Theorem logf1o2 22213

Description: The logarithm maps its continuous domain bijectively onto the set of numbers with imaginary part -u pi < Im ( z ) < pi. The negative reals are mapped to the numbers with imaginary part equal to pi. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
logcn.d	|- D = ( CC \ ( -oo (,] 0 ) )

Assertion

Ref	Expression
logf1o2	|- ( log |` D ) : D -1-1-onto-> ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )

Proof of Theorem logf1o2

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		logf1o 22134	. . . 4 |- log : ( CC \ { 0 } ) -1-1-onto-> ran log
2		f1of1 5740	. . . 4 |- ( log : ( CC \ { 0 } ) -1-1-onto-> ran log -> log : ( CC \ { 0 } ) -1-1-> ran log )
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 |- log : ( CC \ { 0 } ) -1-1-> ran log
4		logcn.d	. . . 4 |- D = ( CC \ ( -oo (,] 0 ) )
5	4	logdmss 22205	. . 3 |- D C_ ( CC \ { 0 } )
6		f1ores 5755	. . 3 |- ( ( log : ( CC \ { 0 } ) -1-1-> ran log /\ D C_ ( CC \ { 0 } ) ) -> ( log |` D ) : D -1-1-onto-> ( log " D ) )
7	3, 5, 6	mp2an 672	. 2 |- ( log |` D ) : D -1-1-onto-> ( log " D )
8		f1ofun 5743	. . . . . . 7 |- ( log : ( CC \ { 0 } ) -1-1-onto-> ran log -> Fun log )
9	1, 8	ax-mp 5	. . . . . 6 |- Fun log
10		f1of 5741	. . . . . . . . 9 |- ( log : ( CC \ { 0 } ) -1-1-onto-> ran log -> log : ( CC \ { 0 } ) --> ran log )
11	1, 10	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- log : ( CC \ { 0 } ) --> ran log
12	11	fdmi 5664	. . . . . . 7 |- dom log = ( CC \ { 0 } )
13	5, 12	sseqtr4i 3489	. . . . . 6 |- D C_ dom log
14		funimass4 5843	. . . . . 6 |- ( ( Fun log /\ D C_ dom log ) -> ( ( log " D ) C_ ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) <-> A. x e. D ( log ` x ) e. ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) ) )
15	9, 13, 14	mp2an 672	. . . . 5 |- ( ( log " D ) C_ ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) <-> A. x e. D ( log ` x ) e. ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) )
16	4	ellogdm 22202	. . . . . . . 8 |- ( x e. D <-> ( x e. CC /\ ( x e. RR -> x e. RR+ ) ) )
17	16	simplbi 460	. . . . . . 7 |- ( x e. D -> x e. CC )
18	4	logdmn0 22203	. . . . . . 7 |- ( x e. D -> x =/= 0 )
19	17, 18	logcld 22140	. . . . . 6 |- ( x e. D -> ( log ` x ) e. CC )
20	19	imcld 12788	. . . . . . 7 |- ( x e. D -> ( Im ` ( log ` x ) ) e. RR )
21	17, 18	logimcld 22141	. . . . . . . 8 |- ( x e. D -> ( -u pi < ( Im ` ( log ` x ) ) /\ ( Im ` ( log ` x ) ) <_ pi ) )
22	21	simpld 459	. . . . . . 7 |- ( x e. D -> -u pi < ( Im ` ( log ` x ) ) )
23	4	logdmnrp 22204	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. D -> -. -u x e. RR+ )
24		lognegb 22156	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. CC /\ x =/= 0 ) -> ( -u x e. RR+ <-> ( Im ` ( log ` x ) ) = pi ) )
25	17, 18, 24	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. D -> ( -u x e. RR+ <-> ( Im ` ( log ` x ) ) = pi ) )
26	25	necon3bbid 2695	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. D -> ( -. -u x e. RR+ <-> ( Im ` ( log ` x ) ) =/= pi ) )
27	23, 26	mpbid 210	. . . . . . . . 9 |- ( x e. D -> ( Im ` ( log ` x ) ) =/= pi )
28	27	necomd 2719	. . . . . . . 8 |- ( x e. D -> pi =/= ( Im ` ( log ` x ) ) )
29		pire 22039	. . . . . . . . . 10 |- pi e. RR
30	29	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( x e. D -> pi e. RR )
31	21	simprd 463	. . . . . . . . 9 |- ( x e. D -> ( Im ` ( log ` x ) ) <_ pi )
32	20, 30, 31	leltned 9628	. . . . . . . 8 |- ( x e. D -> ( ( Im ` ( log ` x ) ) < pi <-> pi =/= ( Im ` ( log ` x ) ) ) )
