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Theorem logf1o2 23199
Description: The logarithm maps its continuous domain bijectively onto the set of numbers with imaginary part  -u pi  <  Im ( z )  <  pi. The negative reals are mapped to the numbers with imaginary part equal to  pi. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
logcn.d  |-  D  =  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) )
Assertion
Ref Expression
logf1o2  |-  ( log  |`  D ) : D -1-1-onto-> ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )

Proof of Theorem logf1o2
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 logf1o 23118 . . . 4  |-  log :
( CC  \  {
0 } ) -1-1-onto-> ran  log
2 f1of1 5797 . . . 4  |-  ( log
: ( CC  \  { 0 } ) -1-1-onto-> ran 
log  ->  log : ( CC 
\  { 0 } ) -1-1-> ran  log )
31, 2ax-mp 5 . . 3  |-  log :
( CC  \  {
0 } ) -1-1-> ran  log
4 logcn.d . . . 4  |-  D  =  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) )
54logdmss 23191 . . 3  |-  D  C_  ( CC  \  { 0 } )
6 f1ores 5812 . . 3  |-  ( ( log : ( CC 
\  { 0 } ) -1-1-> ran  log  /\  D  C_  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( log  |`  D ) : D -1-1-onto-> ( log " D
) )
73, 5, 6mp2an 670 . 2  |-  ( log  |`  D ) : D -1-1-onto-> ( log " D )
8 f1ofun 5800 . . . . . . 7  |-  ( log
: ( CC  \  { 0 } ) -1-1-onto-> ran 
log  ->  Fun  log )
91, 8ax-mp 5 . . . . . 6  |-  Fun  log
10 f1of 5798 . . . . . . . . 9  |-  ( log
: ( CC  \  { 0 } ) -1-1-onto-> ran 
log  ->  log : ( CC 
\  { 0 } ) --> ran  log )
111, 10ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  log :
( CC  \  {
0 } ) --> ran 
log
1211fdmi 5718 . . . . . . 7  |-  dom  log  =  ( CC  \  { 0 } )
135, 12sseqtr4i 3522 . . . . . 6  |-  D  C_  dom  log
14 funimass4 5899 . . . . . 6  |-  ( ( Fun  log  /\  D  C_  dom  log )  ->  (
( log " D
)  C_  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  <->  A. x  e.  D  ( log `  x )  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) ) )
159, 13, 14mp2an 670 . . . . 5  |-  ( ( log " D ) 
C_  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  <->  A. x  e.  D  ( log `  x )  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) )
164ellogdm 23188 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  D  <->  ( x  e.  CC  /\  ( x  e.  RR  ->  x  e.  RR+ ) ) )
1716simplbi 458 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  D  ->  x  e.  CC )
184logdmn0 23189 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  D  ->  x  =/=  0 )
1917, 18logcld 23124 . . . . . 6  |-  ( x  e.  D  ->  ( log `  x )  e.  CC )
2019imcld 13110 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  D  ->  (
Im `  ( log `  x ) )  e.  RR )
2117, 18logimcld 23125 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  D  ->  ( -u pi  <  ( Im
`  ( log `  x
) )  /\  (
Im `  ( log `  x ) )  <_  pi ) )
2221simpld 457 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  D  ->  -u pi  <  ( Im `  ( log `  x ) ) )
234logdmnrp 23190 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  D  ->  -.  -u x  e.  RR+ )
24 lognegb 23143 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  -> 
( -u x  e.  RR+  <->  (
Im `  ( log `  x ) )  =  pi ) )
2517, 18, 24syl2anc 659 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  D  ->  ( -u x  e.  RR+  <->  ( Im `  ( log `  x
) )  =  pi ) )
2625necon3bbid 2701 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  D  ->  ( -.  -u x  e.  RR+  <->  (
Im `  ( log `  x ) )  =/= 
pi ) )
2723, 26mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  D  ->  (
Im `  ( log `  x ) )  =/= 
pi )
