Theorem logf1o2 23199

Description: The logarithm maps its continuous domain bijectively onto the set of numbers with imaginary part -u pi < Im ( z ) < pi. The negative reals are mapped to the numbers with imaginary part equal to pi. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
logcn.d	|- D = ( CC \ ( -oo (,] 0 ) )

Assertion

Ref	Expression
logf1o2	|- ( log |` D ) : D -1-1-onto-> ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )

Proof of Theorem logf1o2

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		logf1o 23118	. . . 4 |- log : ( CC \ { 0 } ) -1-1-onto-> ran log
2		f1of1 5797	. . . 4 |- ( log : ( CC \ { 0 } ) -1-1-onto-> ran log -> log : ( CC \ { 0 } ) -1-1-> ran log )
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 |- log : ( CC \ { 0 } ) -1-1-> ran log
4		logcn.d	. . . 4 |- D = ( CC \ ( -oo (,] 0 ) )
5	4	logdmss 23191	. . 3 |- D C_ ( CC \ { 0 } )
6		f1ores 5812	. . 3 |- ( ( log : ( CC \ { 0 } ) -1-1-> ran log /\ D C_ ( CC \ { 0 } ) ) -> ( log |` D ) : D -1-1-onto-> ( log " D ) )
7	3, 5, 6	mp2an 670	. 2 |- ( log |` D ) : D -1-1-onto-> ( log " D )
8		f1ofun 5800	. . . . . . 7 |- ( log : ( CC \ { 0 } ) -1-1-onto-> ran log -> Fun log )
9	1, 8	ax-mp 5	. . . . . 6 |- Fun log
10		f1of 5798	. . . . . . . . 9 |- ( log : ( CC \ { 0 } ) -1-1-onto-> ran log -> log : ( CC \ { 0 } ) --> ran log )
11	1, 10	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- log : ( CC \ { 0 } ) --> ran log
12	11	fdmi 5718	. . . . . . 7 |- dom log = ( CC \ { 0 } )
13	5, 12	sseqtr4i 3522	. . . . . 6 |- D C_ dom log
14		funimass4 5899	. . . . . 6 |- ( ( Fun log /\ D C_ dom log ) -> ( ( log " D ) C_ ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) <-> A. x e. D ( log ` x ) e. ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) ) )
15	9, 13, 14	mp2an 670	. . . . 5 |- ( ( log " D ) C_ ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) <-> A. x e. D ( log ` x ) e. ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) )
16	4	ellogdm 23188	. . . . . . . 8 |- ( x e. D <-> ( x e. CC /\ ( x e. RR -> x e. RR+ ) ) )
17	16	simplbi 458	. . . . . . 7 |- ( x e. D -> x e. CC )
18	4	logdmn0 23189	. . . . . . 7 |- ( x e. D -> x =/= 0 )
19	17, 18	logcld 23124	. . . . . 6 |- ( x e. D -> ( log ` x ) e. CC )
20	19	imcld 13110	. . . . . . 7 |- ( x e. D -> ( Im ` ( log ` x ) ) e. RR )
21	17, 18	logimcld 23125	. . . . . . . 8 |- ( x e. D -> ( -u pi < ( Im ` ( log ` x ) ) /\ ( Im ` ( log ` x ) ) <_ pi ) )
22	21	simpld 457	. . . . . . 7 |- ( x e. D -> -u pi < ( Im ` ( log ` x ) ) )
23	4	logdmnrp 23190	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. D -> -. -u x e. RR+ )
24		lognegb 23143	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. CC /\ x =/= 0 ) -> ( -u x e. RR+ <-> ( Im ` ( log ` x ) ) = pi ) )
25	17, 18, 24	syl2anc 659	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. D -> ( -u x e. RR+ <-> ( Im ` ( log ` x ) ) = pi ) )
26	25	necon3bbid 2701	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. D -> ( -. -u x e. RR+ <-> ( Im ` ( log ` x ) ) =/= pi ) )
27	23, 26	mpbid 210	. . . . . . . . 9 |- ( x e. D -> ( Im ` ( log ` x ) ) =/= pi )
28	27	necomd 2725	. . . . . . . 8 |- ( x e. D -> pi =/= ( Im ` ( log ` x ) ) )
29		pire 23017	. . . . . . . . . 10 |- pi e. RR
30	29	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( x e. D -> pi e. RR )
31	21	simprd 461	. . . . . . . . 9 |- ( x e. D -> ( Im ` ( log ` x ) ) <_ pi )
32	20, 30, 31	leltned 9725	. . . . . . . 8 |- ( x e. D -> ( ( Im ` ( log ` x ) ) < pi <-> pi =/= ( Im ` ( log ` x ) ) ) )
33	28, 32	mpbird 232	. . . . . . 7 |- ( x e. D -> ( Im ` ( log ` x ) ) < pi )
34	29	renegcli 9871	. . . . . . . . 9 |- -u pi e. RR
35	34	rexri 9635	. . . . . . . 8 |- -u pi e. RR*
36	29	rexri 9635	. . . . . . . 8 |- pi e. RR*
37		elioo2 11573	. . . . . . . 8 |- ( ( -u pi e. RR* /\ pi e. RR* ) -> ( ( Im ` ( log ` x ) ) e. ( -u pi (,) pi ) <-> ( ( Im ` ( log ` x ) ) e. RR /\ -u pi < ( Im ` ( log ` x ) ) /\ ( Im ` ( log ` x ) ) < pi ) ) )
