Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  logdivbnd Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem logdivbnd 24473
 Description: A bound on a sum of logs, used in pntlemk 24523. This is not as precise as logdivsum 24450 in its asymptotic behavior, but it is valid for all and does not require a limit value. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
logdivbnd
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem logdivbnd
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2re 10701 . . . 4
2 fzfid 12224 . . . . 5
3 elfzuz 11822 . . . . . . . . . 10
43adantl 473 . . . . . . . . 9
5 nnuz 11218 . . . . . . . . 9
64, 5syl6eleqr 2560 . . . . . . . 8
76nnrpd 11362 . . . . . . 7
87relogcld 23651 . . . . . 6
98, 6nndivred 10680 . . . . 5
102, 9fsumrecl 13877 . . . 4
11 remulcl 9642 . . . 4
121, 10, 11sylancr 676 . . 3
13 elfznn 11854 . . . . . . 7
1413adantl 473 . . . . . 6
1514nnrecred 10677 . . . . 5
162, 15fsumrecl 13877 . . . 4
1716resqcld 12480 . . 3
18 nnrp 11334 . . . . . 6
1918relogcld 23651 . . . . 5
20 peano2re 9824 . . . . 5
2119, 20syl 17 . . . 4
2221resqcld 12480 . . 3
2310recnd 9687 . . . . 5
24232timesd 10878 . . . 4
25 fzfid 12224 . . . . . . . . 9
26 elfznn 11854 . . . . . . . . . . 11
2726adantl 473 . . . . . . . . . 10
2827nnrecred 10677 . . . . . . . . 9
2925, 28fsumrecl 13877 . . . . . . . 8
3029, 6nndivred 10680 . . . . . . 7
312, 30fsumrecl 13877 . . . . . 6
32 fzfid 12224 . . . . . . . . 9
33 elfznn 11854 . . . . . . . . . . 11
3433adantl 473 . . . . . . . . . 10
3534nnrecred 10677 . . . . . . . . 9
3632, 35fsumrecl 13877 . . . . . . . 8
3736, 6nndivred 10680 . . . . . . 7
382, 37fsumrecl 13877 . . . . . 6
396nncnd 10647 . . . . . . . . . . . . . . 15
40 ax-1cn 9615 . . . . . . . . . . . . . . 15
41 npcan 9904 . . . . . . . . . . . . . . 15
4239, 40, 41sylancl 675 . . . . . . . . . . . . . 14
4342fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . 13
4443oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . 12
45 nnm1nn0 10935 . . . . . . . . . . . . 13
46 harmonicbnd3 24012 . . . . . . . . . . . . 13
476, 45, 463syl 18 . . . . . . . . . . . 12
4844, 47eqeltrrd 2550 . . . . . . . . . . 11
49 0re 9661 . . . . . . . . . . . . 13
50 emre 24010 . . . . . . . . . . . . 13
5149, 50elicc2i 11725 . . . . . . . . . . . 12
5251simp2bi 1046 . . . . . . . . . . 11
5348, 52syl 17 . . . . . . . . . 10
5436, 8subge0d 10224 . . . . . . . . . 10
5553, 54mpbid 215 . . . . . . . . 9
568, 36, 7, 55lediv1dd 11419 . . . . . . . 8
5727nnrpd 11362 . . . . . . . . . . . 12
5857rpreccld 11374 . . . . . . . . . . 11
5958rpge0d 11368 . . . . . . . . . 10
60 elfzelz 11826 . . . . . . . . . . . . . 14
6160adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13
62 peano2zm 11004 . . . . . . . . . . . . 13
6361, 62syl 17 . . . . . . . . . . . 12
646nnred 10646 . . . . . . . . . . . . 13
6564lem1d 10562 . . . . . . . . . . . 12
66 eluz2 11188 . . . . . . . . . . . 12
