Theorem logexprlim 20962

Description: The sum sum_ n <_ x , log ^ N ( x / n ) has the asymptotic expansion ( N ! ) x + o ( x ). (More precisely, the omitted term has order O ( log ^ N ( x ) / x ).) (Contributed by Mario Carneiro, 22-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
logexprlim	|- ( N e. NN0 -> ( x e. RR+ |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) / x ) ) ~~> r ( ! ` N ) )

Distinct variable group:   x, n, N

Proof of Theorem logexprlim

Dummy variables k y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfid 11267	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ x e. RR+ ) -> ( 1 ... ( |_ ` x ) ) e. Fin )
2		simpr 448	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ x e. RR+ ) -> x e. RR+ )
3		elfznn 11036	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> n e. NN )
4	3	nnrpd 10603	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> n e. RR+ )
5		rpdivcl 10590	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. RR+ /\ n e. RR+ ) -> ( x / n ) e. RR+ )
6	2, 4, 5	syl2an 464	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN0 /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x / n ) e. RR+ )
7	6	relogcld 20471	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN0 /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( log ` ( x / n ) ) e. RR )
8		simpll 731	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN0 /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> N e. NN0 )
9	7, 8	reexpcld 11495	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN0 /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) e. RR )
10	1, 9	fsumrecl 12483	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ x e. RR+ ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) e. RR )
11		relogcl 20426	. . . . . . 7 |- ( x e. RR+ -> ( log ` x ) e. RR )
12		id 20	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> N e. NN0 )
13		reexpcl 11353	. . . . . . 7 |- ( ( ( log ` x ) e. RR /\ N e. NN0 ) -> ( ( log ` x ) ^ N ) e. RR )
14	11, 12, 13	syl2anr 465	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ x e. RR+ ) -> ( ( log ` x ) ^ N ) e. RR )
15		faccl 11531	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> ( ! ` N ) e. NN )
16	15	adantr 452	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ x e. RR+ ) -> ( ! ` N ) e. NN )
17	16	nnred 9971	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ x e. RR+ ) -> ( ! ` N ) e. RR )
18		fzfid 11267	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ x e. RR+ ) -> ( 0 ... N ) e. Fin )
19	11	adantl 453	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ x e. RR+ ) -> ( log ` x ) e. RR )
20		elfznn0 11039	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( 0 ... N ) -> k e. NN0 )
21		reexpcl 11353	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( log ` x ) e. RR /\ k e. NN0 ) -> ( ( log ` x ) ^ k ) e. RR )
22	19, 20, 21	syl2an 464	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN0 /\ x e. RR+ ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( log ` x ) ^ k ) e. RR )
23	20	adantl 453	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN0 /\ x e. RR+ ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> k e. NN0 )
24		faccl 11531	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN0 -> ( ! ` k ) e. NN )
25	23, 24	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN0 /\ x e. RR+ ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ! ` k ) e. NN )
26	22, 25	nndivred 10004	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN0 /\ x e. RR+ ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( ( log ` x ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) e. RR )
27	18, 26	fsumrecl 12483	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ x e. RR+ ) -> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` x ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) e. RR )
28	17, 27	remulcld 9072	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ x e. RR+ ) -> ( ( ! ` N ) x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` x ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) e. RR )
29	14, 28	resubcld 9421	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ x e. RR+ ) -> ( ( ( log ` x ) ^ N ) - ( ( ! ` N ) x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` x ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) e. RR )
30	10, 29	resubcld 9421	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ x e. RR+ ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) - ( ( ( log ` x ) ^ N ) - ( ( ! ` N ) x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` x ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) ) e. RR )
31	30, 2	rerpdivcld 10631	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ x e. RR+ ) -> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) - ( ( ( log ` x ) ^ N ) - ( ( ! ` N ) x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` x ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) ) / x ) e. RR )
32		rerpdivcl 10595	. . . 4 |- ( ( ( ( ( log ` x ) ^ N ) - ( ( ! ` N ) x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` x ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) e. RR /\ x e. RR+ ) -> ( ( ( ( log ` x ) ^ N ) - ( ( ! ` N ) x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` x ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) / x ) e. RR )
33	29, 32	sylancom 649	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ x e. RR+ ) -> ( ( ( ( log ` x ) ^ N ) - ( ( ! ` N ) x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` x ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) / x ) e. RR )
34		1re 9046	. . . . 5 |- 1 e. RR
35	34	a1i 11	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> 1 e. RR )
36	15	nncnd 9972	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( ! ` N ) e. CC )
37		simpl 444	. . . . . . . . 9 |- ( ( k = N /\ x e. RR+ ) -> k = N )
38	37	oveq2d 6056	. . . . . . . 8 |- ( ( k = N /\ x e. RR+ ) -> ( ( log ` x ) ^ k ) = ( ( log ` x ) ^ N ) )
39	38	oveq1d 6055	. . . . . . 7 |- ( ( k = N /\ x e. RR+ ) -> ( ( ( log ` x ) ^ k ) / x ) = ( ( ( log ` x ) ^ N ) / x ) )
40	39	mpteq2dva 4255	. . . . . 6 |- ( k = N -> ( x e. RR+ |-> ( ( ( log ` x ) ^ k ) / x ) ) = ( x e. RR+ |-> ( ( ( log ` x ) ^ N ) / x ) ) )
41	40	breq1d 4182	. . . . 5 |- ( k = N -> ( ( x e. RR+ |-> ( ( ( log ` x ) ^ k ) / x ) ) ~~> r 0 <-> ( x e. RR+ |-> ( ( ( log ` x ) ^ N ) / x ) ) ~~> r 0 ) )
42	11	recnd 9070	. . . . . . . . 9 |- ( x e. RR+ -> ( log ` x ) e. CC )
43		id 20	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN0 -> k e. NN0 )
44		cxpexp 20512	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( log ` x ) e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( ( log ` x ) ^ c k ) = ( ( log ` x ) ^ k ) )
45	42, 43, 44	syl2anr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. NN0 /\ x e. RR+ ) -> ( ( log ` x ) ^ c k ) = ( ( log ` x ) ^ k ) )
