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Theorem logdivbnd 22937
Description: A bound on a sum of logs, used in pntlemk 22987. This is not as precise as logdivsum 22914 in its asymptotic behavior, but it is valid for all  N and does not require a limit value. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
logdivbnd  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( ( log `  n )  /  n
)  <_  ( (
( ( log `  N
)  +  1 ) ^ 2 )  / 
2 ) )
Distinct variable group:    n, N

Proof of Theorem logdivbnd
Dummy variables  i  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2re 10501 . . . 4  |-  2  e.  RR
2 fzfid 11911 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1 ... N )  e. 
Fin )
3 elfzuz 11565 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( 1 ... N )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
43adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  n  e.  (
ZZ>= `  1 ) )
5 nnuz 11006 . . . . . . . . 9  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
64, 5syl6eleqr 2553 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  n  e.  NN )
76nnrpd 11136 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  n  e.  RR+ )
87relogcld 22204 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( log `  n
)  e.  RR )
98, 6nndivred 10480 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( log `  n )  /  n
)  e.  RR )
102, 9fsumrecl 13328 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( ( log `  n )  /  n
)  e.  RR )
11 remulcl 9477 . . . 4  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  sum_
n  e.  ( 1 ... N ) ( ( log `  n
)  /  n )  e.  RR )  -> 
( 2  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( ( log `  n )  /  n ) )  e.  RR )
121, 10, 11sylancr 663 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( ( log `  n )  /  n
) )  e.  RR )
13 elfznn 11594 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  ( 1 ... N )  ->  i  e.  NN )
1413adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  i  e.  NN )
1514nnrecred 10477 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( 1  / 
i )  e.  RR )
162, 15fsumrecl 13328 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( 1  / 
i )  e.  RR )
1716resqcld 12150 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  i ) ^ 2 )  e.  RR )
18 nnrp 11110 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR+ )
1918relogcld 22204 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  N )  e.  RR )
20 peano2re 9652 . . . . 5  |-  ( ( log `  N )  e.  RR  ->  (
( log `  N
)  +  1 )  e.  RR )
2119, 20syl 16 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( log `  N
)  +  1 )  e.  RR )
2221resqcld 12150 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( log `  N
)  +  1 ) ^ 2 )  e.  RR )
2310recnd 9522 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( ( log `  n )  /  n
)  e.  CC )
24232timesd 10677 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( ( log `  n )  /  n
) )  =  (
sum_ n  e.  (
1 ... N ) ( ( log `  n
)  /  n )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( ( log `  n
)  /  n ) ) )
25 fzfid 11911 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( 1 ... n )  e.  Fin )
26 elfznn 11594 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  e.  ( 1 ... n )  ->  i  e.  NN )
2726adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  /\  i  e.  ( 1 ... n ) )  ->  i  e.  NN )
2827nnrecred 10477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  /\  i  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( 1  /  i )  e.  RR )
2925, 28fsumrecl 13328 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  i
)  e.  RR )
3029, 6nndivred 10480 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n
) ( 1  / 
i )  /  n
)  e.  RR )
312, 30fsumrecl 13328 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( sum_ i  e.  ( 1 ... n
) ( 1  / 
i )  /  n
)  e.  RR )
32 fzfid 11911 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( 1 ... ( n  -  1 ) )  e.  Fin )
33 elfznn 11594 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) )  ->  i  e.  NN )
3433adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  /\  i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) )  ->  i  e.  NN )
3534nnrecred 10477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  /\  i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) )  ->  ( 1  /  i )  e.  RR )
3632, 35fsumrecl 13328 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  e.  RR )
3736, 6nndivred 10480 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... (
n  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  /  n
)  e.  RR )
382, 37fsumrecl 13328 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( sum_ i  e.  ( 1 ... (
n  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  /  n
)  e.  RR )
396nncnd 10448 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  n  e.  CC )
40 ax-1cn 9450 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  CC
41 npcan 9729 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( n  - 
1 )  +  1 )  =  n )
4239, 40, 41sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( n  -  1 )  +  1 )  =  n )
4342fveq2d 5802 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( log `  (