6763, 61, 65, 66syl3anbrc 1214 . . . . . . . . . . 11
68 fzss2 11864 . . . . . . . . . . 11
6967, 68syl 17 . . . . . . . . . 10
7025, 28, 59, 69fsumless 13933 . . . . . . . . 9
716nngt0d 10675 . . . . . . . . . 10
72 lediv1 10492 . . . . . . . . . 10
7336, 29, 64, 71, 72syl112anc 1296 . . . . . . . . 9
7470, 73mpbid 215 . . . . . . . 8
759, 37, 30, 56, 74letrd 9809 . . . . . . 7
762, 9, 30, 75fsumle 13936 . . . . . 6
772, 9, 37, 56fsumle 13936 . . . . . 6
7810, 10, 31, 38, 76, 77le2addd 10253 . . . . 5
79 oveq1 6315 . . . . . . . . . . 11
8079oveq2d 6324 . . . . . . . . . 10
8180sumeq1d 13844 . . . . . . . . 9
8281, 81jca 541 . . . . . . . 8
83 oveq1 6315 . . . . . . . . . . 11
8483oveq2d 6324 . . . . . . . . . 10
8584sumeq1d 13844 . . . . . . . . 9
8685, 85jca 541 . . . . . . . 8
87 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . . 14
88 1m1e0 10700 . . . . . . . . . . . . . 14
8987, 88syl6eq 2521 . . . . . . . . . . . . 13
9089oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . 12
91 fz10 11846 . . . . . . . . . . . 12
9290, 91syl6eq 2521 . . . . . . . . . . 11
9392sumeq1d 13844 . . . . . . . . . 10
94 sum0 13864 . . . . . . . . . 10
9593, 94syl6eq 2521 . . . . . . . . 9
9695, 95jca 541 . . . . . . . 8
97 oveq1 6315 . . . . . . . . . . 11
9897oveq2d 6324 . . . . . . . . . 10
9998sumeq1d 13844 . . . . . . . . 9
10099, 99jca 541 . . . . . . . 8
101 peano2nn 10643 . . . . . . . . 9
102101, 5syl6eleq 2559 . . . . . . . 8
103 fzfid 12224 . . . . . . . . . 10
104 elfznn 11854 . . . . . . . . . . . 12
105104adantl 473 . . . . . . . . . . 11
106105nnrecred 10677 . . . . . . . . . 10
107103, 106fsumrecl 13877 . . . . . . . . 9
108107recnd 9687 . . . . . . . 8
10982, 86, 96, 100, 102, 108, 108fsumparts 13943 . . . . . . 7 ..^ ..^
110 nnz 10983 . . . . . . . . . 10
111 fzval3 12012 . . . . . . . . . 10 ..^
112110, 111syl 17 . . . . . . . . 9 ..^
113112eqcomd 2477 . . . . . . . 8 ..^
114 pncan 9901 . . . . . . . . . . . . . . . 16
11539, 40, 114sylancl 675 . . . . . . . . . . . . . . 15
116115oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . 14
117116sumeq1d 13844 . . . . . . . . . . . . 13
11828recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . 14
119 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . . 14
1204, 118, 119fsumm1 13889 . . . . . . . . . . . . 13
121117, 120eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . 12
122121oveq1d 6323 . . . . . . . . . . 11
12336recnd 9687 . . . . . . . . . . . 12
1246nnrecred 10677 . . . . . . . . . . . . 13
125124recnd 9687 . . . . . . . . . . . 12
126123, 125pncan2d 10007 . . . . . . . . . . 11
127122, 126eqtrd 2505 . . . . . . . . . 10
128127oveq2d 6324 . . . . . . . . 9
1296nnne0d 10676 . . . . . . . . . 10
130123, 39, 129divrecd 10408 . . . . . . . . 9
131128, 130eqtr4d 2508 . . . . . . . 8
132113, 131sumeq12rdv 13850 . . . . . . 7 ..^
133 nncn 10639 . . . . . . . . . . . . . . 15
