Theorem logexprlim 22449

Description: The sum sum_ n <_ x , log ^ N ( x / n ) has the asymptotic expansion ( N ! ) x + o ( x ). (More precisely, the omitted term has order O ( log ^ N ( x ) / x ).) (Contributed by Mario Carneiro, 22-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
logexprlim	|- ( N e. NN0 -> ( x e. RR+ |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) / x ) ) ~~> r ( ! ` N ) )

Distinct variable group:   x, n, N

Proof of Theorem logexprlim

Dummy variables k y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfid 11779	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ x e. RR+ ) -> ( 1 ... ( |_ ` x ) ) e. Fin )
2		simpr 458	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ x e. RR+ ) -> x e. RR+ )
3		elfznn 11465	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> n e. NN )
4	3	nnrpd 11014	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> n e. RR+ )
5		rpdivcl 11001	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. RR+ /\ n e. RR+ ) -> ( x / n ) e. RR+ )
6	2, 4, 5	syl2an 474	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN0 /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x / n ) e. RR+ )
7	6	relogcld 21957	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN0 /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( log ` ( x / n ) ) e. RR )
8		simpll 746	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN0 /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> N e. NN0 )
9	7, 8	reexpcld 12009	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN0 /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) e. RR )
10	1, 9	fsumrecl 13195	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ x e. RR+ ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) e. RR )
11		relogcl 21912	. . . . . . 7 |- ( x e. RR+ -> ( log ` x ) e. RR )
12		id 22	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> N e. NN0 )
13		reexpcl 11866	. . . . . . 7 |- ( ( ( log ` x ) e. RR /\ N e. NN0 ) -> ( ( log ` x ) ^ N ) e. RR )
14	11, 12, 13	syl2anr 475	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ x e. RR+ ) -> ( ( log ` x ) ^ N ) e. RR )
15		faccl 12045	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> ( ! ` N ) e. NN )
16	15	adantr 462	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ x e. RR+ ) -> ( ! ` N ) e. NN )
17	16	nnred 10325	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ x e. RR+ ) -> ( ! ` N ) e. RR )
18		fzfid 11779	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ x e. RR+ ) -> ( 0 ... N ) e. Fin )
19	11	adantl 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ x e. RR+ ) -> ( log ` x ) e. RR )
20		elfznn0 11468	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( 0 ... N ) -> k e. NN0 )
21		reexpcl 11866	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( log ` x ) e. RR /\ k e. NN0 ) -> ( ( log ` x ) ^ k ) e. RR )
22	19, 20, 21	syl2an 474	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN0 /\ x e. RR+ ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( log ` x ) ^ k ) e. RR )
23	20	adantl 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN0 /\ x e. RR+ ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> k e. NN0 )
24		faccl 12045	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN0 -> ( ! ` k ) e. NN )
25	23, 24	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN0 /\ x e. RR+ ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ! ` k ) e. NN )
26	22, 25	nndivred 10358	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN0 /\ x e. RR+ ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( ( log ` x ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) e. RR )
27	18, 26	fsumrecl 13195	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ x e. RR+ ) -> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` x ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) e. RR )
28	17, 27	remulcld 9402	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ x e. RR+ ) -> ( ( ! ` N ) x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` x ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) e. RR )
29	14, 28	resubcld 9764	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ x e. RR+ ) -> ( ( ( log ` x ) ^ N ) - ( ( ! ` N ) x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` x ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) e. RR )
30	10, 29	resubcld 9764	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ x e. RR+ ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) - ( ( ( log ` x ) ^ N ) - ( ( ! ` N ) x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` x ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) ) e. RR )
31	30, 2	rerpdivcld 11042	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ x e. RR+ ) -> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) - ( ( ( log ` x ) ^ N ) - ( ( ! ` N ) x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` x ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) ) / x ) e. RR )
32		rerpdivcl 11006	. . . 4 |- ( ( ( ( ( log ` x ) ^ N ) - ( ( ! ` N ) x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` x ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) e. RR /\ x e. RR+ ) -> ( ( ( ( log ` x ) ^ N ) - ( ( ! ` N ) x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` x ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) / x ) e. RR )
33	29, 32	sylancom 660	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ x e. RR+ ) -> ( ( ( ( log ` x ) ^ N ) - ( ( ! ` N ) x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` x ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) / x ) e. RR )
34		1red 9389	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> 1 e. RR )
35	15	nncnd 10326	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( ! ` N ) e. CC )
36		simpl 454	. . . . . . . . 9 |- ( ( k = N /\ x e. RR+ ) -> k = N )
37	36	oveq2d 6096	. . . . . . . 8 |- ( ( k = N /\ x e. RR+ ) -> ( ( log ` x ) ^ k ) = ( ( log ` x ) ^ N ) )
38	37	oveq1d 6095	. . . . . . 7 |- ( ( k = N /\ x e. RR+ ) -> ( ( ( log ` x ) ^ k ) / x ) = ( ( ( log ` x ) ^ N ) / x ) )
39	38	mpteq2dva 4366	. . . . . 6 |- ( k = N -> ( x e. RR+ |-> ( ( ( log ` x ) ^ k ) / x ) ) = ( x e. RR+ |-> ( ( ( log ` x ) ^ N ) / x ) ) )
40	39	breq1d 4290	. . . . 5 |- ( k = N -> ( ( x e. RR+ |-> ( ( ( log ` x ) ^ k ) / x ) ) ~~> r 0 <-> ( x e. RR+ |-> ( ( ( log ` x ) ^ N ) / x ) ) ~~> r 0 ) )
41	11	recnd 9400	. . . . . . . . 9 |- ( x e. RR+ -> ( log ` x ) e. CC )
42		id 22	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN0 -> k e. NN0 )
43		cxpexp 21998	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( log ` x ) e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( ( log ` x ) ^c k ) = ( ( log ` x ) ^ k ) )
44	41, 42, 43	syl2anr 475	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. NN0 /\ x e. RR+ ) -> ( ( log ` x ) ^c k ) = ( ( log ` x ) ^ k ) )
45		rpcn 10987	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR+ -> x e. CC )
