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Theorem logf1o2 22754
Description: The logarithm maps its continuous domain bijectively onto the set of numbers with imaginary part  -u pi  <  Im ( z )  <  pi. The negative reals are mapped to the numbers with imaginary part equal to  pi. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
logcn.d  |-  D  =  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) )
Assertion
Ref Expression
logf1o2  |-  ( log  |`  D ) : D -1-1-onto-> ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )

Proof of Theorem logf1o2
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 logf1o 22675 . . . 4  |-  log :
( CC  \  {
0 } ) -1-1-onto-> ran  log
2 f1of1 5808 . . . 4  |-  ( log
: ( CC  \  { 0 } ) -1-1-onto-> ran 
log  ->  log : ( CC 
\  { 0 } ) -1-1-> ran  log )
31, 2ax-mp 5 . . 3  |-  log :
( CC  \  {
0 } ) -1-1-> ran  log
4 logcn.d . . . 4  |-  D  =  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) )
54logdmss 22746 . . 3  |-  D  C_  ( CC  \  { 0 } )
6 f1ores 5823 . . 3  |-  ( ( log : ( CC 
\  { 0 } ) -1-1-> ran  log  /\  D  C_  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( log  |`  D ) : D -1-1-onto-> ( log " D
) )
73, 5, 6mp2an 672 . 2  |-  ( log  |`  D ) : D -1-1-onto-> ( log " D )
8 f1ofun 5811 . . . . . . 7  |-  ( log
: ( CC  \  { 0 } ) -1-1-onto-> ran 
log  ->  Fun  log )
91, 8ax-mp 5 . . . . . 6  |-  Fun  log
10 f1of 5809 . . . . . . . . 9  |-  ( log
: ( CC  \  { 0 } ) -1-1-onto-> ran 
log  ->  log : ( CC 
\  { 0 } ) --> ran  log )
111, 10ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  log :
( CC  \  {
0 } ) --> ran 
log
1211fdmi 5729 . . . . . . 7  |-  dom  log  =  ( CC  \  { 0 } )
135, 12sseqtr4i 3532 . . . . . 6  |-  D  C_  dom  log
14 funimass4 5911 . . . . . 6  |-  ( ( Fun  log  /\  D  C_  dom  log )  ->  (
( log " D
)  C_  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  <->  A. x  e.  D  ( log `  x )  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) ) )
159, 13, 14mp2an 672 . . . . 5  |-  ( ( log " D ) 
C_  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  <->  A. x  e.  D  ( log `  x )  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) )
164ellogdm 22743 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  D  <->  ( x  e.  CC  /\  ( x  e.  RR  ->  x  e.  RR+ ) ) )
1716simplbi 460 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  D  ->  x  e.  CC )
184logdmn0 22744 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  D  ->  x  =/=  0 )
1917, 18logcld 22681 . . . . . 6  |-  ( x  e.  D  ->  ( log `  x )  e.  CC )
2019imcld 12980 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  D  ->  (
Im `  ( log `  x ) )  e.  RR )
2117, 18logimcld 22682 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  D  ->  ( -u pi  <  ( Im
`  ( log `  x
) )  /\  (
Im `  ( log `  x ) )  <_  pi ) )
2221simpld 459 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  D  ->  -u pi  <  ( Im `  ( log `  x ) ) )
234logdmnrp 22745 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  D  ->  -.  -u x  e.  RR+ )
24 lognegb 22697 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  -> 
( -u x  e.  RR+  <->  (
Im `  ( log `  x ) )  =  pi ) )
2517, 18, 24syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  D  ->  ( -u x  e.  RR+  <->  ( Im `  ( log `  x
) )  =  pi ) )
2625necon3bbid 2709 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  D  ->  ( -.  -u x  e.  RR+  <->  (
Im `  ( log `  x ) )  =/= 
pi ) )
2723, 26mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  D  ->  (
Im `  ( log `  x ) )  =/= 
pi )
2827necomd 2733 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  D  ->  pi  =/=  ( Im `  ( log `  x ) ) )
