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Theorem logdivbnd 21203
Description: A bound on a sum of logs, used in pntlemk 21253. This is not as precise as logdivsum 21180 in its asymptotic behavior, but it is valid for all  N and does not require a limit value. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
logdivbnd  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( ( log `  n )  /  n
)  <_  ( (
( ( log `  N
)  +  1 ) ^ 2 )  / 
2 ) )
Distinct variable group:    n, N

Proof of Theorem logdivbnd
Dummy variables  i  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2re 10025 . . . 4  |-  2  e.  RR
2 fzfid 11267 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1 ... N )  e. 
Fin )
3 elfzuz 11011 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( 1 ... N )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
43adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  n  e.  (
ZZ>= `  1 ) )
5 nnuz 10477 . . . . . . . . 9  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
64, 5syl6eleqr 2495 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  n  e.  NN )
76nnrpd 10603 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  n  e.  RR+ )
87relogcld 20471 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( log `  n
)  e.  RR )
98, 6nndivred 10004 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( log `  n )  /  n
)  e.  RR )
102, 9fsumrecl 12483 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( ( log `  n )  /  n
)  e.  RR )
11 remulcl 9031 . . . 4  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  sum_
n  e.  ( 1 ... N ) ( ( log `  n
)  /  n )  e.  RR )  -> 
( 2  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( ( log `  n )  /  n ) )  e.  RR )
121, 10, 11sylancr 645 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( ( log `  n )  /  n
) )  e.  RR )
13 elfznn 11036 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  ( 1 ... N )  ->  i  e.  NN )
1413adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  i  e.  NN )
1514nnrecred 10001 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( 1  / 
i )  e.  RR )
162, 15fsumrecl 12483 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( 1  / 
i )  e.  RR )
1716resqcld 11504 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  i ) ^ 2 )  e.  RR )
18 nnrp 10577 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR+ )
1918relogcld 20471 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  N )  e.  RR )
20 peano2re 9195 . . . . 5  |-  ( ( log `  N )  e.  RR  ->  (
( log `  N
)  +  1 )  e.  RR )
2119, 20syl 16 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( log `  N
)  +  1 )  e.  RR )
2221resqcld 11504 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( log `  N
)  +  1 ) ^ 2 )  e.  RR )
2310recnd 9070 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( ( log `  n )  /  n
)  e.  CC )
24232timesd 10166 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( ( log `  n )  /  n
) )  =  (
sum_ n  e.  (
1 ... N ) ( ( log `  n
)  /  n )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( ( log `  n
)  /  n ) ) )
25 fzfid 11267 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( 1 ... n )  e.  Fin )
26 elfznn 11036 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  e.  ( 1 ... n )  ->  i  e.  NN )
2726adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  /\  i  e.  ( 1 ... n ) )  ->  i  e.  NN )
2827nnrecred 10001 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  /\  i  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( 1  /  i )  e.  RR )
2925, 28fsumrecl 12483 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  i
)  e.  RR )
3029, 6nndivred 10004 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n
) ( 1  / 
i )  /  n
)  e.  RR )
312, 30fsumrecl 12483 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( sum_ i  e.  ( 1 ... n
) ( 1  / 
i )  /  n
)  e.  RR )
32 fzfid 11267 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( 1 ... ( n  -  1 ) )  e.  Fin )
33 elfznn 11036 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) )  ->  i  e.  NN )
3433adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  /\  i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) )  ->  i  e.  NN )
3534nnrecred 10001 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  /\  i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) )  ->  ( 1  /  i )  e.  RR )
3632, 35fsumrecl 12483 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  e.  RR )
3736, 6nndivred 10004 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... (
n  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  /  n
)  e.  RR )
382, 37fsumrecl 12483 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( sum_ i  e.  ( 1 ... (
n  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  /  n
)  e.  RR )
396nncnd 9972 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  n  e.  CC )
40 ax-1cn 9004 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  CC
41 npcan 9270 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( n  - 
1 )  +  1 )  =  n )
4239, 40, 41sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( n  -  1 )  +  1 )  =  n )
4342fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( log `  (
( n  -  1 )  +  1 ) )  =  ( log `  n ) )
4443oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... (
n  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  -  ( log `  ( ( n  -  1 )  +  1 ) ) )  =  ( sum_ i  e.  ( 1 ... (
n  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  -  ( log `  n ) ) )