46	45	adantl 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. NN0 /\ x e. RR+ ) -> x e. CC )
47	46	cxp1d 22036	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. NN0 /\ x e. RR+ ) -> ( x ^c 1 ) = x )
48	44, 47	oveq12d 6098	. . . . . . 7 |- ( ( k e. NN0 /\ x e. RR+ ) -> ( ( ( log ` x ) ^c k ) / ( x ^c 1 ) ) = ( ( ( log ` x ) ^ k ) / x ) )
49	48	mpteq2dva 4366	. . . . . 6 |- ( k e. NN0 -> ( x e. RR+ |-> ( ( ( log ` x ) ^c k ) / ( x ^c 1 ) ) ) = ( x e. RR+ |-> ( ( ( log ` x ) ^ k ) / x ) ) )
50		nn0cn 10577	. . . . . . 7 |- ( k e. NN0 -> k e. CC )
51		1rp 10983	. . . . . . 7 |- 1 e. RR+
52		cxploglim2 22257	. . . . . . 7 |- ( ( k e. CC /\ 1 e. RR+ ) -> ( x e. RR+ |-> ( ( ( log ` x ) ^c k ) / ( x ^c 1 ) ) ) ~~> r 0 )
53	50, 51, 52	sylancl 655	. . . . . 6 |- ( k e. NN0 -> ( x e. RR+ |-> ( ( ( log ` x ) ^c k ) / ( x ^c 1 ) ) ) ~~> r 0 )
54	49, 53	eqbrtrrd 4302	. . . . 5 |- ( k e. NN0 -> ( x e. RR+ |-> ( ( ( log ` x ) ^ k ) / x ) ) ~~> r 0 )
55	40, 54	vtoclga 3025	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( x e. RR+ |-> ( ( ( log ` x ) ^ N ) / x ) ) ~~> r 0 )
56		rerpdivcl 11006	. . . . . 6 |- ( ( ( ( log ` x ) ^ N ) e. RR /\ x e. RR+ ) -> ( ( ( log ` x ) ^ N ) / x ) e. RR )
57	14, 56	sylancom 660	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ x e. RR+ ) -> ( ( ( log ` x ) ^ N ) / x ) e. RR )
58	57	recnd 9400	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ x e. RR+ ) -> ( ( ( log ` x ) ^ N ) / x ) e. CC )
59	10	recnd 9400	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ x e. RR+ ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) e. CC )
60	14	recnd 9400	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ x e. RR+ ) -> ( ( log ` x ) ^ N ) e. CC )
61	35	adantr 462	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ x e. RR+ ) -> ( ! ` N ) e. CC )
62	27	recnd 9400	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ x e. RR+ ) -> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` x ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) e. CC )
63	61, 62	mulcld 9394	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ x e. RR+ ) -> ( ( ! ` N ) x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` x ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) e. CC )
64	60, 63	subcld 9707	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ x e. RR+ ) -> ( ( ( log ` x ) ^ N ) - ( ( ! ` N ) x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` x ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) e. CC )
65	59, 64	subcld 9707	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ x e. RR+ ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) - ( ( ( log ` x ) ^ N ) - ( ( ! ` N ) x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` x ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) ) e. CC )
66		rpcnne0 10996	. . . . . . 7 |- ( x e. RR+ -> ( x e. CC /\ x =/= 0 ) )
67	66	adantl 463	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ x e. RR+ ) -> ( x e. CC /\ x =/= 0 ) )
68	67	simpld 456	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ x e. RR+ ) -> x e. CC )
69	67	simprd 460	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ x e. RR+ ) -> x =/= 0 )
70	65, 68, 69	divcld 10095	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ x e. RR+ ) -> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) - ( ( ( log ` x ) ^ N ) - ( ( ! ` N ) x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` x ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) ) / x ) e. CC )
71	70	adantrr 709	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) - ( ( ( log ` x ) ^ N ) - ( ( ! ` N ) x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` x ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) ) / x ) e. CC )
72	15	adantr 462	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( ! ` N ) e. NN )
73	72	nncnd 10326	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( ! ` N ) e. CC )
74	71, 73	subcld 9707	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) - ( ( ( log ` x ) ^ N ) - ( ( ! ` N ) x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` x ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) ) / x ) - ( ! ` N ) ) e. CC )
75	74	abscld 12906	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( abs ` ( ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) - ( ( ( log ` x ) ^ N ) - ( ( ! ` N ) x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` x ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) ) / x ) - ( ! ` N ) ) ) e. RR )
76	57	adantrr 709	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( ( ( log ` x ) ^ N ) / x ) e. RR )
77	76	recnd 9400	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( ( ( log ` x ) ^ N ) / x ) e. CC )
78	77	abscld 12906	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( abs ` ( ( ( log ` x ) ^ N ) / x ) ) e. RR )
79		ioorp 11361	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 (,) +oo ) = RR+
80	79	eqcomi 2437	. . . . . . . . 9 |- RR+ = ( 0 (,) +oo )
81		nnuz 10884	. . . . . . . . 9 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
82		1z 10664	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. ZZ
83	82	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> 1 e. ZZ )
84		1red 9389	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> 1 e. RR )
85		1re 9373	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. RR
86		1nn0 10583	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. NN0
87	85, 86	nn0addge1i 10616	. . . . . . . . . 10 |- 1 <_ ( 1 + 1 )
88	87	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> 1 <_ ( 1 + 1 ) )
89		0red 9375	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> 0 e. RR )
90	72	adantr 462	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y e. RR+ ) -> ( ! ` N ) e. NN )
91	90	nnred 10325	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y e. RR+ ) -> ( ! ` N ) e. RR )
92		rpre 10985	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. RR+ -> y e. RR )
93	92	adantl 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y e. RR+ ) -> y e. RR )
94		fzfid 11779	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y e. RR+ ) -> ( 0 ... N ) e. Fin )
95		simprl 748	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> x e. RR+ )
96		rpdivcl 11001	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. RR+ /\ y e. RR+ ) -> ( x / y ) e. RR+ )
97	95, 96	sylan 468	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y e. RR+ ) -> ( x / y ) e. RR+ )
98	97	relogcld 21957	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y e. RR+ ) -> ( log ` ( x / y ) ) e. RR )
99		reexpcl 11866	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( log ` ( x / y ) ) e. RR /\ k e. NN0 ) -> ( ( log ` ( x / y ) ) ^ k ) e. RR )
100	98, 20, 99	syl2an 474	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y e. RR+ ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( log ` ( x / y ) ) ^ k ) e. RR )
