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Theorem logf1o2 22213
Description: The logarithm maps its continuous domain bijectively onto the set of numbers with imaginary part  -u pi  <  Im ( z )  <  pi. The negative reals are mapped to the numbers with imaginary part equal to  pi. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
logcn.d  |-  D  =  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) )
Assertion
Ref Expression
logf1o2  |-  ( log  |`  D ) : D -1-1-onto-> ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )

Proof of Theorem logf1o2
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 logf1o 22134 . . . 4  |-  log :
( CC  \  {
0 } ) -1-1-onto-> ran  log
2 f1of1 5740 . . . 4  |-  ( log
: ( CC  \  { 0 } ) -1-1-onto-> ran 
log  ->  log : ( CC 
\  { 0 } ) -1-1-> ran  log )
31, 2ax-mp 5 . . 3  |-  log :
( CC  \  {
0 } ) -1-1-> ran  log
4 logcn.d . . . 4  |-  D  =  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) )
54logdmss 22205 . . 3  |-  D  C_  ( CC  \  { 0 } )
6 f1ores 5755 . . 3  |-  ( ( log : ( CC 
\  { 0 } ) -1-1-> ran  log  /\  D  C_  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( log  |`  D ) : D -1-1-onto-> ( log " D
) )
73, 5, 6mp2an 672 . 2  |-  ( log  |`  D ) : D -1-1-onto-> ( log " D )
8 f1ofun 5743 . . . . . . 7  |-  ( log
: ( CC  \  { 0 } ) -1-1-onto-> ran 
log  ->  Fun  log )
91, 8ax-mp 5 . . . . . 6  |-  Fun  log
10 f1of 5741 . . . . . . . . 9  |-  ( log
: ( CC  \  { 0 } ) -1-1-onto-> ran 
log  ->  log : ( CC 
\  { 0 } ) --> ran  log )
111, 10ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  log :
( CC  \  {
0 } ) --> ran 
log
1211fdmi 5664 . . . . . . 7  |-  dom  log  =  ( CC  \  { 0 } )
135, 12sseqtr4i 3489 . . . . . 6  |-  D  C_  dom  log
14 funimass4 5843 . . . . . 6  |-  ( ( Fun  log  /\  D  C_  dom  log )  ->  (
( log " D
)  C_  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  <->  A. x  e.  D  ( log `  x )  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) ) )
159, 13, 14mp2an 672 . . . . 5  |-  ( ( log " D ) 
C_  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  <->  A. x  e.  D  ( log `  x )  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) )
164ellogdm 22202 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  D  <->  ( x  e.  CC  /\  ( x  e.  RR  ->  x  e.  RR+ ) ) )
1716simplbi 460 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  D  ->  x  e.  CC )
184logdmn0 22203 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  D  ->  x  =/=  0 )
1917, 18logcld 22140 . . . . . 6  |-  ( x  e.  D  ->  ( log `  x )  e.  CC )
2019imcld 12788 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  D  ->  (
Im `  ( log `  x ) )  e.  RR )
2117, 18logimcld 22141 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  D  ->  ( -u pi  <  ( Im
`  ( log `  x
) )  /\  (
Im `  ( log `  x ) )  <_  pi ) )
2221simpld 459 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  D  ->  -u pi  <  ( Im `  ( log `  x ) ) )
234logdmnrp 22204 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  D  ->  -.  -u x  e.  RR+ )
24 lognegb 22156 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  -> 
( -u x  e.  RR+  <->  (
Im `  ( log `  x ) )  =  pi ) )
2517, 18, 24syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  D  ->  ( -u x  e.  RR+  <->  ( Im `  ( log `  x
) )  =  pi ) )
2625necon3bbid 2695 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  D  ->  ( -.  -u x  e.  RR+  <->  (
Im `  ( log `  x ) )  =/= 
pi ) )
2723, 26mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  D  ->  (
Im `  ( log `  x ) )  =/= 
pi )
2827necomd 2719 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  D  ->  pi  =/=  ( Im `  ( log `  x ) ) )
29 pire 22039 . . . . . . . . . 10  |-  pi  e.  RR
