MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  logdivlt Structured version   Unicode version

Theorem logdivlt 23435
Description: The  log x  /  x function is strictly decreasing on the reals greater than  _e. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
logdivlt  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  _e  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  _e  <_  B )
)  ->  ( A  <  B  <->  ( ( log `  B )  /  B
)  <  ( ( log `  A )  /  A ) ) )

Proof of Theorem logdivlt
StepHypRef Expression
1 logdivlti 23434 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  _e  <_  A )  /\  A  <  B )  -> 
( ( log `  B
)  /  B )  <  ( ( log `  A )  /  A
) )
21ex 435 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  _e  <_  A )  ->  ( A  <  B  ->  (
( log `  B
)  /  B )  <  ( ( log `  A )  /  A
) ) )
323expa 1205 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  _e  <_  A
)  ->  ( A  <  B  ->  ( ( log `  B )  /  B )  <  (
( log `  A
)  /  A ) ) )
43an32s 811 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  _e  <_  A )  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  < 
B  ->  ( ( log `  B )  /  B )  <  (
( log `  A
)  /  A ) ) )
54adantrr 721 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  _e  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  _e  <_  B )
)  ->  ( A  <  B  ->  ( ( log `  B )  /  B )  <  (
( log `  A
)  /  A ) ) )
6 fveq2 5881 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  B  ->  ( log `  A )  =  ( log `  B
) )
7 id 23 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  B  ->  A  =  B )
86, 7oveq12d 6323 . . . . . . 7  |-  ( A  =  B  ->  (
( log `  A
)  /  A )  =  ( ( log `  B )  /  B
) )
98eqcomd 2437 . . . . . 6  |-  ( A  =  B  ->  (
( log `  B
)  /  B )  =  ( ( log `  A )  /  A
) )
109a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  _e  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  _e  <_  B )
)  ->  ( A  =  B  ->  ( ( log `  B )  /  B )  =  ( ( log `  A
)  /  A ) ) )
11 logdivlti 23434 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  _e  <_  B )  /\  B  <  A )  -> 
( ( log `  A
)  /  A )  <  ( ( log `  B )  /  B
) )
1211ex 435 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  _e  <_  B )  ->  ( B  <  A  ->  (
( log `  A
)  /  A )  <  ( ( log `  B )  /  B
) ) )
13123expa 1205 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR )  /\  _e  <_  B
)  ->  ( B  <  A  ->  ( ( log `  A )  /  A )  <  (
( log `  B
)  /  B ) ) )
1413an32s 811 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  _e  <_  B )  /\  A  e.  RR )  ->  ( B  < 
A  ->  ( ( log `  A )  /  A )  <  (
( log `  B
)  /  B ) ) )
1514adantrr 721 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  _e  <_  B )  /\  ( A  e.  RR  /\  _e  <_  A )
)  ->  ( B  <  A  ->  ( ( log `  A )  /  A )  <  (
( log `  B
)  /  B ) ) )
1615ancoms 454 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  _e  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  _e  <_  B )
)  ->  ( B  <  A  ->  ( ( log `  A )  /  A )  <  (
( log `  B
)  /  B ) ) )
1710, 16orim12d 846 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  _e  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  _e  <_  B )
)  ->  ( ( A  =  B  \/  B  <  A )  -> 
( ( ( log `  B )  /  B
)  =  ( ( log `  A )  /  A )  \/  ( ( log `  A
)  /  A )  <  ( ( log `  B )  /  B
) ) ) )
1817con3d 138 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  _e  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  _e  <_  B )
)  ->  ( -.  ( ( ( log `  B )  /  B
)  =  ( ( log `  A )  /  A )  \/  ( ( log `  A
)  /  A )  <  ( ( log `  B )  /  B
) )  ->  -.  ( A  =  B  \/  B  <  A ) ) )
19 simpl 458 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  RR  /\  _e  <_  B )  ->  B  e.  RR )
20 epos 14237 . . . . . . . 8  |-  0  <  _e
21 0re 9642 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR
22 ere 14121 . . . . . . . . 9  |-  _e  e.  RR
23 ltletr 9724 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  _e  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  (
( 0  <  _e  /\  _e  <_  B )  ->  0  <  B ) )
2421, 22, 23mp3an12 1350 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  RR  ->  (
( 0  <  _e  /\  _e  <_  B )  ->  0  <  B ) )
2520, 24mpani 680 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  RR  ->  (
_e  <_  B  ->  0  <  B ) )
2625imp 430 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  RR  /\  _e  <_  B )  -> 
0  <  B )
2719, 26elrpd 11338 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR  /\  _e  <_  B )  ->  B  e.  RR+ )
28 relogcl 23390 . . . . . 6  |-  ( B  e.  RR+  ->  ( log `  B )  e.  RR )
29 rerpdivcl 11330 . . . . . 6  |-  ( ( ( log `  B
)  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( ( log `  B
)  /  B )  e.  RR )