29 pire 22580 . . . . . . . . . 10  |-  pi  e.  RR
3029a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  D  ->  pi  e.  RR )
3121simprd 463 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  D  ->  (
Im `  ( log `  x ) )  <_  pi )
3220, 30, 31leltned 9726 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  D  ->  (
( Im `  ( log `  x ) )  <  pi  <->  pi  =/=  ( Im `  ( log `  x ) ) ) )
3328, 32mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  D  ->  (
Im `  ( log `  x ) )  < 
pi )
3429renegcli 9871 . . . . . . . . 9  |-  -u pi  e.  RR
3534rexri 9637 . . . . . . . 8  |-  -u pi  e.  RR*
3629rexri 9637 . . . . . . . 8  |-  pi  e.  RR*
37 elioo2 11561 . . . . . . . 8  |-  ( (
-u pi  e.  RR*  /\  pi  e.  RR* )  ->  ( ( Im `  ( log `  x ) )  e.  ( -u pi (,) pi )  <->  ( (
Im `  ( log `  x ) )  e.  RR  /\  -u pi  <  ( Im `  ( log `  x ) )  /\  ( Im `  ( log `  x ) )  <  pi ) ) )
3835, 36, 37mp2an 672 . . . . . . 7  |-  ( ( Im `  ( log `  x ) )  e.  ( -u pi (,) pi )  <->  ( ( Im
`  ( log `  x
) )  e.  RR  /\  -u pi  <  ( Im
`  ( log `  x
) )  /\  (
Im `  ( log `  x ) )  < 
pi ) )
3920, 22, 33, 38syl3anbrc 1175 . . . . . 6  |-  ( x  e.  D  ->  (
Im `  ( log `  x ) )  e.  ( -u pi (,) pi ) )
40 imf 12898 . . . . . . 7  |-  Im : CC
--> RR
41 ffn 5724 . . . . . . 7  |-  ( Im : CC --> RR  ->  Im  Fn  CC )
42 elpreima 5994 . . . . . . 7  |-  ( Im  Fn  CC  ->  (
( log `  x
)  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  <-> 
( ( log `  x
)  e.  CC  /\  ( Im `  ( log `  x ) )  e.  ( -u pi (,) pi ) ) ) )
4340, 41, 42mp2b 10 . . . . . 6  |-  ( ( log `  x )  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  <->  ( ( log `  x )  e.  CC  /\  ( Im
`  ( log `  x
) )  e.  (
-u pi (,) pi ) ) )
4419, 39, 43sylanbrc 664 . . . . 5  |-  ( x  e.  D  ->  ( log `  x )  e.  ( `' Im "
( -u pi (,) pi ) ) )
4515, 44mprgbir 2823 . . . 4  |-  ( log " D )  C_  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )
46 elpreima 5994 . . . . . . 7  |-  ( Im  Fn  CC  ->  (
x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  <-> 
( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) ) ) )
4740, 41, 46mp2b 10 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  <->  ( x  e.  CC  /\  ( Im
`  x )  e.  ( -u pi (,) pi ) ) )
48 simpl 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x )  e.  ( -u pi (,) pi ) )  ->  x  e.  CC )
49 eliooord 11575 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Im `  x )  e.  ( -u pi (,) pi )  ->  ( -u pi  <  ( Im
`  x )  /\  ( Im `  x )  <  pi ) )
5049adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x )  e.  ( -u pi (,) pi ) )  -> 
( -u pi  <  (
Im `  x )  /\  ( Im `  x
)  <  pi )
)
5150simpld 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x )  e.  ( -u pi (,) pi ) )  ->  -u pi  <  ( Im
`  x ) )
5250simprd 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x )  e.  ( -u pi (,) pi ) )  -> 
( Im `  x
)  <  pi )
53 imcl 12896 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  CC  ->  (
Im `  x )  e.  RR )
5453adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x )  e.  ( -u pi (,) pi ) )  -> 
( Im `  x
)  e.  RR )
55 ltle 9664 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( Im `  x
)  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  -> 
( ( Im `  x )  <  pi  ->  ( Im `  x
)  <_  pi )
)
5654, 29, 55sylancl 662 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x )  e.  ( -u pi (,) pi ) )  -> 
( ( Im `  x )  <  pi  ->  ( Im `  x
)  <_  pi )
)
5752, 56mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x )  e.  ( -u pi (,) pi ) )  -> 
( Im `  x
)  <_  pi )
58 ellogrn 22670 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ran  log  <->  ( x  e.  CC  /\  -u pi  <  ( Im `  x
