MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  logdmn0 Structured version   Unicode version

Theorem logdmn0 23583
Description: A number in the continuous domain of  log is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
logcn.d  |-  D  =  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) )
Assertion
Ref Expression
logdmn0  |-  ( A  e.  D  ->  A  =/=  0 )

Proof of Theorem logdmn0
StepHypRef Expression
1 0nrp 11341 . . . 4  |-  -.  0  e.  RR+
2 0re 9650 . . . . 5  |-  0  e.  RR
3 logcn.d . . . . . . 7  |-  D  =  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) )
43ellogdm 23582 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  D  <->  ( 0  e.  CC  /\  (
0  e.  RR  ->  0  e.  RR+ ) ) )
54simprbi 465 . . . . 5  |-  ( 0  e.  D  ->  (
0  e.  RR  ->  0  e.  RR+ ) )
62, 5mpi 20 . . . 4  |-  ( 0  e.  D  ->  0  e.  RR+ )
71, 6mto 179 . . 3  |-  -.  0  e.  D
8 eleq1 2495 . . 3  |-  ( A  =  0  ->  ( A  e.  D  <->  0  e.  D ) )
97, 8mtbiri 304 . 2  |-  ( A  =  0  ->  -.  A  e.  D )
109necon2ai 2655 1  |-  ( A  e.  D  ->  A  =/=  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1437    e. wcel 1872    =/= wne 2614    \ cdif 3433  (class class class)co 6305   CCcc 9544   RRcr 9545   0cc0 9546   -oocmnf 9680   RR+crp 11309   (,]cioc 11643
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-op 4005  df-uni 4220  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-er 7374  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-rp 11310  df-ioc 11647
This theorem is referenced by:  logdmss  23585  logcnlem2  23586  logcnlem3  23587  logcnlem4  23588  logcnlem5  23589  logcn  23590  dvloglem  23591  logf1o2  23593  logtayl  23603  logtayl2  23605  dvcncxp1  23681  dvcnsqrt  23682  cxpcn  23683  atansssdm  23857  lgamgulmlem2  23953
  Copyright terms: Public domain W3C validator