46		rpcn 10576	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR+ -> x e. CC )
47	46	adantl 453	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. NN0 /\ x e. RR+ ) -> x e. CC )
48	47	cxp1d 20550	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. NN0 /\ x e. RR+ ) -> ( x ^ c 1 ) = x )
49	45, 48	oveq12d 6058	. . . . . . 7 |- ( ( k e. NN0 /\ x e. RR+ ) -> ( ( ( log ` x ) ^ c k ) / ( x ^ c 1 ) ) = ( ( ( log ` x ) ^ k ) / x ) )
50	49	mpteq2dva 4255	. . . . . 6 |- ( k e. NN0 -> ( x e. RR+ |-> ( ( ( log ` x ) ^ c k ) / ( x ^ c 1 ) ) ) = ( x e. RR+ |-> ( ( ( log ` x ) ^ k ) / x ) ) )
51		nn0cn 10187	. . . . . . 7 |- ( k e. NN0 -> k e. CC )
52		1rp 10572	. . . . . . 7 |- 1 e. RR+
53		cxploglim2 20770	. . . . . . 7 |- ( ( k e. CC /\ 1 e. RR+ ) -> ( x e. RR+ |-> ( ( ( log ` x ) ^ c k ) / ( x ^ c 1 ) ) ) ~~> r 0 )
54	51, 52, 53	sylancl 644	. . . . . 6 |- ( k e. NN0 -> ( x e. RR+ |-> ( ( ( log ` x ) ^ c k ) / ( x ^ c 1 ) ) ) ~~> r 0 )
55	50, 54	eqbrtrrd 4194	. . . . 5 |- ( k e. NN0 -> ( x e. RR+ |-> ( ( ( log ` x ) ^ k ) / x ) ) ~~> r 0 )
56	41, 55	vtoclga 2977	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( x e. RR+ |-> ( ( ( log ` x ) ^ N ) / x ) ) ~~> r 0 )
57		rerpdivcl 10595	. . . . . 6 |- ( ( ( ( log ` x ) ^ N ) e. RR /\ x e. RR+ ) -> ( ( ( log ` x ) ^ N ) / x ) e. RR )
58	14, 57	sylancom 649	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ x e. RR+ ) -> ( ( ( log ` x ) ^ N ) / x ) e. RR )
59	58	recnd 9070	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ x e. RR+ ) -> ( ( ( log ` x ) ^ N ) / x ) e. CC )
60	10	recnd 9070	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ x e. RR+ ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) e. CC )
61	14	recnd 9070	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ x e. RR+ ) -> ( ( log ` x ) ^ N ) e. CC )
62	36	adantr 452	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ x e. RR+ ) -> ( ! ` N ) e. CC )
63	27	recnd 9070	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ x e. RR+ ) -> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` x ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) e. CC )
64	62, 63	mulcld 9064	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ x e. RR+ ) -> ( ( ! ` N ) x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` x ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) e. CC )
65	61, 64	subcld 9367	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ x e. RR+ ) -> ( ( ( log ` x ) ^ N ) - ( ( ! ` N ) x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` x ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) e. CC )
66	60, 65	subcld 9367	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ x e. RR+ ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) - ( ( ( log ` x ) ^ N ) - ( ( ! ` N ) x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` x ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) ) e. CC )
67		rpcnne0 10585	. . . . . . 7 |- ( x e. RR+ -> ( x e. CC /\ x =/= 0 ) )
68	67	adantl 453	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ x e. RR+ ) -> ( x e. CC /\ x =/= 0 ) )
69	68	simpld 446	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ x e. RR+ ) -> x e. CC )
70	68	simprd 450	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ x e. RR+ ) -> x =/= 0 )
71	66, 69, 70	divcld 9746	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ x e. RR+ ) -> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) - ( ( ( log ` x ) ^ N ) - ( ( ! ` N ) x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` x ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) ) / x ) e. CC )
72	71	adantrr 698	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) - ( ( ( log ` x ) ^ N ) - ( ( ! ` N ) x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` x ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) ) / x ) e. CC )
73	15	adantr 452	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( ! ` N ) e. NN )
74	73	nncnd 9972	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( ! ` N ) e. CC )
75	72, 74	subcld 9367	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) - ( ( ( log ` x ) ^ N ) - ( ( ! ` N ) x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` x ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) ) / x ) - ( ! ` N ) ) e. CC )
76	75	abscld 12193	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( abs ` ( ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) - ( ( ( log ` x ) ^ N ) - ( ( ! ` N ) x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` x ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) ) / x ) - ( ! ` N ) ) ) e. RR )
77	58	adantrr 698	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( ( ( log ` x ) ^ N ) / x ) e. RR )
78	77	recnd 9070	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( ( ( log ` x ) ^ N ) / x ) e. CC )
79	78	abscld 12193	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( abs ` ( ( ( log ` x ) ^ N ) / x ) ) e. RR )
80		ioorp 10944	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 (,) +oo ) = RR+
81	80	eqcomi 2408	. . . . . . . . 9 |- RR+ = ( 0 (,) +oo )
82		nnuz 10477	. . . . . . . . 9 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
83		1z 10267	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. ZZ
84	83	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> 1 e. ZZ )
85	34	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> 1 e. RR )
86		1nn0 10193	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. NN0
87	34, 86	nn0addge1i 10224	. . . . . . . . . 10 |- 1 <_ ( 1 + 1 )
88	87	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> 1 <_ ( 1 + 1 ) )
89		0re 9047	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. RR
90	89	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> 0 e. RR )
91	73	adantr 452	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y e. RR+ ) -> ( ! ` N ) e. NN )
92	91	nnred 9971	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y e. RR+ ) -> ( ! ` N ) e. RR )
93		rpre 10574	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. RR+ -> y e. RR )
94	93	adantl 453	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y e. RR+ ) -> y e. RR )
95		fzfid 11267	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y e. RR+ ) -> ( 0 ... N ) e. Fin )
96		simprl 733	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> x e. RR+ )
97		rpdivcl 10590	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. RR+ /\ y e. RR+ ) -> ( x / y ) e. RR+ )
98	96, 97	sylan 458	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y e. RR+ ) -> ( x / y ) e. RR+ )
99	98	relogcld 20471	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y e. RR+ ) -> ( log ` ( x / y ) ) e. RR )
100		reexpcl 11353	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( log ` ( x / y ) ) e. RR /\ k e. NN0 ) -> ( ( log ` ( x / y ) ) ^ k ) e. RR )
101	99, 20, 100	syl2an 464	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y e. RR+ ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( log ` ( x / y ) ) ^ k ) e. RR )
