Theorem logf1o2 22754

Description: The logarithm maps its continuous domain bijectively onto the set of numbers with imaginary part -u pi < Im ( z ) < pi. The negative reals are mapped to the numbers with imaginary part equal to pi. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
logcn.d	|- D = ( CC \ ( -oo (,] 0 ) )

Assertion

Ref	Expression
logf1o2	|- ( log |` D ) : D -1-1-onto-> ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )

Proof of Theorem logf1o2

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		logf1o 22675	. . . 4 |- log : ( CC \ { 0 } ) -1-1-onto-> ran log
2		f1of1 5808	. . . 4 |- ( log : ( CC \ { 0 } ) -1-1-onto-> ran log -> log : ( CC \ { 0 } ) -1-1-> ran log )
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 |- log : ( CC \ { 0 } ) -1-1-> ran log
4		logcn.d	. . . 4 |- D = ( CC \ ( -oo (,] 0 ) )
5	4	logdmss 22746	. . 3 |- D C_ ( CC \ { 0 } )
6		f1ores 5823	. . 3 |- ( ( log : ( CC \ { 0 } ) -1-1-> ran log /\ D C_ ( CC \ { 0 } ) ) -> ( log |` D ) : D -1-1-onto-> ( log " D ) )
7	3, 5, 6	mp2an 672	. 2 |- ( log |` D ) : D -1-1-onto-> ( log " D )
8		f1ofun 5811	. . . . . . 7 |- ( log : ( CC \ { 0 } ) -1-1-onto-> ran log -> Fun log )
9	1, 8	ax-mp 5	. . . . . 6 |- Fun log
10		f1of 5809	. . . . . . . . 9 |- ( log : ( CC \ { 0 } ) -1-1-onto-> ran log -> log : ( CC \ { 0 } ) --> ran log )
11	1, 10	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- log : ( CC \ { 0 } ) --> ran log
12	11	fdmi 5729	. . . . . . 7 |- dom log = ( CC \ { 0 } )
13	5, 12	sseqtr4i 3532	. . . . . 6 |- D C_ dom log
14		funimass4 5911	. . . . . 6 |- ( ( Fun log /\ D C_ dom log ) -> ( ( log " D ) C_ ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) <-> A. x e. D ( log ` x ) e. ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) ) )
15	9, 13, 14	mp2an 672	. . . . 5 |- ( ( log " D ) C_ ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) <-> A. x e. D ( log ` x ) e. ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) )
16	4	ellogdm 22743	. . . . . . . 8 |- ( x e. D <-> ( x e. CC /\ ( x e. RR -> x e. RR+ ) ) )
17	16	simplbi 460	. . . . . . 7 |- ( x e. D -> x e. CC )
18	4	logdmn0 22744	. . . . . . 7 |- ( x e. D -> x =/= 0 )
19	17, 18	logcld 22681	. . . . . 6 |- ( x e. D -> ( log ` x ) e. CC )
20	19	imcld 12980	. . . . . . 7 |- ( x e. D -> ( Im ` ( log ` x ) ) e. RR )
21	17, 18	logimcld 22682	. . . . . . . 8 |- ( x e. D -> ( -u pi < ( Im ` ( log ` x ) ) /\ ( Im ` ( log ` x ) ) <_ pi ) )
22	21	simpld 459	. . . . . . 7 |- ( x e. D -> -u pi < ( Im ` ( log ` x ) ) )
23	4	logdmnrp 22745	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. D -> -. -u x e. RR+ )
24		lognegb 22697	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. CC /\ x =/= 0 ) -> ( -u x e. RR+ <-> ( Im ` ( log ` x ) ) = pi ) )
25	17, 18, 24	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. D -> ( -u x e. RR+ <-> ( Im ` ( log ` x ) ) = pi ) )
26	25	necon3bbid 2709	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. D -> ( -. -u x e. RR+ <-> ( Im ` ( log ` x ) ) =/= pi ) )
27	23, 26	mpbid 210	. . . . . . . . 9 |- ( x e. D -> ( Im ` ( log ` x ) ) =/= pi )
28	27	necomd 2733	. . . . . . . 8 |- ( x e. D -> pi =/= ( Im ` ( log ` x ) ) )
29		pire 22580	. . . . . . . . . 10 |- pi e. RR
30	29	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( x e. D -> pi e. RR )
31	21	simprd 463	. . . . . . . . 9 |- ( x e. D -> ( Im ` ( log ` x ) ) <_ pi )