)  /\  ( Im `  x )  <_  pi ) )
5948, 51, 57, 58syl3anbrc 1175 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x )  e.  ( -u pi (,) pi ) )  ->  x  e.  ran  log )
60 logef 22689 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ran  log  ->  ( log `  ( exp `  x ) )  =  x )
6159, 60syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x )  e.  ( -u pi (,) pi ) )  -> 
( log `  ( exp `  x ) )  =  x )
62 efcl 13671 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  CC  ->  ( exp `  x )  e.  CC )
6362adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x )  e.  ( -u pi (,) pi ) )  -> 
( exp `  x
)  e.  CC )
6454adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( Im `  x )  e.  RR )
6564recnd 9613 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( Im `  x )  e.  CC )
66 picn 22581 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  pi  e.  CC
6766a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  pi  e.  CC )
68 pipos 22582 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  <  pi
6929, 68gt0ne0ii 10080 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  pi  =/=  0
7069a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  pi  =/=  0
)
7152adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( Im `  x )  <  pi )
7266mulid1i 9589 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( pi  x.  1 )  =  pi
7371, 72syl6breqr 4482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( Im `  x )  <  (
pi  x.  1 ) )
74 1re 9586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1  e.  RR
7574a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  1  e.  RR )
7629a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  pi  e.  RR )
7768a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  0  <  pi )
78 ltdivmul 10408 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( Im `  x
)  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  (
pi  e.  RR  /\  0  <  pi ) )  ->  ( ( ( Im `  x )  /  pi )  <  1  <->  ( Im `  x )  <  (
pi  x.  1 ) ) )
7964, 75, 76, 77, 78syl112anc 1227 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( ( ( Im `  x )  /  pi )  <  1  <->  ( Im `  x )  <  (
pi  x.  1 ) ) )
8073, 79mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( ( Im
`  x )  /  pi )  <  1
)
81 1e0p1 10995 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  =  ( 0  +  1 )
8280, 81syl6breq 4481 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( ( Im
`  x )  /  pi )  <  ( 0  +  1 ) )
8364recoscld 13731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( cos `  (
Im `  x )
)  e.  RR )
8464resincld 13730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( sin `  (
Im `  x )
)  e.  RR )
8583, 84crimd 13017 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( Im `  ( ( cos `  (
Im `  x )
)  +  ( _i  x.  ( sin `  (
Im `  x )
) ) ) )  =  ( sin `  (
Im `  x )
) )
86 efeul 13749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  e.  CC  ->  ( exp `  x )  =  ( ( exp `  (
Re `  x )
)  x.  ( ( cos `  ( Im
`  x ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  ( Im
`  x ) ) ) ) ) )
8786ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( exp `  x
)  =  ( ( exp `  ( Re
`  x ) )  x.  ( ( cos `  ( Im `  x
) )  +  ( _i  x.  ( sin `  ( Im `  x
) ) ) ) ) )
8887oveq1d 6292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( ( exp `  x )  /  ( exp `  ( Re `  x ) ) )  =  ( ( ( exp `  ( Re
`  x ) )  x.  ( ( cos `  ( Im `  x
) )  +  ( _i  x.  ( sin `  ( Im `  x
) ) ) ) )  /  ( exp `  ( Re `  x
) ) ) )
8983recnd 9613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( cos `  (
Im `  x )
)  e.  CC )
90 ax-icn 9542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  _i  e.  CC