38	35, 36, 37	mp2an 670	. . . . . . 7 |- ( ( Im ` ( log ` x ) ) e. ( -u pi (,) pi ) <-> ( ( Im ` ( log ` x ) ) e. RR /\ -u pi < ( Im ` ( log ` x ) ) /\ ( Im ` ( log ` x ) ) < pi ) )
39	20, 22, 33, 38	syl3anbrc 1178	. . . . . 6 |- ( x e. D -> ( Im ` ( log ` x ) ) e. ( -u pi (,) pi ) )
40		imf 13028	. . . . . . 7 |- Im : CC --> RR
41		ffn 5713	. . . . . . 7 |- ( Im : CC --> RR -> Im Fn CC )
42		elpreima 5983	. . . . . . 7 |- ( Im Fn CC -> ( ( log ` x ) e. ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) <-> ( ( log ` x ) e. CC /\ ( Im ` ( log ` x ) ) e. ( -u pi (,) pi ) ) ) )
43	40, 41, 42	mp2b 10	. . . . . 6 |- ( ( log ` x ) e. ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) <-> ( ( log ` x ) e. CC /\ ( Im ` ( log ` x ) ) e. ( -u pi (,) pi ) ) )
44	19, 39, 43	sylanbrc 662	. . . . 5 |- ( x e. D -> ( log ` x ) e. ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) )
45	15, 44	mprgbir 2818	. . . 4 |- ( log " D ) C_ ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )
46		elpreima 5983	. . . . . . 7 |- ( Im Fn CC -> ( x e. ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) <-> ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) ) )
47	40, 41, 46	mp2b 10	. . . . . 6 |- ( x e. ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) <-> ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) )
48		simpl 455	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) -> x e. CC )
49		eliooord 11587	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) -> ( -u pi < ( Im ` x ) /\ ( Im ` x ) < pi ) )
50	49	adantl 464	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) -> ( -u pi < ( Im ` x ) /\ ( Im ` x ) < pi ) )
51	50	simpld 457	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) -> -u pi < ( Im ` x ) )
52	50	simprd 461	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) -> ( Im ` x ) < pi )
53		imcl 13026	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. CC -> ( Im ` x ) e. RR )
54	53	adantr 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) -> ( Im ` x ) e. RR )
55		ltle 9662	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( Im ` x ) e. RR /\ pi e. RR ) -> ( ( Im ` x ) < pi -> ( Im ` x ) <_ pi ) )
56	54, 29, 55	sylancl 660	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) -> ( ( Im ` x ) < pi -> ( Im ` x ) <_ pi ) )
57	52, 56	mpd 15	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) -> ( Im ` x ) <_ pi )
58		ellogrn 23113	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ran log <-> ( x e. CC /\ -u pi < ( Im ` x ) /\ ( Im ` x ) <_ pi ) )
59	48, 51, 57, 58	syl3anbrc 1178	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) -> x e. ran log )
60		logef 23135	. . . . . . . 8 |- ( x e. ran log -> ( log ` ( exp ` x ) ) = x )
61	59, 60	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) -> ( log ` ( exp ` x ) ) = x )
62		efcl 13900	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. CC -> ( exp ` x ) e. CC )
63	62	adantr 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) -> ( exp ` x ) e. CC )
64	54	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( Im ` x ) e. RR )
65	64	recnd 9611	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( Im ` x ) e. CC )
66		picn 23018	. . . . . . . . . . . . . 14 |- pi e. CC
67	66	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> pi e. CC )
68		pipos 23019	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 < pi
69	29, 68	gt0ne0ii 10085	. . . . . . . . . . . . . 14 |- pi =/= 0
70	69	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> pi =/= 0 )
71	52	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( Im ` x ) < pi )
72	66	mulid1i 9587	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( pi x. 1 ) = pi
73	71, 72	syl6breqr 4479	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( Im ` x ) < ( pi x. 1 ) )
74		1re 9584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 1 e. RR
75	74	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> 1 e. RR )