101	20	adantl 463	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y e. RR+ ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> k e. NN0 )
102	101, 24	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y e. RR+ ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ! ` k ) e. NN )
103	100, 102	nndivred 10358	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y e. RR+ ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( ( log ` ( x / y ) ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) e. RR )
104	94, 103	fsumrecl 13195	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y e. RR+ ) -> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` ( x / y ) ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) e. RR )
105	93, 104	remulcld 9402	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y e. RR+ ) -> ( y x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` ( x / y ) ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) e. RR )
106	91, 105	remulcld 9402	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y e. RR+ ) -> ( ( ! ` N ) x. ( y x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` ( x / y ) ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) e. RR )
107		simpll 746	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y e. RR+ ) -> N e. NN0 )
108	98, 107	reexpcld 12009	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y e. RR+ ) -> ( ( log ` ( x / y ) ) ^ N ) e. RR )
109		nnrp 10988	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. NN -> y e. RR+ )
110	109, 108	sylan2 471	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y e. NN ) -> ( ( log ` ( x / y ) ) ^ N ) e. RR )
111		reelprrecn 9362	. . . . . . . . . . . 12 |- RR e. { RR , CC }
112	111	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> RR e. { RR , CC } )
113	105	recnd 9400	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y e. RR+ ) -> ( y x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` ( x / y ) ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) e. CC )
114	108, 90	nndivred 10358	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y e. RR+ ) -> ( ( ( log ` ( x / y ) ) ^ N ) / ( ! ` N ) ) e. RR )
115		simpl 454	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> N e. NN0 )
116		advlogexp 21985	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. RR+ /\ N e. NN0 ) -> ( RR _D ( y e. RR+ |-> ( y x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` ( x / y ) ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) ) = ( y e. RR+ |-> ( ( ( log ` ( x / y ) ) ^ N ) / ( ! ` N ) ) ) )
117	95, 115, 116	syl2anc 654	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( RR _D ( y e. RR+ |-> ( y x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` ( x / y ) ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) ) = ( y e. RR+ |-> ( ( ( log ` ( x / y ) ) ^ N ) / ( ! ` N ) ) ) )
118	112, 113, 114, 117, 73	dvmptcmul 21280	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( RR _D ( y e. RR+ |-> ( ( ! ` N ) x. ( y x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` ( x / y ) ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) ) ) = ( y e. RR+ |-> ( ( ! ` N ) x. ( ( ( log ` ( x / y ) ) ^ N ) / ( ! ` N ) ) ) ) )
119	108	recnd 9400	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y e. RR+ ) -> ( ( log ` ( x / y ) ) ^ N ) e. CC )
120	73	adantr 462	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y e. RR+ ) -> ( ! ` N ) e. CC )
121	72	nnne0d 10354	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( ! ` N ) =/= 0 )
122	121	adantr 462	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y e. RR+ ) -> ( ! ` N ) =/= 0 )
123	119, 120, 122	divcan2d 10097	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y e. RR+ ) -> ( ( ! ` N ) x. ( ( ( log ` ( x / y ) ) ^ N ) / ( ! ` N ) ) ) = ( ( log ` ( x / y ) ) ^ N ) )
124	123	mpteq2dva 4366	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( y e. RR+ |-> ( ( ! ` N ) x. ( ( ( log ` ( x / y ) ) ^ N ) / ( ! ` N ) ) ) ) = ( y e. RR+ |-> ( ( log ` ( x / y ) ) ^ N ) ) )
125	118, 124	eqtrd 2465	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( RR _D ( y e. RR+ |-> ( ( ! ` N ) x. ( y x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` ( x / y ) ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) ) ) = ( y e. RR+ |-> ( ( log ` ( x / y ) ) ^ N ) ) )
126		oveq2 6088	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = n -> ( x / y ) = ( x / n ) )
127	126	fveq2d 5683	. . . . . . . . . 10 |- ( y = n -> ( log ` ( x / y ) ) = ( log ` ( x / n ) ) )
128	127	oveq1d 6095	. . . . . . . . 9 |- ( y = n -> ( ( log ` ( x / y ) ) ^ N ) = ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) )
129	95	rpxrd 11016	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> x e. RR* )
130		simp1rl 1046	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( y e. RR+ /\ n e. RR+ ) /\ ( 1 <_ y /\ y <_ n /\ n <_ x ) ) -> x e. RR+ )
131		simp2r 1008	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( y e. RR+ /\ n e. RR+ ) /\ ( 1 <_ y /\ y <_ n /\ n <_ x ) ) -> n e. RR+ )
132	130, 131	rpdivcld 11032	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( y e. RR+ /\ n e. RR+ ) /\ ( 1 <_ y /\ y <_ n /\ n <_ x ) ) -> ( x / n ) e. RR+ )
133	132	relogcld 21957	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( y e. RR+ /\ n e. RR+ ) /\ ( 1 <_ y /\ y <_ n /\ n <_ x ) ) -> ( log ` ( x / n ) ) e. RR )
134		simp2l 1007	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( y e. RR+ /\ n e. RR+ ) /\ ( 1 <_ y /\ y <_ n /\ n <_ x ) ) -> y e. RR+ )
135	130, 134	rpdivcld 11032	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( y e. RR+ /\ n e. RR+ ) /\ ( 1 <_ y /\ y <_ n /\ n <_ x ) ) -> ( x / y ) e. RR+ )
136	135	relogcld 21957	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( y e. RR+ /\ n e. RR+ ) /\ ( 1 <_ y /\ y <_ n /\ n <_ x ) ) -> ( log ` ( x / y ) ) e. RR )
137		simp1l 1005	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( y e. RR+ /\ n e. RR+ ) /\ ( 1 <_ y /\ y <_ n /\ n <_ x ) ) -> N e. NN0 )
138		log1 21919	. . . . . . . . . . 11 |- ( log ` 1 ) = 0
139	131	rpcnd 11017	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( y e. RR+ /\ n e. RR+ ) /\ ( 1 <_ y /\ y <_ n /\ n <_ x ) ) -> n e. CC )
140	139	mulid2d 9392	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( y e. RR+ /\ n e. RR+ ) /\ ( 1 <_ y /\ y <_ n /\ n <_ x ) ) -> ( 1 x. n ) = n )
141		simp33 1019	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( y e. RR+ /\ n e. RR+ ) /\ ( 1 <_ y /\ y <_ n /\ n <_ x ) ) -> n <_ x )
142	140, 141	eqbrtrd 4300	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( y e. RR+ /\ n e. RR+ ) /\ ( 1 <_ y /\ y <_ n /\ n <_ x ) ) -> ( 1 x. n ) <_ x )
143		1red 9389	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( y e. RR+ /\ n e. RR+ ) /\ ( 1 <_ y /\ y <_ n /\ n <_ x ) ) -> 1 e. RR )
144	130	rpred 11015	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( y e. RR+ /\ n e. RR+ ) /\ ( 1 <_ y /\ y <_ n /\ n <_ x ) ) -> x e. RR )
