( Im ` x ) < pi ) )
51	50	simpld 459	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) -> -u pi < ( Im ` x ) )
52	50	simprd 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) -> ( Im ` x ) < pi )
53		imcl 12923	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. CC -> ( Im ` x ) e. RR )
54	53	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) -> ( Im ` x ) e. RR )
55		ltle 9676	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( Im ` x ) e. RR /\ pi e. RR ) -> ( ( Im ` x ) < pi -> ( Im ` x ) <_ pi ) )
56	54, 29, 55	sylancl 662	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) -> ( ( Im ` x ) < pi -> ( Im ` x ) <_ pi ) )
57	52, 56	mpd 15	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) -> ( Im ` x ) <_ pi )
58		ellogrn 22819	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ran log <-> ( x e. CC /\ -u pi < ( Im ` x ) /\ ( Im ` x ) <_ pi ) )
59	48, 51, 57, 58	syl3anbrc 1181	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) -> x e. ran log )
60		logef 22838	. . . . . . . 8 |- ( x e. ran log -> ( log ` ( exp ` x ) ) = x )
61	59, 60	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) -> ( log ` ( exp ` x ) ) = x )
62		efcl 13696	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. CC -> ( exp ` x ) e. CC )
63	62	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) -> ( exp ` x ) e. CC )
64	54	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( Im ` x ) e. RR )
65	64	recnd 9625	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( Im ` x ) e. CC )
66		picn 22724	. . . . . . . . . . . . . 14 |- pi e. CC
67	66	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> pi e. CC )
68		pipos 22725	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 < pi
69	29, 68	gt0ne0ii 10095	. . . . . . . . . . . . . 14 |- pi =/= 0
70	69	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> pi =/= 0 )
71	52	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( Im ` x ) < pi )
72	66	mulid1i 9601	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( pi x. 1 ) = pi
73	71, 72	syl6breqr 4477	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( Im ` x ) < ( pi x. 1 ) )
74		1re 9598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 1 e. RR
75	74	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> 1 e. RR )
76	29	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> pi e. RR )
77	68	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> 0 < pi )
78		ltdivmul 10423	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( Im ` x ) e. RR /\ 1 e. RR /\ ( pi e. RR /\ 0 < pi ) ) -> ( ( ( Im ` x ) / pi ) < 1 <-> ( Im ` x ) < ( pi x. 1 ) ) )
79	64, 75, 76, 77, 78	syl112anc 1233	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( ( ( Im ` x ) / pi ) < 1 <-> ( Im ` x ) < ( pi x. 1 ) ) )
80	73, 79	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( ( Im ` x ) / pi ) < 1 )
81		1e0p1 11012	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 = ( 0 + 1 )
82	80, 81	syl6breq 4476	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( ( Im ` x ) / pi ) < ( 0 + 1 ) )
83	64	recoscld 13756	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( cos ` ( Im ` x ) ) e. RR )
84	64	resincld 13755	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( sin ` ( Im ` x ) ) e. RR )
85	83, 84	crimd 13044	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( Im ` ( ( cos ` ( Im ` x ) ) + ( _i x. ( sin ` ( Im ` x ) ) ) ) ) = ( sin ` ( Im ` x ) ) )
86		efeul 13774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( x e. CC -> ( exp ` x ) = ( ( exp ` ( Re ` x ) ) x. ( ( cos ` ( Im ` x ) ) + ( _i x. ( sin ` ( Im ` x ) ) ) ) ) )