3029a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  D  ->  pi  e.  RR )
3121simprd 463 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  D  ->  (
Im `  ( log `  x ) )  <_  pi )
3220, 30, 31leltned 9628 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  D  ->  (
( Im `  ( log `  x ) )  <  pi  <->  pi  =/=  ( Im `  ( log `  x ) ) ) )
3328, 32mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  D  ->  (
Im `  ( log `  x ) )  < 
pi )
3429renegcli 9773 . . . . . . . . 9  |-  -u pi  e.  RR
3534rexri 9539 . . . . . . . 8  |-  -u pi  e.  RR*
3629rexri 9539 . . . . . . . 8  |-  pi  e.  RR*
37 elioo2 11444 . . . . . . . 8  |-  ( (
-u pi  e.  RR*  /\  pi  e.  RR* )  ->  ( ( Im `  ( log `  x ) )  e.  ( -u pi (,) pi )  <->  ( (
Im `  ( log `  x ) )  e.  RR  /\  -u pi  <  ( Im `  ( log `  x ) )  /\  ( Im `  ( log `  x ) )  <  pi ) ) )
3835, 36, 37mp2an 672 . . . . . . 7  |-  ( ( Im `  ( log `  x ) )  e.  ( -u pi (,) pi )  <->  ( ( Im
`  ( log `  x
) )  e.  RR  /\  -u pi  <  ( Im
`  ( log `  x
) )  /\  (
Im `  ( log `  x ) )  < 
pi ) )
3920, 22, 33, 38syl3anbrc 1172 . . . . . 6  |-  ( x  e.  D  ->  (
Im `  ( log `  x ) )  e.  ( -u pi (,) pi ) )
40 imf 12706 . . . . . . 7  |-  Im : CC
--> RR
41 ffn 5659 . . . . . . 7  |-  ( Im : CC --> RR  ->  Im  Fn  CC )
42 elpreima 5924 . . . . . . 7  |-  ( Im  Fn  CC  ->  (
( log `  x
)  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  <-> 
( ( log `  x
)  e.  CC  /\  ( Im `  ( log `  x ) )  e.  ( -u pi (,) pi ) ) ) )
4340, 41, 42mp2b 10 . . . . . 6  |-  ( ( log `  x )  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  <->  ( ( log `  x )  e.  CC  /\  ( Im
`  ( log `  x
) )  e.  (
-u pi (,) pi ) ) )
4419, 39, 43sylanbrc 664 . . . . 5  |-  ( x  e.  D  ->  ( log `  x )  e.  ( `' Im "
( -u pi (,) pi ) ) )
4515, 44mprgbir 2896 . . . 4  |-  ( log " D )  C_  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )
46 elpreima 5924 . . . . . . 7  |-  ( Im  Fn  CC  ->  (
x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  <-> 
( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) ) ) )
4740, 41, 46mp2b 10 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  <->  ( x  e.  CC  /\  ( Im
`  x )  e.  ( -u pi (,) pi ) ) )
48 simpl 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x )  e.  ( -u pi (,) pi ) )  ->  x  e.  CC )
49 eliooord 11458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Im `  x )  e.  ( -u pi (,) pi )  ->  ( -u pi  <  ( Im
`  x )  /\  ( Im `  x )  <  pi ) )
5049adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x )  e.  ( -u pi (,) pi ) )  -> 
( -u pi  <  (
Im `  x )  /\  ( Im `  x
)  <  pi )
)
5150simpld 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x )  e.  ( -u pi (,) pi ) )  ->  -u pi  <  ( Im
`  x ) )
5250simprd 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x )  e.  ( -u pi (,) pi ) )  -> 
( Im `  x
)  <  pi )
53 imcl 12704 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  CC  ->  (
Im `  x )  e.  RR )
5453adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x )  e.  ( -u pi (,) pi ) )  -> 
( Im `  x
)  e.  RR )
55 ltle 9566 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( Im `  x
)  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  -> 
( ( Im `  x )  <  pi  ->  ( Im `  x
)  <_  pi )
)
5654, 29, 55sylancl 662 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x )  e.  ( -u pi (,) pi ) )  -> 
( ( Im `  x )  <  pi  ->  ( Im `  x
)  <_  pi )
)
5752, 56mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x )  e.  ( -u pi (,) pi ) )  -> 
( Im `  x
)  <_  pi )
58 ellogrn 22129 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ran  log  <->  ( x  e.  CC  /\  -u pi  <  ( Im `  x
)  /\  ( Im `  x )  <_  pi ) )
5948, 51, 57, 58syl3anbrc 1172 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x )  e.  ( -u pi (,) pi ) )  ->  x  e.  ran  log )