145	143, 144, 131	lemuldivd 11060	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( y e. RR+ /\ n e. RR+ ) /\ ( 1 <_ y /\ y <_ n /\ n <_ x ) ) -> ( ( 1 x. n ) <_ x <-> 1 <_ ( x / n ) ) )
146	142, 145	mpbid 210	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( y e. RR+ /\ n e. RR+ ) /\ ( 1 <_ y /\ y <_ n /\ n <_ x ) ) -> 1 <_ ( x / n ) )
147		logleb 21937	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1 e. RR+ /\ ( x / n ) e. RR+ ) -> ( 1 <_ ( x / n ) <-> ( log ` 1 ) <_ ( log ` ( x / n ) ) ) )
148	51, 132, 147	sylancr 656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( y e. RR+ /\ n e. RR+ ) /\ ( 1 <_ y /\ y <_ n /\ n <_ x ) ) -> ( 1 <_ ( x / n ) <-> ( log ` 1 ) <_ ( log ` ( x / n ) ) ) )
149	146, 148	mpbid 210	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( y e. RR+ /\ n e. RR+ ) /\ ( 1 <_ y /\ y <_ n /\ n <_ x ) ) -> ( log ` 1 ) <_ ( log ` ( x / n ) ) )
150	138, 149	syl5eqbrr 4314	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( y e. RR+ /\ n e. RR+ ) /\ ( 1 <_ y /\ y <_ n /\ n <_ x ) ) -> 0 <_ ( log ` ( x / n ) ) )
151		simp32 1018	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( y e. RR+ /\ n e. RR+ ) /\ ( 1 <_ y /\ y <_ n /\ n <_ x ) ) -> y <_ n )
152	134, 131, 130	lediv2d 11039	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( y e. RR+ /\ n e. RR+ ) /\ ( 1 <_ y /\ y <_ n /\ n <_ x ) ) -> ( y <_ n <-> ( x / n ) <_ ( x / y ) ) )
153	151, 152	mpbid 210	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( y e. RR+ /\ n e. RR+ ) /\ ( 1 <_ y /\ y <_ n /\ n <_ x ) ) -> ( x / n ) <_ ( x / y ) )
154	132, 135	logled 21961	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( y e. RR+ /\ n e. RR+ ) /\ ( 1 <_ y /\ y <_ n /\ n <_ x ) ) -> ( ( x / n ) <_ ( x / y ) <-> ( log ` ( x / n ) ) <_ ( log ` ( x / y ) ) ) )
155	153, 154	mpbid 210	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( y e. RR+ /\ n e. RR+ ) /\ ( 1 <_ y /\ y <_ n /\ n <_ x ) ) -> ( log ` ( x / n ) ) <_ ( log ` ( x / y ) ) )
156		leexp1a 11906	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( log ` ( x / n ) ) e. RR /\ ( log ` ( x / y ) ) e. RR /\ N e. NN0 ) /\ ( 0 <_ ( log ` ( x / n ) ) /\ ( log ` ( x / n ) ) <_ ( log ` ( x / y ) ) ) ) -> ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) <_ ( ( log ` ( x / y ) ) ^ N ) )
157	133, 136, 137, 150, 155, 156	syl32anc 1219	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( y e. RR+ /\ n e. RR+ ) /\ ( 1 <_ y /\ y <_ n /\ n <_ x ) ) -> ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) <_ ( ( log ` ( x / y ) ) ^ N ) )
158		eqid 2433	. . . . . . . . 9 |- ( y e. RR+ |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) - ( ( ! ` N ) x. ( y x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` ( x / y ) ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) ) ) = ( y e. RR+ |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) - ( ( ! ` N ) x. ( y x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` ( x / y ) ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) ) )
159	97	3ad2antr1 1146	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( y e. RR+ /\ 1 <_ y /\ y <_ x ) ) -> ( x / y ) e. RR+ )
160	159	relogcld 21957	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( y e. RR+ /\ 1 <_ y /\ y <_ x ) ) -> ( log ` ( x / y ) ) e. RR )
161		simpll 746	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( y e. RR+ /\ 1 <_ y /\ y <_ x ) ) -> N e. NN0 )
162		rpcn 10987	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. RR+ -> y e. CC )
163	162	adantl 463	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y e. RR+ ) -> y e. CC )
164	163	3ad2antr1 1146	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( y e. RR+ /\ 1 <_ y /\ y <_ x ) ) -> y e. CC )
165	164	mulid2d 9392	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( y e. RR+ /\ 1 <_ y /\ y <_ x ) ) -> ( 1 x. y ) = y )
166		simpr3 989	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( y e. RR+ /\ 1 <_ y /\ y <_ x ) ) -> y <_ x )
167	165, 166	eqbrtrd 4300	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( y e. RR+ /\ 1 <_ y /\ y <_ x ) ) -> ( 1 x. y ) <_ x )
168		1red 9389	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( y e. RR+ /\ 1 <_ y /\ y <_ x ) ) -> 1 e. RR )
169	95	rpred 11015	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> x e. RR )
170	169	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( y e. RR+ /\ 1 <_ y /\ y <_ x ) ) -> x e. RR )
171		simpr1 987	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( y e. RR+ /\ 1 <_ y /\ y <_ x ) ) -> y e. RR+ )
172	168, 170, 171	lemuldivd 11060	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( y e. RR+ /\ 1 <_ y /\ y <_ x ) ) -> ( ( 1 x. y ) <_ x <-> 1 <_ ( x / y ) ) )
173	167, 172	mpbid 210	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( y e. RR+ /\ 1 <_ y /\ y <_ x ) ) -> 1 <_ ( x / y ) )
174		logleb 21937	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1 e. RR+ /\ ( x / y ) e. RR+ ) -> ( 1 <_ ( x / y ) <-> ( log ` 1 ) <_ ( log ` ( x / y ) ) ) )
175	51, 159, 174	sylancr 656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( y e. RR+ /\ 1 <_ y /\ y <_ x ) ) -> ( 1 <_ ( x / y ) <-> ( log ` 1 ) <_ ( log ` ( x / y ) ) ) )
176	173, 175	mpbid 210	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( y e. RR+ /\ 1 <_ y /\ y <_ x ) ) -> ( log ` 1 ) <_ ( log ` ( x / y ) ) )
177	138, 176	syl5eqbrr 4314	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( y e. RR+ /\ 1 <_ y /\ y <_ x ) ) -> 0 <_ ( log ` ( x / y ) ) )
178	160, 161, 177	expge0d 12010	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( y e. RR+ /\ 1 <_ y /\ y <_ x ) ) -> 0 <_ ( ( log ` ( x / y ) ) ^ N ) )
179	51	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> 1 e. RR+ )
180		1le1 9952	. . . . . . . . . 10 |- 1 <_ 1
181	180	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> 1 <_ 1 )
182		simprr 749	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> 1 <_ x )
183	169	leidd 9894	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> x <_ x )
184	80, 81, 83, 84, 88, 89, 106, 108, 110, 125, 128, 129, 157, 158, 178, 179, 95, 181, 182, 183	dvfsumlem4 21343	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( abs ` ( ( ( y e. RR+ |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) - ( ( ! ` N ) x. ( y x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` ( x / y ) ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) ) ) ` x ) - ( ( y e. RR+ |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) - ( ( ! ` N ) x. ( y x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` ( x / y ) ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) ) ) ` 1 ) ) ) <_ [_ 1 / y ]_ ( ( log ` ( x / y ) ) ^ N ) )
185		fzfid 11779	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` x ) ) e. Fin )
186	95, 4, 5	syl2an 474	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x / n ) e. RR+ )