87	86	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( exp ` x ) = ( ( exp ` ( Re ` x ) ) x. ( ( cos ` ( Im ` x ) ) + ( _i x. ( sin ` ( Im ` x ) ) ) ) ) )
88	87	oveq1d 6296	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( ( exp ` x ) / ( exp ` ( Re ` x ) ) ) = ( ( ( exp ` ( Re ` x ) ) x. ( ( cos ` ( Im ` x ) ) + ( _i x. ( sin ` ( Im ` x ) ) ) ) ) / ( exp ` ( Re ` x ) ) ) )
89	83	recnd 9625	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( cos ` ( Im ` x ) ) e. CC )
90		ax-icn 9554	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- _i e. CC
91	84	recnd 9625	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( sin ` ( Im ` x ) ) e. CC )
92		mulcl 9579	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( _i e. CC /\ ( sin ` ( Im ` x ) ) e. CC ) -> ( _i x. ( sin ` ( Im ` x ) ) ) e. CC )
93	90, 91, 92	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( _i x. ( sin ` ( Im ` x ) ) ) e. CC )
94	89, 93	addcld 9618	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( ( cos ` ( Im ` x ) ) + ( _i x. ( sin ` ( Im ` x ) ) ) ) e. CC )
95		recl 12922	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( x e. CC -> ( Re ` x ) e. RR )
96	95	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( Re ` x ) e. RR )
97	96	recnd 9625	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( Re ` x ) e. CC )
98		efcl 13696	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( Re ` x ) e. CC -> ( exp ` ( Re ` x ) ) e. CC )
99	97, 98	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( exp ` ( Re ` x ) ) e. CC )
100		efne0 13709	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( Re ` x ) e. CC -> ( exp ` ( Re ` x ) ) =/= 0 )
101	97, 100	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( exp ` ( Re ` x ) ) =/= 0 )
102	94, 99, 101	divcan3d 10331	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( ( ( exp ` ( Re ` x ) ) x. ( ( cos ` ( Im ` x ) ) + ( _i x. ( sin ` ( Im ` x ) ) ) ) ) / ( exp ` ( Re ` x ) ) ) = ( ( cos ` ( Im ` x ) ) + ( _i x. ( sin ` ( Im ` x ) ) ) ) )
103	88, 102	eqtrd 2484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( ( exp ` x ) / ( exp ` ( Re ` x ) ) ) = ( ( cos ` ( Im ` x ) ) + ( _i x. ( sin ` ( Im ` x ) ) ) ) )
104		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( exp ` x ) e. RR )
105	96	reefcld 13701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( exp ` ( Re ` x ) ) e. RR )
106	104, 105, 101	redivcld 10378	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( ( exp ` x ) / ( exp ` ( Re ` x ) ) ) e. RR )
107	103, 106	eqeltrrd 2532	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( ( cos ` ( Im ` x ) ) + ( _i x. ( sin ` ( Im ` x ) ) ) ) e. RR )
108	107	reim0d 13037	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( Im ` ( ( cos ` ( Im ` x ) ) + ( _i x. ( sin ` ( Im ` x ) ) ) ) ) = 0 )
109	85, 108	eqtr3d 2486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( sin ` ( Im ` x ) ) = 0 )
110		sineq0 22786	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( Im ` x ) e. CC -> ( ( sin ` ( Im ` x ) ) = 0 <-> ( ( Im ` x ) / pi ) e. ZZ ) )
111	65, 110	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( ( sin ` ( Im ` x ) ) = 0 <-> ( ( Im ` x ) / pi ) e. ZZ ) )
112	109, 111	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( ( Im ` x ) / pi ) e. ZZ )
113		0z 10881	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 e. ZZ
114		zleltp1 10920	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( Im ` x ) / pi ) e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> ( ( ( Im ` x ) / pi ) <_ 0 <-> ( ( Im ` x ) / pi ) < ( 0 + 1 ) ) )
115	112, 113, 114	sylancl 662	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( ( ( Im ` x ) / pi ) <_ 0 <-> ( ( Im ` x ) / pi ) < ( 0 + 1 ) ) )