45 nnm1nn0 10217 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  -  1 )  e.  NN0 )
46 harmonicbnd3 20799 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  -  1 )  e.  NN0  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  - 
1 ) ) ( 1  /  i )  -  ( log `  (
( n  -  1 )  +  1 ) ) )  e.  ( 0 [,] gamma )
)
476, 45, 463syl 19 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... (
n  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  -  ( log `  ( ( n  -  1 )  +  1 ) ) )  e.  ( 0 [,]
gamma ) )
4844, 47eqeltrrd 2479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... (
n  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  -  ( log `  n ) )  e.  ( 0 [,]
gamma ) )
49 0re 9047 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  RR
50 emre 20797 . . . . . . . . . . . . 13  |-  gamma  e.  RR
5149, 50elicc2i 10932 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  -  ( log `  n ) )  e.  ( 0 [,] gamma )  <-> 
( ( sum_ i  e.  ( 1 ... (
n  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  -  ( log `  n ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  -  ( log `  n ) )  /\  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  -  ( log `  n ) )  <_  gamma ) )
5251simp2bi 973 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  -  ( log `  n ) )  e.  ( 0 [,] gamma )  ->  0  <_  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  - 
1 ) ) ( 1  /  i )  -  ( log `  n
) ) )
5348, 52syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  0  <_  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  - 
1 ) ) ( 1  /  i )  -  ( log `  n
) ) )
5436, 8subge0d 9572 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( 0  <_ 
( sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  -  ( log `  n ) )  <->  ( log `  n )  <_  sum_ i  e.  ( 1 ... (
n  -  1 ) ) ( 1  / 
i ) ) )
5553, 54mpbid 202 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( log `  n
)  <_  sum_ i  e.  ( 1 ... (
n  -  1 ) ) ( 1  / 
i ) )
568, 36, 7, 55lediv1dd 10658 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( log `  n )  /  n
)  <_  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  - 
1 ) ) ( 1  /  i )  /  n ) )
5727nnrpd 10603 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  /\  i  e.  ( 1 ... n ) )  ->  i  e.  RR+ )
5857rpreccld 10614 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  /\  i  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( 1  /  i )  e.  RR+ )
5958rpge0d 10608 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  /\  i  e.  ( 1 ... n ) )  ->  0  <_  ( 1  /  i ) )
60 elfzelz 11015 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  ( 1 ... N )  ->  n  e.  ZZ )
6160adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  n  e.  ZZ )
62 peano2zm 10276 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
n  -  1 )  e.  ZZ )
6361, 62syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( n  - 
1 )  e.  ZZ )
646nnred 9971 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  n  e.  RR )
6564lem1d 9900 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( n  - 
1 )  <_  n
)
66 eluz2 10450 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  (
n  -  1 ) )  <->  ( ( n  -  1 )  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ  /\  ( n  -  1 )  <_  n ) )
6763, 61, 65, 66syl3anbrc 1138 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  n  e.  (
ZZ>= `  ( n  - 
1 ) ) )
68 fzss2 11048 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  (
n  -  1 ) )  ->  ( 1 ... ( n  - 
1 ) )  C_  ( 1 ... n
) )
6967, 68syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( 1 ... ( n  -  1 ) )  C_  (
1 ... n ) )
7025, 28, 59, 69fsumless 12530 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  <_  sum_ i  e.  ( 1 ... n
) ( 1  / 
i ) )
716nngt0d 9999 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  0  <  n
)
72 lediv1 9831 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  e.  RR  /\  sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  i )  e.  RR  /\  (
n  e.  RR  /\  0  <  n ) )  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... (
n  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  <_  sum_ i  e.  ( 1 ... n
) ( 1  / 
i )  <->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  - 
1 ) ) ( 1  /  i )  /  n )  <_ 
( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  i
)  /  n ) ) )
7336, 29, 64, 71, 72syl112anc 1188 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... (
n  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  <_  sum_ i  e.  ( 1 ... n
) ( 1  / 
i )  <->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  - 
1 ) ) ( 1  /  i )  /  n )  <_ 
( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  i
)  /  n ) ) )
7470, 73mpbid 202 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... (
n  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  /  n
)  <_  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  i )  /  n ) )
759, 37, 30, 56, 74letrd 9183 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( log `  n )  /  n
)  <_  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  i )  /  n ) )
762, 9, 30, 75fsumle 12533 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( ( log `  n )  /  n
)  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( sum_ i  e.  ( 1 ... n
) ( 1  / 
i )  /  n
) )
772, 9, 37, 56fsumle 12533 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( ( log `  n )  /  n
)  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( sum_ i  e.  ( 1 ... (