187	186	relogcld 21957	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( log ` ( x / n ) ) e. RR )
188		simpll 746	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> N e. NN0 )
189	187, 188	reexpcld 12009	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) e. RR )
190	185, 189	fsumrecl 13195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) e. RR )
191	190	recnd 9400	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) e. CC )
192	95	rpcnd 11017	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> x e. CC )
193	73, 192	mulcld 9394	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( ( ! ` N ) x. x ) e. CC )
194	11	ad2antrl 720	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( log ` x ) e. RR )
195	194	recnd 9400	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( log ` x ) e. CC )
196	195, 115	expcld 11992	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( ( log ` x ) ^ N ) e. CC )
197		fzfid 11779	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( 0 ... N ) e. Fin )
198	194, 20, 21	syl2an 474	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( log ` x ) ^ k ) e. RR )
199	20	adantl 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> k e. NN0 )
200	199, 24	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ! ` k ) e. NN )
201	198, 200	nndivred 10358	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( ( log ` x ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) e. RR )
202	201	recnd 9400	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( ( log ` x ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) e. CC )
203	197, 202	fsumcl 13194	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` x ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) e. CC )
204	73, 203	mulcld 9394	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( ( ! ` N ) x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` x ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) e. CC )
205	196, 204	subcld 9707	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( ( ( log ` x ) ^ N ) - ( ( ! ` N ) x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` x ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) e. CC )
206	191, 193, 205	sub32d 9739	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) - ( ( ! ` N ) x. x ) ) - ( ( ( log ` x ) ^ N ) - ( ( ! ` N ) x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` x ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) ) = ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) - ( ( ( log ` x ) ^ N ) - ( ( ! ` N ) x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` x ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) ) - ( ( ! ` N ) x. x ) ) )
207		eqidd 2434	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( y e. RR+ |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) - ( ( ! ` N ) x. ( y x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` ( x / y ) ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) ) ) = ( y e. RR+ |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) - ( ( ! ` N ) x. ( y x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` ( x / y ) ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) ) ) )
208		simpr 458	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y = x ) -> y = x )
209	208	fveq2d 5683	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y = x ) -> ( |_ ` y ) = ( |_ ` x ) )
210	209	oveq2d 6096	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y = x ) -> ( 1 ... ( |_ ` y ) ) = ( 1 ... ( |_ ` x ) ) )
211	210	sumeq1d 13162	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y = x ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) = sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) )
212		oveq2 6088	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( y = x -> ( x / y ) = ( x / x ) )
213	66	ad2antrl 720	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( x e. CC /\ x =/= 0 ) )
214		divid 10009	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( x e. CC /\ x =/= 0 ) -> ( x / x ) = 1 )
215	213, 214	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( x / x ) = 1 )
216	212, 215	sylan9eqr 2487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y = x ) -> ( x / y ) = 1 )
217	216	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y = x ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( x / y ) = 1 )
218	217	fveq2d 5683	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y = x ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( log ` ( x / y ) ) = ( log ` 1 ) )
219	218, 138	syl6eq 2481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y = x ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( log ` ( x / y ) ) = 0 )
220	219	oveq1d 6095	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y = x ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( log ` ( x / y ) ) ^ k ) = ( 0 ^ k ) )
221	220	oveq1d 6095	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y = x ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( ( log ` ( x / y ) ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) = ( ( 0 ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
222	221	sumeq2dv 13164	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y = x ) -> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` ( x / y ) ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) = sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( 0 ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
223		nn0uz 10883	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
224	115, 223	syl6eleq 2523	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> N e. ( ZZ>= ` 0 ) )
225		eluzfz1 11445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( N e. ( ZZ>= ` 0 ) -> 0 e. ( 0 ... N ) )
226	224, 225	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> 0 e. ( 0 ... N ) )
227	226	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y = x ) -> 0 e. ( 0 ... N ) )
228	227	snssd 4006	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y = x ) -> { 0 } C_ ( 0 ... N ) )
229		elsni 3890	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( k e. { 0 } -> k = 0 )
230	229	adantl 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y = x ) /\ k e. { 0 } ) -> k = 0 )
231		oveq2 6088	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( k = 0 -> ( 0 ^ k ) = ( 0 ^ 0 ) )
232		0exp0e1 11854	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( 0 ^ 0 ) = 1
233	231, 232	syl6eq 2481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( k = 0 -> ( 0 ^ k ) = 1 )
234		fveq2 5679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( k = 0 -> ( ! ` k ) = ( ! ` 0 ) )
235		fac0 12038	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ! ` 0 ) = 1
236	234, 235	syl6eq 2481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( k = 0 -> ( ! ` k ) = 1 )
237	233, 236	oveq12d 6098	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( k = 0 -> ( ( 0 ^ k ) / ( ! ` k ) ) = ( 1 / 1 ) )