76	29	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> pi e. RR )
77	68	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> 0 < pi )
78		ltdivmul 10413	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( Im ` x ) e. RR /\ 1 e. RR /\ ( pi e. RR /\ 0 < pi ) ) -> ( ( ( Im ` x ) / pi ) < 1 <-> ( Im ` x ) < ( pi x. 1 ) ) )
79	64, 75, 76, 77, 78	syl112anc 1230	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( ( ( Im ` x ) / pi ) < 1 <-> ( Im ` x ) < ( pi x. 1 ) ) )
80	73, 79	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( ( Im ` x ) / pi ) < 1 )
81		1e0p1 11004	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 = ( 0 + 1 )
82	80, 81	syl6breq 4478	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( ( Im ` x ) / pi ) < ( 0 + 1 ) )
83	64	recoscld 13961	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( cos ` ( Im ` x ) ) e. RR )
84	64	resincld 13960	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( sin ` ( Im ` x ) ) e. RR )
85	83, 84	crimd 13147	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( Im ` ( ( cos ` ( Im ` x ) ) + ( _i x. ( sin ` ( Im ` x ) ) ) ) ) = ( sin ` ( Im ` x ) ) )
86		efeul 13979	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( x e. CC -> ( exp ` x ) = ( ( exp ` ( Re ` x ) ) x. ( ( cos ` ( Im ` x ) ) + ( _i x. ( sin ` ( Im ` x ) ) ) ) ) )
87	86	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( exp ` x ) = ( ( exp ` ( Re ` x ) ) x. ( ( cos ` ( Im ` x ) ) + ( _i x. ( sin ` ( Im ` x ) ) ) ) ) )
88	87	oveq1d 6285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( ( exp ` x ) / ( exp ` ( Re ` x ) ) ) = ( ( ( exp ` ( Re ` x ) ) x. ( ( cos ` ( Im ` x ) ) + ( _i x. ( sin ` ( Im ` x ) ) ) ) ) / ( exp ` ( Re ` x ) ) ) )
89	83	recnd 9611	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( cos ` ( Im ` x ) ) e. CC )
90		ax-icn 9540	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- _i e. CC
91	84	recnd 9611	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( sin ` ( Im ` x ) ) e. CC )
92		mulcl 9565	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( _i e. CC /\ ( sin ` ( Im ` x ) ) e. CC ) -> ( _i x. ( sin ` ( Im ` x ) ) ) e. CC )
93	90, 91, 92	sylancr 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( _i x. ( sin ` ( Im ` x ) ) ) e. CC )
94	89, 93	addcld 9604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( ( cos ` ( Im ` x ) ) + ( _i x. ( sin ` ( Im ` x ) ) ) ) e. CC )
95		recl 13025	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( x e. CC -> ( Re ` x ) e. RR )
96	95	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( Re ` x ) e. RR )
97	96	recnd 9611	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( Re ` x ) e. CC )
98		efcl 13900	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( Re ` x ) e. CC -> ( exp ` ( Re ` x ) ) e. CC )
99	97, 98	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( exp ` ( Re ` x ) ) e. CC )
100		efne0 13914	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( Re ` x ) e. CC -> ( exp ` ( Re ` x ) ) =/= 0 )
101	97, 100	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( exp ` ( Re ` x ) ) =/= 0 )
102	94, 99, 101	divcan3d 10321	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( ( ( exp ` ( Re ` x ) ) x. ( ( cos ` ( Im ` x ) ) + ( _i x. ( sin ` ( Im ` x ) ) ) ) ) / ( exp ` ( Re ` x ) ) ) = ( ( cos ` ( Im ` x ) ) + ( _i x. ( sin ` ( Im ` x ) ) ) ) )
103	88, 102	eqtrd 2495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( ( exp ` x ) / ( exp ` ( Re ` x ) ) ) = ( ( cos ` ( Im ` x ) ) + ( _i x. ( sin ` ( Im ` x ) ) ) ) )
104		simpr 459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( exp ` x ) e. RR )
105	96	reefcld 13905	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( exp ` ( Re ` x ) ) e. RR )
106	104, 105, 101	redivcld 10368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( ( exp ` x ) / ( exp ` ( Re ` x ) ) ) e. RR )
107	103, 106	eqeltrrd 2543	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( ( cos ` ( Im ` x ) ) + ( _i x. ( sin ` ( Im ` x ) ) ) ) e. RR )
