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Theorem logdivbnd 23497
Description: A bound on a sum of logs, used in pntlemk 23547. This is not as precise as logdivsum 23474 in its asymptotic behavior, but it is valid for all  N and does not require a limit value. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
logdivbnd  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( ( log `  n )  /  n
)  <_  ( (
( ( log `  N
)  +  1 ) ^ 2 )  / 
2 ) )
Distinct variable group:    n, N

Proof of Theorem logdivbnd
Dummy variables  i  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2re 10605 . . . 4  |-  2  e.  RR
2 fzfid 12051 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1 ... N )  e. 
Fin )
3 elfzuz 11684 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( 1 ... N )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
43adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  n  e.  (
ZZ>= `  1 ) )
5 nnuz 11117 . . . . . . . . 9  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
64, 5syl6eleqr 2566 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  n  e.  NN )
76nnrpd 11255 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  n  e.  RR+ )
87relogcld 22764 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( log `  n
)  e.  RR )
98, 6nndivred 10584 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( log `  n )  /  n
)  e.  RR )
102, 9fsumrecl 13519 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( ( log `  n )  /  n
)  e.  RR )
11 remulcl 9577 . . . 4  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  sum_
n  e.  ( 1 ... N ) ( ( log `  n
)  /  n )  e.  RR )  -> 
( 2  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( ( log `  n )  /  n ) )  e.  RR )
121, 10, 11sylancr 663 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( ( log `  n )  /  n
) )  e.  RR )
13 elfznn 11714 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  ( 1 ... N )  ->  i  e.  NN )
1413adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  i  e.  NN )
1514nnrecred 10581 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( 1  / 
i )  e.  RR )
162, 15fsumrecl 13519 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( 1  / 
i )  e.  RR )
1716resqcld 12304 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  i ) ^ 2 )  e.  RR )
18 nnrp 11229 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR+ )
1918relogcld 22764 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  N )  e.  RR )
20 peano2re 9752 . . . . 5  |-  ( ( log `  N )  e.  RR  ->  (
( log `  N
)  +  1 )  e.  RR )
2119, 20syl 16 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( log `  N
)  +  1 )  e.  RR )
2221resqcld 12304 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( log `  N
)  +  1 ) ^ 2 )  e.  RR )
2310recnd 9622 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( ( log `  n )  /  n
)  e.  CC )
24232timesd 10781 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( ( log `  n )  /  n
) )  =  (
sum_ n  e.  (
1 ... N ) ( ( log `  n
)  /  n )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( ( log `  n
)  /  n ) ) )
25 fzfid 12051 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( 1 ... n )  e.  Fin )
26 elfznn 11714 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  e.  ( 1 ... n )  ->  i  e.  NN )
2726adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  /\  i  e.  ( 1 ... n ) )  ->  i  e.  NN )
2827nnrecred 10581 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  /\  i  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( 1  /  i )  e.  RR )
2925, 28fsumrecl 13519 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  i
)  e.  RR )
3029, 6nndivred 10584 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n
) ( 1  / 
i )  /  n
)  e.  RR )
312, 30fsumrecl 13519 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( sum_ i  e.  ( 1 ... n
) ( 1  / 
i )  /  n
)  e.  RR )
32 fzfid 12051 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( 1 ... ( n  -  1 ) )  e.  Fin )
33 elfznn 11714 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) )  ->  i  e.  NN )
3433adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  /\  i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) )  ->  i  e.  NN )
3534nnrecred 10581 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  /\  i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) )  ->  ( 1  /  i )  e.  RR )
3632, 35fsumrecl 13519 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  e.  RR )
3736, 6nndivred 10584 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... (
n  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  /  n
)  e.  RR )
382, 37fsumrecl 13519 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( sum_ i  e.  ( 1 ... (
n  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  /  n
)  e.  RR )
396nncnd 10552 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  n  e.  CC )
40 ax-1cn 9550 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  CC
41 npcan 9829 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( n  - 
1 )  +  1 )  =  n )
4239, 40, 41sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( n  -  1 )  +  1 )  =  n )
4342fveq2d 5870 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( log `  (