33	28, 32	mpbird 232	. . . . . . 7 |- ( x e. D -> ( Im ` ( log ` x ) ) < pi )
34	29	renegcli 9773	. . . . . . . . 9 |- -u pi e. RR
35	34	rexri 9539	. . . . . . . 8 |- -u pi e. RR*
36	29	rexri 9539	. . . . . . . 8 |- pi e. RR*
37		elioo2 11444	. . . . . . . 8 |- ( ( -u pi e. RR* /\ pi e. RR* ) -> ( ( Im ` ( log ` x ) ) e. ( -u pi (,) pi ) <-> ( ( Im ` ( log ` x ) ) e. RR /\ -u pi < ( Im ` ( log ` x ) ) /\ ( Im ` ( log ` x ) ) < pi ) ) )
38	35, 36, 37	mp2an 672	. . . . . . 7 |- ( ( Im ` ( log ` x ) ) e. ( -u pi (,) pi ) <-> ( ( Im ` ( log ` x ) ) e. RR /\ -u pi < ( Im ` ( log ` x ) ) /\ ( Im ` ( log ` x ) ) < pi ) )
39	20, 22, 33, 38	syl3anbrc 1172	. . . . . 6 |- ( x e. D -> ( Im ` ( log ` x ) ) e. ( -u pi (,) pi ) )
40		imf 12706	. . . . . . 7 |- Im : CC --> RR
41		ffn 5659	. . . . . . 7 |- ( Im : CC --> RR -> Im Fn CC )
42		elpreima 5924	. . . . . . 7 |- ( Im Fn CC -> ( ( log ` x ) e. ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) <-> ( ( log ` x ) e. CC /\ ( Im ` ( log ` x ) ) e. ( -u pi (,) pi ) ) ) )
43	40, 41, 42	mp2b 10	. . . . . 6 |- ( ( log ` x ) e. ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) <-> ( ( log ` x ) e. CC /\ ( Im ` ( log ` x ) ) e. ( -u pi (,) pi ) ) )
44	19, 39, 43	sylanbrc 664	. . . . 5 |- ( x e. D -> ( log ` x ) e. ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) )
45	15, 44	mprgbir 2896	. . . 4 |- ( log " D ) C_ ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )
46		elpreima 5924	. . . . . . 7 |- ( Im Fn CC -> ( x e. ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) <-> ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) ) )
47	40, 41, 46	mp2b 10	. . . . . 6 |- ( x e. ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) <-> ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) )
48		simpl 457	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) -> x e. CC )
49		eliooord 11458	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) -> ( -u pi < ( Im ` x ) /\ ( Im ` x ) < pi ) )
50	49	adantl 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) -> ( -u pi < ( Im ` x ) /\ ( Im ` x ) < pi ) )
51	50	simpld 459	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) -> -u pi < ( Im ` x ) )
52	50	simprd 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) -> ( Im ` x ) < pi )
53		imcl 12704	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. CC -> ( Im ` x ) e. RR )
54	53	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) -> ( Im ` x ) e. RR )
55		ltle 9566	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( Im ` x ) e. RR /\ pi e. RR ) -> ( ( Im ` x ) < pi -> ( Im ` x ) <_ pi ) )
56	54, 29, 55	sylancl 662	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) -> ( ( Im ` x ) < pi -> ( Im ` x ) <_ pi ) )
57	52, 56	mpd 15	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) -> ( Im ` x ) <_ pi )
58		ellogrn 22129	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ran log <-> ( x e. CC /\ -u pi < ( Im ` x ) /\ ( Im ` x ) <_ pi ) )
59	48, 51, 57, 58	syl3anbrc 1172	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) -> x e. ran log )
60		logef 22148	. . . . . . . 8 |- ( x e. ran log -> ( log ` ( exp ` x ) ) = x )
61	59, 60	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) -> ( log ` ( exp ` x ) ) = x )
62		efcl 13472	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. CC -> ( exp ` x ) e. CC )
63	62	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) -> ( exp ` x ) e. CC )