238		1div1e1 10012	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( 1 / 1 ) = 1
239	237, 238	syl6eq 2481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( k = 0 -> ( ( 0 ^ k ) / ( ! ` k ) ) = 1 )
240	230, 239	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y = x ) /\ k e. { 0 } ) -> ( ( 0 ^ k ) / ( ! ` k ) ) = 1 )
241		ax-1cn 9328	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- 1 e. CC
242	240, 241	syl6eqel 2521	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y = x ) /\ k e. { 0 } ) -> ( ( 0 ^ k ) / ( ! ` k ) ) e. CC )
243		eldifi 3466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( k e. ( ( 0 ... N ) \ { 0 } ) -> k e. ( 0 ... N ) )
244	243	adantl 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y = x ) /\ k e. ( ( 0 ... N ) \ { 0 } ) ) -> k e. ( 0 ... N ) )
245	244, 20	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y = x ) /\ k e. ( ( 0 ... N ) \ { 0 } ) ) -> k e. NN0 )
246		eldifsni 3989	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( k e. ( ( 0 ... N ) \ { 0 } ) -> k =/= 0 )
247	246	adantl 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y = x ) /\ k e. ( ( 0 ... N ) \ { 0 } ) ) -> k =/= 0 )
248		eldifsn 3988	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( k e. ( NN0 \ { 0 } ) <-> ( k e. NN0 /\ k =/= 0 ) )
249	245, 247, 248	sylanbrc 657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y = x ) /\ k e. ( ( 0 ... N ) \ { 0 } ) ) -> k e. ( NN0 \ { 0 } ) )
250		dfn2 10580	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- NN = ( NN0 \ { 0 } )
251	249, 250	syl6eleqr 2524	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y = x ) /\ k e. ( ( 0 ... N ) \ { 0 } ) ) -> k e. NN )
252	251	0expd 12008	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y = x ) /\ k e. ( ( 0 ... N ) \ { 0 } ) ) -> ( 0 ^ k ) = 0 )
253	252	oveq1d 6095	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y = x ) /\ k e. ( ( 0 ... N ) \ { 0 } ) ) -> ( ( 0 ^ k ) / ( ! ` k ) ) = ( 0 / ( ! ` k ) ) )
254	245, 24	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y = x ) /\ k e. ( ( 0 ... N ) \ { 0 } ) ) -> ( ! ` k ) e. NN )
255	254	nncnd 10326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y = x ) /\ k e. ( ( 0 ... N ) \ { 0 } ) ) -> ( ! ` k ) e. CC )
256	254	nnne0d 10354	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y = x ) /\ k e. ( ( 0 ... N ) \ { 0 } ) ) -> ( ! ` k ) =/= 0 )
257	255, 256	div0d 10094	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y = x ) /\ k e. ( ( 0 ... N ) \ { 0 } ) ) -> ( 0 / ( ! ` k ) ) = 0 )
258	253, 257	eqtrd 2465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y = x ) /\ k e. ( ( 0 ... N ) \ { 0 } ) ) -> ( ( 0 ^ k ) / ( ! ` k ) ) = 0 )
259		fzfid 11779	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y = x ) -> ( 0 ... N ) e. Fin )
260	228, 242, 258, 259	fsumss 13186	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y = x ) -> sum_ k e. { 0 } ( ( 0 ^ k ) / ( ! ` k ) ) = sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( 0 ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
261	222, 260	eqtr4d 2468	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y = x ) -> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` ( x / y ) ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) = sum_ k e. { 0 } ( ( 0 ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
262		0cn 9366	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 0 e. CC
263	239	sumsn 13201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 0 e. CC /\ 1 e. CC ) -> sum_ k e. { 0 } ( ( 0 ^ k ) / ( ! ` k ) ) = 1 )
264	262, 241, 263	mp2an 665	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- sum_ k e. { 0 } ( ( 0 ^ k ) / ( ! ` k ) ) = 1
265	261, 264	syl6eq 2481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y = x ) -> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` ( x / y ) ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) = 1 )
266	208, 265	oveq12d 6098	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y = x ) -> ( y x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` ( x / y ) ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) = ( x x. 1 ) )
267	192	mulid1d 9391	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( x x. 1 ) = x )
268	267	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y = x ) -> ( x x. 1 ) = x )
269	266, 268	eqtrd 2465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y = x ) -> ( y x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` ( x / y ) ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) = x )
270	269	oveq2d 6096	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y = x ) -> ( ( ! ` N ) x. ( y x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` ( x / y ) ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) = ( ( ! ` N ) x. x ) )
271	211, 270	oveq12d 6098	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y = x ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) - ( ( ! ` N ) x. ( y x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` ( x / y ) ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) ) = ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) - ( ( ! ` N ) x. x ) ) )
272		ovex 6105	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) - ( ( ! ` N ) x. x ) ) e. _V
273	272	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) - ( ( ! ` N ) x. x ) ) e. _V )
274	207, 271, 95, 273	fvmptd 5767	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( ( y e. RR+ |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) - ( ( ! ` N ) x. ( y x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` ( x / y ) ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) ) ) ` x ) = ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) - ( ( ! ` N ) x. x ) ) )
275		simpr 458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y = 1 ) -> y = 1 )
276	275	fveq2d 5683	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y = 1 ) -> ( |_ ` y ) = ( |_ ` 1 ) )
277		flid 11641	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 1 e. ZZ -> ( |_ ` 1 ) = 1 )
278	82, 277	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( |_ ` 1 ) = 1
279	276, 278	syl6eq 2481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y = 1 ) -> ( |_ ` y ) = 1 )
280	279	oveq2d 6096	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y = 1 ) -> ( 1 ... ( |_ ` y ) ) = ( 1 ... 1 ) )
281	280	sumeq1d 13162	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y = 1 ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) = sum_ n e. ( 1 ... 1 ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) )
282	192	div1d 10087	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( x / 1 ) = x )
283	282	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y = 1 ) -> ( x / 1 ) = x )
284	283	fveq2d 5683	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y = 1 ) -> ( log ` ( x / 1 ) ) = ( log ` x ) )