102	20	adantl 453	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y e. RR+ ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> k e. NN0 )
103	102, 24	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y e. RR+ ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ! ` k ) e. NN )
104	101, 103	nndivred 10004	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y e. RR+ ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( ( log ` ( x / y ) ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) e. RR )
105	95, 104	fsumrecl 12483	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y e. RR+ ) -> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` ( x / y ) ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) e. RR )
106	94, 105	remulcld 9072	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y e. RR+ ) -> ( y x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` ( x / y ) ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) e. RR )
107	92, 106	remulcld 9072	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y e. RR+ ) -> ( ( ! ` N ) x. ( y x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` ( x / y ) ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) e. RR )
108		simpll 731	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y e. RR+ ) -> N e. NN0 )
109	99, 108	reexpcld 11495	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y e. RR+ ) -> ( ( log ` ( x / y ) ) ^ N ) e. RR )
110		nnrp 10577	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. NN -> y e. RR+ )
111	110, 109	sylan2 461	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y e. NN ) -> ( ( log ` ( x / y ) ) ^ N ) e. RR )
112		reex 9037	. . . . . . . . . . . . 13 |- RR e. _V
113	112	prid1 3872	. . . . . . . . . . . 12 |- RR e. { RR , CC }
114	113	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> RR e. { RR , CC } )
115	106	recnd 9070	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y e. RR+ ) -> ( y x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` ( x / y ) ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) e. CC )
116	109, 91	nndivred 10004	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y e. RR+ ) -> ( ( ( log ` ( x / y ) ) ^ N ) / ( ! ` N ) ) e. RR )
117		simpl 444	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> N e. NN0 )
118		advlogexp 20499	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. RR+ /\ N e. NN0 ) -> ( RR _D ( y e. RR+ |-> ( y x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` ( x / y ) ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) ) = ( y e. RR+ |-> ( ( ( log ` ( x / y ) ) ^ N ) / ( ! ` N ) ) ) )
119	96, 117, 118	syl2anc 643	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( RR _D ( y e. RR+ |-> ( y x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` ( x / y ) ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) ) = ( y e. RR+ |-> ( ( ( log ` ( x / y ) ) ^ N ) / ( ! ` N ) ) ) )
120	114, 115, 116, 119, 74	dvmptcmul 19803	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( RR _D ( y e. RR+ |-> ( ( ! ` N ) x. ( y x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` ( x / y ) ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) ) ) = ( y e. RR+ |-> ( ( ! ` N ) x. ( ( ( log ` ( x / y ) ) ^ N ) / ( ! ` N ) ) ) ) )
121	109	recnd 9070	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y e. RR+ ) -> ( ( log ` ( x / y ) ) ^ N ) e. CC )
122	74	adantr 452	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y e. RR+ ) -> ( ! ` N ) e. CC )
123	73	nnne0d 10000	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( ! ` N ) =/= 0 )
124	123	adantr 452	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y e. RR+ ) -> ( ! ` N ) =/= 0 )
125	121, 122, 124	divcan2d 9748	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y e. RR+ ) -> ( ( ! ` N ) x. ( ( ( log ` ( x / y ) ) ^ N ) / ( ! ` N ) ) ) = ( ( log ` ( x / y ) ) ^ N ) )
126	125	mpteq2dva 4255	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( y e. RR+ |-> ( ( ! ` N ) x. ( ( ( log ` ( x / y ) ) ^ N ) / ( ! ` N ) ) ) ) = ( y e. RR+ |-> ( ( log ` ( x / y ) ) ^ N ) ) )
127	120, 126	eqtrd 2436	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( RR _D ( y e. RR+ |-> ( ( ! ` N ) x. ( y x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` ( x / y ) ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) ) ) = ( y e. RR+ |-> ( ( log ` ( x / y ) ) ^ N ) ) )
128		oveq2 6048	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = n -> ( x / y ) = ( x / n ) )
129	128	fveq2d 5691	. . . . . . . . . 10 |- ( y = n -> ( log ` ( x / y ) ) = ( log ` ( x / n ) ) )
130	129	oveq1d 6055	. . . . . . . . 9 |- ( y = n -> ( ( log ` ( x / y ) ) ^ N ) = ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) )
131	96	rpxrd 10605	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> x e. RR* )
132		simp1rl 1022	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( y e. RR+ /\ n e. RR+ ) /\ ( 1 <_ y /\ y <_ n /\ n <_ x ) ) -> x e. RR+ )
133		simp2r 984	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( y e. RR+ /\ n e. RR+ ) /\ ( 1 <_ y /\ y <_ n /\ n <_ x ) ) -> n e. RR+ )
134	132, 133	rpdivcld 10621	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( y e. RR+ /\ n e. RR+ ) /\ ( 1 <_ y /\ y <_ n /\ n <_ x ) ) -> ( x / n ) e. RR+ )
135	134	relogcld 20471	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( y e. RR+ /\ n e. RR+ ) /\ ( 1 <_ y /\ y <_ n /\ n <_ x ) ) -> ( log ` ( x / n ) ) e. RR )
136		simp2l 983	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( y e. RR+ /\ n e. RR+ ) /\ ( 1 <_ y /\ y <_ n /\ n <_ x ) ) -> y e. RR+ )
137	132, 136	rpdivcld 10621	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( y e. RR+ /\ n e. RR+ ) /\ ( 1 <_ y /\ y <_ n /\ n <_ x ) ) -> ( x / y ) e. RR+ )
138	137	relogcld 20471	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( y e. RR+ /\ n e. RR+ ) /\ ( 1 <_ y /\ y <_ n /\ n <_ x ) ) -> ( log ` ( x / y ) ) e. RR )
139		simp1l 981	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( y e. RR+ /\ n e. RR+ ) /\ ( 1 <_ y /\ y <_ n /\ n <_ x ) ) -> N e. NN0 )
140		log1 20433	. . . . . . . . . . 11 |- ( log ` 1 ) = 0
141	133	rpcnd 10606	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( y e. RR+ /\ n e. RR+ ) /\ ( 1 <_ y /\ y <_ n /\ n <_ x ) ) -> n e. CC )
142	141	mulid2d 9062	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( y e. RR+ /\ n e. RR+ ) /\ ( 1 <_ y /\ y <_ n /\ n <_ x ) ) -> ( 1 x. n ) = n )
143		simp33 995	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( y e. RR+ /\ n e. RR+ ) /\ ( 1 <_ y /\ y <_ n /\ n <_ x ) ) -> n <_ x )
144	142, 143	eqbrtrd 4192	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( y e. RR+ /\ n e. RR+ ) /\ ( 1 <_ y /\ y <_ n /\ n <_ x ) ) -> ( 1 x. n ) <_ x )
145	34	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( y e. RR+ /\ n e. RR+ ) /\ ( 1 <_ y /\ y <_ n /\ n <_ x ) ) -> 1 e. RR )