9184recnd 9613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( sin `  (
Im `  x )
)  e.  CC )
92 mulcl 9567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( sin `  ( Im
`  x ) )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  ( sin `  ( Im `  x ) ) )  e.  CC )
9390, 91, 92sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( _i  x.  ( sin `  ( Im
`  x ) ) )  e.  CC )
9489, 93addcld 9606 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( ( cos `  ( Im `  x
) )  +  ( _i  x.  ( sin `  ( Im `  x
) ) ) )  e.  CC )
95 recl 12895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  e.  CC  ->  (
Re `  x )  e.  RR )
9695ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( Re `  x )  e.  RR )
9796recnd 9613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( Re `  x )  e.  CC )
98 efcl 13671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( Re `  x )  e.  CC  ->  ( exp `  ( Re `  x ) )  e.  CC )
9997, 98syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( exp `  (
Re `  x )
)  e.  CC )
100 efne0 13684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( Re `  x )  e.  CC  ->  ( exp `  ( Re `  x ) )  =/=  0 )
10197, 100syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( exp `  (
Re `  x )
)  =/=  0 )
10294, 99, 101divcan3d 10316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( ( ( exp `  ( Re
`  x ) )  x.  ( ( cos `  ( Im `  x
) )  +  ( _i  x.  ( sin `  ( Im `  x
) ) ) ) )  /  ( exp `  ( Re `  x
) ) )  =  ( ( cos `  (
Im `  x )
)  +  ( _i  x.  ( sin `  (
Im `  x )
) ) ) )
10388, 102eqtrd 2503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( ( exp `  x )  /  ( exp `  ( Re `  x ) ) )  =  ( ( cos `  ( Im `  x
) )  +  ( _i  x.  ( sin `  ( Im `  x
) ) ) ) )
104 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( exp `  x
)  e.  RR )
10596reefcld 13676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( exp `  (
Re `  x )
)  e.  RR )
106104, 105, 101redivcld 10363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( ( exp `  x )  /  ( exp `  ( Re `  x ) ) )  e.  RR )
107103, 106eqeltrrd 2551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( ( cos `  ( Im `  x
) )  +  ( _i  x.  ( sin `  ( Im `  x
) ) ) )  e.  RR )
108107reim0d 13010 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( Im `  ( ( cos `  (
Im `  x )
)  +  ( _i  x.  ( sin `  (
Im `  x )
) ) ) )  =  0 )
10985, 108eqtr3d 2505 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( sin `  (
Im `  x )
)  =  0 )
110 sineq0 22642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Im `  x )  e.  CC  ->  (
( sin `  (
Im `  x )
)  =  0  <->  (
( Im `  x
)  /  pi )  e.  ZZ ) )
11165, 110syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( ( sin `  ( Im `  x
) )  =  0  <-> 
( ( Im `  x )  /  pi )  e.  ZZ )
)
112109, 111mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( ( Im
`  x )  /  pi )  e.  ZZ )
113 0z 10866 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  ZZ
114 zleltp1 10904 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( Im `  x )  /  pi )  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  ->  (
( ( Im `  x )  /  pi )  <_  0  <->  ( (
Im `  x )  /  pi )  <  (
0  +  1 ) ) )
115112, 113, 114sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( ( ( Im `  x )  /  pi )  <_ 
0  <->  ( ( Im
`  x )  /  pi )  <  ( 0  +  1 ) ) )
11682, 115mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( ( Im
`  x )  /  pi )  <_  0 )
117 df-neg 9799 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  -u 1  =  ( 0  -  1 )
11866mulm1i 9992 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( -u
1  x.  pi )  =  -u pi
11951adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  -u pi  <  (
Im `  x )
)