n  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  /  n
) )
7810, 10, 31, 38, 76, 77le2addd 9600 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( ( log `  n
)  /  n )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( ( log `  n
)  /  n ) )  <_  ( sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  i )  /  n )  + 
sum_ n  e.  (
1 ... N ) (
sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  /  n ) ) )
79 oveq1 6047 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  n  ->  (
m  -  1 )  =  ( n  - 
1 ) )
8079oveq2d 6056 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  n  ->  (
1 ... ( m  - 
1 ) )  =  ( 1 ... (
n  -  1 ) ) )
8180sumeq1d 12450 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  n  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... (
m  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  - 
1 ) ) ( 1  /  i ) )
8281, 81jca 519 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  n  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( m  - 
1 ) ) ( 1  /  i )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  /\  sum_ i  e.  ( 1 ... (
m  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  - 
1 ) ) ( 1  /  i ) ) )
83 oveq1 6047 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
m  -  1 )  =  ( ( n  +  1 )  - 
1 ) )
8483oveq2d 6056 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
1 ... ( m  - 
1 ) )  =  ( 1 ... (
( n  +  1 )  -  1 ) ) )
8584sumeq1d 12450 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... (
m  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( n  +  1 )  - 
1 ) ) ( 1  /  i ) )
8685, 85jca 519 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( m  - 
1 ) ) ( 1  /  i )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( n  +  1 )  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  /\  sum_ i  e.  ( 1 ... (
m  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( n  +  1 )  - 
1 ) ) ( 1  /  i ) ) )
87 oveq1 6047 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  1  ->  (
m  -  1 )  =  ( 1  -  1 ) )
88 1m1e0 10024 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  -  1 )  =  0
8987, 88syl6eq 2452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  1  ->  (
m  -  1 )  =  0 )
9089oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  1  ->  (
1 ... ( m  - 
1 ) )  =  ( 1 ... 0
) )
91 fz10 11031 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1 ... 0 )  =  (/)
9290, 91syl6eq 2452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  1  ->  (
1 ... ( m  - 
1 ) )  =  (/) )
9392sumeq1d 12450 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  1  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... (
m  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  =  sum_ i  e.  (/)  ( 1  /  i ) )
94 sum0 12470 . . . . . . . . . 10  |-  sum_ i  e.  (/)  ( 1  / 
i )  =  0
9593, 94syl6eq 2452 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  1  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... (
m  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  =  0 )
9695, 95jca 519 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  1  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( m  - 
1 ) ) ( 1  /  i )  =  0  /\  sum_ i  e.  ( 1 ... ( m  - 
1 ) ) ( 1  /  i )  =  0 ) )
97 oveq1 6047 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  ( N  + 
1 )  ->  (
m  -  1 )  =  ( ( N  +  1 )  - 
1 ) )
9897oveq2d 6056 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  ( N  + 
1 )  ->  (
1 ... ( m  - 
1 ) )  =  ( 1 ... (
( N  +  1 )  -  1 ) ) )
9998sumeq1d 12450 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( N  + 
1 )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... (
m  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( N  +  1 )  - 
1 ) ) ( 1  /  i ) )
10099, 99jca 519 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( N  + 
1 )  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( m  - 
1 ) ) ( 1  /  i )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( N  +  1 )  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  /\  sum_ i  e.  ( 1 ... (
m  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( N  +  1 )  - 
1 ) ) ( 1  /  i ) ) )
101 peano2nn 9968 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
102101, 5syl6eleq 2494 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  1
) )
103 fzfid 11267 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  m  e.  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) )  ->  ( 1 ... ( m  -  1 ) )  e.  Fin )
104 elfznn 11036 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  e.  ( 1 ... ( m  -  1 ) )  ->  i  e.  NN )
105104adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  m  e.  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... ( m  -  1 ) ) )  ->  i  e.  NN )
106105nnrecred 10001 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  m  e.  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... ( m  -  1 ) ) )  ->  ( 1  /  i )  e.  RR )
107103, 106fsumrecl 12483 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  m  e.  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... ( m  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  e.  RR )
108107recnd 9070 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  m  e.  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... ( m  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  e.  CC )