146	132	rpred 10604	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( y e. RR+ /\ n e. RR+ ) /\ ( 1 <_ y /\ y <_ n /\ n <_ x ) ) -> x e. RR )
147	145, 146, 133	lemuldivd 10649	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( y e. RR+ /\ n e. RR+ ) /\ ( 1 <_ y /\ y <_ n /\ n <_ x ) ) -> ( ( 1 x. n ) <_ x <-> 1 <_ ( x / n ) ) )
148	144, 147	mpbid 202	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( y e. RR+ /\ n e. RR+ ) /\ ( 1 <_ y /\ y <_ n /\ n <_ x ) ) -> 1 <_ ( x / n ) )
149		logleb 20451	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1 e. RR+ /\ ( x / n ) e. RR+ ) -> ( 1 <_ ( x / n ) <-> ( log ` 1 ) <_ ( log ` ( x / n ) ) ) )
150	52, 134, 149	sylancr 645	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( y e. RR+ /\ n e. RR+ ) /\ ( 1 <_ y /\ y <_ n /\ n <_ x ) ) -> ( 1 <_ ( x / n ) <-> ( log ` 1 ) <_ ( log ` ( x / n ) ) ) )
151	148, 150	mpbid 202	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( y e. RR+ /\ n e. RR+ ) /\ ( 1 <_ y /\ y <_ n /\ n <_ x ) ) -> ( log ` 1 ) <_ ( log ` ( x / n ) ) )
152	140, 151	syl5eqbrr 4206	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( y e. RR+ /\ n e. RR+ ) /\ ( 1 <_ y /\ y <_ n /\ n <_ x ) ) -> 0 <_ ( log ` ( x / n ) ) )
153		simp32 994	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( y e. RR+ /\ n e. RR+ ) /\ ( 1 <_ y /\ y <_ n /\ n <_ x ) ) -> y <_ n )
154	136, 133, 132	lediv2d 10628	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( y e. RR+ /\ n e. RR+ ) /\ ( 1 <_ y /\ y <_ n /\ n <_ x ) ) -> ( y <_ n <-> ( x / n ) <_ ( x / y ) ) )
155	153, 154	mpbid 202	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( y e. RR+ /\ n e. RR+ ) /\ ( 1 <_ y /\ y <_ n /\ n <_ x ) ) -> ( x / n ) <_ ( x / y ) )
156	134, 137	logled 20475	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( y e. RR+ /\ n e. RR+ ) /\ ( 1 <_ y /\ y <_ n /\ n <_ x ) ) -> ( ( x / n ) <_ ( x / y ) <-> ( log ` ( x / n ) ) <_ ( log ` ( x / y ) ) ) )
157	155, 156	mpbid 202	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( y e. RR+ /\ n e. RR+ ) /\ ( 1 <_ y /\ y <_ n /\ n <_ x ) ) -> ( log ` ( x / n ) ) <_ ( log ` ( x / y ) ) )
158		leexp1a 11393	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( log ` ( x / n ) ) e. RR /\ ( log ` ( x / y ) ) e. RR /\ N e. NN0 ) /\ ( 0 <_ ( log ` ( x / n ) ) /\ ( log ` ( x / n ) ) <_ ( log ` ( x / y ) ) ) ) -> ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) <_ ( ( log ` ( x / y ) ) ^ N ) )
159	135, 138, 139, 152, 157, 158	syl32anc 1192	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( y e. RR+ /\ n e. RR+ ) /\ ( 1 <_ y /\ y <_ n /\ n <_ x ) ) -> ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) <_ ( ( log ` ( x / y ) ) ^ N ) )
160		eqid 2404	. . . . . . . . 9 |- ( y e. RR+ |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) - ( ( ! ` N ) x. ( y x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` ( x / y ) ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) ) ) = ( y e. RR+ |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) - ( ( ! ` N ) x. ( y x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` ( x / y ) ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) ) )
161	98	3ad2antr1 1122	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( y e. RR+ /\ 1 <_ y /\ y <_ x ) ) -> ( x / y ) e. RR+ )
162	161	relogcld 20471	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( y e. RR+ /\ 1 <_ y /\ y <_ x ) ) -> ( log ` ( x / y ) ) e. RR )
163		simpll 731	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( y e. RR+ /\ 1 <_ y /\ y <_ x ) ) -> N e. NN0 )
164		rpcn 10576	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. RR+ -> y e. CC )
165	164	adantl 453	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y e. RR+ ) -> y e. CC )
166	165	3ad2antr1 1122	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( y e. RR+ /\ 1 <_ y /\ y <_ x ) ) -> y e. CC )
167	166	mulid2d 9062	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( y e. RR+ /\ 1 <_ y /\ y <_ x ) ) -> ( 1 x. y ) = y )
168		simpr3 965	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( y e. RR+ /\ 1 <_ y /\ y <_ x ) ) -> y <_ x )
169	167, 168	eqbrtrd 4192	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( y e. RR+ /\ 1 <_ y /\ y <_ x ) ) -> ( 1 x. y ) <_ x )
170	34	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( y e. RR+ /\ 1 <_ y /\ y <_ x ) ) -> 1 e. RR )
171	96	rpred 10604	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> x e. RR )
172	171	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( y e. RR+ /\ 1 <_ y /\ y <_ x ) ) -> x e. RR )
173		simpr1 963	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( y e. RR+ /\ 1 <_ y /\ y <_ x ) ) -> y e. RR+ )
174	170, 172, 173	lemuldivd 10649	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( y e. RR+ /\ 1 <_ y /\ y <_ x ) ) -> ( ( 1 x. y ) <_ x <-> 1 <_ ( x / y ) ) )
175	169, 174	mpbid 202	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( y e. RR+ /\ 1 <_ y /\ y <_ x ) ) -> 1 <_ ( x / y ) )
176		logleb 20451	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1 e. RR+ /\ ( x / y ) e. RR+ ) -> ( 1 <_ ( x / y ) <-> ( log ` 1 ) <_ ( log ` ( x / y ) ) ) )
177	52, 161, 176	sylancr 645	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( y e. RR+ /\ 1 <_ y /\ y <_ x ) ) -> ( 1 <_ ( x / y ) <-> ( log ` 1 ) <_ ( log ` ( x / y ) ) ) )
178	175, 177	mpbid 202	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( y e. RR+ /\ 1 <_ y /\ y <_ x ) ) -> ( log ` 1 ) <_ ( log ` ( x / y ) ) )
179	140, 178	syl5eqbrr 4206	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( y e. RR+ /\ 1 <_ y /\ y <_ x ) ) -> 0 <_ ( log ` ( x / y ) ) )
180	162, 163, 179	expge0d 11496	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( y e. RR+ /\ 1 <_ y /\ y <_ x ) ) -> 0 <_ ( ( log ` ( x / y ) ) ^ N ) )
181	52	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> 1 e. RR+ )
182		1le1 9606	. . . . . . . . . 10 |- 1 <_ 1
183	182	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> 1 <_ 1 )
184		simprr 734	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> 1 <_ x )
185	171	leidd 9549	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> x <_ x )
186	81, 82, 84, 85, 88, 90, 107, 109, 111, 127, 130, 131, 159, 160, 180, 181, 96, 183, 184, 185	dvfsumlem4 19866	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( abs ` ( ( ( y e. RR+ |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) - ( ( ! ` N ) x. ( y x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` ( x / y ) ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) ) ) ` x ) - ( ( y e. RR+ |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) - ( ( ! ` N ) x. ( y x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` ( x / y ) ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) ) ) ` 1 ) ) ) <_ [_ 1 / y ]_ ( ( log ` ( x / y ) ) ^ N ) )
187		fzfid 11267	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` x ) ) e. Fin )
188	96, 4, 5	syl2an 464	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x / n ) e. RR+ )