( n  -  1 )  +  1 ) )  =  ( log `  n ) )
4443oveq2d 6300 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... (
n  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  -  ( log `  ( ( n  -  1 )  +  1 ) ) )  =  ( sum_ i  e.  ( 1 ... (
n  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  -  ( log `  n ) ) )
45 nnm1nn0 10837 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  -  1 )  e.  NN0 )
46 harmonicbnd3 23093 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  -  1 )  e.  NN0  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  - 
1 ) ) ( 1  /  i )  -  ( log `  (
( n  -  1 )  +  1 ) ) )  e.  ( 0 [,] gamma )
)
476, 45, 463syl 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... (
n  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  -  ( log `  ( ( n  -  1 )  +  1 ) ) )  e.  ( 0 [,]
gamma ) )
4844, 47eqeltrrd 2556 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... (
n  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  -  ( log `  n ) )  e.  ( 0 [,]
gamma ) )
49 0re 9596 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  RR
50 emre 23091 . . . . . . . . . . . . 13  |-  gamma  e.  RR
5149, 50elicc2i 11590 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  -  ( log `  n ) )  e.  ( 0 [,] gamma )  <-> 
( ( sum_ i  e.  ( 1 ... (
n  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  -  ( log `  n ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  -  ( log `  n ) )  /\  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  -  ( log `  n ) )  <_  gamma ) )
5251simp2bi 1012 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  -  ( log `  n ) )  e.  ( 0 [,] gamma )  ->  0  <_  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  - 
1 ) ) ( 1  /  i )  -  ( log `  n
) ) )
5348, 52syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  0  <_  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  - 
1 ) ) ( 1  /  i )  -  ( log `  n
) ) )
5436, 8subge0d 10142 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( 0  <_ 
( sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  -  ( log `  n ) )  <->  ( log `  n )  <_  sum_ i  e.  ( 1 ... (
n  -  1 ) ) ( 1  / 
i ) ) )
5553, 54mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( log `  n
)  <_  sum_ i  e.  ( 1 ... (
n  -  1 ) ) ( 1  / 
i ) )
568, 36, 7, 55lediv1dd 11310 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( log `  n )  /  n
)  <_  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  - 
1 ) ) ( 1  /  i )  /  n ) )
5727nnrpd 11255 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  /\  i  e.  ( 1 ... n ) )  ->  i  e.  RR+ )
5857rpreccld 11266 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  /\  i  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( 1  /  i )  e.  RR+ )
5958rpge0d 11260 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  /\  i  e.  ( 1 ... n ) )  ->  0  <_  ( 1  /  i ) )
60 elfzelz 11688 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  ( 1 ... N )  ->  n  e.  ZZ )
6160adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  n  e.  ZZ )
62 peano2zm 10906 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
n  -  1 )  e.  ZZ )
6361, 62syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( n  - 
1 )  e.  ZZ )
646nnred 10551 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  n  e.  RR )
6564lem1d 10479 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( n  - 
1 )  <_  n
)
66 eluz2 11088 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  (
n  -  1 ) )  <->  ( ( n  -  1 )  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ  /\  ( n  -  1 )  <_  n ) )
6763, 61, 65, 66syl3anbrc 1180 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  n  e.  (
ZZ>= `  ( n  - 
1 ) ) )
68 fzss2 11723 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  (
n  -  1 ) )  ->  ( 1 ... ( n  - 
1 ) )  C_  ( 1 ... n
) )
6967, 68syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( 1 ... ( n  -  1 ) )  C_  (
1 ... n ) )
7025, 28, 59, 69fsumless 13573 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  <_  sum_ i  e.  ( 1 ... n
) ( 1  / 
i ) )
716nngt0d 10579 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  0  <  n
)
72 lediv1 10407 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  e.  RR  /\  sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  i )  e.  RR  /\  (
n  e.  RR  /\  0  <  n ) )  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... (
n  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  <_  sum_ i  e.  ( 1 ... n
) ( 1  / 
i )  <->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  - 
1 ) ) ( 1  /  i )  /  n )  <_ 
( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  i
)  /  n ) ) )
7336, 29, 64, 71, 72syl112anc 1232 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... (
n  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  <_  sum_ i  e.  ( 1 ... n
) ( 1  / 
i )  <->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  - 
1 ) ) ( 1  /  i )  /  n )  <_ 
( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  i
)  /  n ) ) )
7470, 73mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... (
n  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  /  n