2827necomd 2725 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  D  ->  pi  =/=  ( Im `  ( log `  x ) ) )
29 pire 23017 . . . . . . . . . 10  |-  pi  e.  RR
3029a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  D  ->  pi  e.  RR )
3121simprd 461 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  D  ->  (
Im `  ( log `  x ) )  <_  pi )
3220, 30, 31leltned 9725 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  D  ->  (
( Im `  ( log `  x ) )  <  pi  <->  pi  =/=  ( Im `  ( log `  x ) ) ) )
3328, 32mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  D  ->  (
Im `  ( log `  x ) )  < 
pi )
3429renegcli 9871 . . . . . . . . 9  |-  -u pi  e.  RR
3534rexri 9635 . . . . . . . 8  |-  -u pi  e.  RR*
3629rexri 9635 . . . . . . . 8  |-  pi  e.  RR*
37 elioo2 11573 . . . . . . . 8  |-  ( (
-u pi  e.  RR*  /\  pi  e.  RR* )  ->  ( ( Im `  ( log `  x ) )  e.  ( -u pi (,) pi )  <->  ( (
Im `  ( log `  x ) )  e.  RR  /\  -u pi  <  ( Im `  ( log `  x ) )  /\  ( Im `  ( log `  x ) )  <  pi ) ) )
3835, 36, 37mp2an 670 . . . . . . 7  |-  ( ( Im `  ( log `  x ) )  e.  ( -u pi (,) pi )  <->  ( ( Im
`  ( log `  x
) )  e.  RR  /\  -u pi  <  ( Im
`  ( log `  x
) )  /\  (
Im `  ( log `  x ) )  < 
pi ) )
3920, 22, 33, 38syl3anbrc 1178 . . . . . 6  |-  ( x  e.  D  ->  (
Im `  ( log `  x ) )  e.  ( -u pi (,) pi ) )
40 imf 13028 . . . . . . 7  |-  Im : CC
--> RR
41 ffn 5713 . . . . . . 7  |-  ( Im : CC --> RR  ->  Im  Fn  CC )
42 elpreima 5983 . . . . . . 7  |-  ( Im  Fn  CC  ->  (
( log `  x
)  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  <-> 
( ( log `  x
)  e.  CC  /\  ( Im `  ( log `  x ) )  e.  ( -u pi (,) pi ) ) ) )
4340, 41, 42mp2b 10 . . . . . 6  |-  ( ( log `  x )  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  <->  ( ( log `  x )  e.  CC  /\  ( Im
`  ( log `  x
) )  e.  (
-u pi (,) pi ) ) )
4419, 39, 43sylanbrc 662 . . . . 5  |-  ( x  e.  D  ->  ( log `  x )  e.  ( `' Im "
( -u pi (,) pi ) ) )
4515, 44mprgbir 2818 . . . 4  |-  ( log " D )  C_  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )
46 elpreima 5983 . . . . . . 7  |-  ( Im  Fn  CC  ->  (
x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  <-> 
( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) ) ) )
4740, 41, 46mp2b 10 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  <->  ( x  e.  CC  /\  ( Im
`  x )  e.  ( -u pi (,) pi ) ) )
48 simpl 455 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x )  e.  ( -u pi (,) pi ) )  ->  x  e.  CC )
49 eliooord 11587 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Im `  x )  e.  ( -u pi (,) pi )  ->  ( -u pi  <  ( Im
`  x )  /\  ( Im `  x )  <  pi ) )
5049adantl 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x )  e.  ( -u pi (,) pi ) )  -> 
( -u pi  <  (
Im `  x )  /\  ( Im `  x
)  <  pi )
)
5150simpld 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x )  e.  ( -u pi (,) pi ) )  ->  -u pi  <  ( Im
`  x ) )
5250simprd 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x )  e.  ( -u pi (,) pi ) )  -> 
( Im `  x
)  <  pi )
53 imcl 13026 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  CC  ->  (
Im `  x )  e.  RR )
5453adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x )  e.  ( -u pi (,) pi ) )  -> 
( Im `  x
)  e.  RR )
55 ltle 9662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( Im `  x
)  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  -> 
( ( Im `  x )  <  pi  ->  ( Im `  x
)  <_  pi )
)
5654, 29, 55sylancl 660 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x )  e.  ( -u pi (,) pi ) )  -> 
( ( Im `  x )  <  pi  ->  ( Im `  x