32	20, 30, 31	leltned 9726	. . . . . . . 8 |- ( x e. D -> ( ( Im ` ( log ` x ) ) < pi <-> pi =/= ( Im ` ( log ` x ) ) ) )
33	28, 32	mpbird 232	. . . . . . 7 |- ( x e. D -> ( Im ` ( log ` x ) ) < pi )
34	29	renegcli 9871	. . . . . . . . 9 |- -u pi e. RR
35	34	rexri 9637	. . . . . . . 8 |- -u pi e. RR*
36	29	rexri 9637	. . . . . . . 8 |- pi e. RR*
37		elioo2 11561	. . . . . . . 8 |- ( ( -u pi e. RR* /\ pi e. RR* ) -> ( ( Im ` ( log ` x ) ) e. ( -u pi (,) pi ) <-> ( ( Im ` ( log ` x ) ) e. RR /\ -u pi < ( Im ` ( log ` x ) ) /\ ( Im ` ( log ` x ) ) < pi ) ) )
38	35, 36, 37	mp2an 672	. . . . . . 7 |- ( ( Im ` ( log ` x ) ) e. ( -u pi (,) pi ) <-> ( ( Im ` ( log ` x ) ) e. RR /\ -u pi < ( Im ` ( log ` x ) ) /\ ( Im ` ( log ` x ) ) < pi ) )
39	20, 22, 33, 38	syl3anbrc 1175	. . . . . 6 |- ( x e. D -> ( Im ` ( log ` x ) ) e. ( -u pi (,) pi ) )
40		imf 12898	. . . . . . 7 |- Im : CC --> RR
41		ffn 5724	. . . . . . 7 |- ( Im : CC --> RR -> Im Fn CC )
42		elpreima 5994	. . . . . . 7 |- ( Im Fn CC -> ( ( log ` x ) e. ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) <-> ( ( log ` x ) e. CC /\ ( Im ` ( log ` x ) ) e. ( -u pi (,) pi ) ) ) )
43	40, 41, 42	mp2b 10	. . . . . 6 |- ( ( log ` x ) e. ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) <-> ( ( log ` x ) e. CC /\ ( Im ` ( log ` x ) ) e. ( -u pi (,) pi ) ) )
44	19, 39, 43	sylanbrc 664	. . . . 5 |- ( x e. D -> ( log ` x ) e. ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) )
45	15, 44	mprgbir 2823	. . . 4 |- ( log " D ) C_ ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )
46		elpreima 5994	. . . . . . 7 |- ( Im Fn CC -> ( x e. ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) <-> ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) ) )
47	40, 41, 46	mp2b 10	. . . . . 6 |- ( x e. ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) <-> ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) )
48		simpl 457	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) -> x e. CC )
49		eliooord 11575	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) -> ( -u pi < ( Im ` x ) /\ ( Im ` x ) < pi ) )
50	49	adantl 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) -> ( -u pi < ( Im ` x ) /\ ( Im ` x ) < pi ) )
51	50	simpld 459	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) -> -u pi < ( Im ` x ) )
52	50	simprd 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) -> ( Im ` x ) < pi )
53		imcl 12896	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. CC -> ( Im ` x ) e. RR )
54	53	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) -> ( Im ` x ) e. RR )
55		ltle 9664	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( Im ` x ) e. RR /\ pi e. RR ) -> ( ( Im ` x ) < pi -> ( Im ` x ) <_ pi ) )
56	54, 29, 55	sylancl 662	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) -> ( ( Im ` x ) < pi -> ( Im ` x ) <_ pi ) )
57	52, 56	mpd 15	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) -> ( Im ` x ) <_ pi )
58		ellogrn 22670	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ran log <-> ( x e. CC /\ -u pi < ( Im ` x ) /\ ( Im ` x ) <_ pi ) )
59	48, 51, 57, 58	syl3anbrc 1175	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) -> x e. ran log )
60		logef 22689	. . . . . . . 8 |- ( x e. ran log -> ( log ` ( exp ` x ) ) = x )
61	59, 60	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) -> ( log ` ( exp ` x ) ) = x )
62		efcl 13671	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. CC -> ( exp ` x ) e. CC )