60 logef 22148 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ran  log  ->  ( log `  ( exp `  x ) )  =  x )
6159, 60syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x )  e.  ( -u pi (,) pi ) )  -> 
( log `  ( exp `  x ) )  =  x )
62 efcl 13472 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  CC  ->  ( exp `  x )  e.  CC )
6362adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x )  e.  ( -u pi (,) pi ) )  -> 
( exp `  x
)  e.  CC )
6454adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( Im `  x )  e.  RR )
6564recnd 9515 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( Im `  x )  e.  CC )
66 picn 22040 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  pi  e.  CC
6766a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  pi  e.  CC )
68 pipos 22041 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  <  pi
6929, 68gt0ne0ii 9979 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  pi  =/=  0
7069a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  pi  =/=  0
)
7152adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( Im `  x )  <  pi )
7266mulid1i 9491 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( pi  x.  1 )  =  pi
7371, 72syl6breqr 4432 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( Im `  x )  <  (
pi  x.  1 ) )
74 1re 9488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1  e.  RR
7574a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  1  e.  RR )
7629a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  pi  e.  RR )
7768a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  0  <  pi )
78 ltdivmul 10307 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( Im `  x
)  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  (
pi  e.  RR  /\  0  <  pi ) )  ->  ( ( ( Im `  x )  /  pi )  <  1  <->  ( Im `  x )  <  (
pi  x.  1 ) ) )
7964, 75, 76, 77, 78syl112anc 1223 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( ( ( Im `  x )  /  pi )  <  1  <->  ( Im `  x )  <  (
pi  x.  1 ) ) )
8073, 79mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( ( Im
`  x )  /  pi )  <  1
)
81 1e0p1 10886 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  =  ( 0  +  1 )
8280, 81syl6breq 4431 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( ( Im
`  x )  /  pi )  <  ( 0  +  1 ) )
8364recoscld 13532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( cos `  (
Im `  x )
)  e.  RR )
8464resincld 13531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( sin `  (
Im `  x )
)  e.  RR )
8583, 84crimd 12825 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( Im `  ( ( cos `  (
Im `  x )
)  +  ( _i  x.  ( sin `  (
Im `  x )
) ) ) )  =  ( sin `  (
Im `  x )
) )
86 efeul 13550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  e.  CC  ->  ( exp `  x )  =  ( ( exp `  (
Re `  x )
)  x.  ( ( cos `  ( Im
`  x ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  ( Im
`  x ) ) ) ) ) )
8786ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( exp `  x
)  =  ( ( exp `  ( Re
`  x ) )  x.  ( ( cos `  ( Im `  x
) )  +  ( _i  x.  ( sin `  ( Im `  x
) ) ) ) ) )
8887oveq1d 6207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( ( exp `  x )  /  ( exp `  ( Re `  x ) ) )  =  ( ( ( exp `  ( Re
`  x ) )  x.  ( ( cos `  ( Im `  x
) )  +  ( _i  x.  ( sin `  ( Im `  x
) ) ) ) )  /  ( exp `  ( Re `  x
) ) ) )
8983recnd 9515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( cos `  (
Im `  x )
)  e.  CC )
90 ax-icn 9444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  _i  e.  CC
9184recnd 9515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( sin `  (
Im `  x )
)  e.  CC )
92 mulcl 9469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( sin `  ( Im