( n  -  1 )  +  1 ) )  =  ( log `  n ) )
4443oveq2d 6215 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... (
n  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  -  ( log `  ( ( n  -  1 )  +  1 ) ) )  =  ( sum_ i  e.  ( 1 ... (
n  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  -  ( log `  n ) ) )
45 nnm1nn0 10731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  -  1 )  e.  NN0 )
46 harmonicbnd3 22533 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  -  1 )  e.  NN0  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  - 
1 ) ) ( 1  /  i )  -  ( log `  (
( n  -  1 )  +  1 ) ) )  e.  ( 0 [,] gamma )
)
476, 45, 463syl 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... (
n  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  -  ( log `  ( ( n  -  1 )  +  1 ) ) )  e.  ( 0 [,]
gamma ) )
4844, 47eqeltrrd 2543 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... (
n  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  -  ( log `  n ) )  e.  ( 0 [,]
gamma ) )
49 0re 9496 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  RR
50 emre 22531 . . . . . . . . . . . . 13  |-  gamma  e.  RR
5149, 50elicc2i 11471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  -  ( log `  n ) )  e.  ( 0 [,] gamma )  <-> 
( ( sum_ i  e.  ( 1 ... (
n  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  -  ( log `  n ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  -  ( log `  n ) )  /\  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  -  ( log `  n ) )  <_  gamma ) )
5251simp2bi 1004 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  -  ( log `  n ) )  e.  ( 0 [,] gamma )  ->  0  <_  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  - 
1 ) ) ( 1  /  i )  -  ( log `  n
) ) )
5348, 52syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  0  <_  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  - 
1 ) ) ( 1  /  i )  -  ( log `  n
) ) )
5436, 8subge0d 10039 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( 0  <_ 
( sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  -  ( log `  n ) )  <->  ( log `  n )  <_  sum_ i  e.  ( 1 ... (
n  -  1 ) ) ( 1  / 
i ) ) )
5553, 54mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( log `  n
)  <_  sum_ i  e.  ( 1 ... (
n  -  1 ) ) ( 1  / 
i ) )
568, 36, 7, 55lediv1dd 11191 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( log `  n )  /  n
)  <_  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  - 
1 ) ) ( 1  /  i )  /  n ) )
5727nnrpd 11136 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  /\  i  e.  ( 1 ... n ) )  ->  i  e.  RR+ )
5857rpreccld 11147 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  /\  i  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( 1  /  i )  e.  RR+ )
5958rpge0d 11141 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  /\  i  e.  ( 1 ... n ) )  ->  0  <_  ( 1  /  i ) )
60 elfzelz 11569 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  ( 1 ... N )  ->  n  e.  ZZ )
6160adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  n  e.  ZZ )
62 peano2zm 10798 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
n  -  1 )  e.  ZZ )
6361, 62syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( n  - 
1 )  e.  ZZ )
646nnred 10447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  n  e.  RR )
6564lem1d 10376 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( n  - 
1 )  <_  n
)
66 eluz2 10977 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  (
n  -  1 ) )  <->  ( ( n  -  1 )  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ  /\  ( n  -  1 )  <_  n ) )
6763, 61, 65, 66syl3anbrc 1172 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  n  e.  (
ZZ>= `  ( n  - 
1 ) ) )
68 fzss2 11614 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  (
n  -  1 ) )  ->  ( 1 ... ( n  - 
1 ) )  C_  ( 1 ... n
) )
6967, 68syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( 1 ... ( n  -  1 ) )  C_  (
1 ... n ) )
7025, 28, 59, 69fsumless 13376 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  <_  sum_ i  e.  ( 1 ... n
) ( 1  / 
i ) )
716nngt0d 10475 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  0  <  n
)
72 lediv1 10304 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  e.  RR  /\  sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  i )  e.  RR  /\  (
n  e.  RR  /\  0  <  n ) )  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... (
n  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  <_  sum_ i  e.  ( 1 ... n
) ( 1  / 
i )  <->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  - 
1 ) ) ( 1  /  i )  /  n )  <_ 
( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  i
)  /  n ) ) )
7336, 29, 64, 71, 72syl112anc 1223 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... (
n  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  <_  sum_ i  e.  ( 1 ... n
) ( 1  / 
i )  <->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  - 
1 ) ) ( 1  /  i )  /  n )  <_ 
( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  i
)  /  n ) ) )
7470, 73mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... (
n  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  /  n