134 pncan 9901 . . . . . . . . . . . . . . 15
135133, 40, 134sylancl 675 . . . . . . . . . . . . . 14
136135oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . 13
137136sumeq1d 13844 . . . . . . . . . . . 12
138137, 137oveq12d 6326 . . . . . . . . . . 11
13916recnd 9687 . . . . . . . . . . . 12
140139sqvald 12451 . . . . . . . . . . 11
141138, 140eqtr4d 2508 . . . . . . . . . 10
142 0cn 9653 . . . . . . . . . . . 12
143142mul01i 9841 . . . . . . . . . . 11
144143a1i 11 . . . . . . . . . 10
145141, 144oveq12d 6326 . . . . . . . . 9
146139sqcld 12452 . . . . . . . . . 10
147146subid1d 9994 . . . . . . . . 9
148145, 147eqtrd 2505 . . . . . . . 8
149127, 117oveq12d 6326 . . . . . . . . . 10
15029recnd 9687 . . . . . . . . . . 11
151150, 39, 129divrec2d 10409 . . . . . . . . . 10
152149, 151eqtr4d 2508 . . . . . . . . 9
153113, 152sumeq12rdv 13850 . . . . . . . 8 ..^
154148, 153oveq12d 6326 . . . . . . 7 ..^
155109, 132, 1543eqtr3rd 2514 . . . . . 6
15631recnd 9687 . . . . . . 7
15738recnd 9687 . . . . . . 7
158146, 156, 157subaddd 10023 . . . . . 6
159155, 158mpbid 215 . . . . 5
16078, 159breqtrd 4420 . . . 4
16124, 160eqbrtrd 4416 . . 3
162 flid 12077 . . . . . . . 8
163110, 162syl 17 . . . . . . 7
164163oveq2d 6324 . . . . . 6
165164sumeq1d 13844 . . . . 5
166 nnre 10638 . . . . . 6
167 nnge1 10657 . . . . . 6
168 harmonicubnd 24014 . . . . . 6
169166, 167, 168syl2anc 673 . . . . 5
170165, 169eqbrtrrd 4418 . . . 4
17114nnrpd 11362 . . . . . . . 8
172171rpreccld 11374 . . . . . . 7
173172rpge0d 11368 . . . . . 6
1742, 15, 173fsumge0 13932 . . . . 5
17549a1i 11 . . . . . 6
176 log1 23614 . . . . . . 7
177 1rp 11329 . . . . . . . . 9
178 logleb 23631 . . . . . . . . 9
179177, 18, 178sylancr 676 . . . . . . . 8
180167, 179mpbid 215 . . . . . . 7
181176, 180syl5eqbrr 4430 . . . . . 6
18219lep1d 10560 . . . . . 6
183175, 19, 21, 181, 182letrd 9809 . . . . 5
18416, 21, 174, 183le2sqd 12489 . . . 4
185170, 184mpbid 215 . . 3
18612, 17, 22, 161, 185letrd 9809 . 2
1871a1i 11 . . 3
188 2pos 10723 . . . 4
189188a1i 11 . . 3
190 lemuldiv2 10509 . . 3
19110, 22, 187, 189, 190syl112anc 1296 . 2
192186, 191mpbid 215 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   wceq 1452   wcel 1904   wss 3390  c0 3722   class class class wbr 4395  cfv 5589  (class class class)co 6308  cc 9555  cr 9556  cc0 9557  c1 9558   caddc 9560   cmul 9562   clt 9693   cle 9694   cmin 9880   cdiv 10291  cn 10631  c2 10681  cn0 10893  cz 10961  cuz 11182  crp 11325  cicc 11663  cfz 11810  ..^cfzo 11942  cfl 12059  cexp 12310  csu 13829  clog 23583  cem 23996 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-shft 13207  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-ef 14198  df-e 14199  df-sin 14200  df-cos 14201  df-pi 14203  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-limc 22900  df-dv 22901  df-log 23585  df-em 23997 This theorem is referenced by:  pntlemk  24523
 Copyright terms: Public domain W3C validator