`  x ) )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  ( sin `  ( Im `  x ) ) )  e.  CC )
9390, 91, 92sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( _i  x.  ( sin `  ( Im
`  x ) ) )  e.  CC )
9489, 93addcld 9508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( ( cos `  ( Im `  x
) )  +  ( _i  x.  ( sin `  ( Im `  x
) ) ) )  e.  CC )
95 recl 12703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  e.  CC  ->  (
Re `  x )  e.  RR )
9695ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( Re `  x )  e.  RR )
9796recnd 9515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( Re `  x )  e.  CC )
98 efcl 13472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( Re `  x )  e.  CC  ->  ( exp `  ( Re `  x ) )  e.  CC )
9997, 98syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( exp `  (
Re `  x )
)  e.  CC )
100 efne0 13485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( Re `  x )  e.  CC  ->  ( exp `  ( Re `  x ) )  =/=  0 )
10197, 100syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( exp `  (
Re `  x )
)  =/=  0 )
10294, 99, 101divcan3d 10215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( ( ( exp `  ( Re
`  x ) )  x.  ( ( cos `  ( Im `  x
) )  +  ( _i  x.  ( sin `  ( Im `  x
) ) ) ) )  /  ( exp `  ( Re `  x
) ) )  =  ( ( cos `  (
Im `  x )
)  +  ( _i  x.  ( sin `  (
Im `  x )
) ) ) )
10388, 102eqtrd 2492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( ( exp `  x )  /  ( exp `  ( Re `  x ) ) )  =  ( ( cos `  ( Im `  x
) )  +  ( _i  x.  ( sin `  ( Im `  x
) ) ) ) )
104 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( exp `  x
)  e.  RR )
10596reefcld 13477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( exp `  (
Re `  x )
)  e.  RR )
106104, 105, 101redivcld 10262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( ( exp `  x )  /  ( exp `  ( Re `  x ) ) )  e.  RR )
107103, 106eqeltrrd 2540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( ( cos `  ( Im `  x
) )  +  ( _i  x.  ( sin `  ( Im `  x
) ) ) )  e.  RR )
108107reim0d 12818 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( Im `  ( ( cos `  (
Im `  x )
)  +  ( _i  x.  ( sin `  (
Im `  x )
) ) ) )  =  0 )
10985, 108eqtr3d 2494 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( sin `  (
Im `  x )
)  =  0 )
110 sineq0 22101 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Im `  x )  e.  CC  ->  (
( sin `  (
Im `  x )
)  =  0  <->  (
( Im `  x
)  /  pi )  e.  ZZ ) )
11165, 110syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( ( sin `  ( Im `  x
) )  =  0  <-> 
( ( Im `  x )  /  pi )  e.  ZZ )
)
112109, 111mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( ( Im
`  x )  /  pi )  e.  ZZ )
113 0z 10760 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  ZZ
114 zleltp1 10798 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( Im `  x )  /  pi )  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  ->  (
( ( Im `  x )  /  pi )  <_  0  <->  ( (
Im `  x )  /  pi )  <  (
0  +  1 ) ) )
115112, 113, 114sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( ( ( Im `  x )  /  pi )  <_ 
0  <->  ( ( Im
`  x )  /  pi )  <  ( 0  +  1 ) ) )
11682, 115mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( ( Im
`  x )  /  pi )  <_  0 )
117 df-neg 9701 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  -u 1  =  ( 0  -  1 )
11866mulm1i 9892 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( -u
1  x.  pi )  =  -u pi
11951adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  -u pi  <  (
Im `  x )
)
120118, 119syl5eqbr 4425 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( -u 1  x.  pi )  <  (
Im `  x )
)
12174renegcli 9773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  -u 1  e.  RR
122121a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  -u 1  e.  RR )