189	188	relogcld 20471	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( log ` ( x / n ) ) e. RR )
190		simpll 731	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> N e. NN0 )
191	189, 190	reexpcld 11495	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) e. RR )
192	187, 191	fsumrecl 12483	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) e. RR )
193	192	recnd 9070	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) e. CC )
194	96	rpcnd 10606	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> x e. CC )
195	74, 194	mulcld 9064	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( ( ! ` N ) x. x ) e. CC )
196	11	ad2antrl 709	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( log ` x ) e. RR )
197	196	recnd 9070	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( log ` x ) e. CC )
198	197, 117	expcld 11478	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( ( log ` x ) ^ N ) e. CC )
199		fzfid 11267	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( 0 ... N ) e. Fin )
200	196, 20, 21	syl2an 464	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( log ` x ) ^ k ) e. RR )
201	20	adantl 453	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> k e. NN0 )
202	201, 24	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ! ` k ) e. NN )
203	200, 202	nndivred 10004	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( ( log ` x ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) e. RR )
204	203	recnd 9070	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( ( log ` x ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) e. CC )
205	199, 204	fsumcl 12482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` x ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) e. CC )
206	74, 205	mulcld 9064	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( ( ! ` N ) x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` x ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) e. CC )
207	198, 206	subcld 9367	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( ( ( log ` x ) ^ N ) - ( ( ! ` N ) x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` x ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) e. CC )
208	193, 195, 207	sub32d 9399	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) - ( ( ! ` N ) x. x ) ) - ( ( ( log ` x ) ^ N ) - ( ( ! ` N ) x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` x ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) ) = ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) - ( ( ( log ` x ) ^ N ) - ( ( ! ` N ) x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` x ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) ) - ( ( ! ` N ) x. x ) ) )
209		eqidd 2405	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( y e. RR+ |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) - ( ( ! ` N ) x. ( y x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` ( x / y ) ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) ) ) = ( y e. RR+ |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) - ( ( ! ` N ) x. ( y x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` ( x / y ) ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) ) ) )
210		simpr 448	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y = x ) -> y = x )
211	210	fveq2d 5691	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y = x ) -> ( |_ ` y ) = ( |_ ` x ) )
212	211	oveq2d 6056	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y = x ) -> ( 1 ... ( |_ ` y ) ) = ( 1 ... ( |_ ` x ) ) )
213	212	sumeq1d 12450	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y = x ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) = sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) )
214		oveq2 6048	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( y = x -> ( x / y ) = ( x / x ) )
215	67	ad2antrl 709	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( x e. CC /\ x =/= 0 ) )
216		divid 9661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( x e. CC /\ x =/= 0 ) -> ( x / x ) = 1 )
217	215, 216	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( x / x ) = 1 )
218	214, 217	sylan9eqr 2458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y = x ) -> ( x / y ) = 1 )
219	218	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y = x ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( x / y ) = 1 )
220	219	fveq2d 5691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y = x ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( log ` ( x / y ) ) = ( log ` 1 ) )
221	220, 140	syl6eq 2452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y = x ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( log ` ( x / y ) ) = 0 )
222	221	oveq1d 6055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y = x ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( log ` ( x / y ) ) ^ k ) = ( 0 ^ k ) )
223	222	oveq1d 6055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y = x ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( ( log ` ( x / y ) ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) = ( ( 0 ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
224	223	sumeq2dv 12452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y = x ) -> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` ( x / y ) ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) = sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( 0 ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
225		nn0uz 10476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
226	117, 225	syl6eleq 2494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> N e. ( ZZ>= ` 0 ) )
227		eluzfz1 11020	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( N e. ( ZZ>= ` 0 ) -> 0 e. ( 0 ... N ) )
228	226, 227	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> 0 e. ( 0 ... N ) )
229	228	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y = x ) -> 0 e. ( 0 ... N ) )
230	229	snssd 3903	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y = x ) -> { 0 } C_ ( 0 ... N ) )
231		elsni 3798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( k e. { 0 } -> k = 0 )
232	231	adantl 453	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y = x ) /\ k e. { 0 } ) -> k = 0 )
233		oveq2 6048	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( k = 0 -> ( 0 ^ k ) = ( 0 ^ 0 ) )
234		0cn 9040	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- 0 e. CC
235		exp0 11341	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( 0 e. CC -> ( 0 ^ 0 ) = 1 )
236	234, 235	ax-mp 8	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( 0 ^ 0 ) = 1
237	233, 236	syl6eq 2452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( k = 0 -> ( 0 ^ k ) = 1 )
238		fveq2 5687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( k = 0 -> ( ! ` k ) = ( ! ` 0 ) )
239		fac0 11524	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ! ` 0 ) = 1