108	107	reim0d 13140	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( Im ` ( ( cos ` ( Im ` x ) ) + ( _i x. ( sin ` ( Im ` x ) ) ) ) ) = 0 )
109	85, 108	eqtr3d 2497	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( sin ` ( Im ` x ) ) = 0 )
110		sineq0 23080	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( Im ` x ) e. CC -> ( ( sin ` ( Im ` x ) ) = 0 <-> ( ( Im ` x ) / pi ) e. ZZ ) )
111	65, 110	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( ( sin ` ( Im ` x ) ) = 0 <-> ( ( Im ` x ) / pi ) e. ZZ ) )
112	109, 111	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( ( Im ` x ) / pi ) e. ZZ )
113		0z 10871	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 e. ZZ
114		zleltp1 10910	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( Im ` x ) / pi ) e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> ( ( ( Im ` x ) / pi ) <_ 0 <-> ( ( Im ` x ) / pi ) < ( 0 + 1 ) ) )
115	112, 113, 114	sylancl 660	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( ( ( Im ` x ) / pi ) <_ 0 <-> ( ( Im ` x ) / pi ) < ( 0 + 1 ) ) )
116	82, 115	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( ( Im ` x ) / pi ) <_ 0 )
117		df-neg 9799	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- -u 1 = ( 0 - 1 )
118	66	mulm1i 9997	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( -u 1 x. pi ) = -u pi
119	51	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> -u pi < ( Im ` x ) )
120	118, 119	syl5eqbr 4472	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( -u 1 x. pi ) < ( Im ` x ) )
121	74	renegcli 9871	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- -u 1 e. RR
122	121	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> -u 1 e. RR )
123		ltmuldiv 10411	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( -u 1 e. RR /\ ( Im ` x ) e. RR /\ ( pi e. RR /\ 0 < pi ) ) -> ( ( -u 1 x. pi ) < ( Im ` x ) <-> -u 1 < ( ( Im ` x ) / pi ) ) )
124	122, 64, 76, 77, 123	syl112anc 1230	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( ( -u 1 x. pi ) < ( Im ` x ) <-> -u 1 < ( ( Im ` x ) / pi ) ) )
125	120, 124	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> -u 1 < ( ( Im ` x ) / pi ) )
126	117, 125	syl5eqbrr 4473	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( 0 - 1 ) < ( ( Im ` x ) / pi ) )
127		zlem1lt 10911	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 0 e. ZZ /\ ( ( Im ` x ) / pi ) e. ZZ ) -> ( 0 <_ ( ( Im ` x ) / pi ) <-> ( 0 - 1 ) < ( ( Im ` x ) / pi ) ) )
128	113, 112, 127	sylancr 661	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( 0 <_ ( ( Im ` x ) / pi ) <-> ( 0 - 1 ) < ( ( Im ` x ) / pi ) ) )
129	126, 128	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> 0 <_ ( ( Im ` x ) / pi ) )
130	64, 76, 70	redivcld 10368	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( ( Im ` x ) / pi ) e. RR )
131		0re 9585	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 e. RR
132		letri3 9659	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( Im ` x ) / pi ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( ( ( Im ` x ) / pi ) = 0 <-> ( ( ( Im ` x ) / pi ) <_ 0 /\ 0 <_ ( ( Im ` x ) / pi ) ) ) )
133	130, 131, 132	sylancl 660	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( ( ( Im ` x ) / pi ) = 0 <-> ( ( ( Im ` x ) / pi ) <_ 0 /\ 0 <_ ( ( Im ` x ) / pi ) ) ) )
134	116, 129, 133	mpbir2and 920	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( ( Im ` x ) / pi ) = 0 )
135	65, 67, 70, 134	diveq0d 10323	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( Im ` x ) = 0 )
136		reim0b 13034	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. CC -> ( x e. RR <-> ( Im ` x ) = 0 ) )
137	136	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( x e. RR <-> ( Im ` x ) = 0 ) )
138	135, 137	mpbird 232	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> x e. RR )
139	138	rpefcld 13922	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) /\ ( exp ` x ) e. RR ) -> ( exp ` x ) e. RR+ )
