Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  logf1o2 Structured version   Unicode version

Theorem logf1o2 22903
 Description: The logarithm maps its continuous domain bijectively onto the set of numbers with imaginary part . The negative reals are mapped to the numbers with imaginary part equal to . (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
logcn.d
Assertion
Ref Expression
logf1o2

Proof of Theorem logf1o2
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 logf1o 22824 . . . 4
2 f1of1 5805 . . . 4
31, 2ax-mp 5 . . 3
4 logcn.d . . . 4
54logdmss 22895 . . 3
6 f1ores 5820 . . 3
73, 5, 6mp2an 672 . 2
8 f1ofun 5808 . . . . . . 7
91, 8ax-mp 5 . . . . . 6
10 f1of 5806 . . . . . . . . 9
111, 10ax-mp 5 . . . . . . . 8
1211fdmi 5726 . . . . . . 7
135, 12sseqtr4i 3522 . . . . . 6
14 funimass4 5909 . . . . . 6
159, 13, 14mp2an 672 . . . . 5
164ellogdm 22892 . . . . . . . 8
1716simplbi 460 . . . . . . 7
184logdmn0 22893 . . . . . . 7
1917, 18logcld 22830 . . . . . 6
2019imcld 13007 . . . . . . 7
2117, 18logimcld 22831 . . . . . . . 8
2221simpld 459 . . . . . . 7
234logdmnrp 22894 . . . . . . . . . 10
24 lognegb 22846 . . . . . . . . . . . 12
2517, 18, 24syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11
2625necon3bbid 2690 . . . . . . . . . 10
2723, 26mpbid 210 . . . . . . . . 9
2827necomd 2714 . . . . . . . 8
29 pire 22723 . . . . . . . . . 10
3029a1i 11 . . . . . . . . 9
3121simprd 463 . . . . . . . . 9
3220, 30, 31leltned 9739 . . . . . . . 8
3328, 32mpbird 232 . . . . . . 7
3429renegcli 9885 . . . . . . . . 9
3534rexri 9649 . . . . . . . 8
3629rexri 9649 . . . . . . . 8
37 elioo2 11579 . . . . . . . 8
3835, 36, 37mp2an 672 . . . . . . 7
3920, 22, 33, 38syl3anbrc 1181 . . . . . 6
40 imf 12925 . . . . . . 7
41 ffn 5721 . . . . . . 7
42 elpreima 5992 . . . . . . 7
4340, 41, 42mp2b 10 . . . . . 6
4419, 39, 43sylanbrc 664 . . . . 5
4515, 44mprgbir 2807 . . . 4
46 elpreima 5992 . . . . . . 7
4740, 41, 46mp2b 10 . . . . . 6
48 simpl 457 . . . . . . . . 9
49 eliooord 11593 . . . . . . . . . . 11
5049adantl 466 . . . . . . . . . 10
5150simpld 459 . . . . . . . . 9
5250simprd 463 . . . . . . . . . 10
53 imcl 12923 . . . . . . . . . . . 12
5453adantr 465 . . . . . . . . . . 11
55 ltle 9676 . . . . . . . . . . 11
5654, 29, 55sylancl 662 . . . . . . . . . 10
5752, 56mpd 15 . . . . . . . . 9
58 ellogrn 22819 . . . . . . . . 9
5948, 51, 57, 58syl3anbrc 1181 . . . . . . . 8
60 logef 22838 . . . . . . . 8
6159, 60syl 16 . . . . . . 7
62 efcl 13696 . . . . . . . . . 10
6362adantr 465 . . . . . . . . 9
6454adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14
6564recnd 9625 . . . . . . . . . . . . 13
66 picn 22724 . . . . . . . . . . . . . 14
6766a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13
68 pipos 22725 . . . . . . . . . . . . . . 15
6929, 68gt0ne0ii 10095 . . . . . . . . . . . . . 14
7069a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13
7152adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7266mulid1i 9601 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7371, 72syl6breqr 4477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
74 1re 9598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7574a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7629a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7768a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
78 ltdivmul 10423 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7964, 75, 76, 77, 78syl112anc 1233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8073, 79mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . 16
81 1e0p1 11012 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8280, 81syl6breq 4476 . . . . . . . . . . . . . . 15
8364recoscld 13756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8464resincld 13755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8583, 84crimd 13044 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
86 efeul 13774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
8786ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
8887oveq1d 6296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
8983recnd 9625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
90 ax-icn 9554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
9184recnd 9625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
92 mulcl 9579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
9390, 91, 92sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
9489, 93addcld 9618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
95 recl 12922 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
9695ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
9796recnd 9625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
98 efcl 13696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
9997, 98syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
100 efne0 13709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
10197, 100syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
10294, 99, 101divcan3d 10331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
10388, 102eqtrd 2484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
104 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
10596reefcld 13701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