240	238, 239	syl6eq 2452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( k = 0 -> ( ! ` k ) = 1 )
241	237, 240	oveq12d 6058	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( k = 0 -> ( ( 0 ^ k ) / ( ! ` k ) ) = ( 1 / 1 ) )
242		ax-1cn 9004	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- 1 e. CC
243	242	div1i 9698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( 1 / 1 ) = 1
244	241, 243	syl6eq 2452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( k = 0 -> ( ( 0 ^ k ) / ( ! ` k ) ) = 1 )
245	232, 244	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y = x ) /\ k e. { 0 } ) -> ( ( 0 ^ k ) / ( ! ` k ) ) = 1 )
246	245, 242	syl6eqel 2492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y = x ) /\ k e. { 0 } ) -> ( ( 0 ^ k ) / ( ! ` k ) ) e. CC )
247		eldifi 3429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( k e. ( ( 0 ... N ) \ { 0 } ) -> k e. ( 0 ... N ) )
248	247	adantl 453	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y = x ) /\ k e. ( ( 0 ... N ) \ { 0 } ) ) -> k e. ( 0 ... N ) )
249	248, 20	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y = x ) /\ k e. ( ( 0 ... N ) \ { 0 } ) ) -> k e. NN0 )
250		eldifsni 3888	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( k e. ( ( 0 ... N ) \ { 0 } ) -> k =/= 0 )
251	250	adantl 453	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y = x ) /\ k e. ( ( 0 ... N ) \ { 0 } ) ) -> k =/= 0 )
252		eldifsn 3887	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( k e. ( NN0 \ { 0 } ) <-> ( k e. NN0 /\ k =/= 0 ) )
253	249, 251, 252	sylanbrc 646	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y = x ) /\ k e. ( ( 0 ... N ) \ { 0 } ) ) -> k e. ( NN0 \ { 0 } ) )
254		dfn2 10190	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- NN = ( NN0 \ { 0 } )
255	253, 254	syl6eleqr 2495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y = x ) /\ k e. ( ( 0 ... N ) \ { 0 } ) ) -> k e. NN )
256	255	0expd 11494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y = x ) /\ k e. ( ( 0 ... N ) \ { 0 } ) ) -> ( 0 ^ k ) = 0 )
257	256	oveq1d 6055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y = x ) /\ k e. ( ( 0 ... N ) \ { 0 } ) ) -> ( ( 0 ^ k ) / ( ! ` k ) ) = ( 0 / ( ! ` k ) ) )
258	249, 24	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y = x ) /\ k e. ( ( 0 ... N ) \ { 0 } ) ) -> ( ! ` k ) e. NN )
259	258	nncnd 9972	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y = x ) /\ k e. ( ( 0 ... N ) \ { 0 } ) ) -> ( ! ` k ) e. CC )
260	258	nnne0d 10000	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y = x ) /\ k e. ( ( 0 ... N ) \ { 0 } ) ) -> ( ! ` k ) =/= 0 )
261	259, 260	div0d 9745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y = x ) /\ k e. ( ( 0 ... N ) \ { 0 } ) ) -> ( 0 / ( ! ` k ) ) = 0 )
262	257, 261	eqtrd 2436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y = x ) /\ k e. ( ( 0 ... N ) \ { 0 } ) ) -> ( ( 0 ^ k ) / ( ! ` k ) ) = 0 )
263		fzfid 11267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y = x ) -> ( 0 ... N ) e. Fin )
264	230, 246, 262, 263	fsumss 12474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y = x ) -> sum_ k e. { 0 } ( ( 0 ^ k ) / ( ! ` k ) ) = sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( 0 ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
265	224, 264	eqtr4d 2439	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y = x ) -> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` ( x / y ) ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) = sum_ k e. { 0 } ( ( 0 ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
266	244	sumsn 12489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 0 e. CC /\ 1 e. CC ) -> sum_ k e. { 0 } ( ( 0 ^ k ) / ( ! ` k ) ) = 1 )
267	234, 242, 266	mp2an 654	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- sum_ k e. { 0 } ( ( 0 ^ k ) / ( ! ` k ) ) = 1
268	265, 267	syl6eq 2452	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y = x ) -> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` ( x / y ) ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) = 1 )
269	210, 268	oveq12d 6058	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y = x ) -> ( y x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` ( x / y ) ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) = ( x x. 1 ) )
270	194	mulid1d 9061	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( x x. 1 ) = x )
271	270	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y = x ) -> ( x x. 1 ) = x )
272	269, 271	eqtrd 2436	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y = x ) -> ( y x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` ( x / y ) ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) = x )
273	272	oveq2d 6056	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y = x ) -> ( ( ! ` N ) x. ( y x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` ( x / y ) ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) = ( ( ! ` N ) x. x ) )
274	213, 273	oveq12d 6058	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y = x ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) - ( ( ! ` N ) x. ( y x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` ( x / y ) ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) ) = ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) - ( ( ! ` N ) x. x ) ) )
275		ovex 6065	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) - ( ( ! ` N ) x. x ) ) e. _V
276	275	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) - ( ( ! ` N ) x. x ) ) e. _V )
277	209, 274, 96, 276	fvmptd 5769	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( ( y e. RR+ |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) - ( ( ! ` N ) x. ( y x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` ( x / y ) ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) ) ) ` x ) = ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) - ( ( ! ` N ) x. x ) ) )
278		simpr 448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y = 1 ) -> y = 1 )
279	278	fveq2d 5691	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y = 1 ) -> ( |_ ` y ) = ( |_ ` 1 ) )
280		flid 11171	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 1 e. ZZ -> ( |_ ` 1 ) = 1 )
281	83, 280	ax-mp 8	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( |_ ` 1 ) = 1
282	279, 281	syl6eq 2452	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y = 1 ) -> ( |_ ` y ) = 1 )
283	282	oveq2d 6056	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y = 1 ) -> ( 1 ... ( |_ ` y ) ) = ( 1 ... 1 ) )
284	283	sumeq1d 12450	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y = 1 ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) = sum_ n e. ( 1 ... 1 ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) )
285	194	div1d 9738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( x / 1 ) = x )
286	285	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y = 1 ) -> ( x / 1 ) = x )