)  <_  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  i )  /  n ) )
759, 37, 30, 56, 74letrd 9638 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( log `  n )  /  n
)  <_  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  i )  /  n ) )
762, 9, 30, 75fsumle 13379 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( ( log `  n )  /  n
)  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( sum_ i  e.  ( 1 ... n
) ( 1  / 
i )  /  n
) )
772, 9, 37, 56fsumle 13379 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( ( log `  n )  /  n
)  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( sum_ i  e.  ( 1 ... (
n  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  /  n
) )
7810, 10, 31, 38, 76, 77le2addd 10067 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( ( log `  n
)  /  n )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( ( log `  n
)  /  n ) )  <_  ( sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  i )  /  n )  + 
sum_ n  e.  (
1 ... N ) (
sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  /  n ) ) )
79 oveq1 6206 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  n  ->  (
m  -  1 )  =  ( n  - 
1 ) )
8079oveq2d 6215 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  n  ->  (
1 ... ( m  - 
1 ) )  =  ( 1 ... (
n  -  1 ) ) )
8180sumeq1d 13295 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  n  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... (
m  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  - 
1 ) ) ( 1  /  i ) )
8281, 81jca 532 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  n  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( m  - 
1 ) ) ( 1  /  i )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  /\  sum_ i  e.  ( 1 ... (
m  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  - 
1 ) ) ( 1  /  i ) ) )
83 oveq1 6206 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
m  -  1 )  =  ( ( n  +  1 )  - 
1 ) )
8483oveq2d 6215 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
1 ... ( m  - 
1 ) )  =  ( 1 ... (
( n  +  1 )  -  1 ) ) )
8584sumeq1d 13295 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... (
m  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( n  +  1 )  - 
1 ) ) ( 1  /  i ) )
8685, 85jca 532 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( m  - 
1 ) ) ( 1  /  i )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( n  +  1 )  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  /\  sum_ i  e.  ( 1 ... (
m  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( n  +  1 )  - 
1 ) ) ( 1  /  i ) ) )
87 oveq1 6206 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  1  ->  (
m  -  1 )  =  ( 1  -  1 ) )
88 1m1e0 10500 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  -  1 )  =  0
8987, 88syl6eq 2511 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  1  ->  (
m  -  1 )  =  0 )
9089oveq2d 6215 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  1  ->  (
1 ... ( m  - 
1 ) )  =  ( 1 ... 0
) )
91 fz10 11586 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1 ... 0 )  =  (/)
9290, 91syl6eq 2511 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  1  ->  (
1 ... ( m  - 
1 ) )  =  (/) )
9392sumeq1d 13295 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  1  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... (
m  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  =  sum_ i  e.  (/)  ( 1  /  i ) )
94 sum0 13315 . . . . . . . . . 10  |-  sum_ i  e.  (/)  ( 1  / 
i )  =  0
9593, 94syl6eq 2511 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  1  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... (
m  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  =  0 )
9695, 95jca 532 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  1  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( m  - 
1 ) ) ( 1  /  i )  =  0  /\  sum_ i  e.  ( 1 ... ( m  - 
1 ) ) ( 1  /  i )  =  0 ) )
97 oveq1 6206 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  ( N  + 
1 )  ->  (
m  -  1 )  =  ( ( N  +  1 )  - 
1 ) )
9897oveq2d 6215 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  ( N  + 
1 )  ->  (
1 ... ( m  - 
1 ) )  =  ( 1 ... (
( N  +  1 )  -  1 ) ) )
9998sumeq1d 13295 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( N  + 
1 )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... (
m  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( N  +  1 )  - 
1 ) ) ( 1  /  i ) )
10099, 99jca 532 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( N  + 
1 )  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( m  - 
1 ) ) ( 1  /  i )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( N  +  1 )  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  /\  sum_ i  e.  ( 1 ... (
m  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( N  +  1 )  - 
1 ) ) ( 1  /  i ) ) )
101 peano2nn 10444 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
102101, 5syl6eleq 2552 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  1
) )
103 fzfid 11911 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  m  e.  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) )  ->  ( 1 ... ( m  -  1 ) )  e.  Fin )
104 elfznn 11594 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  e.  ( 1 ... ( m  -  1 ) )  ->  i  e.  NN )