10982, 86, 96, 100, 102, 108, 108fsumparts 12540 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ n  e.  ( 1..^ ( N  +  1 ) ) ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  x.  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( n  +  1 )  - 
1 ) ) ( 1  /  i )  -  sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) ( 1  /  i
) ) )  =  ( ( ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( N  +  1 )  - 
1 ) ) ( 1  /  i )  x.  sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( N  +  1 )  -  1 ) ) ( 1  /  i
) )  -  (
0  x.  0 ) )  -  sum_ n  e.  ( 1..^ ( N  +  1 ) ) ( ( sum_ i  e.  ( 1 ... (
( n  +  1 )  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  -  sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  - 
1 ) ) ( 1  /  i ) )  x.  sum_ i  e.  ( 1 ... (
( n  +  1 )  -  1 ) ) ( 1  / 
i ) ) ) )
110 nnz 10259 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
111 fzval3 11135 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
1 ... N )  =  ( 1..^ ( N  +  1 ) ) )
112110, 111syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1 ... N )  =  ( 1..^ ( N  +  1 ) ) )
113112eqcomd 2409 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1..^ ( N  + 
1 ) )  =  ( 1 ... N
) )
114 pncan 9267 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( n  + 
1 )  -  1 )  =  n )
11539, 40, 114sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( n  +  1 )  - 
1 )  =  n )
116115oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( 1 ... ( ( n  + 
1 )  -  1 ) )  =  ( 1 ... n ) )
117116sumeq1d 12450 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( n  +  1 )  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  =  sum_ i  e.  ( 1 ... n
) ( 1  / 
i ) )
11828recnd 9070 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  /\  i  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( 1  /  i )  e.  CC )
119 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  =  n  ->  (
1  /  i )  =  ( 1  /  n ) )
1204, 118, 119fsumm1 12492 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  i
)  =  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  - 
1 ) ) ( 1  /  i )  +  ( 1  /  n ) ) )
121117, 120eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( n  +  1 )  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  =  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  - 
1 ) ) ( 1  /  i )  +  ( 1  /  n ) ) )
122121oveq1d 6055 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... (
( n  +  1 )  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  -  sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  - 
1 ) ) ( 1  /  i ) )  =  ( (
sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  +  ( 1  /  n ) )  -  sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) ( 1  /  i
) ) )
12336recnd 9070 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  e.  CC )
1246nnrecred 10001 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( 1  /  n )  e.  RR )
125124recnd 9070 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( 1  /  n )  e.  CC )
126123, 125pncan2d 9369 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  - 
1 ) ) ( 1  /  i )  +  ( 1  /  n ) )  -  sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  - 
1 ) ) ( 1  /  i ) )  =  ( 1  /  n ) )
127122, 126eqtrd 2436 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... (
( n  +  1 )  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  -  sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  - 
1 ) ) ( 1  /  i ) )  =  ( 1  /  n ) )
128127oveq2d 6056 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... (
n  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  x.  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( n  +  1 )  - 
1 ) ) ( 1  /  i )  -  sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) ( 1  /  i
) ) )  =  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  x.  ( 1  /  n ) ) )
1296nnne0d 10000 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  n  =/=  0
)
130123, 39, 129divrecd 9749 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... (
n  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  /  n
)  =  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  - 
1 ) ) ( 1  /  i )  x.  ( 1  /  n ) ) )
131128, 130eqtr4d 2439 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... (
n  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  x.  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( n  +  1 )  - 
1 ) ) ( 1  /  i )  -  sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) ( 1  /  i
) ) )  =  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  /  n ) )
132113, 131sumeq12rdv 12456 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ n  e.  ( 1..^ ( N  +  1 ) ) ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  x.  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( n  +  1 )  - 
1 ) ) ( 1  /  i )  -  sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) ( 1  /  i
) ) )  = 
sum_ n  e.  (
1 ... N ) (
sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  /  n ) )
133 nncn 9964 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
134 pncan 9267 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  + 
1 )  -  1 )  =  N )
135133, 40, 134sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  -  1 )  =  N )
136135oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1 ... ( ( N  +  1 )  - 
1 ) )  =  ( 1 ... N
) )
137136sumeq1d 12450 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... (
( N  +  1 )  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  i ) )
