MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  logdmn0 Structured version   Unicode version

Theorem logdmn0 23315
Description: A number in the continuous domain of  log is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
logcn.d  |-  D  =  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) )
Assertion
Ref Expression
logdmn0  |-  ( A  e.  D  ->  A  =/=  0 )

Proof of Theorem logdmn0
StepHypRef Expression
1 0nrp 11297 . . . 4  |-  -.  0  e.  RR+
2 0re 9626 . . . . 5  |-  0  e.  RR
3 logcn.d . . . . . . 7  |-  D  =  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) )
43ellogdm 23314 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  D  <->  ( 0  e.  CC  /\  (
0  e.  RR  ->  0  e.  RR+ ) ) )
54simprbi 462 . . . . 5  |-  ( 0  e.  D  ->  (
0  e.  RR  ->  0  e.  RR+ ) )
62, 5mpi 20 . . . 4  |-  ( 0  e.  D  ->  0  e.  RR+ )
71, 6mto 176 . . 3  |-  -.  0  e.  D
8 eleq1 2474 . . 3  |-  ( A  =  0  ->  ( A  e.  D  <->  0  e.  D ) )
97, 8mtbiri 301 . 2  |-  ( A  =  0  ->  -.  A  e.  D )
109necon2ai 2638 1  |-  ( A  e.  D  ->  A  =/=  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598    \ cdif 3411  (class class class)co 6278   CCcc 9520   RRcr 9521   0cc0 9522   -oocmnf 9656   RR+crp 11265   (,]cioc 11583
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-rp 11266  df-ioc 11587
This theorem is referenced by:  logdmss  23317  logcnlem2  23318  logcnlem3  23319  logcnlem4  23320  logcnlem5  23321  logcn  23322  dvloglem  23323  logf1o2  23325  logtayl  23335  logtayl2  23337  dvcncxp1  23413  dvcnsqrt  23414  cxpcn  23415  atansssdm  23589  lgamgulmlem2  23685
  Copyright terms: Public domain W3C validator