64	54	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( Im ` x ) e. RR )
65	64	recnd 9515	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( Im ` x ) e. CC )
66		picn 22040	. . . . . . . . . . . . . 14 |- pi e. CC
67	66	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> pi e. CC )
68		pipos 22041	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 < pi
69	29, 68	gt0ne0ii 9979	. . . . . . . . . . . . . 14 |- pi =/= 0
70	69	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> pi =/= 0 )
71	52	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( Im ` x ) < pi )
72	66	mulid1i 9491	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( pi x. 1 ) = pi
73	71, 72	syl6breqr 4432	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( Im ` x ) < ( pi x. 1 ) )
74		1re 9488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 1 e. RR
75	74	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> 1 e. RR )
76	29	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> pi e. RR )
77	68	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> 0 < pi )
78		ltdivmul 10307	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( Im ` x ) e. RR /\ 1 e. RR /\ ( pi e. RR /\ 0 < pi ) ) -> ( ( ( Im ` x ) / pi ) < 1 <-> ( Im ` x ) < ( pi x. 1 ) ) )
79	64, 75, 76, 77, 78	syl112anc 1223	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( ( ( Im ` x ) / pi ) < 1 <-> ( Im ` x ) < ( pi x. 1 ) ) )
80	73, 79	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( ( Im ` x ) / pi ) < 1 )
81		1e0p1 10886	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 = ( 0 + 1 )
82	80, 81	syl6breq 4431	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( ( Im ` x ) / pi ) < ( 0 + 1 ) )
83	64	recoscld 13532	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( cos ` ( Im ` x ) ) e. RR )
84	64	resincld 13531	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( sin ` ( Im ` x ) ) e. RR )
85	83, 84	crimd 12825	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( Im ` ( ( cos ` ( Im ` x ) ) + ( _i x. ( sin ` ( Im ` x ) ) ) ) ) = ( sin ` ( Im ` x ) ) )
86		efeul 13550	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( x e. CC -> ( exp ` x ) = ( ( exp ` ( Re ` x ) ) x. ( ( cos ` ( Im ` x ) ) + ( _i x. ( sin ` ( Im ` x ) ) ) ) ) )
87	86	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( exp ` x ) = ( ( exp ` ( Re ` x ) ) x. ( ( cos ` ( Im ` x ) ) + ( _i x. ( sin ` ( Im ` x ) ) ) ) ) )
88	87	oveq1d 6207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( ( exp ` x ) / ( exp ` ( Re ` x ) ) ) = ( ( ( exp ` ( Re ` x ) ) x. ( ( cos ` ( Im ` x ) ) + ( _i x. ( sin ` ( Im ` x ) ) ) ) ) / ( exp ` ( Re ` x ) ) ) )
89	83	recnd 9515	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( cos ` ( Im ` x ) ) e. CC )
90		ax-icn 9444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- _i e. CC
91	84	recnd 9515	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( sin ` ( Im ` x ) ) e. CC )
92		mulcl 9469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( _i e. CC /\ ( sin ` ( Im ` x ) ) e. CC ) -> ( _i x. ( sin ` ( Im ` x ) ) ) e. CC )
93	90, 91, 92	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( _i x. ( sin ` ( Im ` x ) ) ) e. CC )
94	89, 93	addcld 9508	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( ( cos ` ( Im ` x ) ) + ( _i x. ( sin ` ( Im ` x ) ) ) ) e. CC )
95		recl 12703	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( x e. CC -> ( Re ` x ) e. RR )