138137, 137oveq12d 6058 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( N  +  1 )  - 
1 ) ) ( 1  /  i )  x.  sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( N  +  1 )  -  1 ) ) ( 1  /  i
) )  =  (
sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  i
)  x.  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( 1  / 
i ) ) )
13916recnd 9070 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( 1  / 
i )  e.  CC )
140139sqvald 11475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  i ) ^ 2 )  =  ( sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  i
)  x.  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( 1  / 
i ) ) )
141138, 140eqtr4d 2439 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( N  +  1 )  - 
1 ) ) ( 1  /  i )  x.  sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( N  +  1 )  -  1 ) ) ( 1  /  i
) )  =  (
sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  i
) ^ 2 ) )
142 0cn 9040 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  CC
143142mul01i 9212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  x.  0 )  =  0
144143a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
0  x.  0 )  =  0 )
145141, 144oveq12d 6058 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( N  +  1 )  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  x.  sum_ i  e.  ( 1 ... (
( N  +  1 )  -  1 ) ) ( 1  / 
i ) )  -  ( 0  x.  0 ) )  =  ( ( sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  i
) ^ 2 )  -  0 ) )
146139sqcld 11476 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  i ) ^ 2 )  e.  CC )
147146subid1d 9356 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  i
) ^ 2 )  -  0 )  =  ( sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  i
) ^ 2 ) )
148145, 147eqtrd 2436 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( N  +  1 )  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  x.  sum_ i  e.  ( 1 ... (
( N  +  1 )  -  1 ) ) ( 1  / 
i ) )  -  ( 0  x.  0 ) )  =  (
sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  i
) ^ 2 ) )
149127, 117oveq12d 6058 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( n  +  1 )  - 
1 ) ) ( 1  /  i )  -  sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) ( 1  /  i
) )  x.  sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( n  +  1 )  - 
1 ) ) ( 1  /  i ) )  =  ( ( 1  /  n )  x.  sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  i
) ) )
15029recnd 9070 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  i
)  e.  CC )
151150, 39, 129divrec2d 9750 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n
) ( 1  / 
i )  /  n
)  =  ( ( 1  /  n )  x.  sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  i
) ) )
152149, 151eqtr4d 2439 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( n  +  1 )  - 
1 ) ) ( 1  /  i )  -  sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) ( 1  /  i
) )  x.  sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( n  +  1 )  - 
1 ) ) ( 1  /  i ) )  =  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  i )  /  n ) )
153113, 152sumeq12rdv 12456 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ n  e.  ( 1..^ ( N  +  1 ) ) ( ( sum_ i  e.  ( 1 ... (
( n  +  1 )  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  -  sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  - 
1 ) ) ( 1  /  i ) )  x.  sum_ i  e.  ( 1 ... (
( n  +  1 )  -  1 ) ) ( 1  / 
i ) )  = 
sum_ n  e.  (
1 ... N ) (
sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  i
)  /  n ) )
154148, 153oveq12d 6058 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( sum_ i  e.  ( 1 ... (
( N  +  1 )  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  x.  sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( N  +  1 )  - 
1 ) ) ( 1  /  i ) )  -  ( 0  x.  0 ) )  -  sum_ n  e.  ( 1..^ ( N  + 
1 ) ) ( ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( n  +  1 )  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  -  sum_ i  e.  ( 1 ... (
n  -  1 ) ) ( 1  / 
i ) )  x. 
sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( n  +  1 )  -  1 ) ) ( 1  /  i
) ) )  =  ( ( sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( 1  / 
i ) ^ 2 )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( sum_ i  e.  ( 1 ... n
) ( 1  / 
i )  /  n
) ) )
155109, 132, 1543eqtr3rd 2445 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  i
) ^ 2 )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  i
)  /  n ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( sum_ i  e.  ( 1 ... (
n  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  /  n
) )
15631recnd 9070 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( sum_ i  e.  ( 1 ... n
) ( 1  / 
i )  /  n
)  e.  CC )
15738recnd 9070 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( sum_ i  e.  ( 1 ... (
n  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  /  n
)  e.  CC )
158146, 156, 157subaddd 9385 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( 1  / 
i ) ^ 2 )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( sum_ i  e.  ( 1 ... n
) ( 1  / 
i )  /  n
) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  - 
1 ) ) ( 1  /  i )  /  n )  <->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  i )  /  n )  + 
sum_ n  e.  (
1 ... N ) (
sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  /  n ) )  =  ( sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  i ) ^ 2 ) ) )
159155, 158mpbid 202 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... N ) (
sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  i
