MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  logdmss Structured version   Unicode version

Theorem logdmss 22102
Description: The continuity domain of  log is a subset of the regular domain of  log. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
logcn.d  |-  D  =  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) )
Assertion
Ref Expression
logdmss  |-  D  C_  ( CC  \  { 0 } )

Proof of Theorem logdmss
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 logcn.d . . . . 5  |-  D  =  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) )
21ellogdm 22099 . . . 4  |-  ( x  e.  D  <->  ( x  e.  CC  /\  ( x  e.  RR  ->  x  e.  RR+ ) ) )
32simplbi 460 . . 3  |-  ( x  e.  D  ->  x  e.  CC )
41logdmn0 22100 . . 3  |-  ( x  e.  D  ->  x  =/=  0 )
5 eldifsn 4015 . . 3  |-  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
63, 4, 5sylanbrc 664 . 2  |-  ( x  e.  D  ->  x  e.  ( CC  \  {
0 } ) )
76ssriv 3375 1  |-  D  C_  ( CC  \  { 0 } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2620    \ cdif 3340    C_ wss 3343   {csn 3892  (class class class)co 6106   CCcc 9295   RRcr 9296   0cc0 9297   -oocmnf 9431   RR+crp 11006   (,]cioc 11316
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4428  ax-nul 4436  ax-pow 4485  ax-pr 4546  ax-un 6387  ax-cnex 9353  ax-resscn 9354  ax-1cn 9355  ax-icn 9356  ax-addcl 9357  ax-addrcl 9358  ax-mulcl 9359  ax-mulrcl 9360  ax-i2m1 9365  ax-1ne0 9366  ax-rnegex 9368  ax-rrecex 9369  ax-cnre 9370  ax-pre-lttri 9371  ax-pre-lttrn 9372
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2735  df-rex 2736  df-rab 2739  df-v 2989  df-sbc 3202  df-csb 3304  df-dif 3346  df-un 3348  df-in 3350  df-ss 3357  df-nul 3653  df-if 3807  df-pw 3877  df-sn 3893  df-pr 3895  df-op 3899  df-uni 4107  df-br 4308  df-opab 4366  df-mpt 4367  df-id 4651  df-po 4656  df-so 4657  df-xp 4861  df-rel 4862  df-cnv 4863  df-co 4864  df-dm 4865  df-rn 4866  df-res 4867  df-ima 4868  df-iota 5396  df-fun 5435  df-fn 5436  df-f 5437  df-f1 5438  df-fo 5439  df-f1o 5440  df-fv 5441  df-ov 6109  df-oprab 6110  df-mpt2 6111  df-er 7116  df-en 7326  df-dom 7327  df-sdom 7328  df-pnf 9435  df-mnf 9436  df-xr 9437  df-ltxr 9438  df-le 9439  df-rp 11007  df-ioc 11320
This theorem is referenced by:  logcn  22107  dvloglem  22108  logf1o2  22110  dvlog  22111  dvlog2  22113  logtayl  22120  dvatan  22345  efrlim  22378  lgamcvg2  27056
  Copyright terms: Public domain W3C validator