96	95	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( Re ` x ) e. RR )
97	96	recnd 9515	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( Re ` x ) e. CC )
98		efcl 13472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( Re ` x ) e. CC -> ( exp ` ( Re ` x ) ) e. CC )
99	97, 98	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( exp ` ( Re ` x ) ) e. CC )
100		efne0 13485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( Re ` x ) e. CC -> ( exp ` ( Re ` x ) ) =/= 0 )
101	97, 100	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( exp ` ( Re ` x ) ) =/= 0 )
102	94, 99, 101	divcan3d 10215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( ( ( exp ` ( Re ` x ) ) x. ( ( cos ` ( Im ` x ) ) + ( _i x. ( sin ` ( Im ` x ) ) ) ) ) / ( exp ` ( Re ` x ) ) ) = ( ( cos ` ( Im ` x ) ) + ( _i x. ( sin ` ( Im ` x ) ) ) ) )
103	88, 102	eqtrd 2492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( ( exp ` x ) / ( exp ` ( Re ` x ) ) ) = ( ( cos ` ( Im ` x ) ) + ( _i x. ( sin ` ( Im ` x ) ) ) ) )
104		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( exp ` x ) e. RR )
105	96	reefcld 13477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( exp ` ( Re ` x ) ) e. RR )
106	104, 105, 101	redivcld 10262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( ( exp ` x ) / ( exp ` ( Re ` x ) ) ) e. RR )
107	103, 106	eqeltrrd 2540	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( ( cos ` ( Im ` x ) ) + ( _i x. ( sin ` ( Im ` x ) ) ) ) e. RR )
108	107	reim0d 12818	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( Im ` ( ( cos ` ( Im ` x ) ) + ( _i x. ( sin ` ( Im ` x ) ) ) ) ) = 0 )
109	85, 108	eqtr3d 2494	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( sin ` ( Im ` x ) ) = 0 )
110		sineq0 22101	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( Im ` x ) e. CC -> ( ( sin ` ( Im ` x ) ) = 0 <-> ( ( Im ` x ) / pi ) e. ZZ ) )
111	65, 110	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( ( sin ` ( Im ` x ) ) = 0 <-> ( ( Im ` x ) / pi ) e. ZZ ) )
112	109, 111	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( ( Im ` x ) / pi ) e. ZZ )
113		0z 10760	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 e. ZZ
114		zleltp1 10798	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( Im ` x ) / pi ) e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> ( ( ( Im ` x ) / pi ) <_ 0 <-> ( ( Im ` x ) / pi ) < ( 0 + 1 ) ) )
115	112, 113, 114	sylancl 662	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( ( ( Im ` x ) / pi ) <_ 0 <-> ( ( Im ` x ) / pi ) < ( 0 + 1 ) ) )
116	82, 115	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( ( Im ` x ) / pi ) <_ 0 )
117		df-neg 9701	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- -u 1 = ( 0 - 1 )
118	66	mulm1i 9892	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( -u 1 x. pi ) = -u pi
119	51	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> -u pi < ( Im ` x ) )
120	118, 119	syl5eqbr 4425	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( -u 1 x. pi ) < ( Im ` x ) )
121	74	renegcli 9773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- -u 1 e. RR
122	121	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> -u 1 e. RR )
123		ltmuldiv 10305	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( -u 1 e. RR /\ ( Im ` x ) e. RR /\ ( pi e. RR /\ 0 < pi ) ) -> ( ( -u 1 x. pi ) < ( Im ` x ) <-> -u 1 < ( ( Im ` x ) / pi ) ) )