)  <_  pi )
)
5752, 56mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x )  e.  ( -u pi (,) pi ) )  -> 
( Im `  x
)  <_  pi )
58 ellogrn 23113 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ran  log  <->  ( x  e.  CC  /\  -u pi  <  ( Im `  x
)  /\  ( Im `  x )  <_  pi ) )
5948, 51, 57, 58syl3anbrc 1178 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x )  e.  ( -u pi (,) pi ) )  ->  x  e.  ran  log )
60 logef 23135 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ran  log  ->  ( log `  ( exp `  x ) )  =  x )
6159, 60syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x )  e.  ( -u pi (,) pi ) )  -> 
( log `  ( exp `  x ) )  =  x )
62 efcl 13900 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  CC  ->  ( exp `  x )  e.  CC )
6362adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x )  e.  ( -u pi (,) pi ) )  -> 
( exp `  x
)  e.  CC )
6454adantr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( Im `  x )  e.  RR )
6564recnd 9611 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( Im `  x )  e.  CC )
66 picn 23018 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  pi  e.  CC
6766a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  pi  e.  CC )
68 pipos 23019 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  <  pi
6929, 68gt0ne0ii 10085 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  pi  =/=  0
7069a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  pi  =/=  0
)
7152adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( Im `  x )  <  pi )
7266mulid1i 9587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( pi  x.  1 )  =  pi
7371, 72syl6breqr 4479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( Im `  x )  <  (
pi  x.  1 ) )
74 1re 9584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1  e.  RR
7574a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  1  e.  RR )
7629a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  pi  e.  RR )
7768a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  0  <  pi )
78 ltdivmul 10413 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( Im `  x
)  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  (
pi  e.  RR  /\  0  <  pi ) )  ->  ( ( ( Im `  x )  /  pi )  <  1  <->  ( Im `  x )  <  (
pi  x.  1 ) ) )
7964, 75, 76, 77, 78syl112anc 1230 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( ( ( Im `  x )  /  pi )  <  1  <->  ( Im `  x )  <  (
pi  x.  1 ) ) )
8073, 79mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( ( Im
`  x )  /  pi )  <  1
)
81 1e0p1 11004 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  =  ( 0  +  1 )
8280, 81syl6breq 4478 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( ( Im
`  x )  /  pi )  <  ( 0  +  1 ) )
8364recoscld 13961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( cos `  (
Im `  x )
)  e.  RR )
8464resincld 13960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( sin `  (
Im `  x )
)  e.  RR )
8583, 84crimd 13147 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( Im `  ( ( cos `  (
Im `  x )
)  +  ( _i  x.  ( sin `  (
Im `  x )
) ) ) )  =  ( sin `  (
Im `  x )
) )
86 efeul 13979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  e.  CC  ->  ( exp `  x )  =  ( ( exp `  (
Re `  x )
)  x.  ( ( cos `  ( Im
`  x ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  ( Im
`  x ) ) ) ) ) )
8786ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( exp `  x
)  =  ( ( exp `  ( Re
`  x ) )  x.  ( ( cos `  ( Im `  x
) )  +  ( _i  x.  ( sin `  ( Im `  x
) ) ) ) ) )
8887oveq1d 6285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( ( exp `  x )  /  ( exp `  ( Re `  x ) ) )  =  ( ( ( exp `  ( Re