287	286	fveq2d 5691	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y = 1 ) -> ( log ` ( x / 1 ) ) = ( log ` x ) )
288	287	oveq1d 6055	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y = 1 ) -> ( ( log ` ( x / 1 ) ) ^ N ) = ( ( log ` x ) ^ N ) )
289	198	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y = 1 ) -> ( ( log ` x ) ^ N ) e. CC )
290	288, 289	eqeltrd 2478	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y = 1 ) -> ( ( log ` ( x / 1 ) ) ^ N ) e. CC )
291		oveq2 6048	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n = 1 -> ( x / n ) = ( x / 1 ) )
292	291	fveq2d 5691	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n = 1 -> ( log ` ( x / n ) ) = ( log ` ( x / 1 ) ) )
293	292	oveq1d 6055	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = 1 -> ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) = ( ( log ` ( x / 1 ) ) ^ N ) )
294	293	fsum1 12490	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1 e. ZZ /\ ( ( log ` ( x / 1 ) ) ^ N ) e. CC ) -> sum_ n e. ( 1 ... 1 ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) = ( ( log ` ( x / 1 ) ) ^ N ) )
295	83, 290, 294	sylancr 645	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y = 1 ) -> sum_ n e. ( 1 ... 1 ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) = ( ( log ` ( x / 1 ) ) ^ N ) )
296	284, 295, 288	3eqtrd 2440	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y = 1 ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) = ( ( log ` x ) ^ N ) )
297	278	oveq2d 6056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y = 1 ) -> ( x / y ) = ( x / 1 ) )
298	297, 286	eqtrd 2436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y = 1 ) -> ( x / y ) = x )
299	298	fveq2d 5691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y = 1 ) -> ( log ` ( x / y ) ) = ( log ` x ) )
300	299	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y = 1 ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( log ` ( x / y ) ) = ( log ` x ) )
301	300	oveq1d 6055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y = 1 ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( log ` ( x / y ) ) ^ k ) = ( ( log ` x ) ^ k ) )
302	301	oveq1d 6055	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y = 1 ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( ( log ` ( x / y ) ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) = ( ( ( log ` x ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
303	302	sumeq2dv 12452	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y = 1 ) -> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` ( x / y ) ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) = sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` x ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
304	278, 303	oveq12d 6058	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y = 1 ) -> ( y x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` ( x / y ) ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) = ( 1 x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` x ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) )
305	205	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y = 1 ) -> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` x ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) e. CC )
306	305	mulid2d 9062	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y = 1 ) -> ( 1 x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` x ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` x ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
307	304, 306	eqtrd 2436	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y = 1 ) -> ( y x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` ( x / y ) ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` x ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
308	307	oveq2d 6056	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y = 1 ) -> ( ( ! ` N ) x. ( y x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` ( x / y ) ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) = ( ( ! ` N ) x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` x ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) )
309	296, 308	oveq12d 6058	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y = 1 ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) - ( ( ! ` N ) x. ( y x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` ( x / y ) ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) ) = ( ( ( log ` x ) ^ N ) - ( ( ! ` N ) x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` x ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) )
310		ovex 6065	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( log ` x ) ^ N ) - ( ( ! ` N ) x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` x ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) e. _V
311	310	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( ( ( log ` x ) ^ N ) - ( ( ! ` N ) x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` x ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) e. _V )
312	209, 309, 181, 311	fvmptd 5769	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( ( y e. RR+ |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) - ( ( ! ` N ) x. ( y x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` ( x / y ) ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) ) ) ` 1 ) = ( ( ( log ` x ) ^ N ) - ( ( ! ` N ) x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` x ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) )
313	277, 312	oveq12d 6058	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( ( ( y e. RR+ |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) - ( ( ! ` N ) x. ( y x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` ( x / y ) ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) ) ) ` x ) - ( ( y e. RR+ |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) - ( ( ! ` N ) x. ( y x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` ( x / y ) ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) ) ) ` 1 ) ) = ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) - ( ( ! ` N ) x. x ) ) - ( ( ( log ` x ) ^ N ) - ( ( ! ` N ) x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` x ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) ) )
314	72, 74, 194	subdird 9446	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( ( ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) - ( ( ( log ` x ) ^ N ) - ( ( ! ` N ) x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` x ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) ) / x ) - ( ! ` N ) ) x. x ) = ( ( ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) - ( ( ( log ` x ) ^ N ) - ( ( ! ` N ) x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` x ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) ) / x ) x. x ) - ( ( ! ` N ) x. x ) ) )