124	122, 64, 76, 77, 123	syl112anc 1223	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( ( -u 1 x. pi ) < ( Im ` x ) <-> -u 1 < ( ( Im ` x ) / pi ) ) )
125	120, 124	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> -u 1 < ( ( Im ` x ) / pi ) )
126	117, 125	syl5eqbrr 4426	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( 0 - 1 ) < ( ( Im ` x ) / pi ) )
127		zlem1lt 10799	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 0 e. ZZ /\ ( ( Im ` x ) / pi ) e. ZZ ) -> ( 0 <_ ( ( Im ` x ) / pi ) <-> ( 0 - 1 ) < ( ( Im ` x ) / pi ) ) )
128	113, 112, 127	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( 0 <_ ( ( Im ` x ) / pi ) <-> ( 0 - 1 ) < ( ( Im ` x ) / pi ) ) )
129	126, 128	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> 0 <_ ( ( Im ` x ) / pi ) )
130	64, 76, 70	redivcld 10262	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( ( Im ` x ) / pi ) e. RR )
131		0re 9489	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 e. RR
132		letri3 9563	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( Im ` x ) / pi ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( ( ( Im ` x ) / pi ) = 0 <-> ( ( ( Im ` x ) / pi ) <_ 0 /\ 0 <_ ( ( Im ` x ) / pi ) ) ) )
133	130, 131, 132	sylancl 662	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( ( ( Im ` x ) / pi ) = 0 <-> ( ( ( Im ` x ) / pi ) <_ 0 /\ 0 <_ ( ( Im ` x ) / pi ) ) ) )
134	116, 129, 133	mpbir2and 913	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( ( Im ` x ) / pi ) = 0 )
135	65, 67, 70, 134	diveq0d 10217	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( Im ` x ) = 0 )
136		reim0b 12712	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. CC -> ( x e. RR <-> ( Im ` x ) = 0 ) )
137	136	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( x e. RR <-> ( Im ` x ) = 0 ) )
138	135, 137	mpbird 232	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> x e. RR )
139	138	rpefcld 13493	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( exp ` x ) e. RR+ )
140	139	ex 434	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) -> ( ( exp ` x ) e. RR -> ( exp ` x ) e. RR+ ) )
141	4	ellogdm 22202	. . . . . . . . 9 |- ( ( exp ` x ) e. D <-> ( ( exp ` x ) e. CC /\ ( ( exp ` x ) e. RR -> ( exp ` x ) e. RR+ ) ) )
142	63, 140, 141	sylanbrc 664	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) -> ( exp ` x ) e. D )
143		funfvima2 6054	. . . . . . . . 9 |- ( ( Fun log /\ D C_ dom log ) -> ( ( exp ` x ) e. D -> ( log ` ( exp ` x ) ) e. ( log " D ) ) )
144	9, 13, 143	mp2an 672	. . . . . . . 8 |- ( ( exp ` x ) e. D -> ( log ` ( exp ` x ) ) e. ( log " D ) )
145	142, 144	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) -> ( log ` ( exp ` x ) ) e. ( log " D ) )
146	61, 145	eqeltrrd 2540	. . . . . 6 |- ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) -> x e. ( log " D ) )
147	47, 146	sylbi 195	. . . . 5 |- ( x e. ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) -> x e. ( log " D ) )
148	147	ssriv 3460	. . . 4 |- ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) C_ ( log " D )
149	45, 148	eqssi 3472	. . 3 |- ( log " D ) = ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )
150		f1oeq3 5734	. . 3 |- ( ( log " D ) = ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) -> ( ( log |` D ) : D -1-1-onto-> ( log " D ) <-> ( log |` D ) : D -1-1-onto-> ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) ) )
151	149, 150	ax-mp 5	. 2 |- ( ( log |` D ) : D -1-1-onto-> ( log " D ) <-> ( log |` D ) : D -1-1-onto-> ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) )