`  x ) )  x.  ( ( cos `  ( Im `  x
) )  +  ( _i  x.  ( sin `  ( Im `  x
) ) ) ) )  /  ( exp `  ( Re `  x
) ) ) )
8983recnd 9611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( cos `  (
Im `  x )
)  e.  CC )
90 ax-icn 9540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  _i  e.  CC
9184recnd 9611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( sin `  (
Im `  x )
)  e.  CC )
92 mulcl 9565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( sin `  ( Im
`  x ) )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  ( sin `  ( Im `  x ) ) )  e.  CC )
9390, 91, 92sylancr 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( _i  x.  ( sin `  ( Im
`  x ) ) )  e.  CC )
9489, 93addcld 9604 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( ( cos `  ( Im `  x
) )  +  ( _i  x.  ( sin `  ( Im `  x
) ) ) )  e.  CC )
95 recl 13025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  e.  CC  ->  (
Re `  x )  e.  RR )
9695ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( Re `  x )  e.  RR )
9796recnd 9611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( Re `  x )  e.  CC )
98 efcl 13900 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( Re `  x )  e.  CC  ->  ( exp `  ( Re `  x ) )  e.  CC )
9997, 98syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( exp `  (
Re `  x )
)  e.  CC )
100 efne0 13914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( Re `  x )  e.  CC  ->  ( exp `  ( Re `  x ) )  =/=  0 )
10197, 100syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( exp `  (
Re `  x )
)  =/=  0 )
10294, 99, 101divcan3d 10321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( ( ( exp `  ( Re
`  x ) )  x.  ( ( cos `  ( Im `  x
) )  +  ( _i  x.  ( sin `  ( Im `  x
) ) ) ) )  /  ( exp `  ( Re `  x
) ) )  =  ( ( cos `  (
Im `  x )
)  +  ( _i  x.  ( sin `  (
Im `  x )
) ) ) )
10388, 102eqtrd 2495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( ( exp `  x )  /  ( exp `  ( Re `  x ) ) )  =  ( ( cos `  ( Im `  x
) )  +  ( _i  x.  ( sin `  ( Im `  x
) ) ) ) )
104 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( exp `  x
)  e.  RR )
10596reefcld 13905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( exp `  (
Re `  x )
)  e.  RR )
106104, 105, 101redivcld 10368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( ( exp `  x )  /  ( exp `  ( Re `  x ) ) )  e.  RR )
107103, 106eqeltrrd 2543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( ( cos `  ( Im `  x
) )  +  ( _i  x.  ( sin `  ( Im `  x
) ) ) )  e.  RR )
108107reim0d 13140 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( Im `  ( ( cos `  (
Im `  x )
)  +  ( _i  x.  ( sin `  (
Im `  x )
) ) ) )  =  0 )
10985, 108eqtr3d 2497 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( sin `  (
Im `  x )
)  =  0 )
110 sineq0 23080 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Im `  x )  e.  CC  ->  (
( sin `  (
Im `  x )
)  =  0  <->  (
( Im `  x
)  /  pi )  e.  ZZ ) )
11165, 110syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( ( sin `  ( Im `  x
) )  =  0  <-> 
( ( Im `  x )  /  pi )  e.  ZZ )
)
112109, 111mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( ( Im
`  x )  /  pi )  e.  ZZ )
113 0z 10871 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  ZZ
114 zleltp1 10910 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( Im `  x )  /  pi )  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  ->  (
( ( Im `  x )  /  pi )  <_  0  <->  ( (
Im `  x )  /  pi )  <  (
0  +  1 ) ) )
115112, 113, 114sylancl 660 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( ( ( Im `  x )  /  pi )  <_ 