123 ltmuldiv 10305 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
-u 1  e.  RR  /\  ( Im `  x
)  e.  RR  /\  ( pi  e.  RR  /\  0  <  pi ) )  ->  ( ( -u 1  x.  pi )  <  ( Im `  x )  <->  -u 1  < 
( ( Im `  x )  /  pi ) ) )
124122, 64, 76, 77, 123syl112anc 1223 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( ( -u
1  x.  pi )  <  ( Im `  x )  <->  -u 1  < 
( ( Im `  x )  /  pi ) ) )
125120, 124mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  -u 1  <  (
( Im `  x
)  /  pi ) )
126117, 125syl5eqbrr 4426 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( 0  -  1 )  <  (
( Im `  x
)  /  pi ) )
127 zlem1lt 10799 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  ( ( Im `  x )  /  pi )  e.  ZZ )  ->  ( 0  <_  (
( Im `  x
)  /  pi )  <-> 
( 0  -  1 )  <  ( ( Im `  x )  /  pi ) ) )
128113, 112, 127sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( 0  <_ 
( ( Im `  x )  /  pi ) 
<->  ( 0  -  1 )  <  ( ( Im `  x )  /  pi ) ) )
129126, 128mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  0  <_  (
( Im `  x
)  /  pi ) )
13064, 76, 70redivcld 10262 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( ( Im
`  x )  /  pi )  e.  RR )
131 0re 9489 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  RR
132 letri3 9563 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( Im `  x )  /  pi )  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  (
( ( Im `  x )  /  pi )  =  0  <->  ( (
( Im `  x
)  /  pi )  <_  0  /\  0  <_  ( ( Im `  x )  /  pi ) ) ) )
133130, 131, 132sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( ( ( Im `  x )  /  pi )  =  0  <->  ( ( ( Im `  x )  /  pi )  <_ 
0  /\  0  <_  ( ( Im `  x
)  /  pi ) ) ) )
134116, 129, 133mpbir2and 913 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( ( Im
`  x )  /  pi )  =  0
)
13565, 67, 70, 134diveq0d 10217 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( Im `  x )  =  0 )
136 reim0b 12712 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x  e.  RR  <->  ( Im `  x )  =  0 ) )
137136ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( x  e.  RR  <->  ( Im `  x )  =  0 ) )
138135, 137mpbird 232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  x  e.  RR )
139138rpefcld 13493 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )  /\  ( exp `  x
)  e.  RR )  ->  ( exp `  x
)  e.  RR+ )
140139ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x )  e.  ( -u pi (,) pi ) )  -> 
( ( exp `  x
)  e.  RR  ->  ( exp `  x )  e.  RR+ ) )
1414ellogdm 22202 . . . . . . . . 9  |-  ( ( exp `  x )  e.  D  <->  ( ( exp `  x )  e.  CC  /\  ( ( exp `  x )  e.  RR  ->  ( exp `  x )  e.  RR+ ) ) )
14263, 140, 141sylanbrc 664 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x )  e.  ( -u pi (,) pi ) )  -> 
( exp `  x
)  e.  D )
143 funfvima2 6054 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Fun  log  /\  D  C_  dom  log )  ->  (
( exp `  x
)  e.  D  -> 
( log `  ( exp `  x ) )  e.  ( log " D
) ) )
1449, 13, 143mp2an 672 . . . . . . . 8  |-  ( ( exp `  x )  e.  D  ->  ( log `  ( exp `  x
) )  e.  ( log " D ) )
145142, 144syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x )  e.  ( -u pi (,) pi ) )  -> 
( log `  ( exp `  x ) )  e.  ( log " D
) )
14661, 145eqeltrrd 2540 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( Im `  x )  e.  ( -u pi (,) pi ) )  ->  x  e.  ( log " D ) )
14747, 146sylbi 195 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  ->  x  e.  ( log " D
) )
148147ssriv 3460 . . . 4  |-  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) 
C_  ( log " D
)
14945, 148eqssi 3472 . . 3  |-  ( log " D )  =  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )
150 f1oeq3 5734 . . 3  |-  ( ( log " D )  =  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  ->  (