120118, 119syl5eqbr 4475 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( -u 1  x.  pi )  <  (
Im `  x )
)
12174renegcli 9871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  -u 1  e.  RR
122121a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  -u 1  e.  RR )
123 ltmuldiv 10406 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
-u 1  e.  RR  /\  ( Im `  x
)  e.  RR  /\  ( pi  e.  RR  /\  0  <  pi ) )  ->  ( ( -u 1  x.  pi )  <  ( Im `  x )  <->  -u 1  < 
( ( Im `  x )  /  pi ) ) )
124122, 64, 76, 77, 123syl112anc 1227 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( ( -u
1  x.  pi )  <  ( Im `  x )  <->  -u 1  < 
( ( Im `  x )  /  pi ) ) )
125120, 124mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  -u 1  <  (
( Im `  x
)  /  pi ) )
126117, 125syl5eqbrr 4476 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( 0  -  1 )  <  (
( Im `  x
)  /  pi ) )
127 zlem1lt 10905 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  ( ( Im `  x )  /  pi )  e.  ZZ )  ->  ( 0  <_  (
( Im `  x
)  /  pi )  <-> 
( 0  -  1 )  <  ( ( Im `  x )  /  pi ) ) )
128113, 112, 127sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( 0  <_ 
( ( Im `  x )  /  pi ) 
<->  ( 0  -  1 )  <  ( ( Im `  x )  /  pi ) ) )
129126, 128mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  0  <_  (
( Im `  x
)  /  pi ) )
13064, 76, 70redivcld 10363 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( ( Im
`  x )  /  pi )  e.  RR )
131 0re 9587 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  RR
132 letri3 9661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( Im `  x )  /  pi )  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  (
( ( Im `  x )  /  pi )  =  0  <->  ( (
( Im `  x
)  /  pi )  <_  0  /\  0  <_  ( ( Im `  x )  /  pi ) ) ) )
133130, 131, 132sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( ( ( Im `  x )  /  pi )  =  0  <->  ( ( ( Im `  x )  /  pi )  <_ 
0  /\  0  <_  ( ( Im `  x
)  /  pi ) ) ) )
134116, 129, 133mpbir2and 915 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( ( Im
`  x )  /  pi )  =  0
)
13565, 67, 70, 134diveq0d 10318 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( Im `  x )  =  0 )
136 reim0b 12904 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x  e.  RR  <->  ( Im `  x )  =  0 ) )
137136ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( x  e.  RR  <->  ( Im `  x )  =  0 ) )
138135, 137mpbird 232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  x  e.  RR )
139138rpefcld 13692 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( exp `  x
)  e.  RR+ )
140139ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x )  e.  ( -u pi (,) pi ) )  -> 
( ( exp `  x
)  e.  RR  ->  ( exp `  x )  e.  RR+ ) )
1414ellogdm 22743 . . . . . . . . 9  |-  ( ( exp `  x )  e.  D  <->  ( ( exp `  x )  e.  CC  /\  ( ( exp `  x )  e.  RR  ->  ( exp `  x )  e.  RR+ ) ) )
14263, 140, 141sylanbrc 664 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x )  e.  ( -u pi (,) pi ) )  -> 
( exp `  x
)  e.  D )
143 funfvima2 6129 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Fun  log  /\  D  C_  dom  log )  ->  (
( exp `  x
)  e.  D  -> 
( log `  ( exp `  x ) )  e.  ( log " D
) ) )
1449, 13, 143mp2an 672 . . . . . . . 8  |-  ( ( exp `  x )  e.  D  ->  ( log `  ( exp `  x
) )  e.  ( log " D ) )
145142, 144syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x )  e.  ( -u pi (,) pi ) )  -> 
( log `  ( exp `  x ) )  e.  ( log " D
) )
14661, 145eqeltrrd 2551 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x )  e.  ( -u pi (,) pi ) )  ->  x  e.  ( log " D ) )
14747, 146sylbi 195 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  ->  x  e.  ( log " D
) )
148147ssriv 3503 . . . 4  |-  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) 