63	62	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) -> ( exp ` x ) e. CC )
64	54	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( Im ` x ) e. RR )
65	64	recnd 9613	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( Im ` x ) e. CC )
66		picn 22581	. . . . . . . . . . . . . 14 |- pi e. CC
67	66	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> pi e. CC )
68		pipos 22582	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 < pi
69	29, 68	gt0ne0ii 10080	. . . . . . . . . . . . . 14 |- pi =/= 0
70	69	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> pi =/= 0 )
71	52	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( Im ` x ) < pi )
72	66	mulid1i 9589	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( pi x. 1 ) = pi
73	71, 72	syl6breqr 4482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( Im ` x ) < ( pi x. 1 ) )
74		1re 9586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 1 e. RR
75	74	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> 1 e. RR )
76	29	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> pi e. RR )
77	68	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> 0 < pi )
78		ltdivmul 10408	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( Im ` x ) e. RR /\ 1 e. RR /\ ( pi e. RR /\ 0 < pi ) ) -> ( ( ( Im ` x ) / pi ) < 1 <-> ( Im ` x ) < ( pi x. 1 ) ) )
79	64, 75, 76, 77, 78	syl112anc 1227	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( ( ( Im ` x ) / pi ) < 1 <-> ( Im ` x ) < ( pi x. 1 ) ) )
80	73, 79	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( ( Im ` x ) / pi ) < 1 )
81		1e0p1 10995	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 = ( 0 + 1 )
82	80, 81	syl6breq 4481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( ( Im ` x ) / pi ) < ( 0 + 1 ) )
83	64	recoscld 13731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( cos ` ( Im ` x ) ) e. RR )
84	64	resincld 13730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( sin ` ( Im ` x ) ) e. RR )
85	83, 84	crimd 13017	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( Im ` ( ( cos ` ( Im ` x ) ) + ( _i x. ( sin ` ( Im ` x ) ) ) ) ) = ( sin ` ( Im ` x ) ) )
86		efeul 13749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( x e. CC -> ( exp ` x ) = ( ( exp ` ( Re ` x ) ) x. ( ( cos ` ( Im ` x ) ) + ( _i x. ( sin ` ( Im ` x ) ) ) ) ) )
87	86	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( exp ` x ) = ( ( exp ` ( Re ` x ) ) x. ( ( cos ` ( Im ` x ) ) + ( _i x. ( sin ` ( Im ` x ) ) ) ) ) )
88	87	oveq1d 6292	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( ( exp ` x ) / ( exp ` ( Re ` x ) ) ) = ( ( ( exp ` ( Re ` x ) ) x. ( ( cos ` ( Im ` x ) ) + ( _i x. ( sin ` ( Im ` x ) ) ) ) ) / ( exp ` ( Re ` x ) ) ) )
89	83	recnd 9613	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( cos ` ( Im ` x ) ) e. CC )
90		ax-icn 9542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- _i e. CC
91	84	recnd 9613	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( sin ` ( Im ` x ) ) e. CC )
92		mulcl 9567	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( _i e. CC /\ ( sin ` ( Im ` x ) ) e. CC ) -> ( _i x. ( sin ` ( Im ` x ) ) ) e. CC )
93	90, 91, 92	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( _i x. ( sin ` ( Im ` x ) ) ) e. CC )
94	89, 93	addcld 9606	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( ( cos ` ( Im ` x ) ) + ( _i x. ( sin ` ( Im ` x ) ) ) ) e. CC )