( log  |`  D ) : D -1-1-onto-> ( log " D
)  <->  ( log  |`  D ) : D -1-1-onto-> ( `' Im "
( -u pi (,) pi ) ) ) )
151149, 150ax-mp 5 . 2  |-  ( ( log  |`  D ) : D -1-1-onto-> ( log " D
)  <->  ( log  |`  D ) : D -1-1-onto-> ( `' Im "
( -u pi (,) pi ) ) )
1527, 151mpbi 208 1  |-  ( log  |`  D ) : D -1-1-onto-> ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2644   A.wral 2795    \ cdif 3425    C_ wss 3428   {csn 3977   class class class wbr 4392   `'ccnv 4939   dom cdm 4940   ran crn 4941    |` cres 4942   "cima 4943   Fun wfun 5512    Fn wfn 5513   -->wf 5514   -1-1->wf1 5515   -1-1-onto->wf1o 5517   ` cfv 5518  (class class class)co 6192   CCcc 9383   RRcr 9384   0cc0 9385   1c1 9386   _ici 9387    + caddc 9388    x. cmul 9390   -oocmnf 9519   RR*cxr 9520    < clt 9521    <_ cle 9522    - cmin 9698   -ucneg 9699    / cdiv 10096   ZZcz 10749   RR+crp 11094   (,)cioo 11403   (,]cioc 11404   Recre 12690   Imcim 12691   expce 13451   sincsin 13453   cosccos 13454   picpi 13456   logclog 22124
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4503  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-inf2 7950  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461  ax-pre-mulgt0 9462  ax-pre-sup 9463  ax-addf 9464  ax-mulf 9465
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-int 4229  df-iun 4273  df-iin 4274  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-se 4780  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-isom 5527  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-of 6422  df-om 6579  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-supp 6793  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-1o 7022  df-2o 7023  df-oadd 7026  df-er 7203  df-map 7318  df-pm 7319  df-ixp 7366  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-fin 7416  df-fsupp 7724  df-fi 7764  df-sup 7794  df-oi 7827  df-card 8212  df-cda 8440  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701  df-div 10097  df-nn 10426  df-2 10483  df-3 10484  df-4 10485  df-5 10486  df-6 10487  df-7 10488  df-8 10489  df-9 10490  df-10 10491  df-n0 10683  df-z 10750  df-dec 10859  df-uz 10965  df-q 11057  df-rp 11095  df-xneg 11192  df-xadd 11193  df-xmul 11194  df-ioo 11407  df-ioc 11408  df-ico 11409  df-icc 11410  df-fz 11541  df-fzo 11652  df-fl 11745  df-mod 11812  df-seq 11910  df-exp 11969  df-fac 12155  df-bc 12182  df-hash 12207  df-shft 12660  df-cj 12692  df-re 12693  df-im 12694  df-sqr 12828  df-abs 12829  df-limsup 13053  df-clim 13070  df-rlim 13071  df-sum 13268  df-ef 13457  df-sin 13459  df-cos 13460  df-pi 13462  df-struct 14280  df-ndx 14281  df-slot 14282  df-base 14283  df-sets 14284  df-ress 14285  df-plusg 14355  df-mulr 14356  df-starv 14357  df-sca 14358  df-vsca 14359  df-ip 14360  df-tset 14361  df-ple 14362  df-ds 14364  df-unif 14365  df-hom 14366  df-cco 14367  df-rest 14465  df-topn 14466  df-0g 14484  df-gsum 14485  df-topgen 14486  df-pt 14487  df-prds 14490  df-xrs 14544  df-qtop 14549  df-imas 14550  df-xps 14552  df-mre 14628  df-mrc 14629  df-acs 14631  df-mnd 15519  df-submnd 15569  df-mulg 15652  df-cntz 15939  df-cmn 16385  df-psmet 17920  df-xmet 17921  df-met 17922  df-bl 17923  df-mopn 17924  df-fbas 17925  df-fg 17926  df-cnfld 17930  df-top 18621  df-bases 18623  df-topon 18624  df-topsp 18625  df-cld 18741  df-ntr 18742  df-cls 18743  df-nei 18820  df-lp 18858  df-perf 18859  df-cn 18949  df-cnp 18950  df-haus 19037  df-tx 19253  df-hmeo 19446  df-fil 19537  df-fm 19629  df-flim 19630  df-flf 19631  df-xms 20013  df-ms 20014  df-tms 20015  df-cncf 20572  df-limc 21459  df-dv 21460  df-log 22126
This theorem is referenced by:  efopnlem2  22220
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