106104, 105, 101redivcld 10378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
107103, 106eqeltrrd 2532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
108107reim0d 13037 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
10985, 108eqtr3d 2486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
110 sineq0 22786 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
11165, 110syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
112109, 111mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . 16
113 0z 10881 . . . . . . . . . . . . . . . 16
114 zleltp1 10920 . . . . . . . . . . . . . . . 16
115112, 113, 114sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . 15
11682, 115mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . 14
117 df-neg 9813 . . . . . . . . . . . . . . . 16
11866mulm1i 10007 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
11951adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
120118, 119syl5eqbr 4470 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
12174renegcli 9885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
122121a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
123 ltmuldiv 10421 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
124122, 64, 76, 77, 123syl112anc 1233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
125120, 124mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . 16
126117, 125syl5eqbrr 4471 . . . . . . . . . . . . . . 15
127 zlem1lt 10921 . . . . . . . . . . . . . . . 16
128113, 112, 127sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . 15
129126, 128mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . 14
13064, 76, 70redivcld 10378 . . . . . . . . . . . . . . 15
131 0re 9599 . . . . . . . . . . . . . . 15
132 letri3 9673 . . . . . . . . . . . . . . 15
133130, 131, 132sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . 14
134116, 129, 133mpbir2and 922 . . . . . . . . . . . . 13
13565, 67, 70, 134diveq0d 10333 . . . . . . . . . . . 12
136 reim0b 12931 . . . . . . . . . . . . 13
137136ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12
138135, 137mpbird 232 . . . . . . . . . . 11
139138rpefcld 13717 . . . . . . . . . 10
140139ex 434 . . . . . . . . 9
1414ellogdm 22892 . . . . . . . . 9
14263, 140, 141sylanbrc 664 . . . . . . . 8
143 funfvima2 6133 . . . . . . . . 9
1449, 13, 143mp2an 672 . . . . . . . 8
145142, 144syl 16 . . . . . . 7
14661, 145eqeltrrd 2532 . . . . . 6
14747, 146sylbi 195 . . . . 5
148147ssriv 3493 . . . 4
14945, 148eqssi 3505 . . 3
150 f1oeq3 5799 . . 3
151149, 150ax-mp 5 . 2
1527, 151mpbi 208 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 184   wa 369   w3a 974   wceq 1383   wcel 1804   wne 2638  wral 2793   cdif 3458   wss 3461  csn 4014   class class class wbr 4437  ccnv 4988   cdm 4989   crn 4990   cres 4991  cima 4992   wfun 5572   wfn 5573  wf 5574  wf1 5575  wf1o 5577  cfv 5578  (class class class)co 6281  cc 9493  cr 9494  cc0 9495  c1 9496  ci 9497   caddc 9498   cmul 9500   cmnf 9629  cxr 9630   clt 9631   cle 9632   cmin 9810  cneg 9811   cdiv 10212  cz 10870  crp 11229  cioo 11538  cioc 11539  cre 12909  cim 12910  ce 13675  csin 13677  ccos 13678  cpi 13680  clog 22814 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573  ax-addf 9574  ax-mulf 9575 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-fal 1389  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-pm 7425  df-ixp 7472  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fsupp 7832  df-fi 7873  df-sup 7903  df-oi 7938  df-card 8323  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10213  df-nn 10543  df-2 10600  df-3 10601  df-4 10602  df-5 10603  df-6 10604  df-7 10605  df-8 10606  df-9 10607  df-10 10608  df-n0 10802  df-z 10871  df-dec 10985  df-uz 11091  df-q 11192  df-rp 11230  df-xneg 11327  df-xadd 11328  df-xmul 11329  df-ioo 11542  df-ioc 11543  df-ico 11544  df-icc 11545  df-fz 11682  df-fzo 11804  df-fl 11908  df-mod 11976  df-seq 12087  df-exp 12146  df-fac 12333  df-bc 12360  df-hash 12385  df-shft 12879  df-cj 12911  df-re 12912  df-im 12913  df-sqrt 13047  df-abs 13048  df-limsup 13273  df-clim 13290  df-rlim 13291  df-sum 13488  df-ef 13681  df-sin 13683  df-cos 13684  df-pi 13686  df-struct 14511  df-ndx 14512  df-slot 14513  df-base 14514  df-sets 14515  df-ress 14516  df-plusg 14587  df-mulr 14588  df-starv 14589  df-sca 14590  df-vsca 14591  df-ip 14592  df-tset 14593  df-ple 14594  df-ds 14596  df-unif 14597  df-hom 14598  df-cco 14599  df-rest 14697  df-topn 14698  df-0g 14716  df-gsum 14717  df-topgen 14718  df-pt 14719  df-prds 14722  df-xrs 14776  df-qtop 14781  df-imas 14782  df-xps 14784  df-mre 14860  df-mrc 14861  df-acs 14863  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-submnd 15841  df-mulg 15934  df-cntz 16229  df-cmn 16674  df-psmet 18285  df-xmet 18286  df-met 18287  df-bl 18288  df-mopn 18289  df-fbas 18290  df-fg 18291  df-cnfld 18295  df-top 19272  df-bases 19274  df-topon 19275  df-topsp 19276  df-cld 19393  df-ntr 19394  df-cls 19395  df-nei 19472  df-lp 19510  df-perf 19511  df-cn 19601  df-cnp 19602  df-haus 19689  df-tx 19936  df-hmeo 20129  df-fil 20220  df-fm 20312  df-flim 20313  df-flf 20314  df-xms 20696  df-ms 20697  df-tms 20698  df-cncf 21255  df-limc 22143  df-dv 22144  df-log 22816 This theorem is referenced by:  efopnlem2  22910
 Copyright terms: Public domain W3C validator