116	82, 115	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( ( Im ` x ) / pi ) <_ 0 )
117		df-neg 9813	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- -u 1 = ( 0 - 1 )
118	66	mulm1i 10007	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( -u 1 x. pi ) = -u pi
119	51	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> -u pi < ( Im ` x ) )
120	118, 119	syl5eqbr 4470	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( -u 1 x. pi ) < ( Im ` x ) )
121	74	renegcli 9885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- -u 1 e. RR
122	121	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> -u 1 e. RR )
123		ltmuldiv 10421	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( -u 1 e. RR /\ ( Im ` x ) e. RR /\ ( pi e. RR /\ 0 < pi ) ) -> ( ( -u 1 x. pi ) < ( Im ` x ) <-> -u 1 < ( ( Im ` x ) / pi ) ) )
124	122, 64, 76, 77, 123	syl112anc 1233	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( ( -u 1 x. pi ) < ( Im ` x ) <-> -u 1 < ( ( Im ` x ) / pi ) ) )
125	120, 124	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> -u 1 < ( ( Im ` x ) / pi ) )
126	117, 125	syl5eqbrr 4471	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( 0 - 1 ) < ( ( Im ` x ) / pi ) )
127		zlem1lt 10921	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 0 e. ZZ /\ ( ( Im ` x ) / pi ) e. ZZ ) -> ( 0 <_ ( ( Im ` x ) / pi ) <-> ( 0 - 1 ) < ( ( Im ` x ) / pi ) ) )
128	113, 112, 127	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( 0 <_ ( ( Im ` x ) / pi ) <-> ( 0 - 1 ) < ( ( Im ` x ) / pi ) ) )
129	126, 128	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> 0 <_ ( ( Im ` x ) / pi ) )
130	64, 76, 70	redivcld 10378	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( ( Im ` x ) / pi ) e. RR )
131		0re 9599	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 e. RR
132		letri3 9673	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( Im ` x ) / pi ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( ( ( Im ` x ) / pi ) = 0 <-> ( ( ( Im ` x ) / pi ) <_ 0 /\ 0 <_ ( ( Im ` x ) / pi ) ) ) )
133	130, 131, 132	sylancl 662	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( ( ( Im ` x ) / pi ) = 0 <-> ( ( ( Im ` x ) / pi ) <_ 0 /\ 0 <_ ( ( Im ` x ) / pi ) ) ) )
134	116, 129, 133	mpbir2and 922	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( ( Im ` x ) / pi ) = 0 )
135	65, 67, 70, 134	diveq0d 10333	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( Im ` x ) = 0 )
136		reim0b 12931	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. CC -> ( x e. RR <-> ( Im ` x ) = 0 ) )
137	136	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( x e. RR <-> ( Im ` x ) = 0 ) )
138	135, 137	mpbird 232	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> x e. RR )
139	138	rpefcld 13717	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( exp ` x ) e. RR+ )
140	139	ex 434	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) -> ( ( exp ` x ) e. RR -> ( exp ` x ) e. RR+ ) )
141	4	ellogdm 22892	. . . . . . . . 9 |- ( ( exp ` x ) e. D <-> ( ( exp ` x ) e. CC /\ ( ( exp ` x ) e. RR -> ( exp ` x ) e. RR+ ) ) )
142	63, 140, 141	sylanbrc 664	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) -> ( exp ` x ) e. D )
143		funfvima2 6133	. . . . . . . . 9 |- ( ( Fun log /\ D C_ dom log ) -> ( ( exp ` x ) e. D -> ( log ` ( exp ` x ) ) e. ( log " D ) ) )
144	9, 13, 143	mp2an 672	. . . . . . . 8 |- ( ( exp ` x ) e. D -> ( log ` ( exp ` x ) ) e. ( log " D ) )
145	142, 144	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) -> ( log ` ( exp ` x ) ) e. ( log " D ) )
146	61, 145	eqeltrrd 2532	. . . . . 6 |- ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) -> x e. ( log " D ) )
