MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  logdmn0 Structured version   Unicode version

Theorem logdmn0 22201
Description: A number in the continuous domain of  log is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
logcn.d  |-  D  =  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) )
Assertion
Ref Expression
logdmn0  |-  ( A  e.  D  ->  A  =/=  0 )

Proof of Theorem logdmn0
StepHypRef Expression
1 0nrp 11122 . . . 4  |-  -.  0  e.  RR+
2 0re 9487 . . . . 5  |-  0  e.  RR
3 logcn.d . . . . . . 7  |-  D  =  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) )
43ellogdm 22200 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  D  <->  ( 0  e.  CC  /\  (
0  e.  RR  ->  0  e.  RR+ ) ) )
54simprbi 464 . . . . 5  |-  ( 0  e.  D  ->  (
0  e.  RR  ->  0  e.  RR+ ) )
62, 5mpi 17 . . . 4  |-  ( 0  e.  D  ->  0  e.  RR+ )
71, 6mto 176 . . 3  |-  -.  0  e.  D
8 eleq1 2523 . . 3  |-  ( A  =  0  ->  ( A  e.  D  <->  0  e.  D ) )
97, 8mtbiri 303 . 2  |-  ( A  =  0  ->  -.  A  e.  D )
109necon2ai 2683 1  |-  ( A  e.  D  ->  A  =/=  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2644    \ cdif 3423  (class class class)co 6190   CCcc 9381   RRcr 9382   0cc0 9383   -oocmnf 9517   RR+crp 11092   (,]cioc 11402
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-cnex 9439  ax-resscn 9440  ax-1cn 9441  ax-icn 9442  ax-addcl 9443  ax-addrcl 9444  ax-mulcl 9445  ax-mulrcl 9446  ax-i2m1 9451  ax-1ne0 9452  ax-rnegex 9454  ax-rrecex 9455  ax-cnre 9456  ax-pre-lttri 9457  ax-pre-lttrn 9458
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-op 3982  df-uni 4190  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-er 7201  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-pnf 9521  df-mnf 9522  df-xr 9523  df-ltxr 9524  df-le 9525  df-rp 11093  df-ioc 11406
This theorem is referenced by:  logdmss  22203  logcnlem2  22204  logcnlem3  22205  logcnlem4  22206  logcnlem5  22207  logcn  22208  dvloglem  22209  logf1o2  22211  logtayl  22221  logtayl2  22223  cxpcn  22299  atansssdm  22444  lgamgulmlem2  27150  dvcncxp1  28615  dvcnsqr  28616
  Copyright terms: Public domain W3C validator