285	284	oveq1d 6095	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y = 1 ) -> ( ( log ` ( x / 1 ) ) ^ N ) = ( ( log ` x ) ^ N ) )
286	196	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y = 1 ) -> ( ( log ` x ) ^ N ) e. CC )
287	285, 286	eqeltrd 2507	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y = 1 ) -> ( ( log ` ( x / 1 ) ) ^ N ) e. CC )
288		oveq2 6088	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n = 1 -> ( x / n ) = ( x / 1 ) )
289	288	fveq2d 5683	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n = 1 -> ( log ` ( x / n ) ) = ( log ` ( x / 1 ) ) )
290	289	oveq1d 6095	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = 1 -> ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) = ( ( log ` ( x / 1 ) ) ^ N ) )
291	290	fsum1 13202	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1 e. ZZ /\ ( ( log ` ( x / 1 ) ) ^ N ) e. CC ) -> sum_ n e. ( 1 ... 1 ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) = ( ( log ` ( x / 1 ) ) ^ N ) )
292	82, 287, 291	sylancr 656	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y = 1 ) -> sum_ n e. ( 1 ... 1 ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) = ( ( log ` ( x / 1 ) ) ^ N ) )
293	281, 292, 285	3eqtrd 2469	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y = 1 ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) = ( ( log ` x ) ^ N ) )
294	275	oveq2d 6096	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y = 1 ) -> ( x / y ) = ( x / 1 ) )
295	294, 283	eqtrd 2465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y = 1 ) -> ( x / y ) = x )
296	295	fveq2d 5683	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y = 1 ) -> ( log ` ( x / y ) ) = ( log ` x ) )
297	296	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y = 1 ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( log ` ( x / y ) ) = ( log ` x ) )
298	297	oveq1d 6095	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y = 1 ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( log ` ( x / y ) ) ^ k ) = ( ( log ` x ) ^ k ) )
299	298	oveq1d 6095	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y = 1 ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( ( log ` ( x / y ) ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) = ( ( ( log ` x ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
300	299	sumeq2dv 13164	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y = 1 ) -> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` ( x / y ) ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) = sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` x ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
301	275, 300	oveq12d 6098	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y = 1 ) -> ( y x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` ( x / y ) ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) = ( 1 x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` x ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) )
302	203	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y = 1 ) -> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` x ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) e. CC )
303	302	mulid2d 9392	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y = 1 ) -> ( 1 x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` x ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` x ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
304	301, 303	eqtrd 2465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y = 1 ) -> ( y x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` ( x / y ) ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` x ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
305	304	oveq2d 6096	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y = 1 ) -> ( ( ! ` N ) x. ( y x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` ( x / y ) ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) = ( ( ! ` N ) x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` x ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) )
306	293, 305	oveq12d 6098	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y = 1 ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) - ( ( ! ` N ) x. ( y x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` ( x / y ) ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) ) = ( ( ( log ` x ) ^ N ) - ( ( ! ` N ) x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` x ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) )
307		ovex 6105	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( log ` x ) ^ N ) - ( ( ! ` N ) x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` x ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) e. _V
308	307	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( ( ( log ` x ) ^ N ) - ( ( ! ` N ) x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` x ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) e. _V )
309	207, 306, 179, 308	fvmptd 5767	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( ( y e. RR+ |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) - ( ( ! ` N ) x. ( y x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` ( x / y ) ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) ) ) ` 1 ) = ( ( ( log ` x ) ^ N ) - ( ( ! ` N ) x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` x ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) )
310	274, 309	oveq12d 6098	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( ( ( y e. RR+ |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) - ( ( ! ` N ) x. ( y x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` ( x / y ) ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) ) ) ` x ) - ( ( y e. RR+ |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) - ( ( ! ` N ) x. ( y x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` ( x / y ) ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) ) ) ` 1 ) ) = ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) - ( ( ! ` N ) x. x ) ) - ( ( ( log ` x ) ^ N ) - ( ( ! ` N ) x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` x ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) ) )
311	71, 73, 192	subdird 9789	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( ( ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) - ( ( ( log ` x ) ^ N ) - ( ( ! ` N ) x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` x ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) ) / x ) - ( ! ` N ) ) x. x ) = ( ( ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) - ( ( ( log ` x ) ^ N ) - ( ( ! ` N ) x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` x ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) ) / x ) x. x ) - ( ( ! ` N ) x. x ) ) )
312	65	adantrr 709	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) - ( ( ( log ` x ) ^ N ) - ( ( ! ` N ) x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` x ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) ) e. CC )