C_  ( log " D
)
14945, 148eqssi 3515 . . 3  |-  ( log " D )  =  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )
150 f1oeq3 5802 . . 3  |-  ( ( log " D )  =  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  ->  (
( log  |`  D ) : D -1-1-onto-> ( log " D
)  <->  ( log  |`  D ) : D -1-1-onto-> ( `' Im "
( -u pi (,) pi ) ) ) )
151149, 150ax-mp 5 . 2  |-  ( ( log  |`  D ) : D -1-1-onto-> ( log " D
)  <->  ( log  |`  D ) : D -1-1-onto-> ( `' Im "
( -u pi (,) pi ) ) )
1527, 151mpbi 208 1  |-  ( log  |`  D ) : D -1-1-onto-> ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762    =/= wne 2657   A.wral 2809    \ cdif 3468    C_ wss 3471   {csn 4022   class class class wbr 4442   `'ccnv 4993   dom cdm 4994   ran crn 4995    |` cres 4996   "cima 4997   Fun wfun 5575    Fn wfn 5576   -->wf 5577   -1-1->wf1 5578   -1-1-onto->wf1o 5580   ` cfv 5581  (class class class)co 6277   CCcc 9481   RRcr 9482   0cc0 9483   1c1 9484   _ici 9485    + caddc 9486    x. cmul 9488   -oocmnf 9617   RR*cxr 9618    < clt 9619    <_ cle 9620    - cmin 9796   -ucneg 9797    / cdiv 10197   ZZcz 10855   RR+crp 11211   (,)cioo 11520   (,]cioc 11521   Recre 12882   Imcim 12883   expce 13650   sincsin 13652   cosccos 13653   picpi 13655   logclog 22665
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-inf2 8049  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560  ax-pre-sup 9561  ax-addf 9562  ax-mulf 9563
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-iin 4323  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-se 4834  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6517  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-supp 6894  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-ixp 7462  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-fin 7512  df-fsupp 7821  df-fi 7862  df-sup 7892  df-oi 7926  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10198  df-nn 10528  df-2 10585  df-3 10586  df-4 10587  df-5 10588  df-6 10589  df-7 10590  df-8 10591  df-9 10592  df-10 10593  df-n0 10787  df-z 10856  df-dec 10968  df-uz 11074  df-q 11174  df-rp 11212  df-xneg 11309  df-xadd 11310  df-xmul 11311  df-ioo 11524  df-ioc 11525  df-ico 11526  df-icc 11527  df-fz 11664  df-fzo 11784  df-fl 11888  df-mod 11955  df-seq 12066  df-exp 12125  df-fac 12311  df-bc 12338  df-hash 12363  df-shft 12852  df-cj 12884  df-re 12885  df-im 12886  df-sqr 13020  df-abs 13021  df-limsup 13245  df-clim 13262  df-rlim 13263  df-sum 13460  df-ef 13656  df-sin 13658  df-cos 13659  df-pi 13661  df-struct 14483  df-ndx 14484  df-slot 14485  df-base 14486  df-sets 14487  df-ress 14488  df-plusg 14559  df-mulr 14560  df-starv 14561  df-sca 14562  df-vsca 14563  df-ip 14564  df-tset 14565  df-ple 14566  df-ds 14568  df-unif 14569  df-hom 14570  df-cco 14571  df-rest 14669  df-topn 14670  df-0g 14688  df-gsum 14689  df-topgen 14690  df-pt 14691  df-prds 14694  df-xrs 14748  df-qtop 14753  df-imas 14754  df-xps 14756  df-mre 14832  df-mrc 14833  df-acs 14835  df-mnd 15723  df-submnd 15773  df-mulg 15856  df-cntz 16145  df-cmn 16591  df-psmet 18177  df-xmet 18178  df-met 18179  df-bl 18180  df-mopn 18181  df-fbas 18182  df-fg 18183  df-cnfld 18187  df-top 19161  df-bases 19163  df-topon 19164  df-topsp 19165  df-cld 19281  df-ntr 19282  df-cls 19283  df-nei 19360  df-lp 19398  df-perf 19399  df-cn 19489  df-cnp 19490  df-haus 19577  df-tx 19793  df-hmeo 19986  df-fil 20077  df-fm 20169  df-flim 20170  df-flf 20171  df-xms 20553  df-ms 20554  df-tms 20555  df-cncf 21112  df-limc 22000  df-dv 22001  df-log 22667
This theorem is referenced by:  efopnlem2  22761
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