)  <_  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  i )  /  n ) )
759, 37, 30, 56, 74letrd 9738 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( log `  n )  /  n
)  <_  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  i )  /  n ) )
762, 9, 30, 75fsumle 13576 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( ( log `  n )  /  n
)  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( sum_ i  e.  ( 1 ... n
) ( 1  / 
i )  /  n
) )
772, 9, 37, 56fsumle 13576 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( ( log `  n )  /  n
)  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( sum_ i  e.  ( 1 ... (
n  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  /  n
) )
7810, 10, 31, 38, 76, 77le2addd 10170 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( ( log `  n
)  /  n )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( ( log `  n
)  /  n ) )  <_  ( sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  i )  /  n )  + 
sum_ n  e.  (
1 ... N ) (
sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  /  n ) ) )
79 oveq1 6291 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  n  ->  (
m  -  1 )  =  ( n  - 
1 ) )
8079oveq2d 6300 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  n  ->  (
1 ... ( m  - 
1 ) )  =  ( 1 ... (
n  -  1 ) ) )
8180sumeq1d 13486 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  n  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... (
m  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  - 
1 ) ) ( 1  /  i ) )
8281, 81jca 532 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  n  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( m  - 
1 ) ) ( 1  /  i )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  /\  sum_ i  e.  ( 1 ... (
m  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  - 
1 ) ) ( 1  /  i ) ) )
83 oveq1 6291 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
m  -  1 )  =  ( ( n  +  1 )  - 
1 ) )
8483oveq2d 6300 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
1 ... ( m  - 
1 ) )  =  ( 1 ... (
( n  +  1 )  -  1 ) ) )
8584sumeq1d 13486 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... (
m  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( n  +  1 )  - 
1 ) ) ( 1  /  i ) )
8685, 85jca 532 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( m  - 
1 ) ) ( 1  /  i )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( n  +  1 )  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  /\  sum_ i  e.  ( 1 ... (
m  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( n  +  1 )  - 
1 ) ) ( 1  /  i ) ) )
87 oveq1 6291 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  1  ->  (
m  -  1 )  =  ( 1  -  1 ) )
88 1m1e0 10604 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  -  1 )  =  0
8987, 88syl6eq 2524 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  1  ->  (
m  -  1 )  =  0 )
9089oveq2d 6300 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  1  ->  (
1 ... ( m  - 
1 ) )  =  ( 1 ... 0
) )
91 fz10 11706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1 ... 0 )  =  (/)
9290, 91syl6eq 2524 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  1  ->  (
1 ... ( m  - 
1 ) )  =  (/) )
9392sumeq1d 13486 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  1  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... (
m  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  =  sum_ i  e.  (/)  ( 1  /  i ) )
94 sum0 13506 . . . . . . . . . 10  |-  sum_ i  e.  (/)  ( 1  / 
i )  =  0
9593, 94syl6eq 2524 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  1  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... (
m  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  =  0 )
9695, 95jca 532 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  1  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( m  - 
1 ) ) ( 1  /  i )  =  0  /\  sum_ i  e.  ( 1 ... ( m  - 
1 ) ) ( 1  /  i )  =  0 ) )
97 oveq1 6291 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  ( N  + 
1 )  ->  (
m  -  1 )  =  ( ( N  +  1 )  - 
1 ) )
9897oveq2d 6300 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  ( N  + 
1 )  ->  (
1 ... ( m  - 
1 ) )  =  ( 1 ... (
( N  +  1 )  -  1 ) ) )
9998sumeq1d 13486 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( N  + 
1 )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... (
m  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( N  +  1 )  - 
1 ) ) ( 1  /  i ) )
10099, 99jca 532 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( N  + 
1 )  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( m  - 
1 ) ) ( 1  /  i )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( N  +  1 )  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  /\  sum_ i  e.  ( 1 ... (
m  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( N  +  1 )  - 
1 ) ) ( 1  /  i ) ) )
101 peano2nn 10548 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
102101, 5syl6eleq 2565 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  1
) )
103 fzfid 12051 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  m  e.  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) )  ->  ( 1 ... ( m  -  1 ) )  e.  Fin )
104 elfznn 11714 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  e.  ( 1 ... ( m  -  1 ) )  ->  i  e.  NN )