105104adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  m  e.  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... ( m  -  1 ) ) )  ->  i  e.  NN )
106105nnrecred 10477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  m  e.  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... ( m  -  1 ) ) )  ->  ( 1  /  i )  e.  RR )
107103, 106fsumrecl 13328 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  m  e.  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... ( m  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  e.  RR )
108107recnd 9522 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  m  e.  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... ( m  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  e.  CC )
10982, 86, 96, 100, 102, 108, 108fsumparts 13386 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ n  e.  ( 1..^ ( N  +  1 ) ) ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  x.  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( n  +  1 )  - 
1 ) ) ( 1  /  i )  -  sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) ( 1  /  i
) ) )  =  ( ( ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( N  +  1 )  - 
1 ) ) ( 1  /  i )  x.  sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( N  +  1 )  -  1 ) ) ( 1  /  i
) )  -  (
0  x.  0 ) )  -  sum_ n  e.  ( 1..^ ( N  +  1 ) ) ( ( sum_ i  e.  ( 1 ... (
( n  +  1 )  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  -  sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  - 
1 ) ) ( 1  /  i ) )  x.  sum_ i  e.  ( 1 ... (
( n  +  1 )  -  1 ) ) ( 1  / 
i ) ) ) )
110 nnz 10778 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
111 fzval3 11721 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
1 ... N )  =  ( 1..^ ( N  +  1 ) ) )
112110, 111syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1 ... N )  =  ( 1..^ ( N  +  1 ) ) )
113112eqcomd 2462 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1..^ ( N  + 
1 ) )  =  ( 1 ... N
) )
114 pncan 9726 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( n  + 
1 )  -  1 )  =  n )
11539, 40, 114sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( n  +  1 )  - 
1 )  =  n )
116115oveq2d 6215 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( 1 ... ( ( n  + 
1 )  -  1 ) )  =  ( 1 ... n ) )
117116sumeq1d 13295 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( n  +  1 )  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  =  sum_ i  e.  ( 1 ... n
) ( 1  / 
i ) )
11828recnd 9522 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  /\  i  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( 1  /  i )  e.  CC )
119 oveq2 6207 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  =  n  ->  (
1  /  i )  =  ( 1  /  n ) )
1204, 118, 119fsumm1 13337 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  i
)  =  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  - 
1 ) ) ( 1  /  i )  +  ( 1  /  n ) ) )
121117, 120eqtrd 2495 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( n  +  1 )  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  =  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  - 
1 ) ) ( 1  /  i )  +  ( 1  /  n ) ) )
122121oveq1d 6214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... (
( n  +  1 )  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  -  sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  - 
1 ) ) ( 1  /  i ) )  =  ( (
sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  +  ( 1  /  n ) )  -  sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) ( 1  /  i
) ) )
12336recnd 9522 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  e.  CC )
1246nnrecred 10477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( 1  /  n )  e.  RR )
125124recnd 9522 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( 1  /  n )  e.  CC )
126123, 125pncan2d 9831 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  - 
1 ) ) ( 1  /  i )  +  ( 1  /  n ) )  -  sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  - 
1 ) ) ( 1  /  i ) )  =  ( 1  /  n ) )
127122, 126eqtrd 2495 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... (
( n  +  1 )  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  -  sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  - 
1 ) ) ( 1  /  i ) )  =  ( 1  /  n ) )
128127oveq2d 6215 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... (
n  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  x.  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( n  +  1 )  - 
1 ) ) ( 1  /  i )  -  sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) ( 1  /  i
) ) )  =  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  x.  ( 1  /  n ) ) )
1296nnne0d 10476 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  n  =/=  0
)
130123, 39, 129divrecd 10220 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... (
n  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  /  n
)  =  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  - 
1 ) ) ( 1  /  i )  x.  ( 1  /  n ) ) )
131128, 130eqtr4d 2498 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... (