140	139	ex 432	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) -> ( ( exp ` x ) e. RR -> ( exp ` x ) e. RR+ ) )
141	4	ellogdm 23188	. . . . . . . . 9 |- ( ( exp ` x ) e. D <-> ( ( exp ` x ) e. CC /\ ( ( exp ` x ) e. RR -> ( exp ` x ) e. RR+ ) ) )
142	63, 140, 141	sylanbrc 662	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) -> ( exp ` x ) e. D )
143		funfvima2 6123	. . . . . . . . 9 |- ( ( Fun log /\ D C_ dom log ) -> ( ( exp ` x ) e. D -> ( log ` ( exp ` x ) ) e. ( log " D ) ) )
144	9, 13, 143	mp2an 670	. . . . . . . 8 |- ( ( exp ` x ) e. D -> ( log ` ( exp ` x ) ) e. ( log " D ) )
145	142, 144	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) -> ( log ` ( exp ` x ) ) e. ( log " D ) )
146	61, 145	eqeltrrd 2543	. . . . . 6 |- ( ( x e. CC /\ ( Im ` x ) e. ( -u pi (,) pi ) ) -> x e. ( log " D ) )
147	47, 146	sylbi 195	. . . . 5 |- ( x e. ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) -> x e. ( log " D ) )
148	147	ssriv 3493	. . . 4 |- ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) C_ ( log " D )
149	45, 148	eqssi 3505	. . 3 |- ( log " D ) = ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )
150		f1oeq3 5791	. . 3 |- ( ( log " D ) = ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) -> ( ( log |` D ) : D -1-1-onto-> ( log " D ) <-> ( log |` D ) : D -1-1-onto-> ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) ) )
151	149, 150	ax-mp 5	. 2 |- ( ( log |` D ) : D -1-1-onto-> ( log " D ) <-> ( log |` D ) : D -1-1-onto-> ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) )
152	7, 151	mpbi 208	1 |- ( log |` D ) : D -1-1-onto-> ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   /\ w3a 971   = wceq 1398   e. wcel 1823   =/= wne 2649   A.wral 2804   \ cdif 3458   C_ wss 3461   {csn 4016   class class class wbr 4439   `'ccnv 4987   dom cdm 4988   ran crn 4989   |` cres 4990   "cima 4991   Fun wfun 5564   Fn wfn 5565   -->wf 5566   -1-1->wf1 5567   -1-1-onto->wf1o 5569   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482   _ici 9483   + caddc 9484   x. cmul 9486   -oocmnf 9615   RR*cxr 9616   < clt 9617   <_ cle 9618   - cmin 9796   -ucneg 9797   / cdiv 10202   ZZcz 10860   RR+crp 11221   (,)cioo 11532   (,]cioc 11533   Recre 13012   Imcim 13013   expce 13879   sincsin 13881   cosccos 13882   picpi 13884   logclog 23108

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-fi 7863  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11321  df-xadd 11322  df-xmul 11323  df-ioo 11536  df-ioc 11537  df-ico 11538  df-icc 11539  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-fl 11910  df-mod 11979  df-seq 12090  df-exp 12149  df-fac 12336  df-bc 12363  df-hash 12388  df-shft 12982  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-sqrt 13150  df-abs 13151  df-limsup 13376  df-clim 13393  df-rlim 13394  df-sum 13591  df-ef 13885  df-sin 13887  df-cos 13888  df-pi 13890  df-struct 14718  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-ress 14723  df-plusg 14797  df-mulr 14798  df-starv 14799  df-sca 14800  df-vsca 14801  df-ip 14802  df-tset 14803  df-ple 14804  df-ds 14806  df-unif 14807  df-hom 14808  df-cco 14809  df-rest 14912  df-topn 14913  df-0g 14931  df-gsum 14932  df-topgen 14933  df-pt 14934  df-prds 14937  df-xrs 14991  df-qtop 14996  df-imas 14997  df-xps 14999  df-mre 15075  df-mrc 15076  df-acs 15078  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-submnd 16166  df-mulg 16259  df-cntz 16554  df-cmn 16999  df-psmet 18606  df-xmet 18607  df-met 18608  df-bl 18609  df-mopn 18610  df-fbas 18611  df-fg 18612  df-cnfld 18616  df-top 19566  df-bases 19568  df-topon 19569  df-topsp 19570  df-cld 19687  df-ntr 19688  df-cls 19689  df-nei 19766  df-lp 19804  df-perf 19805  df-cn 19895  df-cnp 19896  df-haus 19983  df-tx 20229  df-hmeo 20422  df-fil 20513  df-fm 20605  df-flim 20606  df-flf 20607  df-xms 20989  df-ms 20990  df-tms 20991  df-cncf 21548  df-limc 22436  df-dv 22437  df-log 23110

This theorem is referenced by:  efopnlem2  23206