95		recl 12895	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( x e. CC -> ( Re ` x ) e. RR )
96	95	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( Re ` x ) e. RR )
97	96	recnd 9613	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( Re ` x ) e. CC )
98		efcl 13671	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( Re ` x ) e. CC -> ( exp ` ( Re ` x ) ) e. CC )
99	97, 98	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( exp ` ( Re ` x ) ) e. CC )
100		efne0 13684	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( Re ` x ) e. CC -> ( exp ` ( Re ` x ) ) =/= 0 )
101	97, 100	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( exp ` ( Re ` x ) ) =/= 0 )
102	94, 99, 101	divcan3d 10316	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( ( ( exp ` ( Re ` x ) ) x. ( ( cos ` ( Im ` x ) ) + ( _i x. ( sin ` ( Im ` x ) ) ) ) ) / ( exp ` ( Re ` x ) ) ) = ( ( cos ` ( Im ` x ) ) + ( _i x. ( sin ` ( Im ` x ) ) ) ) )
103	88, 102	eqtrd 2503	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( ( exp ` x ) / ( exp ` ( Re ` x ) ) ) = ( ( cos ` ( Im ` x ) ) + ( _i x. ( sin ` ( Im ` x ) ) ) ) )
104		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( exp ` x ) e. RR )
105	96	reefcld 13676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( exp ` ( Re ` x ) ) e. RR )
106	104, 105, 101	redivcld 10363	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( ( exp ` x ) / ( exp ` ( Re ` x ) ) ) e. RR )
107	103, 106	eqeltrrd 2551	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( ( cos ` ( Im ` x ) ) + ( _i x. ( sin ` ( Im ` x ) ) ) ) e. RR )
108	107	reim0d 13010	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( Im ` ( ( cos ` ( Im ` x ) ) + ( _i x. ( sin ` ( Im ` x ) ) ) ) ) = 0 )
109	85, 108	eqtr3d 2505	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( sin ` ( Im ` x ) ) = 0 )
110		sineq0 22642	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( Im ` x ) e. CC -> ( ( sin ` ( Im ` x ) ) = 0 <-> ( ( Im ` x ) / pi ) e. ZZ ) )
111	65, 110	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( ( sin ` ( Im ` x ) ) = 0 <-> ( ( Im ` x ) / pi ) e. ZZ ) )
112	109, 111	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( ( Im ` x ) / pi ) e. ZZ )
113		0z 10866	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 e. ZZ
114		zleltp1 10904	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( Im ` x ) / pi ) e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> ( ( ( Im ` x ) / pi ) <_ 0 <-> ( ( Im ` x ) / pi ) < ( 0 + 1 ) ) )
115	112, 113, 114	sylancl 662	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( ( ( Im ` x ) / pi ) <_ 0 <-> ( ( Im ` x ) / pi ) < ( 0 + 1 ) ) )
116	82, 115	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( ( Im ` x ) / pi ) <_ 0 )
117		df-neg 9799	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- -u 1 = ( 0 - 1 )
118	66	mulm1i 9992	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( -u 1 x. pi ) = -u pi
119	51	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> -u pi < ( Im ` x ) )
120	118, 119	syl5eqbr 4475	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( -u 1 x. pi ) < ( Im ` x ) )
121	74	renegcli 9871	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- -u 1 e. RR
122	121	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> -u 1 e. RR )