3028, 29mpancom 673 . . . . 5  |-  ( B  e.  RR+  ->  ( ( log `  B )  /  B )  e.  RR )
3127, 30syl 17 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR  /\  _e  <_  B )  -> 
( ( log `  B
)  /  B )  e.  RR )
32 simpl 458 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  _e  <_  A )  ->  A  e.  RR )
33 ltletr 9724 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  _e  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  (
( 0  <  _e  /\  _e  <_  A )  ->  0  <  A ) )
3421, 22, 33mp3an12 1350 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( 0  <  _e  /\  _e  <_  A )  ->  0  <  A ) )
3520, 34mpani 680 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  (
_e  <_  A  ->  0  <  A ) )
3635imp 430 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  _e  <_  A )  -> 
0  <  A )
3732, 36elrpd 11338 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  _e  <_  A )  ->  A  e.  RR+ )
38 relogcl 23390 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( log `  A )  e.  RR )
39 rerpdivcl 11330 . . . . . 6  |-  ( ( ( log `  A
)  e.  RR  /\  A  e.  RR+ )  -> 
( ( log `  A
)  /  A )  e.  RR )
4038, 39mpancom 673 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( log `  A )  /  A )  e.  RR )
4137, 40syl 17 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  _e  <_  A )  -> 
( ( log `  A
)  /  A )  e.  RR )
42 axlttri 9704 . . . 4  |-  ( ( ( ( log `  B
)  /  B )  e.  RR  /\  (
( log `  A
)  /  A )  e.  RR )  -> 
( ( ( log `  B )  /  B
)  <  ( ( log `  A )  /  A )  <->  -.  (
( ( log `  B
)  /  B )  =  ( ( log `  A )  /  A
)  \/  ( ( log `  A )  /  A )  < 
( ( log `  B
)  /  B ) ) ) )
4331, 41, 42syl2anr 480 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  _e  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  _e  <_  B )
)  ->  ( (
( log `  B
)  /  B )  <  ( ( log `  A )  /  A
)  <->  -.  ( (
( log `  B
)  /  B )  =  ( ( log `  A )  /  A
)  \/  ( ( log `  A )  /  A )  < 
( ( log `  B
)  /  B ) ) ) )
44 axlttri 9704 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  <->  -.  ( A  =  B  \/  B  <  A
) ) )
4544ad2ant2r 751 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  _e  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  _e  <_  B )
)  ->  ( A  <  B  <->  -.  ( A  =  B  \/  B  <  A ) ) )
4618, 43, 453imtr4d 271 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  _e  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  _e  <_  B )
)  ->  ( (
( log `  B
)  /  B )  <  ( ( log `  A )  /  A
)  ->  A  <  B ) )
475, 46impbid 193 1  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  _e  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  _e  <_  B )
)  ->  ( A  <  B  <->  ( ( log `  B )  /  B
)  <  ( ( log `  A )  /  A ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1870   class class class wbr 4426   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   RRcr 9537   0cc0 9538    < clt 9674    <_ cle 9675    / cdiv 10268   RR+crp 11302   _eceu 14093   logclog 23369
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616  ax-addf 9617  ax-mulf 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-pm 7483  df-ixp 7531  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-fi 7931  df-sup 7962  df-inf 7963  df-oi 8025  df-card 8372  df-cda 8596  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-fl 12025  df-mod 12094  df-seq 12211  df-exp 12270  df-fac 12457  df-bc 12485  df-hash 12513  df-shft 13109  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-limsup 13504  df-clim 13530  df-rlim 13531  df-sum 13731  df-ef 14099  df-e 14100  df-sin 14101  df-cos 14102  df-pi 14104  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-starv 15167  df-sca 15168  df-vsca 15169  df-ip 15170  df-tset 15171  df-ple 15172  df-ds 15174  df-unif 15175  df-hom 15176  df-cco 15177  df-rest 15280  df-topn 15281  df-0g 15299  df-gsum 15300  df-topgen 15301  df-pt 15302  df-prds 15305  df-xrs 15359  df-qtop 15364  df-imas 15365  df-xps 15367  df-mre 15443  df-mrc 15444  df-acs 15446  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-submnd 16534  df-mulg 16627  df-cntz 16922  df-cmn 17367  df-psmet 18897  df-xmet 18898  df-met 18899  df-bl 18900  df-mopn 18901  df-fbas 18902  df-fg 18903  df-cnfld 18906  df-top 19852  df-bases 19853  df-topon 19854  df-topsp 19855  df-cld 19965  df-ntr 19966  df-cls 19967  df-nei 20045  df-lp 20083  df-perf 20084  df-cn 20174  df-cnp 20175  df-haus 20262  df-tx 20508  df-hmeo 20701  df-fil 20792  df-fm 20884  df-flim 20885  df-flf 20886  df-xms 21266  df-ms 21267  df-tms 21268  df-cncf 21806  df-limc 22698  df-dv 22699  df-log 23371
This theorem is referenced by:  logdivle  23436  bposlem7  24081  chebbnd1lem2  24171  chebbnd1lem3  24172  pntpbnd1a  24286
  Copyright terms: Public domain W3C validator