147	47, 146	sylbi 195	. . . . 5 |- ( x e. ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) -> x e. ( log " D ) )
148	147	ssriv 3493	. . . 4 |- ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) C_ ( log " D )
149	45, 148	eqssi 3505	. . 3 |- ( log " D ) = ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )
150		f1oeq3 5799	. . 3 |- ( ( log " D ) = ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) -> ( ( log |` D ) : D -1-1-onto-> ( log " D ) <-> ( log |` D ) : D -1-1-onto-> ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) ) )
151	149, 150	ax-mp 5	. 2 |- ( ( log |` D ) : D -1-1-onto-> ( log " D ) <-> ( log |` D ) : D -1-1-onto-> ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) )
152	7, 151	mpbi 208	1 |- ( log |` D ) : D -1-1-onto-> ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 974   = wceq 1383   e. wcel 1804   =/= wne 2638   A.wral 2793   \ cdif 3458   C_ wss 3461   {csn 4014   class class class wbr 4437   `'ccnv 4988   dom cdm 4989   ran crn 4990   |` cres 4991   "cima 4992   Fun wfun 5572   Fn wfn 5573   -->wf 5574   -1-1->wf1 5575   -1-1-onto->wf1o 5577   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   CCcc 9493   RRcr 9494   0cc0 9495   1c1 9496   _ici 9497   + caddc 9498   x. cmul 9500   -oocmnf 9629   RR*cxr 9630   < clt 9631   <_ cle 9632   - cmin 9810   -ucneg 9811   / cdiv 10212   ZZcz 10870   RR+crp 11229   (,)cioo 11538   (,]cioc 11539   Recre 12909   Imcim 12910   expce 13675   sincsin 13677   cosccos 13678   picpi 13680   logclog 22814

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573  ax-addf 9574  ax-mulf 9575

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-fal 1389  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-pm 7425  df-ixp 7472  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fsupp 7832  df-fi 7873  df-sup 7903  df-oi 7938  df-card 8323  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10213  df-nn 10543  df-2 10600  df-3 10601  df-4 10602  df-5 10603  df-6 10604  df-7 10605  df-8 10606  df-9 10607  df-10 10608  df-n0 10802  df-z 10871  df-dec 10985  df-uz 11091  df-q 11192  df-rp 11230  df-xneg 11327  df-xadd 11328  df-xmul 11329  df-ioo 11542  df-ioc 11543  df-ico 11544  df-icc 11545  df-fz 11682  df-fzo 11804  df-fl 11908  df-mod 11976  df-seq 12087  df-exp 12146  df-fac 12333  df-bc 12360  df-hash 12385  df-shft 12879  df-cj 12911  df-re 12912  df-im 12913  df-sqrt 13047  df-abs 13048  df-limsup 13273  df-clim 13290  df-rlim 13291  df-sum 13488  df-ef 13681  df-sin 13683  df-cos 13684  df-pi 13686  df-struct 14511  df-ndx 14512  df-slot 14513  df-base 14514  df-sets 14515  df-ress 14516  df-plusg 14587  df-mulr 14588  df-starv 14589  df-sca 14590  df-vsca 14591  df-ip 14592  df-tset 14593  df-ple 14594  df-ds 14596  df-unif 14597  df-hom 14598  df-cco 14599  df-rest 14697  df-topn 14698  df-0g 14716  df-gsum 14717  df-topgen 14718  df-pt 14719  df-prds 14722  df-xrs 14776  df-qtop 14781  df-imas 14782  df-xps 14784  df-mre 14860  df-mrc 14861  df-acs 14863  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-submnd 15841  df-mulg 15934  df-cntz 16229  df-cmn 16674  df-psmet 18285  df-xmet 18286  df-met 18287  df-bl 18288  df-mopn 18289  df-fbas 18290  df-fg 18291  df-cnfld 18295  df-top 19272  df-bases 19274  df-topon 19275  df-topsp 19276  df-cld 19393  df-ntr 19394  df-cls 19395  df-nei 19472  df-lp 19510  df-perf 19511  df-cn 19601  df-cnp 19602  df-haus 19689  df-tx 19936  df-hmeo 20129  df-fil 20220  df-fm 20312  df-flim 20313  df-flf 20314  df-xms 20696  df-ms 20697  df-tms 20698  df-cncf 21255  df-limc 22143  df-dv 22144  df-log 22816

This theorem is referenced by:  efopnlem2  22910