n  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  x.  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( n  +  1 )  - 
1 ) ) ( 1  /  i )  -  sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) ( 1  /  i
) ) )  =  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  /  n ) )
132113, 131sumeq12rdv 13301 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ n  e.  ( 1..^ ( N  +  1 ) ) ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  x.  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( n  +  1 )  - 
1 ) ) ( 1  /  i )  -  sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) ( 1  /  i
) ) )  = 
sum_ n  e.  (
1 ... N ) (
sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  /  n ) )
133 nncn 10440 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
134 pncan 9726 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  + 
1 )  -  1 )  =  N )
135133, 40, 134sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  -  1 )  =  N )
136135oveq2d 6215 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1 ... ( ( N  +  1 )  - 
1 ) )  =  ( 1 ... N
) )
137136sumeq1d 13295 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... (
( N  +  1 )  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  i ) )
138137, 137oveq12d 6217 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( N  +  1 )  - 
1 ) ) ( 1  /  i )  x.  sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( N  +  1 )  -  1 ) ) ( 1  /  i
) )  =  (
sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  i
)  x.  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( 1  / 
i ) ) )
13916recnd 9522 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( 1  / 
i )  e.  CC )
140139sqvald 12121 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  i ) ^ 2 )  =  ( sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  i
)  x.  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( 1  / 
i ) ) )
141138, 140eqtr4d 2498 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( N  +  1 )  - 
1 ) ) ( 1  /  i )  x.  sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( N  +  1 )  -  1 ) ) ( 1  /  i
) )  =  (
sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  i
) ^ 2 ) )
142 0cn 9488 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  CC
143142mul01i 9669 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  x.  0 )  =  0
144143a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
0  x.  0 )  =  0 )
145141, 144oveq12d 6217 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( N  +  1 )  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  x.  sum_ i  e.  ( 1 ... (
( N  +  1 )  -  1 ) ) ( 1  / 
i ) )  -  ( 0  x.  0 ) )  =  ( ( sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  i
) ^ 2 )  -  0 ) )
146139sqcld 12122 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  i ) ^ 2 )  e.  CC )
147146subid1d 9818 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  i
) ^ 2 )  -  0 )  =  ( sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  i
) ^ 2 ) )
148145, 147eqtrd 2495 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( N  +  1 )  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  x.  sum_ i  e.  ( 1 ... (
( N  +  1 )  -  1 ) ) ( 1  / 
i ) )  -  ( 0  x.  0 ) )  =  (
sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  i
) ^ 2 ) )
149127, 117oveq12d 6217 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( n  +  1 )  - 
1 ) ) ( 1  /  i )  -  sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) ( 1  /  i
) )  x.  sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( n  +  1 )  - 
1 ) ) ( 1  /  i ) )  =  ( ( 1  /  n )  x.  sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  i
) ) )
15029recnd 9522 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  i
)  e.  CC )
151150, 39, 129divrec2d 10221 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n
) ( 1  / 
i )  /  n
)  =  ( ( 1  /  n )  x.  sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  i
) ) )
152149, 151eqtr4d 2498 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( n  +  1 )  - 
1 ) ) ( 1  /  i )  -  sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) ( 1  /  i
) )  x.  sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( n  +  1 )  - 
1 ) ) ( 1  /  i ) )  =  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  i )  /  n ) )
153113, 152sumeq12rdv 13301 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ n  e.  ( 1..^ ( N  +  1 ) ) ( ( sum_ i  e.  ( 1 ... (
( n  +  1 )  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  -  sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  - 
1 ) ) ( 1  /  i ) )  x.  sum_ i  e.  ( 1 ... (
( n  +  1 )  -  1 ) ) ( 1  / 
i ) )  = 
sum_ n  e.  (
1 ... N ) (
sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  i
)  /  n ) )
154148, 153oveq12d 6217 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( sum_ i  e.  ( 1 ... (
( N  +  1 )  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  x.  sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( N  +  1 )  - 
1 ) ) ( 1  /  i ) )  -  ( 0  x.  0 ) )  -  sum_ n  e.  ( 1..^ ( N  + 
1 ) ) ( ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( n  +  1 )  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  -  sum_ i  e.  ( 1 ... (
n  -  1 ) ) ( 1  / 
i ) )  x. 
sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( n  +  1 )  -  1 ) ) ( 1  /  i
) ) )  =  ( ( sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( 1  / 
i ) ^ 2 )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( sum_ i  e.  ( 1 ... n
) ( 1  / 
i )  /  n
) ) )
155109, 132, 1543eqtr3rd 2504 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  i
) ^ 2 )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  i
)  /  n ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( sum_ i  e.  ( 1 ... (
n  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  /  n
) )
15631recnd 9522 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( sum_ i  e.  ( 1 ... n
) ( 1  / 
i )  /  n
)  e.  CC )
15738recnd 9522 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( sum_ i  e.  ( 1 ... (
n  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  /  n
)  e.  CC )
158146, 156, 157subaddd 9847 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( 1  / 
i ) ^ 2 )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( sum_ i  e.  ( 1 ... n
) ( 1  / 
i )  /  n
) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  - 
1 ) ) ( 1  /  i )  /  n )  <->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  i )  /  n )  + 
sum_ n  e.  (
1 ... N ) (
sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  /  n ) )  =  ( sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  i ) ^ 2 ) ) )
159155, 158mpbid 210 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... N ) (
sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  i
)  /  n )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  /  n ) )  =  ( sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  i ) ^ 2 ) )
16078, 159breqtrd 4423 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( ( log `  n
)  /  n )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( ( log `  n
)  /  n ) )  <_  ( sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  i ) ^ 2 ) )
16124, 160eqbrtrd 4419 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( ( log `  n )  /  n
) )  <_  ( sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  i ) ^ 2 ) )
162 flid 11773 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( |_ `  N )  =  N )
163110, 162syl 16 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( |_ `  N )  =  N )
164163oveq2d 6215 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1 ... ( |_ `  N ) )  =  ( 1 ... N
) )
165164sumeq1d 13295 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... ( |_ `  N ) ) ( 1  /  i
)  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( 1  / 
i ) )
166 nnre 10439 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
167 nnge1 10458 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  1  <_  N )
168 harmonicubnd 22535 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  1  <_  N )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... ( |_ `  N ) ) ( 1  /  i )  <_  ( ( log `  N )  +  1 ) )
169166, 167, 168syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... ( |_ `  N ) ) ( 1  /  i
)  <_  ( ( log `  N )  +  1 ) )
170165, 169eqbrtrrd 4421 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( 1  / 
i )  <_  (
( log `  N
)  +  1 ) )
17114nnrpd 11136 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  i  e.  RR+ )
172171rpreccld 11147 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( 1  / 
i )  e.  RR+ )
173172rpge0d 11141 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  0  <_  (
1  /  i ) )
1742, 15, 173fsumge0 13375 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_ 
sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  i
) )
17549a1i 11 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  0  e.  RR )
176 log1 22166 . . . . . . 7  |-  ( log `  1 )  =  0
177 1rp 11105 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR+
178 logleb 22184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  e.  RR+  /\  N  e.  RR+ )  ->  (
1  <_  N  <->  ( log `  1 )  <_  ( log `  N ) ) )
179177, 18, 178sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  <_  N  <->  ( log `  1 )  <_  ( log `  N ) ) )
180167, 179mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  1 )  <_ 
( log `  N
) )
181176, 180syl5eqbrr 4433 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_  ( log `  N
) )
18219lep1d 10374 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  N )  <_ 
( ( log `  N
)  +  1 ) )
183175, 19, 21, 181, 182letrd 9638 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_  ( ( log `  N
)  +  1 ) )
18416, 21, 174, 183le2sqd 12159 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  i )  <_  ( ( log `  N )  +  1 )  <->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( 1  / 
i ) ^ 2 )  <_  ( (
( log `  N
)  +  1 ) ^ 2 ) ) )
185170, 184mpbid 210 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  i ) ^ 2 )  <_ 
( ( ( log `  N )  +  1 ) ^ 2 ) )
18612, 17, 22, 161, 185letrd 9638 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( ( log `  n )  /  n
) )  <_  (
( ( log `  N
)  +  1 ) ^ 2 ) )
1871a1i 11 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  2  e.  RR )
188 2pos 10523 . . . 4  |-  0  <  2
189188a1i 11 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  2 )
190 lemuldiv2 10322 . . 3  |-  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... N ) ( ( log `  n
)  /  n )  e.  RR  /\  (
( ( log `  N
)  +  1 ) ^ 2 )  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  -> 
( ( 2  x. 