105104adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  m  e.  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... ( m  -  1 ) ) )  ->  i  e.  NN )
106105nnrecred 10581 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  m  e.  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... ( m  -  1 ) ) )  ->  ( 1  /  i )  e.  RR )
107103, 106fsumrecl 13519 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  m  e.  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... ( m  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  e.  RR )
108107recnd 9622 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  m  e.  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... ( m  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  e.  CC )
10982, 86, 96, 100, 102, 108, 108fsumparts 13583 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ n  e.  ( 1..^ ( N  +  1 ) ) ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  x.  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( n  +  1 )  - 
1 ) ) ( 1  /  i )  -  sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) ( 1  /  i
) ) )  =  ( ( ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( N  +  1 )  - 
1 ) ) ( 1  /  i )  x.  sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( N  +  1 )  -  1 ) ) ( 1  /  i
) )  -  (
0  x.  0 ) )  -  sum_ n  e.  ( 1..^ ( N  +  1 ) ) ( ( sum_ i  e.  ( 1 ... (
( n  +  1 )  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  -  sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  - 
1 ) ) ( 1  /  i ) )  x.  sum_ i  e.  ( 1 ... (
( n  +  1 )  -  1 ) ) ( 1  / 
i ) ) ) )
110 nnz 10886 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
111 fzval3 11853 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
1 ... N )  =  ( 1..^ ( N  +  1 ) ) )
112110, 111syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1 ... N )  =  ( 1..^ ( N  +  1 ) ) )
113112eqcomd 2475 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1..^ ( N  + 
1 ) )  =  ( 1 ... N
) )
114 pncan 9826 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( n  + 
1 )  -  1 )  =  n )
11539, 40, 114sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( n  +  1 )  - 
1 )  =  n )
116115oveq2d 6300 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( 1 ... ( ( n  + 
1 )  -  1 ) )  =  ( 1 ... n ) )
117116sumeq1d 13486 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( n  +  1 )  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  =  sum_ i  e.  ( 1 ... n
) ( 1  / 
i ) )
11828recnd 9622 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  /\  i  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( 1  /  i )  e.  CC )
119 oveq2 6292 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  =  n  ->  (
1  /  i )  =  ( 1  /  n ) )
1204, 118, 119fsumm1 13529 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  i
)  =  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  - 
1 ) ) ( 1  /  i )  +  ( 1  /  n ) ) )
121117, 120eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( n  +  1 )  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  =  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  - 
1 ) ) ( 1  /  i )  +  ( 1  /  n ) ) )
122121oveq1d 6299 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... (
( n  +  1 )  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  -  sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  - 
1 ) ) ( 1  /  i ) )  =  ( (
sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  +  ( 1  /  n ) )  -  sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) ( 1  /  i
) ) )
12336recnd 9622 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  e.  CC )
1246nnrecred 10581 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( 1  /  n )  e.  RR )
125124recnd 9622 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( 1  /  n )  e.  CC )
126123, 125pncan2d 9932 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  - 
1 ) ) ( 1  /  i )  +  ( 1  /  n ) )  -  sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  - 
1 ) ) ( 1  /  i ) )  =  ( 1  /  n ) )
127122, 126eqtrd 2508 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... (
( n  +  1 )  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  -  sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  - 
1 ) ) ( 1  /  i ) )  =  ( 1  /  n ) )
128127oveq2d 6300 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... (
n  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  x.  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( n  +  1 )  - 
1 ) ) ( 1  /  i )  -  sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) ( 1  /  i
) ) )  =  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  x.  ( 1  /  n ) ) )
1296nnne0d 10580 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  n  =/=  0
)
130123, 39, 129divrecd 10323 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... (
n  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  /  n
)  =  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  - 
1 ) ) ( 1  /  i )  x.  ( 1  /  n ) ) )
131128, 130eqtr4d 2511 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... (