0  <->  ( ( Im
`  x )  /  pi )  <  ( 0  +  1 ) ) )
11682, 115mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( ( Im
`  x )  /  pi )  <_  0 )
117 df-neg 9799 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  -u 1  =  ( 0  -  1 )
11866mulm1i 9997 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( -u
1  x.  pi )  =  -u pi
11951adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  -u pi  <  (
Im `  x )
)
120118, 119syl5eqbr 4472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( -u 1  x.  pi )  <  (
Im `  x )
)
12174renegcli 9871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  -u 1  e.  RR
122121a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  -u 1  e.  RR )
123 ltmuldiv 10411 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
-u 1  e.  RR  /\  ( Im `  x
)  e.  RR  /\  ( pi  e.  RR  /\  0  <  pi ) )  ->  ( ( -u 1  x.  pi )  <  ( Im `  x )  <->  -u 1  < 
( ( Im `  x )  /  pi ) ) )
124122, 64, 76, 77, 123syl112anc 1230 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( ( -u
1  x.  pi )  <  ( Im `  x )  <->  -u 1  < 
( ( Im `  x )  /  pi ) ) )
125120, 124mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  -u 1  <  (
( Im `  x
)  /  pi ) )
126117, 125syl5eqbrr 4473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( 0  -  1 )  <  (
( Im `  x
)  /  pi ) )
127 zlem1lt 10911 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  ( ( Im `  x )  /  pi )  e.  ZZ )  ->  ( 0  <_  (
( Im `  x
)  /  pi )  <-> 
( 0  -  1 )  <  ( ( Im `  x )  /  pi ) ) )
128113, 112, 127sylancr 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( 0  <_ 
( ( Im `  x )  /  pi ) 
<->  ( 0  -  1 )  <  ( ( Im `  x )  /  pi ) ) )
129126, 128mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  0  <_  (
( Im `  x
)  /  pi ) )
13064, 76, 70redivcld 10368 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( ( Im
`  x )  /  pi )  e.  RR )
131 0re 9585 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  RR
132 letri3 9659 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( Im `  x )  /  pi )  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  (
( ( Im `  x )  /  pi )  =  0  <->  ( (
( Im `  x
)  /  pi )  <_  0  /\  0  <_  ( ( Im `  x )  /  pi ) ) ) )
133130, 131, 132sylancl 660 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( ( ( Im `  x )  /  pi )  =  0  <->  ( ( ( Im `  x )  /  pi )  <_ 
0  /\  0  <_  ( ( Im `  x
)  /  pi ) ) ) )
134116, 129, 133mpbir2and 920 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( ( Im
`  x )  /  pi )  =  0
)
13565, 67, 70, 134diveq0d 10323 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( Im `  x )  =  0 )
136 reim0b 13034 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x  e.  RR  <->  ( Im `  x )  =  0 ) )
137136ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( x  e.  RR  <->  ( Im `  x )  =  0 ) )
138135, 137mpbird 232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  x  e.  RR )
139138rpefcld 13922 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( exp `  x
)  e.  RR+ )
140139ex 432 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x )  e.  ( -u pi (,) pi ) )  -> 
( ( exp `  x
)  e.  RR  ->  ( exp `  x )  e.  RR+ ) )
1414ellogdm 23188 . . . . . . . . 9  |-  ( ( exp `  x )  e.  D  <->  ( ( exp `  x )  e.  CC  /\  ( ( exp `  x )  e.  RR  ->  ( exp `  x )  e.  RR+ ) ) )
14263, 140, 141sylanbrc 662 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x )  e.  ( -u pi (,) pi ) )  -> 
( exp `  x
)  e.  D )
143 funfvima2 6123 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Fun  log  /\  D  C_  dom  log )  ->  (