123		ltmuldiv 10406	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( -u 1 e. RR /\ ( Im ` x ) e. RR /\ ( pi e. RR /\ 0 < pi ) ) -> ( ( -u 1 x. pi ) < ( Im ` x ) <-> -u 1 < ( ( Im ` x ) / pi ) ) )
124	122, 64, 76, 77, 123	syl112anc 1227	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( ( -u 1 x. pi ) < ( Im ` x ) <-> -u 1 < ( ( Im ` x ) / pi ) ) )
125	120, 124	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> -u 1 < ( ( Im ` x ) / pi ) )
126	117, 125	syl5eqbrr 4476	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( 0 - 1 ) < ( ( Im ` x ) / pi ) )
127		zlem1lt 10905	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 0 e. ZZ /\ ( ( Im ` x ) / pi ) e. ZZ ) -> ( 0 <_ ( ( Im ` x ) / pi ) <-> ( 0 - 1 ) < ( ( Im ` x ) / pi ) ) )
128	113, 112, 127	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( 0 <_ ( ( Im ` x ) / pi ) <-> ( 0 - 1 ) < ( ( Im ` x ) / pi ) ) )
129	126, 128	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> 0 <_ ( ( Im ` x ) / pi ) )
130	64, 76, 70	redivcld 10363	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( ( Im ` x ) / pi ) e. RR )
131		0re 9587	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 e. RR
132		letri3 9661	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( Im ` x ) / pi ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( ( ( Im ` x ) / pi ) = 0 <-> ( ( ( Im ` x ) / pi ) <_ 0 /\ 0 <_ ( ( Im ` x ) / pi ) ) ) )
133	130, 131, 132	sylancl 662	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( ( ( Im ` x ) / pi ) = 0 <-> ( ( ( Im ` x ) / pi ) <_ 0 /\ 0 <_ ( ( Im ` x ) / pi ) ) ) )
134	116, 129, 133	mpbir2and 915	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( ( Im ` x ) / pi ) = 0 )
135	65, 67, 70, 134	diveq0d 10318	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( Im ` x ) = 0 )
136		reim0b 12904	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. CC -> ( x e. RR <-> ( Im ` x ) = 0 ) )
137	136	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( x e. RR <-> ( Im ` x ) = 0 ) )
138	135, 137	mpbird 232	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> x e. RR )
139	138	rpefcld 13692	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( exp ` x ) e. RR+ )
140	139	ex 434	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) -> ( ( exp ` x ) e. RR -> ( exp ` x ) e. RR+ ) )
141	4	ellogdm 22743	. . . . . . . . 9 |- ( ( exp ` x ) e. D <-> ( ( exp ` x ) e. CC /\ ( ( exp ` x ) e. RR -> ( exp ` x ) e. RR+ ) ) )
142	63, 140, 141	sylanbrc 664	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) -> ( exp ` x ) e. D )
143		funfvima2 6129	. . . . . . . . 9 |- ( ( Fun log /\ D C_ dom log ) -> ( ( exp ` x ) e. D -> ( log ` ( exp ` x ) ) e. ( log " D ) ) )
144	9, 13, 143	mp2an 672	. . . . . . . 8 |- ( ( exp ` x ) e. D -> ( log ` ( exp ` x ) ) e. ( log " D ) )
145	142, 144	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) -> ( log ` ( exp ` x ) ) e. ( log " D ) )
146	61, 145	eqeltrrd 2551	. . . . . 6 |- ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) -> x e. ( log " D ) )
147	47, 146	sylbi 195	. . . . 5 |- ( x e. ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) -> x e. ( log " D ) )
148	147	ssriv 3503	. . . 4 |- ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) C_ ( log " D )
149	45, 148	eqssi 3515	. . 3 |- ( log " D ) = ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )
150		f1oeq3 5802	. . 3 |- ( ( log " D ) = ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) -> ( ( log |` D ) : D -1-1-onto-> ( log " D ) <-> ( log |` D ) : D -1-1-onto-> ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) ) )