315	66	adantrr 698	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) - ( ( ( log ` x ) ^ N ) - ( ( ! ` N ) x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` x ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) ) e. CC )
316	215	simprd 450	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> x =/= 0 )
317	315, 194, 316	divcan1d 9747	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) - ( ( ( log ` x ) ^ N ) - ( ( ! ` N ) x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` x ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) ) / x ) x. x ) = ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) - ( ( ( log ` x ) ^ N ) - ( ( ! ` N ) x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` x ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) ) )
318	317	oveq1d 6055	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( ( ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) - ( ( ( log ` x ) ^ N ) - ( ( ! ` N ) x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` x ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) ) / x ) x. x ) - ( ( ! ` N ) x. x ) ) = ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) - ( ( ( log ` x ) ^ N ) - ( ( ! ` N ) x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` x ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) ) - ( ( ! ` N ) x. x ) ) )
319	314, 318	eqtrd 2436	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( ( ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) - ( ( ( log ` x ) ^ N ) - ( ( ! ` N ) x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` x ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) ) / x ) - ( ! ` N ) ) x. x ) = ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) - ( ( ( log ` x ) ^ N ) - ( ( ! ` N ) x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` x ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) ) - ( ( ! ` N ) x. x ) ) )
320	208, 313, 319	3eqtr4d 2446	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( ( ( y e. RR+ |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) - ( ( ! ` N ) x. ( y x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` ( x / y ) ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) ) ) ` x ) - ( ( y e. RR+ |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) - ( ( ! ` N ) x. ( y x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` ( x / y ) ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) ) ) ` 1 ) ) = ( ( ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) - ( ( ( log ` x ) ^ N ) - ( ( ! ` N ) x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` x ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) ) / x ) - ( ! ` N ) ) x. x ) )
321	320	fveq2d 5691	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( abs ` ( ( ( y e. RR+ |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) - ( ( ! ` N ) x. ( y x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` ( x / y ) ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) ) ) ` x ) - ( ( y e. RR+ |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) - ( ( ! ` N ) x. ( y x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` ( x / y ) ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) ) ) ` 1 ) ) ) = ( abs ` ( ( ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) - ( ( ( log ` x ) ^ N ) - ( ( ! ` N ) x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` x ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) ) / x ) - ( ! ` N ) ) x. x ) ) )
322	75, 194	absmuld 12211	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( abs ` ( ( ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) - ( ( ( log ` x ) ^ N ) - ( ( ! ` N ) x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` x ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) ) / x ) - ( ! ` N ) ) x. x ) ) = ( ( abs ` ( ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) - ( ( ( log ` x ) ^ N ) - ( ( ! ` N ) x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` x ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) ) / x ) - ( ! ` N ) ) ) x. ( abs ` x ) ) )
323		rprege0 10582	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. RR+ -> ( x e. RR /\ 0 <_ x ) )
324	323	ad2antrl 709	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( x e. RR /\ 0 <_ x ) )
325		absid 12056	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) -> ( abs ` x ) = x )
326	324, 325	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( abs ` x ) = x )
327	326	oveq2d 6056	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( ( abs ` ( ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) - ( ( ( log ` x ) ^ N ) - ( ( ! ` N ) x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` x ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) ) / x ) - ( ! ` N ) ) ) x. ( abs ` x ) ) = ( ( abs ` ( ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) - ( ( ( log ` x ) ^ N ) - ( ( ! ` N ) x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` x ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) ) / x ) - ( ! ` N ) ) ) x. x ) )
328	321, 322, 327	3eqtrd 2440	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( abs ` ( ( ( y e. RR+ |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) - ( ( ! ` N ) x. ( y x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` ( x / y ) ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) ) ) ` x ) - ( ( y e. RR+ |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) - ( ( ! ` N ) x. ( y x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` ( x / y ) ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) ) ) ` 1 ) ) ) = ( ( abs ` ( ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) - ( ( ( log ` x ) ^ N ) - ( ( ! ` N ) x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` x ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) ) / x ) - ( ! ` N ) ) ) x. x ) )
329	242	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> 1 e. CC )
330	299	oveq1d 6055	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y = 1 ) -> ( ( log ` ( x / y ) ) ^ N ) = ( ( log ` x ) ^ N ) )
331	329, 330	csbied 3253	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> [_ 1 / y ]_ ( ( log ` ( x / y ) ) ^ N ) = ( ( log ` x ) ^ N ) )
332	186, 328, 331	3brtr3d 4201	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( ( abs ` ( ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) - ( ( ( log ` x ) ^ N ) - ( ( ! ` N ) x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` x ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) ) / x ) - ( ! ` N ) ) ) x. x ) <_ ( ( log ` x ) ^ N ) )
333	14	adantrr 698	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( ( log ` x ) ^ N ) e. RR )
334	76, 333, 96	lemuldivd 10649	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( ( ( abs ` ( ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) - ( ( ( log ` x ) ^ N ) - ( ( ! ` N ) x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` x ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) ) / x ) - ( ! ` N ) ) ) x. x ) <_ ( ( log ` x ) ^ N )