( exp `  x
)  e.  D  -> 
( log `  ( exp `  x ) )  e.  ( log " D
) ) )
1449, 13, 143mp2an 670 . . . . . . . 8  |-  ( ( exp `  x )  e.  D  ->  ( log `  ( exp `  x
) )  e.  ( log " D ) )
145142, 144syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x )  e.  ( -u pi (,) pi ) )  -> 
( log `  ( exp `  x ) )  e.  ( log " D
) )
14661, 145eqeltrrd 2543 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x )  e.  ( -u pi (,) pi ) )  ->  x  e.  ( log " D ) )
14747, 146sylbi 195 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  ->  x  e.  ( log " D
) )
148147ssriv 3493 . . . 4  |-  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) 
C_  ( log " D
)
14945, 148eqssi 3505 . . 3  |-  ( log " D )  =  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )
150 f1oeq3 5791 . . 3  |-  ( ( log " D )  =  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  ->  (
( log  |`  D ) : D -1-1-onto-> ( log " D
)  <->  ( log  |`  D ) : D -1-1-onto-> ( `' Im "
( -u pi (,) pi ) ) ) )
151149, 150ax-mp 5 . 2  |-  ( ( log  |`  D ) : D -1-1-onto-> ( log " D
)  <->  ( log  |`  D ) : D -1-1-onto-> ( `' Im "
( -u pi (,) pi ) ) )
1527, 151mpbi 208 1  |-  ( log  |`  D ) : D -1-1-onto-> ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823    =/= wne 2649   A.wral 2804    \ cdif 3458    C_ wss 3461   {csn 4016   class class class wbr 4439   `'ccnv 4987   dom cdm 4988   ran crn 4989    |` cres 4990   "cima 4991   Fun wfun 5564    Fn wfn 5565   -->wf 5566   -1-1->wf1 5567   -1-1-onto->wf1o 5569   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482   _ici 9483    + caddc 9484    x. cmul 9486   -oocmnf 9615   RR*cxr 9616    < clt 9617    <_ cle 9618    - cmin 9796   -ucneg 9797    / cdiv 10202   ZZcz 10860   RR+crp 11221   (,)cioo 11532   (,]cioc 11533   Recre 13012   Imcim 13013   expce 13879   sincsin 13881   cosccos 13882   picpi 13884   logclog 23108
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-fi 7863  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11321  df-xadd 11322  df-xmul 11323  df-ioo 11536  df-ioc 11537  df-ico 11538  df-icc 11539  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-fl 11910  df-mod 11979  df-seq 12090  df-exp 12149  df-fac 12336  df-bc 12363  df-hash 12388  df-shft 12982  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-sqrt 13150  df-abs 13151  df-limsup 13376  df-clim 13393  df-rlim 13394  df-sum 13591  df-ef 13885  df-sin 13887  df-cos 13888  df-pi 13890  df-struct 14718  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-ress 14723  df-plusg 14797  df-mulr 14798  df-starv 14799  df-sca 14800  df-vsca 14801  df-ip 14802  df-tset 14803  df-ple 14804  df-ds 14806  df-unif 14807  df-hom 14808  df-cco 14809  df-rest 14912  df-topn 14913  df-0g 14931  df-gsum 14932  df-topgen 14933  df-pt 14934  df-prds 14937  df-xrs 14991  df-qtop 14996  df-imas 14997  df-xps 14999  df-mre 15075  df-mrc 15076  df-acs 15078  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-submnd 16166  df-mulg 16259  df-cntz 16554  df-cmn 16999  df-psmet 18606  df-xmet 18607  df-met 18608  df-bl 18609  df-mopn 18610  df-fbas 18611  df-fg 18612  df-cnfld 18616  df-top 19566  df-bases 19568  df-topon 19569  df-topsp 19570  df-cld 19687  df-ntr 19688  df-cls 19689  df-nei 19766  df-lp 19804  df-perf 19805  df-cn 19895  df-cnp 19896  df-haus 19983  df-tx 20229  df-hmeo 20422  df-fil 20513  df-fm 20605  df-flim 20606  df-flf 20607  df-xms 20989  df-ms 20990  df-tms 20991  df-cncf 21548  df-limc 22436  df-dv 22437  df-log 23110
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