313	213	simprd 460	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> x =/= 0 )
314	312, 192, 313	divcan1d 10096	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) - ( ( ( log ` x ) ^ N ) - ( ( ! ` N ) x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` x ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) ) / x ) x. x ) = ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) - ( ( ( log ` x ) ^ N ) - ( ( ! ` N ) x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` x ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) ) )
315	314	oveq1d 6095	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( ( ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) - ( ( ( log ` x ) ^ N ) - ( ( ! ` N ) x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` x ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) ) / x ) x. x ) - ( ( ! ` N ) x. x ) ) = ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) - ( ( ( log ` x ) ^ N ) - ( ( ! ` N ) x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` x ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) ) - ( ( ! ` N ) x. x ) ) )
316	311, 315	eqtrd 2465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( ( ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) - ( ( ( log ` x ) ^ N ) - ( ( ! ` N ) x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` x ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) ) / x ) - ( ! ` N ) ) x. x ) = ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) - ( ( ( log ` x ) ^ N ) - ( ( ! ` N ) x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` x ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) ) - ( ( ! ` N ) x. x ) ) )
317	206, 310, 316	3eqtr4d 2475	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( ( ( y e. RR+ |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) - ( ( ! ` N ) x. ( y x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` ( x / y ) ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) ) ) ` x ) - ( ( y e. RR+ |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) - ( ( ! ` N ) x. ( y x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` ( x / y ) ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) ) ) ` 1 ) ) = ( ( ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) - ( ( ( log ` x ) ^ N ) - ( ( ! ` N ) x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` x ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) ) / x ) - ( ! ` N ) ) x. x ) )
318	317	fveq2d 5683	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( abs ` ( ( ( y e. RR+ |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) - ( ( ! ` N ) x. ( y x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` ( x / y ) ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) ) ) ` x ) - ( ( y e. RR+ |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) - ( ( ! ` N ) x. ( y x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` ( x / y ) ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) ) ) ` 1 ) ) ) = ( abs ` ( ( ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) - ( ( ( log ` x ) ^ N ) - ( ( ! ` N ) x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` x ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) ) / x ) - ( ! ` N ) ) x. x ) ) )
319	74, 192	absmuld 12924	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( abs ` ( ( ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) - ( ( ( log ` x ) ^ N ) - ( ( ! ` N ) x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` x ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) ) / x ) - ( ! ` N ) ) x. x ) ) = ( ( abs ` ( ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) - ( ( ( log ` x ) ^ N ) - ( ( ! ` N ) x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` x ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) ) / x ) - ( ! ` N ) ) ) x. ( abs ` x ) ) )
320		rprege0 10993	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. RR+ -> ( x e. RR /\ 0 <_ x ) )
321	320	ad2antrl 720	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( x e. RR /\ 0 <_ x ) )
322		absid 12769	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) -> ( abs ` x ) = x )
323	321, 322	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( abs ` x ) = x )
324	323	oveq2d 6096	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( ( abs ` ( ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) - ( ( ( log ` x ) ^ N ) - ( ( ! ` N ) x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` x ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) ) / x ) - ( ! ` N ) ) ) x. ( abs ` x ) ) = ( ( abs ` ( ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) - ( ( ( log ` x ) ^ N ) - ( ( ! ` N ) x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` x ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) ) / x ) - ( ! ` N ) ) ) x. x ) )
325	318, 319, 324	3eqtrd 2469	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( abs ` ( ( ( y e. RR+ |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) - ( ( ! ` N ) x. ( y x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` ( x / y ) ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) ) ) ` x ) - ( ( y e. RR+ |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) - ( ( ! ` N ) x. ( y x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` ( x / y ) ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) ) ) ` 1 ) ) ) = ( ( abs ` ( ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) - ( ( ( log ` x ) ^ N ) - ( ( ! ` N ) x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` x ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) ) / x ) - ( ! ` N ) ) ) x. x ) )
326		1cnd 9390	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> 1 e. CC )
327	296	oveq1d 6095	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ y = 1 ) -> ( ( log ` ( x / y ) ) ^ N ) = ( ( log ` x ) ^ N ) )
328	326, 327	csbied 3302	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> [_ 1 / y ]_ ( ( log ` ( x / y ) ) ^ N ) = ( ( log ` x ) ^ N ) )
329	184, 325, 328	3brtr3d 4309	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( ( abs ` ( ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) - ( ( ( log ` x ) ^ N ) - ( ( ! ` N ) x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` x ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) ) / x ) - ( ! ` N ) ) ) x. x ) <_ ( ( log ` x ) ^ N ) )
330	14	adantrr 709	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( ( log ` x ) ^ N ) e. RR )
331	75, 330, 95	lemuldivd 11060	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( ( ( abs ` ( ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) - ( ( ( log ` x ) ^ N ) - ( ( ! ` N ) x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` x ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) ) / x ) - ( ! ` N ) ) ) x. x ) <_ ( ( log ` x ) ^ N ) <-> ( abs ` ( ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ N ) - ( ( ( log `