sum_ n  e.  (
1 ... N ) ( ( log `  n
)  /  n ) )  <_  ( (
( log `  N
)  +  1 ) ^ 2 )  <->  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( ( log `  n )  /  n
)  <_  ( (
( ( log `  N
)  +  1 ) ^ 2 )  / 
2 ) ) )
19110, 22, 187, 189, 190syl112anc 1223 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( ( log `  n )  /  n ) )  <_  ( ( ( log `  N )  +  1 ) ^
2 )  <->  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( ( log `  n )  /  n
)  <_  ( (
( ( log `  N
)  +  1 ) ^ 2 )  / 
2 ) ) )
192186, 191mpbid 210 1  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( ( log `  n )  /  n
)  <_  ( (
( ( log `  N
)  +  1 ) ^ 2 )  / 
2 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    C_ wss 3435   (/)c0 3744   class class class wbr 4399   ` cfv 5525  (class class class)co 6199   CCcc 9390   RRcr 9391   0cc0 9392   1c1 9393    + caddc 9395    x. cmul 9397    < clt 9528    <_ cle 9529    - cmin 9705    / cdiv 10103   NNcn 10432   2c2 10481   NN0cn0 10689   ZZcz 10756   ZZ>=cuz 10971   RR+crp 11101   [,]cicc 11413   ...cfz 11553  ..^cfzo 11664   |_cfl 11756   ^cexp 11981   sum_csu 13280   logclog 22138   gammacem 22517
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4510  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-inf2 7957  ax-cnex 9448  ax-resscn 9449  ax-1cn 9450  ax-icn 9451  ax-addcl 9452  ax-addrcl 9453  ax-mulcl 9454  ax-mulrcl 9455  ax-mulcom 9456  ax-addass 9457  ax-mulass 9458  ax-distr 9459  ax-i2m1 9460  ax-1ne0 9461  ax-1rid 9462  ax-rnegex 9463  ax-rrecex 9464  ax-cnre 9465  ax-pre-lttri 9466  ax-pre-lttrn 9467  ax-pre-ltadd 9468  ax-pre-mulgt0 9469  ax-pre-sup 9470  ax-addf 9471  ax-mulf 9472
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rmo 2806  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-int 4236  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-se 4787  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-isom 5534  df-riota 6160  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-of 6429  df-om 6586  df-1st 6686  df-2nd 6687  df-supp 6800  df-recs 6941  df-rdg 6975  df-1o 7029  df-2o 7030  df-oadd 7033  df-er 7210  df-map 7325  df-pm 7326  df-ixp 7373  df-en 7420  df-dom 7421  df-sdom 7422  df-fin 7423  df-fsupp 7731  df-fi 7771  df-sup 7801  df-oi 7834  df-card 8219  df-cda 8447  df-pnf 9530  df-mnf 9531  df-xr 9532  df-ltxr 9533  df-le 9534  df-sub 9707  df-neg 9708  df-div 10104  df-nn 10433  df-2 10490  df-3 10491  df-4 10492  df-5 10493  df-6 10494  df-7 10495  df-8 10496  df-9 10497  df-10 10498  df-n0 10690  df-z 10757  df-dec 10866  df-uz 10972  df-q 11064  df-rp 11102  df-xneg 11199  df-xadd 11200  df-xmul 11201  df-ioo 11414  df-ioc 11415  df-ico 11416  df-icc 11417  df-fz 11554  df-fzo 11665  df-fl 11758  df-mod 11825  df-seq 11923  df-exp 11982  df-fac 12168  df-bc 12195  df-hash 12220  df-shft 12673  df-cj 12705  df-re 12706  df-im 12707  df-sqr 12841  df-abs 12842  df-limsup 13066  df-clim 13083  df-rlim 13084  df-sum 13281  df-ef 13470  df-e 13471  df-sin 13472  df-cos 13473  df-pi 13475  df-struct 14293  df-ndx 14294  df-slot 14295  df-base 14296  df-sets 14297  df-ress 14298  df-plusg 14369  df-mulr 14370  df-starv 14371  df-sca 14372  df-vsca 14373  df-ip 14374  df-tset 14375  df-ple 14376  df-ds 14378  df-unif 14379  df-hom 14380  df-cco 14381  df-rest 14479  df-topn 14480  df-0g 14498  df-gsum 14499  df-topgen 14500  df-pt 14501  df-prds 14504  df-xrs 14558  df-qtop 14563  df-imas 14564  df-xps 14566  df-mre 14642  df-mrc 14643  df-acs 14645  df-mnd 15533  df-submnd 15583  df-mulg 15666  df-cntz 15953  df-cmn 16399  df-psmet 17933  df-xmet 17934  df-met 17935  df-bl 17936  df-mopn 17937  df-fbas 17938  df-fg 17939  df-cnfld 17943  df-top 18634  df-bases 18636  df-topon 18637  df-topsp 18638  df-cld 18754  df-ntr 18755  df-cls 18756  df-nei 18833  df-lp 18871  df-perf 18872  df-cn 18962  df-cnp 18963  df-haus 19050  df-tx 19266  df-hmeo 19459  df-fil 19550  df-fm 19642  df-flim 19643  df-flf 19644  df-xms 20026  df-ms 20027  df-tms 20028  df-cncf 20585  df-limc 21473  df-dv 21474  df-log 22140  df-em 22518
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