n  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  x.  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( n  +  1 )  - 
1 ) ) ( 1  /  i )  -  sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) ( 1  /  i
) ) )  =  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  /  n ) )
132113, 131sumeq12rdv 13492 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ n  e.  ( 1..^ ( N  +  1 ) ) ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  x.  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( n  +  1 )  - 
1 ) ) ( 1  /  i )  -  sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) ( 1  /  i
) ) )  = 
sum_ n  e.  (
1 ... N ) (
sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  /  n ) )
133 nncn 10544 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
134 pncan 9826 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  + 
1 )  -  1 )  =  N )
135133, 40, 134sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  -  1 )  =  N )
136135oveq2d 6300 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1 ... ( ( N  +  1 )  - 
1 ) )  =  ( 1 ... N
) )
137136sumeq1d 13486 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... (
( N  +  1 )  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  i ) )
138137, 137oveq12d 6302 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( N  +  1 )  - 
1 ) ) ( 1  /  i )  x.  sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( N  +  1 )  -  1 ) ) ( 1  /  i
) )  =  (
sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  i
)  x.  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( 1  / 
i ) ) )
13916recnd 9622 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( 1  / 
i )  e.  CC )
140139sqvald 12275 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  i ) ^ 2 )  =  ( sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  i
)  x.  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( 1  / 
i ) ) )
141138, 140eqtr4d 2511 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( N  +  1 )  - 
1 ) ) ( 1  /  i )  x.  sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( N  +  1 )  -  1 ) ) ( 1  /  i
) )  =  (
sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  i
) ^ 2 ) )
142 0cn 9588 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  CC
143142mul01i 9769 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  x.  0 )  =  0
144143a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
0  x.  0 )  =  0 )
145141, 144oveq12d 6302 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( N  +  1 )  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  x.  sum_ i  e.  ( 1 ... (
( N  +  1 )  -  1 ) ) ( 1  / 
i ) )  -  ( 0  x.  0 ) )  =  ( ( sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  i
) ^ 2 )  -  0 ) )
146139sqcld 12276 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  i ) ^ 2 )  e.  CC )
147146subid1d 9919 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  i
) ^ 2 )  -  0 )  =  ( sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  i
) ^ 2 ) )
148145, 147eqtrd 2508 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( N  +  1 )  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  x.  sum_ i  e.  ( 1 ... (
( N  +  1 )  -  1 ) ) ( 1  / 
i ) )  -  ( 0  x.  0 ) )  =  (
sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  i
) ^ 2 ) )
149127, 117oveq12d 6302 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( n  +  1 )  - 
1 ) ) ( 1  /  i )  -  sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) ( 1  /  i
) )  x.  sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( n  +  1 )  - 
1 ) ) ( 1  /  i ) )  =  ( ( 1  /  n )  x.  sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  i
) ) )
15029recnd 9622 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  i
)  e.  CC )
151150, 39, 129divrec2d 10324 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n
) ( 1  / 
i )  /  n
)  =  ( ( 1  /  n )  x.  sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  i
) ) )
152149, 151eqtr4d 2511 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( n  +  1 )  - 
1 ) ) ( 1  /  i )  -  sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) ( 1  /  i
) )  x.  sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( n  +  1 )  - 
1 ) ) ( 1  /  i ) )  =  ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  i )  /  n ) )
153113, 152sumeq12rdv 13492 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ n  e.  ( 1..^ ( N  +  1 ) ) ( ( sum_ i  e.  ( 1 ... (
( n  +  1 )  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  -  sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  - 
1 ) ) ( 1  /  i ) )  x.  sum_ i  e.  ( 1 ... (
( n  +  1 )  -  1 ) ) ( 1  / 
i ) )  = 
sum_ n  e.  (
1 ... N ) (
sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  i
)  /  n ) )
154148, 153oveq12d 6302 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( sum_ i  e.  ( 1 ... (
( N  +  1 )  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  x.  sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( N  +  1 )  - 
1 ) ) ( 1  /  i ) )  -  ( 0  x.  0 ) )  -  sum_ n  e.  ( 1..^ ( N  + 
1 ) ) ( ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( n  +  1 )  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  -  sum_ i  e.  ( 1 ... (
n  -  1 ) ) ( 1  / 
i ) )  x. 
sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( n  +  1 )  -  1 ) ) ( 1  /  i
) ) )  =  ( ( sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( 1  / 
i ) ^ 2 )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( sum_ i  e.  ( 1 ... n
) ( 1  / 
i )  /  n
) ) )
155109, 132, 1543eqtr3rd 2517 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  i
) ^ 2 )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  i
)  /  n ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( sum_ i  e.  ( 1 ... (
n  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  /  n
) )
15631recnd 9622 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( sum_ i  e.  ( 1 ... n
) ( 1  / 
i )  /  n
)  e.  CC )
15738recnd 9622 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( sum_ i  e.  ( 1 ... (
n  -  1 ) ) ( 1  / 
i )  /  n
)  e.  CC )
158146, 156, 157subaddd 9948 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( 1  / 
i ) ^ 2 )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( sum_ i  e.  ( 1 ... n
) ( 1  / 
i )  /  n
) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  - 
1 ) ) ( 1  /  i )  /  n )  <->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  i )  /  n )  + 
sum_ n  e.  (
1 ... N ) (
sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  /  n ) )  =  ( sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  i ) ^ 2 ) ) )
159155, 158mpbid 210 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... N ) (
sum_ i  e.  ( 1 ... n ) ( 1  /  i
)  /  n )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( sum_ i  e.  ( 1 ... ( n  -  1 ) ) ( 1  /  i
)  /  n ) )  =  ( sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  i ) ^ 2 ) )
16078, 159breqtrd 4471 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( ( log `  n
)  /  n )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( ( log `  n
)  /  n ) )  <_  ( sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  i ) ^ 2 ) )
16124, 160eqbrtrd 4467 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( ( log `  n )  /  n
) )  <_  ( sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  i ) ^ 2 ) )
162 flid 11913 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( |_ `  N )  =  N )
163110, 162syl 16 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( |_ `  N )  =  N )
164163oveq2d 6300 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1 ... ( |_ `  N ) )  =  ( 1 ... N
) )
165164sumeq1d 13486 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... ( |_ `  N ) ) ( 1  /  i
)  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( 1  / 
i ) )
166 nnre 10543 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
167 nnge1 10562 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  1  <_  N )
168 harmonicubnd 23095 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  1  <_  N )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... ( |_ `  N ) ) ( 1  /  i )  <_  ( ( log `  N )  +  1 ) )
169166, 167, 168syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... ( |_ `  N ) ) ( 1  /  i
)  <_  ( ( log `  N )  +  1 ) )
170165, 169eqbrtrrd 4469 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( 1  / 
i )  <_  (
( log `  N
)  +  1 ) )
17114nnrpd 11255 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  i  e.  RR+ )
172171rpreccld 11266 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( 1  / 
i )  e.  RR+ )
173172rpge0d 11260 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  0  <_  (
1  /  i ) )
1742, 15, 173fsumge0 13572 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_ 
sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  i
) )
17549a1i 11 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  0  e.  RR )
176 log1 22726 . . . . . . 7  |-  ( log `  1 )  =  0
177 1rp 11224 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR+
178 logleb 22744 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  e.  RR+  /\  N  e.  RR+ )  ->  (
1  <_  N  <->  ( log `  1 )  <_  ( log `  N ) ) )
179177, 18, 178sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  <_  N  <->  ( log `  1 )  <_  ( log `  N ) ) )
180167, 179mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  1 )  <_ 
( log `  N
) )
181176, 180syl5eqbrr 4481 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_  ( log `  N
) )
18219lep1d 10477 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( log `  N )  <_ 
( ( log `  N
)  +  1 ) )
183175, 19, 21, 181, 182letrd 9738 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_  ( ( log `  N
)  +  1 ) )
18416, 21, 174, 183le2sqd 12313 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  i )  <_  ( ( log `  N )  +  1 )  <->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( 1  / 
i ) ^ 2 )  <_  ( (
( log `  N
)  +  1 ) ^ 2 ) ) )
185170, 184mpbid 210 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( 1  /  i ) ^ 2 )  <_ 
( ( ( log `  N )  +  1 ) ^ 2 ) )
18612, 17, 22, 161, 185letrd 9738 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( ( log `  n )  /  n
) )  <_  (
( ( log `  N
)  +  1 ) ^ 2 ) )
1871a1i 11 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  2  e.  RR )
188 2pos 10627 . . . 4  |-  0  <  2
189188a1i 11 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  2 )
190 lemuldiv2 10425 . . 3  |-  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... N ) ( ( log `  n
)  /  n )  e.  RR  /\  (
( ( log `  N
)  +  1 ) ^ 2 )  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  -> 
( ( 2  x. 