152	7, 151	mpbi 208	1 |- ( log |` D ) : D -1-1-onto-> ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1370   e. wcel 1758   =/= wne 2644   A.wral 2795   \ cdif 3425   C_ wss 3428   {csn 3977   class class class wbr 4392   `'ccnv 4939   dom cdm 4940   ran crn 4941   |` cres 4942   "cima 4943   Fun wfun 5512   Fn wfn 5513   -->wf 5514   -1-1->wf1 5515   -1-1-onto->wf1o 5517   ` cfv 5518  (class class class)co 6192   CCcc 9383   RRcr 9384   0cc0 9385   1c1 9386   _ici 9387   + caddc 9388   x. cmul 9390   -oocmnf 9519   RR*cxr 9520   < clt 9521   <_ cle 9522   - cmin 9698   -ucneg 9699   / cdiv 10096   ZZcz 10749   RR+crp 11094   (,)cioo 11403   (,]cioc 11404   Recre 12690   Imcim 12691   expce 13451   sincsin 13453   cosccos 13454   picpi 13456   logclog 22124

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4503  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-inf2 7950  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461  ax-pre-mulgt0 9462  ax-pre-sup 9463  ax-addf 9464  ax-mulf 9465

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-int 4229  df-iun 4273  df-iin 4274  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-se 4780  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-isom 5527  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-of 6422  df-om 6579  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-supp 6793  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-1o 7022  df-2o 7023  df-oadd 7026  df-er 7203  df-map 7318  df-pm 7319  df-ixp 7366  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-fin 7416  df-fsupp 7724  df-fi 7764  df-sup 7794  df-oi 7827  df-card 8212  df-cda 8440  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701  df-div 10097  df-nn 10426  df-2 10483  df-3 10484  df-4 10485  df-5 10486  df-6 10487  df-7 10488  df-8 10489  df-9 10490  df-10 10491  df-n0 10683  df-z 10750  df-dec 10859  df-uz 10965  df-q 11057  df-rp 11095  df-xneg 11192  df-xadd 11193  df-xmul 11194  df-ioo 11407  df-ioc 11408  df-ico 11409  df-icc 11410  df-fz 11541  df-fzo 11652  df-fl 11745  df-mod 11812  df-seq 11910  df-exp 11969  df-fac 12155  df-bc 12182  df-hash 12207  df-shft 12660  df-cj 12692  df-re 12693  df-im 12694  df-sqr 12828  df-abs 12829  df-limsup 13053  df-clim 13070  df-rlim 13071  df-sum 13268  df-ef 13457  df-sin 13459  df-cos 13460  df-pi 13462  df-struct 14280  df-ndx 14281  df-slot 14282  df-base 14283  df-sets 14284  df-ress 14285  df-plusg 14355  df-mulr 14356  df-starv 14357  df-sca 14358  df-vsca 14359  df-ip 14360  df-tset 14361  df-ple 14362  df-ds 14364  df-unif 14365  df-hom 14366  df-cco 14367  df-rest 14465  df-topn 14466  df-0g 14484  df-gsum 14485  df-topgen 14486  df-pt 14487  df-prds 14490  df-xrs 14544  df-qtop 14549  df-imas 14550  df-xps 14552  df-mre 14628  df-mrc 14629  df-acs 14631  df-mnd 15519  df-submnd 15569  df-mulg 15652  df-cntz 15939  df-cmn 16385  df-psmet 17920  df-xmet 17921  df-met 17922  df-bl 17923  df-mopn 17924  df-fbas 17925  df-fg 17926  df-cnfld 17930  df-top 18621  df-bases 18623  df-topon 18624  df-topsp 18625  df-cld 18741  df-ntr 18742  df-cls 18743  df-nei 18820  df-lp 18858  df-perf 18859  df-cn 18949  df-cnp 18950  df-haus 19037  df-tx 19253  df-hmeo 19446  df-fil 19537  df-fm 19629  df-flim 19630  df-flf 19631  df-xms 20013  df-ms 20014  df-tms 20015  df-cncf 20572  df-limc 21459  df-dv 21460  df-log 22126

This theorem is referenced by:  efopnlem2  22220