)  /  n )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  /  n ) )  =  ( sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  i ) ^ 2 ) )
16078, 159breqtrd 4196 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( ( log `  n
)  /  n )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( ( log `  n
)  /  n ) )  <_  ( sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  i ) ^ 2 ) )
16124, 160eqbrtrd 4192 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( ( log `  n )  /  n
) )  <_  ( sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  i ) ^ 2 ) )
162 flid 11171 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( |_ `  N )  =  N )
163110, 162syl 16 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( |_ `  N )  =  N )
164163oveq2d 6056 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1 ... ( |_ `  N ) )  =  ( 1 ... N
) )
165164sumeq1d 12450 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... ( |_ `  N ) ) ( 1  /  i
)  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( 1  / 
i ) )
166 nnre 9963 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
167 nnge1 9982 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  1  <_  N )
168 harmonicubnd 20801 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  1  <_  N )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... ( |_ `  N ) ) ( 1  /  i )  <_  ( ( log `  N )  +  1 ) )
169166, 167, 168syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... ( |_ `  N ) ) ( 1  /  i
)  <_  ( ( log `  N )  +  1 ) )
170165, 169eqbrtrrd 4194 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( 1  / 
i )  <_  (
( log `  N
)  +  1 ) )
17114nnrpd 10603 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  i  e.  RR+ )
172171rpreccld 10614 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( 1  / 
i )  e.  RR+ )
173172rpge0d 10608 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  0  <_  (
1  /  i ) )
1742, 15, 173fsumge0 12529 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_ 
sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  i
) )
17549a1i 11 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  0  e.  RR )
176 log1 20433 . . . . . . 7  |-  ( log `  1 )  =  0
177 1rp 10572 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR+
178 logleb 20451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  e.  RR+  /\  N  e.  RR+ )  ->  (
1  <_  N  <->  ( log `  1 )  <_  ( log `  N ) ) )
179177, 18, 178sylancr 645 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  <_  N  <->  ( log `  1 )  <_  ( log `  N ) ) )
180167, 179mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  1 )  <_ 
( log `  N
) )
181176, 180syl5eqbrr 4206 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_  ( log `  N
) )
18219lep1d 9898 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  N )  <_ 
( ( log `  N
)  +  1 ) )
183175, 19, 21, 181, 182letrd 9183 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_  ( ( log `  N
)  +  1 ) )
18416, 21, 174, 183le2sqd 11513 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  i )  <_  ( ( log `  N )  +  1 )  <->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( 1  / 
i ) ^ 2 )  <_  ( (
( log `  N
)  +  1 ) ^ 2 ) ) )
185170, 184mpbid 202 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  i ) ^ 2 )  <_ 
( ( ( log `  N )  +  1 ) ^ 2 ) )
18612, 17, 22, 161, 185letrd 9183 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( ( log `  n )  /  n
) )  <_  (
( ( log `  N
)  +  1 ) ^ 2 ) )
1871a1i 11 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  2  e.  RR )
188 2pos 10038 . . . 4  |-  0  <  2
189188a1i 11 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  2 )
190 lemuldiv2 9846 . . 3  |-  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... N ) ( ( log `  n
)  /  n )  e.  RR  /\  (
( ( log `  N
)  +  1 ) ^ 2 )  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  -> 
( ( 2  x. 
sum_ n  e.  (
1 ... N ) ( ( log `  n
)  /  n ) )  <_  ( (
( log `  N
)  +  1 ) ^ 2 )  <->  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( ( log `  n )  /  n
)  <_  ( (
( ( log `  N
)  +  1 ) ^ 2 )  / 
2 ) ) )
19110, 22, 187, 189, 190syl112anc 1188 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( ( log `  n )  /  n ) )  <_  ( ( ( log `  N )  +  1 ) ^
2 )  <->  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( ( log `  n )  /  n
)  <_  ( (
( ( log `  N
)  +  1 ) ^ 2 )  / 
2 ) ) )
192186, 191mpbid 202 1  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( ( log `  n )  /  n
)  <_  ( (
( ( log `  N
)  +  1 ) ^ 2 )  / 
2 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    C_ wss 3280   (/)c0 3588   class class class wbr 4172   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951    < clt 9076    <_ cle 9077    - cmin 9247    / cdiv 9633   NNcn 9956   2c2 10005   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   RR+crp 10568   [,]cicc 10875   ...cfz 10999  ..^cfzo 11090   |_cfl 11156   ^cexp 11337   sum_csu 12434   logclog 20405   gammacem 20783
This theorem is referenced by:  pntlemk  21253
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ioc 10877  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-bc 11549  df-hash 11574  df-shft 11837  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-ef 12625  df-e 12626  df-sin 12627  df-cos 12628  df-pi 12630  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861  df-limc 19706  df-dv 19707  df-log 20407  df-em 20784
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