sum_ n  e.  (
1 ... N ) ( ( log `  n
)  /  n ) )  <_  ( (
( log `  N
)  +  1 ) ^ 2 )  <->  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( ( log `  n )  /  n
)  <_  ( (
( ( log `  N
)  +  1 ) ^ 2 )  / 
2 ) ) )
19110, 22, 187, 189, 190syl112anc 1232 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( ( log `  n )  /  n ) )  <_  ( ( ( log `  N )  +  1 ) ^
2 )  <->  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( ( log `  n )  /  n
)  <_  ( (
( ( log `  N
)  +  1 ) ^ 2 )  / 
2 ) ) )
192186, 191mpbid 210 1  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( ( log `  n )  /  n
)  <_  ( (
( ( log `  N
)  +  1 ) ^ 2 )  / 
2 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    C_ wss 3476   (/)c0 3785   class class class wbr 4447   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   CCcc 9490   RRcr 9491   0cc0 9492   1c1 9493    + caddc 9495    x. cmul 9497    < clt 9628    <_ cle 9629    - cmin 9805    / cdiv 10206   NNcn 10536   2c2 10585   NN0cn0 10795   ZZcz 10864   ZZ>=cuz 11082   RR+crp 11220   [,]cicc 11532   ...cfz 11672  ..^cfzo 11792   |_cfl 11895   ^cexp 12134   sum_csu 13471   logclog 22698   gammacem 23077
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570  ax-addf 9571  ax-mulf 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-of 6524  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-pm 7423  df-ixp 7470  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7830  df-fi 7871  df-sup 7901  df-oi 7935  df-card 8320  df-cda 8548  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-5 10597  df-6 10598  df-7 10599  df-8 10600  df-9 10601  df-10 10602  df-n0 10796  df-z 10865  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11183  df-rp 11221  df-xneg 11318  df-xadd 11319  df-xmul 11320  df-ioo 11533  df-ioc 11534  df-ico 11535  df-icc 11536  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-fl 11897  df-mod 11965  df-seq 12076  df-exp 12135  df-fac 12322  df-bc 12349  df-hash 12374  df-shft 12863  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032  df-limsup 13257  df-clim 13274  df-rlim 13275  df-sum 13472  df-ef 13665  df-e 13666  df-sin 13667  df-cos 13668  df-pi 13670  df-struct 14492  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-ress 14497  df-plusg 14568  df-mulr 14569  df-starv 14570  df-sca 14571  df-vsca 14572  df-ip 14573  df-tset 14574  df-ple 14575  df-ds 14577  df-unif 14578  df-hom 14579  df-cco 14580  df-rest 14678  df-topn 14679  df-0g 14697  df-gsum 14698  df-topgen 14699  df-pt 14700  df-prds 14703  df-xrs 14757  df-qtop 14762  df-imas 14763  df-xps 14765  df-mre 14841  df-mrc 14842  df-acs 14844  df-mnd 15732  df-submnd 15787  df-mulg 15870  df-cntz 16160  df-cmn 16606  df-psmet 18210  df-xmet 18211  df-met 18212  df-bl 18213  df-mopn 18214  df-fbas 18215  df-fg 18216  df-cnfld 18220  df-top 19194  df-bases 19196  df-topon 19197  df-topsp 19198  df-cld 19314  df-ntr 19315  df-cls 19316  df-nei 19393  df-lp 19431  df-perf 19432  df-cn 19522  df-cnp 19523  df-haus 19610  df-tx 19826  df-hmeo 20019  df-fil 20110  df-fm 20202  df-flim 20203  df-flf 20204  df-xms 20586  df-ms 20587  df-tms 20588  df-cncf 21145  df-limc 22033  df-dv 22034  df-log 22700  df-em 23078
This theorem is referenced by:  pntlemk  23547
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