MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  logdmss Structured version   Unicode version

Theorem logdmss 22779
Description: The continuity domain of  log is a subset of the regular domain of  log. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
logcn.d  |-  D  =  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) )
Assertion
Ref Expression
logdmss  |-  D  C_  ( CC  \  { 0 } )

Proof of Theorem logdmss
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 logcn.d . . . . 5  |-  D  =  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) )
21ellogdm 22776 . . . 4  |-  ( x  e.  D  <->  ( x  e.  CC  /\  ( x  e.  RR  ->  x  e.  RR+ ) ) )
32simplbi 460 . . 3  |-  ( x  e.  D  ->  x  e.  CC )
41logdmn0 22777 . . 3  |-  ( x  e.  D  ->  x  =/=  0 )
5 eldifsn 4152 . . 3  |-  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
63, 4, 5sylanbrc 664 . 2  |-  ( x  e.  D  ->  x  e.  ( CC  \  {
0 } ) )
76ssriv 3508 1  |-  D  C_  ( CC  \  { 0 } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662    \ cdif 3473    C_ wss 3476   {csn 4027  (class class class)co 6284   CCcc 9490   RRcr 9491   0cc0 9492   -oocmnf 9626   RR+crp 11220   (,]cioc 11530
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-rp 11221  df-ioc 11534
This theorem is referenced by:  logcn  22784  dvloglem  22785  logf1o2  22787  dvlog  22788  dvlog2  22790  logtayl  22797  dvatan  23022  efrlim  23055  lgamcvg2  28265
  Copyright terms: Public domain W3C validator