151	149, 150	ax-mp 5	. 2 |- ( ( log |` D ) : D -1-1-onto-> ( log " D ) <-> ( log |` D ) : D -1-1-onto-> ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) )
152	7, 151	mpbi 208	1 |- ( log |` D ) : D -1-1-onto-> ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 968   = wceq 1374   e. wcel 1762   =/= wne 2657   A.wral 2809   \ cdif 3468   C_ wss 3471   {csn 4022   class class class wbr 4442   `'ccnv 4993   dom cdm 4994   ran crn 4995   |` cres 4996   "cima 4997   Fun wfun 5575   Fn wfn 5576   -->wf 5577   -1-1->wf1 5578   -1-1-onto->wf1o 5580   ` cfv 5581  (class class class)co 6277   CCcc 9481   RRcr 9482   0cc0 9483   1c1 9484   _ici 9485   + caddc 9486   x. cmul 9488   -oocmnf 9617   RR*cxr 9618   < clt 9619   <_ cle 9620   - cmin 9796   -ucneg 9797   / cdiv 10197   ZZcz 10855   RR+crp 11211   (,)cioo 11520   (,]cioc 11521   Recre 12882   Imcim 12883   expce 13650   sincsin 13652   cosccos 13653   picpi 13655   logclog 22665

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-inf2 8049  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560  ax-pre-sup 9561  ax-addf 9562  ax-mulf 9563

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-iin 4323  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-se 4834  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6517  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-supp 6894  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-ixp 7462  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-fin 7512  df-fsupp 7821  df-fi 7862  df-sup 7892  df-oi 7926  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10198  df-nn 10528  df-2 10585  df-3 10586  df-4 10587  df-5 10588  df-6 10589  df-7 10590  df-8 10591  df-9 10592  df-10 10593  df-n0 10787  df-z 10856  df-dec 10968  df-uz 11074  df-q 11174  df-rp 11212  df-xneg 11309  df-xadd 11310  df-xmul 11311  df-ioo 11524  df-ioc 11525  df-ico 11526  df-icc 11527  df-fz 11664  df-fzo 11784  df-fl 11888  df-mod 11955  df-seq 12066  df-exp 12125  df-fac 12311  df-bc 12338  df-hash 12363  df-shft 12852  df-cj 12884  df-re 12885  df-im 12886  df-sqr 13020  df-abs 13021  df-limsup 13245  df-clim 13262  df-rlim 13263  df-sum 13460  df-ef 13656  df-sin 13658  df-cos 13659  df-pi 13661  df-struct 14483  df-ndx 14484  df-slot 14485  df-base 14486  df-sets 14487  df-ress 14488  df-plusg 14559  df-mulr 14560  df-starv 14561  df-sca 14562  df-vsca 14563  df-ip 14564  df-tset 14565  df-ple 14566  df-ds 14568  df-unif 14569  df-hom 14570  df-cco 14571  df-rest 14669  df-topn 14670  df-0g 14688  df-gsum 14689  df-topgen 14690  df-pt 14691  df-prds 14694  df-xrs 14748  df-qtop 14753  df-imas 14754  df-xps 14756  df-mre 14832  df-mrc 14833  df-acs 14835  df-mnd 15723  df-submnd 15773  df-mulg 15856  df-cntz 16145  df-cmn 16591  df-psmet 18177  df-xmet 18178  df-met 18179  df-bl 18180  df-mopn 18181  df-fbas 18182  df-fg 18183  df-cnfld 18187  df-top 19161  df-bases 19163  df-topon 19164  df-topsp 19165  df-cld 19281  df-ntr 19282  df-cls 19283  df-nei 19360  df-lp 19398  df-perf 19399  df-cn 19489  df-cnp 19490  df-haus 19577  df-tx 19793  df-hmeo 19986  df-fil 20077  df-fm 20169  df-flim 20170  df-flf 20171  df-xms 20553  df-ms 20554  df-tms 20555  df-cncf 21112  df-limc 22000  df-dv 22001  df-log 22667

This theorem is referenced by:  efopnlem2  22761